อัตราส่วนทองคำ( ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ )

การนำเสนอ
ทศนิยม	1.618 033 988 749 894  . . .  [ 1 ]
รูปแบบพีชคณิต	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
เศษส่วนต่อเนื่อง	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$

ในทางคณิตศาสตร์ปริมาณสองปริมาณจะอยู่ในอัตราส่วนทองคำก็ ต่อ เมื่ออัตราส่วนของปริมาณทั้งสองเท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของปริมาณทั้งสองต่อปริมาณที่มากกว่า เมื่อแสดงในรูปพีชคณิต สำหรับปริมาณ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle b}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle a>b>0}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle a}$จะอยู่ในอัตราส่วนทองคำกับ⁠ ⁠${\displaystyle b}$ถ้าโดยที่อักษรกรีกฟี ( ⁠ ⁠หรือ⁠ ⁠หรือ⁠ ⁠ ) แทนอัตราส่วนทองคำ ค่าคงที่⁠ ⁠สอดคล้องกับสมการกำลังสอง⁠ ⁠และเป็นจำนวนอตรรกยะที่มีค่าเท่ากับ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={}}$1.618 033 988 749 .... ^{[ a ]}ยูคลิดเรียก อัตราส่วนทองคำ ว่า อัตราส่วนสุดขั้วและค่าเฉลี่ย [ ^{2 ]}และลูกา ปาซิโอลีเรียกว่า^{สัดส่วน}ศักดิ์สิทธิ์^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังมีชื่อเรียกอื่นๆ อีกด้วย^{[ b ]}

Mathematicians have studied the golden ratio's properties since antiquity. It is the ratio of a regular pentagon's diagonal to its side and thus appears in the construction of the dodecahedron and icosahedron.^[7] A golden rectangle—that is, a rectangle with an aspect ratio of ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠—may be cut into a square and a smaller rectangle with the same aspect ratio. The golden ratio has been used to analyze the proportions of natural objects and artificial systems such as financial markets, in some cases based on dubious fits to data.^[8] The golden ratio appears in some patterns in nature, including the spiral arrangement of leaves and other parts of vegetation.

Some 20th-century artists and architects, including Le Corbusier and Salvador Dalí, have proportioned their works to approximate the golden ratio, believing it to be aesthetically pleasing. These uses often appear in the form of a golden rectangle.

Two non-zero quantities ⁠${\displaystyle a}$⁠ and ⁠${\displaystyle b}$⁠ are in the golden ratio⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ if^[9]

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$

To determine ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ as a number, we can divide the numerator and denominator of the fraction on the left-hand side by ⁠${\displaystyle b}$⁠,

${\displaystyle {\frac {{\frac {a}{b}}+1}{\frac {a}{b}}}={\frac {a}{b}},}$

and then substitute ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}=\varphi }$⁠, to obtain

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .}$

Multiplying both sides by ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ gives

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

which can be rearranged to

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

The quadratic formula yields two solutions:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033\dots \ }$ and ${\displaystyle \ {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$

The positive root, ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠, is the golden ratio.^[10] The negative root is its negative inverse ⁠${\displaystyle -1/\varphi }$⁠, with which it shares many properties.

According to Mario Livio,

นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดในทุกยุคทุกสมัย ตั้งแต่พีทาโกรัสและยูคลิดในสมัยกรีกโบราณผ่านนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในยุคกลางอย่างเลโอนาร์โดแห่งปิซาและนักดาราศาสตร์ในยุค เรเนสซองส์อย่าง โยฮันเนส เคปเลอร์ ไป จนถึงบุคคลสำคัญทางวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน เช่นโรเจอร์ เพนโรส นักฟิสิกส์ จากออกซ์ฟอร์ด ต่างใช้เวลามากมายไปกับอัตราส่วนที่เรียบง่ายนี้และคุณสมบัติของมัน ... นักชีววิทยา ศิลปิน นักดนตรี นักประวัติศาสตร์ สถาปนิก นักจิตวิทยา และแม้แต่นักลึกลับ ต่างก็ใคร่ครวญและถกเถียงถึงพื้นฐานของความแพร่หลายและความน่าสนใจของมัน อันที่จริง อาจกล่าวได้ว่าอัตราส่วนทองคำได้สร้างแรงบันดาลใจให้กับนักคิดในทุกสาขาวิชามากกว่าตัวเลขอื่นใดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์^{[ 11 ]}

นักคณิตศาสตร์ ชาวกรีกโบราณศึกษาอัตราส่วนทองคำเป็นครั้งแรกเนื่องจากการปรากฏบ่อยครั้งในเรขาคณิต^[ 12 ^]การแบ่งเส้นตรงออกเป็น "อัตราส่วนสุดขั้วและอัตราส่วนเฉลี่ย" (ส่วนทองคำ) มีความสำคัญในเรขาคณิตของรูปดาวห้าแฉกปกติ^และรูปห้าเหลี่ยม[ ^{13 ] ตาม}เรื่องเล่าหนึ่ง นักคณิตศาสตร์ฮิปปาซัส ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช ค้นพบว่าอัตราส่วนทองคำไม่ใช่ทั้งจำนวนเต็มหรือเศษส่วน (เป็นจำนวนอตรรกยะ ) ซึ่งทำให้ชาวพีทาโกเรียนประหลาด ใจ ^{[ 14 ]} หนังสือ Elementsของยูคลิด ( ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ให้ข้อเสนอและบทพิสูจน์หลายข้อโดยใช้อัตราส่วนทองคำ^{[ 15 ] [ c ]}และมีคำจำกัดความแรกที่รู้จักซึ่งดำเนินไปดังนี้: ^{[ 16 ]}

กล่าวกันว่าเส้นตรงถูกตัดด้วยอัตราส่วนสุดขั้วและค่าเฉลี่ยเมื่อเส้นตรงทั้งหมดเทียบกับส่วนที่ใหญ่กว่า ส่วนที่ใหญ่กว่าเทียบกับส่วนที่เล็กกว่าก็เช่นเดียวกัน^{[ 17 ] [ d ]}

อัตราส่วนทองคำได้รับการศึกษาในวงกว้างตลอดช่วงพันปีถัดมา อบู กามิล (ประมาณ ค.ศ. 850–930) ใช้มันในการคำนวณทางเรขาคณิตของรูปห้าเหลี่ยมและรูปสิบเหลี่ยม งานเขียนของเขามีอิทธิพลต่องานเขียนของฟิโบนาชชี (เลโอนาร์โดแห่งปิซา) (ประมาณ ค.ศ. 1170–1250) ซึ่งใช้อัตราส่วนนี้ในปัญหาทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง แต่ไม่ได้สังเกตว่ามันเชื่อมโยงกับตัวเลขฟิโบนาชชี^{[ 19 ]}

Luca Pacioliตั้งชื่อหนังสือของเขาว่าDivina proportione ( 1509 ) ตามอัตราส่วนดังกล่าว หนังสือเล่มนี้ซึ่งลอกเลียนแบบมาจากPiero della Francesca เป็นส่วนใหญ่ ได้ สำรวจคุณสมบัติของอัตราส่วนนี้ รวมถึงการปรากฏในรูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตบางรูป^{[ 20 ] [ 21 ]} Leonardo da Vinciผู้วาดภาพประกอบหนังสือของ Pacioli เรียกอัตราส่วนนี้ว่าsectio aurea ('ส่วนทองคำ') ^{[ 22 ]}แม้ว่ามักจะกล่าวกันว่า Pacioli สนับสนุนการประยุกต์ใช้อัตราส่วนทองคำเพื่อให้ได้สัดส่วนที่สวยงามและกลมกลืน แต่ Livio ชี้ให้เห็นว่าการตีความดังกล่าวมีที่มาจากความผิดพลาดในปี 1799 และ Pacioli สนับสนุนระบบสัดส่วนเชิงตรรกะแบบVitruvian มากกว่า ^{[ 23 ]} Pacioli ยังมองเห็นความสำคัญทางศาสนาคาทอลิกในอัตราส่วนนี้ ซึ่งนำไปสู่ชื่อผลงานของเขา นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 16 เช่นRafael Bombelliได้แก้ปัญหาทางเรขาคณิตโดยใช้อัตราส่วนนี้^{[ 24 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันSimon Jacob (เสียชีวิตในปี 1564) สังเกตว่าอัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีที่ต่อเนื่องกันจะลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ^{[ 25} ] ^{สิ่งนี้}ถูกค้นพบอีกครั้งโดยJohannes Keplerในปี 1608 ^{[ 26 ]}การประมาณค่าทศนิยมครั้งแรกที่รู้จัก ของอัตราส่วนทองคำ (ผกผัน) ถูกระบุว่า "ประมาณ ⁠ ⁠${\displaystyle 0.6180340}$ " ในปี 1597 โดยMichael Maestlinจากมหาวิทยาลัย Tübingenในจดหมายถึง Kepler อดีตนักศึกษาของเขา^{[ 27 ]}ในปีเดียวกันนั้น Kepler ได้เขียนถึง Maestlin เกี่ยวกับสามเหลี่ยม Keplerซึ่งรวมอัตราส่วนทองคำเข้ากับทฤษฎีบทพีทาโกรัส Kepler กล่าวถึงสิ่งเหล่านี้ว่า:

เรขาคณิตมีสมบัติล้ำค่าสองอย่าง อย่างแรกคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส อย่างที่สองคือการแบ่งเส้นตรงออกเป็นอัตราส่วนสุดขั้วและอัตราส่วนเฉลี่ย อย่างแรกเราอาจเปรียบได้กับทองคำก้อนโต ส่วนอย่างที่สองเราอาจเรียกว่าอัญมณีล้ำค่า^{[ 28 ]}

นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 อย่างAbraham de Moivre , Nicolaus I BernoulliและLeonhard Eulerใช้สูตรที่อิงตามอัตราส่วนทองคำซึ่งหาค่าของจำนวนฟิโบนาชชีโดยพิจารณาจากตำแหน่งในลำดับ ในปี 1843 Jacques Philippe Marie Binet ได้ค้นพบสูตรนี้อีกครั้ง และตั้งชื่อว่า "สูตรของ Binet" ^{[ 29 ]}ในปี 1789 Johann Samuel Traugott Gehlerได้ใช้คำว่า 'golden section' เป็นครั้งแรกในพจนานุกรมวิทยาศาสตร์กายภาพยอดนิยมของเขาPhysikalisches Wörterbuchโดยอ้างถึงว่า 'güldnen Schnitt (media et extrema ratione, sectione aurea s[ive] divina)' ^{[ 30 ]} James Sullyใช้คำภาษาอังกฤษที่เทียบเท่ากันในปี 1875 ^{[ 31 ]}

ในปี พ.ศ. 2453 มาร์ค บาร์ นักประดิษฐ์ เริ่มใช้อักษรกรีกphi ( ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ ) เป็นสัญลักษณ์แทนอัตราส่วนทองคำ^{[ 32 ] [ e ]}นอกจากนี้ยังใช้แทนด้วยtau ( ⁠ ⁠${\displaystyle \tau }$ ) ซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของภาษากรีกโบราณ τομή ('ตัด' หรือ 'ส่วน') ^{[ 35 ]}

ระบบ การสร้าง โซมซึ่งพัฒนาโดยสตีฟ แบร์ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 นั้น อิงตามระบบสมมาตรของไอโคซาเฮดรอน / โดเดคาเฮดรอนและใช้สัดส่วนทองคำอย่างแพร่หลาย ระหว่างปี 1973 ถึง 1974 โรเจอร์ เพนโรสได้พัฒนาการปูพื้นแบบเพนโรสซึ่งเป็นรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับสัดส่วนทองคำ ทั้งในอัตราส่วนของพื้นที่ของกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองชิ้น และในความถี่สัมพัทธ์ของกระเบื้องเหล่านั้นภายในรูปแบบ^{[ 36 ]}สิ่งนี้ได้รับความสนใจมากขึ้นหลังจากที่แดน เชชต์แมนได้รับรางวัลโนเบลในปี 1982 จากการค้นพบผลึกกึ่งผลึกที่มีสมมาตรไอโคซาเฮดรอน ซึ่งต่อมาไม่นานก็ได้รับการอธิบายผ่านการเปรียบเทียบกับการปูพื้นแบบเพนโรส^{[ 37 ]}

อัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนอตรรกยะด้านล่างนี้คือข้อพิสูจน์สั้นๆ สองข้อเกี่ยวกับความเป็นจำนวนอตรรกยะ:

นี่คือการพิสูจน์โดยการสืบลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดโปรดจำไว้ว่า:

ถ้าเราเรียกส่วนทั้งหมดว่า⁠ ⁠${\displaystyle n}$และส่วนที่ยาวกว่าว่า⁠ ⁠${\displaystyle m}$แล้วข้อความที่สองข้างต้นจะกลายเป็น

⁠ ⁠${\displaystyle n}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle m}$เช่นเดียว กับ ⁠ ⁠${\displaystyle m}$คือ⁠ ⁠${\displaystyle n-m}$ .

การกล่าวว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนตรรกยะ${\displaystyle \varphi }$หมายความว่าอัตราส่วนทองคำเป็น${\displaystyle \varphi }$เศษส่วน${\displaystyle n/m}$โดยที่และ${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเต็ม${\displaystyle m}$เราอาจถือว่าอยู่${\displaystyle n/m}$ในรูปอย่างง่ายที่สุดและและเป็นจำนวนบวกแต่ถ้าอยู่ ในรูป อย่างง่ายที่สุดแล้ว ค่าที่เท่ากันของจะอยู่ในรูป ที่ต่ำกว่า นั้นอีก${\displaystyle n}$ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งที่เกิดจากสมมติฐานที่ว่าอัตราส่วนทองคำเป็นจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n/m}$${\displaystyle m/(n-m)}$${\displaystyle \varphi }$

อีกหนึ่งวิธีพิสูจน์สั้นๆ – ซึ่งอาจเป็นที่รู้จักกันทั่วไปมากกว่า – เกี่ยวกับความเป็นจำนวนอตรรกยะของอัตราส่วนทองคำนั้น ใช้ประโยชน์จากการปิดของจำนวนตรรกยะภายใต้การบวกและการคูณ หาก ถือว่า ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว⁠ ⁠${\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}}$ ซึ่งเป็น รากที่สองของ⁠ ⁠ ก็ต้องเป็นจำนวนตรรกยะด้วย นี่เป็นข้อขัดแย้ง เนื่องจากรากที่สองของ ${\displaystyle 5}$จำนวนธรรมชาติ ที่ไม่ใช่ กำลังสอง ทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ^{[ f ]}

เนื่องจากอัตราส่วนทองคำเป็นรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ จึงเป็นจำนวนพีชคณิตพหุนามที่น้อยที่สุดของอัตราส่วนทองคำ ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีต่ำสุดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและมีอัตราส่วนทองคำเป็นราก คือพหุนามกำลัง สอง นี้มีราก สองตัว คือ⁠ ⁠และ⁠ ⁠เนื่องจากสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามนี้คือ 1 ดังนั้นรากทั้งสองจึงเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตอัตราส่วนทองคำยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพหุนาม⁠ ⁠ซึ่งมีรากคือ ⁠ ⁠และ⁠ ⁠$${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$${\displaystyle -\varphi }$${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$

อัตราส่วนทองคำเป็น${\displaystyle \varphi }$หน่วยพื้นฐานของฟิลด์กำลังสองซึ่งบาง${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ครั้งเรียกว่าฟิลด์ทองคำในฟิลด์นี้ องค์ประกอบใดๆ ก็สามารถเขียนในรูปแบบโดยมีสัมประสิทธิ์ตรรกยะและ${\displaystyle r+s\varphi }$จำนวนดังกล่าว${\displaystyle r}$จะมีค่ามาตรฐาน${\displaystyle s}$เท่ากับหน่วยอื่นๆที่มีค่ามาตรฐานเท่ากับคือกำลังบวก${\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}}$และลบของจำนวนเต็มกำลังสองในฟิลด์นี้ ซึ่งก่อตัวเป็น^{วงแหวนคือ}จำนวนทั้งหมดในรูปแบบโดยที่และเป็นจำนวนเต็ม [ 38 ^]${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a+b\varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

อัตราส่วนทองคำ เป็นจำนวนที่สร้างได้เนื่องจากเป็นรากของพหุนามกำลังสอง^{[ 39 ]}

รากสังยุคของ พหุนามขั้นต่ำสุดคือ${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

ค่าสัมบูรณ์ของปริมาณนี้ ( ⁠ ⁠${\displaystyle 0.618\ldots }$ ) สอดคล้องกับอัตราส่วนความยาวที่นำมาเรียงลำดับย้อนกลับ (ความยาวส่วนที่สั้นกว่าหารด้วยความยาวส่วนที่ยาวกว่า⁠ ⁠${\displaystyle b/a}$ )

นี่แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติเฉพาะของอัตราส่วนทองคำในบรรดาจำนวนบวก ซึ่งก็คือ $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

หรือสิ่งที่ตรงกันข้าม $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

ค่าสังยุคและความสัมพันธ์พหุนามกำลัง สอง ที่กำหนดไว้จะนำไปสู่ค่าทศนิยมที่มีส่วนเศษส่วนร่วมกับ:${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$$

ลำดับของเลขยกกำลังของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ประกอบด้วยค่าเหล่านี้⁠ ⁠${\displaystyle 0.618033\ldots }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1.0}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1.618033\ldots }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 2.618033\ldots }$ ; โดยทั่วไปแล้ว เลขยกกำลังใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$จะเท่ากับผลรวมของเลขยกกำลังสองตัวก่อนหน้าทันที: $${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$$

ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถแยกกำลังใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ ออก เป็นผลคูณของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$และค่าคงที่ได้อย่างง่ายดาย โดยผลคูณและค่าคงที่นั้นจะเป็นจำนวนฟิโบนาชชีที่อยู่ติดกันเสมอ ซึ่งนำไปสู่คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของกำลังบวกของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ :

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

สูตรสามารถขยายแบบเรียกซ้ำเพื่อให้ได้เศษส่วนต่อ${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$เนื่องที่เรียบง่ายสำหรับอัตราส่วนทองคำ: ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

อันที่จริงแล้ว มันเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของเศษส่วนต่อเนื่อง ควบคู่ไปกับรูปแบบส่วนกลับของมัน: $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

ค่าลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่องเหล่านี้⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$ , ...หรือ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ...คืออัตราส่วนของจำนวนฟิโบนาชชีที่ ต่อเนื่องกัน พจน์ ที่ เล็ก อย่างสม่ำเสมอในเศษส่วนต่อเนื่องอธิบายว่าทำไมค่าประมาณจึงลู่เข้าอย่างช้าๆ สิ่งนี้ทำให้อัตราส่วนทองคำเป็นกรณีสุดขั้วของอสมการฮูร์วิตซ์สำหรับการ ประมาณไดโอแฟนไทน์ ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนอตรรกยะทุกจำนวน⁠ ⁠ จะมีเศษส่วนที่แตกต่างกันอย่างไม่จำกัดจำนวน⁠ ⁠เช่นนั้น ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle p/q}$$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

ซึ่งหมายความว่าค่าคงที่⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ไม่สามารถปรับปรุงได้หากไม่ยกเว้นอัตราส่วนทองคำ อันที่จริงแล้วมันคือจำนวนที่เล็กที่สุดที่ต้องยกเว้นเพื่อสร้างค่าประมาณที่ใกล้เคียงยิ่งขึ้นของจำนวนลากรางจ์ดัง กล่าว ^{[ 41 ]}

สามารถหา ฟอร์ม รากที่สองต่อเนื่องสำหรับ⁠ ⁠ ได้ จาก ${\displaystyle \varphi }$⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$ซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

เกลียวฟิโบนาชชี (ด้านบน) ซึ่งเป็นการประมาณเกลียวทองคำโดยใช้ ขนาดของช่องสี่เหลี่ยม ตามลำดับฟิโบนาชชีจนถึง21ส่วนการประมาณเกลียวทองคำอีกแบบหนึ่ง (ด้านล่าง) สร้างขึ้นจากการเรียงซ้อนช่องสี่เหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นตัวเลขในลำดับของจำนวนลูคัสซึ่งในที่นี้ถึง76

ตัวเลขฟิโบนาชชีและตัวเลขลูคัสมีความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนกับอัตราส่วนทองคำ ในลำดับฟิโบนาชชี แต่ละพจน์จะเท่ากับผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้าโดยเริ่มจากลำดับฐานเป็นพจน์ที่ 0 และ1ตามลำดับ ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n-1}}$${\displaystyle F_{n-2}}$${\displaystyle 0,1}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle 0,}$( OEIS : ${\displaystyle 1,}$A000045 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​${\displaystyle 1,}$${\displaystyle 2,}$${\displaystyle 3,}$${\displaystyle 5,}$${\displaystyle 8,}$${\displaystyle 13,}$${\displaystyle 21,}$${\displaystyle 34,}$${\displaystyle 55,}$${\displaystyle 89,}$${\displaystyle \ldots }$

ลำดับของจำนวนลูคัส (อย่าสับสนกับลำดับลูคัส ทั่วไป ซึ่งลำดับนี้เป็นส่วนหนึ่งของลำดับนั้น) มีลักษณะคล้ายกับลำดับฟิโบนาชชีตรงที่แต่ละพจน์เป็นผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้าคือ และแต่เริ่มต้นด้วย⁠ ⁠เป็นพจน์ที่ 0 และ 1 ตามลำดับคือ และ: ${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle L_{n-1}}$${\displaystyle L_{n-2}}$${\displaystyle 2,1}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle 2,}$( OEIS : ${\displaystyle 1,}$A000032 )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​​${\displaystyle 3,}$${\displaystyle 4,}$${\displaystyle 7,}$${\displaystyle 11,}$${\displaystyle 18,}$${\displaystyle 29,}$${\displaystyle 47,}$${\displaystyle 76,}$${\displaystyle 123,}$${\displaystyle 199,}$${\displaystyle \ldots }$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อัตราส่วนทองคำเท่ากับลิมิตของอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันในลำดับฟิโบนาชชีและลำดับของจำนวนลูคัส: ^{[ 43 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าจำนวนฟิโบนาชชีและลูคัสถูกหารด้วยจำนวนก่อนหน้าทันทีในลำดับ ผลลัพธ์ที่ได้จะใกล้เคียงกับ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$และ${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

ค่าประมาณเหล่านี้จะต่ำกว่าและ สูงกว่าสลับกันไปและ${\displaystyle \varphi }$จะลู่เข้าสู่เมื่อค่า${\displaystyle \varphi }$ของลำดับฟิโบนาชชีและลูคัสเพิ่มขึ้น

สูตรสำเร็จรูปสำหรับลำดับฟิโบนาชชีและลูคัสที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำมีดังนี้:

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}$$$${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

เมื่อรวมสูตรทั้งสองข้างต้นเข้าด้วยกัน จะได้สูตรสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$ที่เกี่ยวข้องกับทั้งเลขฟิโบนาชชีและเลขลูคัส: $${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

ระหว่างจำนวนฟิโบนาชชีและจำนวนลูคัส เราสามารถอนุมานได้ว่า ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$ซึ่งทำให้สามารถแสดงค่าลิมิตของผลหารของจำนวนลูคัสด้วยจำนวนฟิโบนาชชีได้อย่างง่าย ๆ ว่าเท่ากับรากที่สองของห้า : $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

อันที่จริงแล้ว มีข้อความที่รุนแรงกว่านี้อีกมากที่เป็นความจริง: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

เลขยกกำลังที่ต่อเนื่องกันของอัตราส่วนทองคำเป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดของ ฟิ โบ นา ชชี${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$

การลดรูปให้อยู่ในรูปสมการเชิงเส้นสามารถทำได้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้: $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

เอกลักษณ์นี้ช่วยให้พหุนามใดๆ ใน⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$สามารถลดรูปเป็นนิพจน์เชิงเส้นได้ ดังเช่น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ยังสามารถใช้ตัวเลขฟิโบนาชี่ที่เรียงลำดับกันเพื่อสร้างสูตรอัตราส่วนทองคำที่คล้ายกันได้ โดยใช้การบวกแบบอนันต์ : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำลังของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$เองจะปัดเศษเป็นจำนวนลูคัส (ตามลำดับ ยกเว้นกำลังสองตัวแรก⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ซึ่งอยู่ในลำดับย้อนกลับ^{[ 44 ]} ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

และอื่นๆ^{[ 45 ]} ตัวเลข ของ ลูคัสยังสร้างกำลังของอัตราส่วนทองคำโดยตรงด้วยเช่น:${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

แนวคิดที่ว่าผลรวมของ จำนวนฟิโบนาชี่ที่เรียงติดกันลำดับ ที่สามเท่ากับจำนวนลูคัส ซึ่งมีรากฐานมาจากความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงกันกับอัตราส่วนทองคำ คือ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$ ; และที่สำคัญคือ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!}$ .

ทั้งลำดับฟิโบนาชชีและลำดับของจำนวนลูคัสสามารถใช้สร้างรูปทรงโดยประมาณของเกลียวทองคำ (ซึ่งเป็นรูปแบบพิเศษของเกลียวลอการิทึม ) โดยใช้รูปครึ่งวงกลมที่มีรัศมีจากลำดับเหล่านี้ ซึ่งแตกต่างจากเกลียวลอการิทึมทองคำที่แท้จริง เพียงเล็กน้อย เกลียวฟิ โบนาชชีโดยทั่วไปเป็นคำที่ใช้เรียกเกลียวที่ประมาณเกลียวทองคำโดยใช้รูปสี่เหลี่ยมและรูปครึ่งวงกลมที่มีลำดับจำนวนฟิโบนาชชี

อัตราส่วนทองคำมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนทองคำมีส่วนเกี่ยวข้องกับสมมาตรภายในของรูปห้าเหลี่ยมและยังขยายไปเป็นส่วนหนึ่งของพิกัดของจุดยอดของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติรวมถึงจุดยอดของทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ ด้วย [ ^{46 ]} นอกจาก นี้ยังปรากฏอยู่ในรูปสามเหลี่ยมเคปเลอร์และรูปปูพื้นเพนโรสรวมถึงรูปทรง หลายเหลี่ยมอื่นๆ ^อีกด้วย

การแบ่งส่วนของเส้นตรงด้วยการแบ่งภายใน (ด้านบน) และการแบ่งภายนอก (ด้านล่าง) ตามอัตราส่วนทองคำ

การแบ่งตามการแบ่งภายใน

1. กำหนดให้มีส่วนของเส้นตรง⁠ ⁠${\displaystyle AB}$จงสร้างเส้นตั้งฉาก⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle B}$โดยให้มีความยาวครึ่งหนึ่งของ⁠ ⁠ ${\displaystyle BC}$วาดด้าน${\displaystyle AB}$ตรงข้ามมุมฉาก⁠ ⁠${\displaystyle AC}$ด้วย
2. ลากส่วนโค้งโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠${\displaystyle C}$และรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle BC}$ส่วนโค้งนี้ตัดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก⁠ ⁠${\displaystyle AC}$ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle D}$
3. ลากส่วนโค้งโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่⁠ ⁠${\displaystyle A}$และรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle AD}$ส่วนโค้งนี้ตัดกับส่วนของเส้นตรงเดิม⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ที่จุด⁠ ⁠${\displaystyle S}$จุด⁠ ⁠${\displaystyle S}$แบ่งส่วนของเส้นตรงเดิม⁠ ⁠${\displaystyle AB}$ออกเป็นส่วนของเส้นตรง⁠ ⁠${\displaystyle AS}$และ⁠ ⁠${\displaystyle SB}$ที่มีความยาวตามอัตราส่วนทองคำ

การแบ่งตามการแบ่งภายนอก

1. ลากเส้น ตรง${\displaystyle AS}$เส้นหนึ่งแล้วต่อเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งจากจุดนั้น โดยให้เส้นตรงนั้น${\displaystyle S}$ตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นแรกและ${\displaystyle SC}$มี${\displaystyle AS}$ความยาวเท่ากับเส้นตรง${\displaystyle AS}$เส้นแรก
2. แบ่งครึ่ง${\displaystyle AS}$ส่วนของ${\displaystyle M}$เส้นตรงด้วย
3. ส่วนโค้งวงกลมรอบ⁠ ⁠${\displaystyle M}$ที่มีรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle MC}$ตัดกับ เส้น ตรงที่${\displaystyle B}$ลากผ่านจุด⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ (หรือเรียกอีกอย่างว่าส่วนต่อขยายของ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ ) ที่จุด ⁠ ⁠ อัตราส่วนของ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$ต่อส่วนของเส้นตรงที่สร้างขึ้น⁠ ⁠${\displaystyle SB}$คืออัตราส่วนทองคำ

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สามารถดูได้ในบทความเรื่องรูปห้าเหลี่ยมที่มีความยาวด้านที่กำหนดให้ รูปสิบ เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบที่กำหนดให้ และ รูปสิบเหลี่ยมที่มีความยาวด้านที่กำหนดให้

อัลกอริทึมทั้งสองแบบที่แสดงไว้ข้างต้นนั้นสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิต ที่กำหนด เส้นตรงสองเส้นที่เรียงตัวกันโดยที่อัตราส่วนของเส้นที่ยาวกว่าต่อเส้นที่สั้นกว่าคืออัตราส่วนทองคำ

เมื่อมุมสองมุมที่ประกอบกันเป็นวงกลมสมบูรณ์มีขนาดอยู่ในอัตราส่วนทองคำ มุมที่เล็กกว่าจะเรียกว่ามุมทองคำโดยมีขนาด⁠ ⁠${\displaystyle g}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

มุมนี้เกิดขึ้นในรูปแบบการเจริญเติบโตของพืชเป็นระยะห่างที่เหมาะสมของหน่อใบรอบลำต้นของพืช เพื่อไม่ให้ใบที่ตามมาบังแสงแดดจากใบด้านล่าง^{[ 47 ]}

ในรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า อัตราส่วนของเส้นทแยงมุมต่อด้านคืออัตราส่วนทองคำ ขณะที่เส้นทแยงมุมที่ตัดกันจะตัดกันด้วยอัตราส่วนทองคำ คุณสมบัติของอัตราส่วนทองคำของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสามารถยืนยันได้โดยการใช้ทฤษฎีบทของปโตเลมีกับรูปสี่เหลี่ยมที่เกิดจากการลบจุดยอดจุดหนึ่งออก ถ้าด้านยาวและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคือ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และด้านสั้นคือ⁠ ⁠${\displaystyle b}$แล้วทฤษฎีบทของปโตเลมีจะให้⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$การหารทั้งสองข้างด้วย⁠ ⁠${\displaystyle ab}$จะได้ (ดู§ การคำนวณด้านบน) $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

เส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติจะประกอบกันเป็นรูปดาวห้าแฉกหรือรูปหลายเหลี่ยมดาว ห้าแฉก ซึ่งรูปทรงเรขาคณิตโดยพื้นฐานแล้วอธิบายได้ด้วยโดย${\displaystyle \varphi }$หลักแล้ว การตัดกันของขอบแต่ละด้านจะแบ่งขอบอื่นๆ ออกเป็นอัตราส่วนทองคำ อัตราส่วนของความยาวของส่วนที่สั้นกว่าต่อส่วนที่ล้อมรอบด้วยขอบสองด้านที่ตัดกัน (นั่นคือ ด้านของรูปห้าเหลี่ยมคว่ำที่อยู่ตรงกลางของรูปดาวห้าแฉก) คือดังที่ภาพประกอบ${\displaystyle \varphi }$สี่สีแสดงให้เห็น

เรขาคณิตแบบห้าเหลี่ยมและแบบห้าเหลี่ยมช่วยให้เราสามารถคำนวณค่าต่อไปนี้${\displaystyle \varphi }$ได้ :$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมสองเส้นและด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมปกติเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมทองคำหรือรูปสามเหลี่ยมอันงดงามเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วแหลมที่มีมุมยอด⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$และมุมฐาน⁠ ⁠ ${\displaystyle 72^{\circ }\!}$^{[ 48 ]} ด้านสองด้านที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยม นี้มีอัตราส่วนทองคำต่อฐาน^{[ 49 ]}รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากด้านสองด้านและเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติเรียกว่ารูปดาวทองคำเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วป้านที่มีมุมยอด⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }}$และมุมฐาน⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$ ฐานของรูปสามเหลี่ยม นี้มีอัตราส่วนทองคำต่อด้านสองด้านที่เท่ากัน^{[ 49 ]}ดังนั้นรูปห้าเหลี่ยมจึงสามารถแบ่งออกเป็นรูปดาวทองคำสองรูปและรูปสามเหลี่ยมทองคำตรงกลางได้ จุดห้าจุดของรูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ^{[ 49 ]}เช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมสิบรูปที่เกิดจากการเชื่อมจุดยอดของรูปสิบเหลี่ยมปกติเข้ากับจุดศูนย์กลาง^{[ 50 ]}

การแบ่งครึ่งมุมฐานมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมทองคำจะแบ่งสามเหลี่ยมทองคำนั้นออกเป็นสามเหลี่ยมทองคำขนาดเล็กและรูปดาวทองคำ ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลมใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมคล้ายและสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมป้านได้ แต่สามเหลี่ยมทองคำเป็นสามเหลี่ยมเดียวที่การแบ่งนี้ทำโดยเส้นแบ่งครึ่งมุม เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพียงรูปเดียวที่มุมฐานเป็นสองเท่าของมุมยอด เส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมทองคำจะแบ่งด้านที่มันตัดออกเป็นอัตราส่วนทองคำ และพื้นที่ของชิ้นส่วนที่แบ่งออกสองชิ้นก็อยู่ในอัตราส่วนทองคำเช่นกัน^{[ 49 ]}

ถ้ามุมยอดของแท่งทองคำถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน ตัวแบ่งสามส่วนจะแบ่งมันออกเป็นแท่งทองคำขนาดเล็กกว่าและสามเหลี่ยมทองคำอีกอันหนึ่ง ตัวแบ่งสามส่วนจะแบ่งฐานออกเป็นอัตราส่วนทองคำ และชิ้นส่วนทั้งสองจะมีพื้นที่เป็นอัตราส่วนทองคำ ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยมมุมป้านใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมคล้ายและสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลมได้ แต่แท่งทองคำเป็นเพียงอันเดียวที่ตัวแบ่งมุมทำการแบ่งนี้ เนื่องจากเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเพียงอันเดียวที่มีมุมยอดเป็นสามเท่าของมุมฐาน^{[ 49 ]}

อัตราส่วนทองคำปรากฏเด่นชัดในการปูพื้นแบบเพนโรสซึ่งเป็นกลุ่มของการปูพื้นระนาบแบบไม่เป็นคาบ ที่พัฒนาโดย โรเจอร์ เพนโรสโดยได้รับแรงบันดาลใจจาก ข้อสังเกตของ โยฮันเนส เคปเลอร์ที่ว่ารูปห้าเหลี่ยม รูปสิบเหลี่ยม และรูปทรงอื่นๆ สามารถเติมช่องว่างที่รูปห้าเหลี่ยมเพียงอย่างเดียวทิ้งไว้เมื่อปูพื้นเข้าด้วยกัน^{[ 51 ]}มีการศึกษารูปแบบต่างๆ ของการปูพื้นแบบนี้หลายแบบ ซึ่งทุกแบบมีโปรโตไทล์ที่แสดงอัตราส่วนทองคำ:

• เวอร์ชันดั้งเดิมของกระเบื้องนี้ของเพนโรสใช้รูปทรงสี่แบบ ได้แก่ รูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปดาวห้าแฉก รูปทรง "เรือ" ที่มีสามจุดของรูปดาวห้าแฉก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปทรง "เพชร" ^{[ 52 ]}
• การปูพื้นแบบ Penrose รูปว่าวและลูกศร ใช้รูปว่าวที่มีมุมภายในสามมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$และมุมภายในหนึ่งมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$และรูปลูกศร ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่มีมุมภายในสองมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$หนึ่งมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$และมุมที่ไม่นูนหนึ่งมุมเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 216^{\circ }\!}$กฎการจับคู่พิเศษจำกัดวิธีที่กระเบื้องสามารถมาบรรจบกันที่ขอบใดๆ ส่งผลให้มีกระเบื้องเจ็ดชุดที่จุดยอดใดๆ ทั้งรูปว่าวและรูปลูกศรมีด้านยาวสองด้าน ซึ่งมีอัตราส่วนทองคำต่อกัน พื้นที่ของรูปทรงกระเบื้องทั้งสองนี้ก็มีอัตราส่วนทองคำต่อกันเช่นกัน^{[ 51 ]}
• ว่าวและลูกศรแต่ละอันสามารถตัดตามแกนสมมาตรได้เป็นคู่ของสามเหลี่ยมทองคำและโนมอนทองคำตามลำดับ ด้วยกฎการจับคู่ที่เหมาะสม สามเหลี่ยมเหล่านี้ ซึ่งในบริบทนี้เรียกว่าสามเหลี่ยมโรบินสันสามารถใช้เป็นโปรโตไทล์สำหรับรูปแบบหนึ่งของการปูพื้นแบบเพนโรสได้^{[ 51 ] [ 53 ]}
• การปูพื้นแบบ Penrose รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสองประเภท คือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบางที่มีมุม⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหนาที่มีมุม⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 108^{\circ }\!}$ความยาวด้านทุกด้านเท่ากัน แต่สัดส่วนของความยาวด้านต่อเส้นทแยงมุมสั้นในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบางเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$เช่นเดียวกับสัดส่วนของด้านต่อเส้นทแยงมุมยาวของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหนา เช่นเดียวกับการปูพื้นแบบว่าวและลูกศร พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทั้งสองมีอัตราส่วนทองคำต่อกัน อีกครั้ง รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเหล่านี้สามารถแยกย่อยออกเป็นคู่ของสามเหลี่ยม Robinson ได้^{[ 51 ]}

กระเบื้องเพนโรสแบบดั้งเดิมสี่แผ่น

กระเบื้องเพนโรสรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

George Odomพบโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมด้านเท่า${\displaystyle \varphi }$ : ถ้าส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของสองด้านถูกต่อออกไปตัดกับวงกลมล้อมรอบ จุดกึ่งกลางทั้งสองและจุดตัดกับวงกลมจะอยู่ในสัดส่วนทองคำ^{[ 54 ]}

ลำดับเรขาคณิตของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านของสามเหลี่ยมเคปเลอร์

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เกิดจากรูปสามเหลี่ยมเคปเลอร์สองรูป จะมีอัตราส่วนของรัศมีวงในต่อความยาวด้านสูงสุด

สามเหลี่ยมเคปเลอร์ซึ่งตั้งชื่อตามโยฮันเนส เคปเลอร์เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวโดยด้านทั้ง สามมีความยาวเรียง ลำดับแบบเรขาคณิตกล่าว คือ ความยาวด้านเหล่านี้คือค่าเฉลี่ยพีทาโกเรียน สามค่า ของจำนวนสองจำนวนและรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูปบนด้านทั้งสามนั้นมีพื้นที่ เรียง ลำดับแบบเรขาคณิตทองคำ$${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$${\displaystyle \varphi \pm 1}$${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$

ในบรรดาสามเหลี่ยมหน้าจั่ว อัตราส่วนของรัศมีวงในต่อความยาวด้านจะมีค่าสูงสุดสำหรับสามเหลี่ยมที่เกิดจากสามเหลี่ยมเคปเลอร์ สอง รูปที่สะท้อนกัน โดยใช้ด้านยาวร่วมกัน ^{[ 55 ]}สามเหลี่ยมหน้าจั่วเดียวกันนี้ยังมีอัตราส่วนของรัศมีครึ่งวงกลมบนฐานต่อเส้นรอบรูป สูงสุดอีกด้วย ^{[ 56 ]}

สำหรับสามเหลี่ยมเคปเลอร์ที่มีความยาวด้านสั้นที่สุด⁠ ⁠${\displaystyle s}$พื้นที่และมุมภายในแหลมมีดังนี้ :$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

อัตราส่วนทองคำกำหนดสัดส่วนความยาวด้านที่อยู่ติดกันของ^{สี่เหลี่ยมผืนผ้า}ทองคำตาม${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$อัตราส่วน[ ⁵⁷ ] ^การลบหรือเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำยังคงทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ายังคงมีสัดส่วนตามอัตราส่วนสามารถ${\displaystyle \varphi }$สร้างได้จากเกลียวทองคำผ่านสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงกลมหนึ่งในสี่ที่มีขนาดเท่ากับตัวเลขฟิโบนาชชีและลูคัสตามลำดับ พวกมันมีบทบาทสำคัญในทรงยี่สิบหน้าเช่นเดียวกับทรงสิบ สองหน้า (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนด้านล่าง) ^{[ 46 ]}

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทองคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมเป็นสัดส่วนตามอัตราส่วนทองคำ ซึ่งโดยทั่วไปคือ⁠ ⁠ [ ${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$^{58 ] สำหรับ}รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีสัดส่วนดังกล่าว มุมแหลมและมุมป้านของมันคือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

ความยาวของเส้นทแยงมุมสั้นและยาว⁠ ⁠${\displaystyle d}$และ⁠ ⁠${\displaystyle D}$ในรูปของความยาวด้านมีดังนี้${\displaystyle a}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

พื้นที่ของมัน ในแง่ของ⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle d}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

รัศมีวงในใน แง่ของด้าน:${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทองก่อตัวเป็นหน้าของทรงสามเหลี่ยมขนมเปียกปูนทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสีทองสอง^{รูป ทรงสิบสองเหลี่ยมบิลินสกิ [} 59 ]และ^{ทรงหก}เหลี่ยมขนมเปียกปูน^{[ 58 ]}

ถ้าวงกลมสองวงที่กำหนดเวสิกาปิสซิสแต่ละวงถูกล้อมรอบด้วยวงกลมศูนย์กลาง สองวง ที่มีรัศมีเป็นสองเท่า วงกลมด้านนอกทั้งสองวงจะสัมผัสกับวงกลมด้านในทั้งสองวง (ที่จุดและในรูป) วงกลมด้านนอกยังตัดกันเพื่อสร้างเลนส์ แต่เป็นเลนส์ที่มีมุมต่างจากเวสิกาปิสซิส สำหรับวงกลมเหล่านี้ ส่วนของเส้นตรงจากจุดตัดจุดหนึ่งของวงกลมด้านในไปยังจุดตัดตรงข้ามของวงกลมด้านนอกจะถูกแบ่งตามอัตราส่วนทองคำโดยจุด ซึ่งเป็นจุดตัดที่สองของวงกลมด้านในทั้งสองวง^{[ 60 ] [ 61 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {XC}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D}$

เกลียวลอการิทึมเป็น เกลียว ที่มีลักษณะคล้ายกันโดยระยะทางที่ครอบคลุมต่อรอบจะอยู่ในลำดับเรขาคณิตเกลียวลอการิทึมที่มีรัศมีเพิ่มขึ้นตามอัตราส่วนทองคำในแต่ละหนึ่งในสี่รอบเรียกว่าเกลียวทองคำเกลียวเหล่านี้สามารถประมาณได้ด้วยหนึ่งในสี่ของวงกลมที่เติบโตตามอัตราส่วนทองคำ^{[ 63 ]}หรือการประมาณค่าที่สร้างจากตัวเลขฟิโบนาชชี^{[ 64 ]}ซึ่งมักจะแสดงอยู่ภายในรูปแบบเกลียวของสี่เหลี่ยมที่เติบโตในอัตราส่วนเดียวกัน รูปแบบเกลียวลอการิทึมที่แน่นอนของเกลียวทองคำสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงขั้วที่มี⁠ ⁠${\displaystyle (r,\theta )}$ : $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

ไม่ใช่ว่าเกลียวลอการิทึมทั้งหมดจะเชื่อมต่อกับอัตราส่วนทองคำ และไม่ใช่ว่าเกลียวทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับอัตราส่วนทองคำจะมีรูปร่างเหมือนกับเกลียวทองคำ ตัวอย่างเช่น เกลียวลอการิทึมที่แตกต่างกันซึ่งล้อมรอบลำดับของสามเหลี่ยมหน้าจั่วทองคำที่ซ้อนกัน จะเติบโตตามอัตราส่วนทองคำในแต่ละรอบที่${\displaystyle 108^{\circ }}$หมุน แทนที่จะเป็น มุม การหมุน${\displaystyle 90^{\circ }}$ของเกลียวทองคำ^{[ 62 ]}รูปแบบอื่นที่เรียกว่า "เกลียวทองคำที่ดีกว่า" จะเติบโตตามอัตราส่วนทองคำในแต่ละครึ่งรอบ แทนที่จะเป็นหนึ่งในสี่รอบ^{[ 63 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติและทรงยี่สิบเหลี่ยมคู่ของทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นทรงตันเพลโตที่มีมิติสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ ทรงสิบสองเหลี่ยมมีหน้า เป็นรูปห้าเหลี่ยม ปกติในขณะที่ทรงยี่สิบเหลี่ยมมีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้ง สอง ทรงมีขอบ^{[ 65 ]}${\displaystyle 12}$${\displaystyle 20}$${\displaystyle 30}$

สำหรับทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว⁠ ⁠ รัศมีของทรง${\displaystyle a}$กลมที่ล้อมรอบและทรงกลมที่แนบใน และรัศมีกึ่งกลางคือ ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , และ⁠ ⁠ตามลำดับ): ${\displaystyle r_{u}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{m}}$

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$และ${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

สำหรับทรงยี่สิบหน้าที่มีด้านยาว⁠ ⁠${\displaystyle a}$รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบและทรงกลมที่แนบใน และรัศมีกึ่งกลางคือ:

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$และ${\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงสิบสองเหลี่ยมสามารถแสดงได้ในรูปของ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ :

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$และ${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

รวมถึงสำหรับทรงยี่สิบหน้าด้วย:

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$และ${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

ค่าทางเรขาคณิตเหล่านี้สามารถคำนวณได้จากพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$พิกัดของทรงสิบสองเหลี่ยมแสดงอยู่ในรูปทางด้านขวา ในขณะที่พิกัดของทรงยี่สิบเหลี่ยมมีดังนี้:

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

ชุดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำสามชุดตัดกันในแนวตั้งฉากภายในทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยม ก่อให้เกิดวงแหวนบอร์โรเมียน [ ^{66 ] [ 46 ] ใน}ทรงสิบสองเหลี่ยม คู่ของจุดยอดตรงข้ามในสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำจะมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางของหน้าห้าเหลี่ยม และในทรงยี่สิบเหลี่ยม จุดยอดเหล่านั้นจะมาบรรจบกันที่จุดยอด สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำทั้งสามชุดรวมกันครอบคลุมจุดยอดทั้งหมดของ ทรงยี่สิบ เหลี่ยม${\displaystyle 12}$หรือเทียบเท่ากับการตัดกันที่จุดศูนย์กลางของหน้าทั้งหมดของทรง${\displaystyle 12}$สิบสองเหลี่ยม^{[ 65 ]}

ลูกบาศก์สามารถบรรจุอยู่ ใน ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติได้ โดยเส้นทแยงมุมบางส่วนของหน้าห้าเหลี่ยมของทรงสิบสองเหลี่ยมจะทำหน้าที่เป็นขอบของลูกบาศก์ ดังนั้นความยาวขอบจึงอยู่ในอัตราส่วนทองคำ ปริมาตรของลูกบาศก์เป็น⁠ ⁠เท่าของปริมาตรของทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 67 ]}ในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมผืนทองคำที่อยู่ภายในทรงสิบสองเหลี่ยมมีสัดส่วนทองคำกับลูกบาศก์ที่บรรจุอยู่ โดยที่ขอบของลูกบาศก์และขอบยาวของสี่เหลี่ยมผืนทองคำเองก็อยู่ใน อัตราส่วน ⁠ ⁠ในทางกลับกันทรงแปดเหลี่ยมซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมคู่ของลูกบาศก์ สามารถบรรจุทรงยี่สิบเหลี่ยมได้ โดยที่จุดยอดของทรงยี่สิบเหลี่ยมจะสัมผัสกับขอบของทรงแปดเหลี่ยมณจุดที่แบ่งขอบของมันในอัตราส่วนทองคำ^{[ 68 ]}${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 12}$

การขยายทศนิยมของอัตราส่วนทองคำสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการหาค่าราก เช่นวิธีของนิวตันหรือวิธีของฮัลลีย์บนสม${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$การหรือบน(${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$เพื่อคำนวณก่อน)${\displaystyle {\sqrt {5}}}$เวลาที่จำเป็นในการคำนวณตัวเลขของอัตราส่วนทองคำโดยใช้วิธีของนิวตันโดยพื้นฐานแล้วคือโดย${\displaystyle n}$ที่คือความ${\displaystyle O(M(n))}$ซับซ้อนของเวลาในการคูณตัวเลขสองหลัก^[ 69 ^]ซึ่งเร็วกว่าอัลกอริทึมที่รู้จักสำหรับπและe อย่างมาก ทางเลือกที่เขียนโปรแกรมได้ง่ายโดย ใช้ เพียงเลขคณิตจำนวนเต็มคือการ ${\displaystyle M(n)}$^{คำนวณ}ตัวเลขฟิโบนาชชีขนาดใหญ่สองตัวที่ต่อเนื่องกันแล้วหาร อัตราส่วนของตัวเลขฟิโบนาชชี⁠ ⁠และ⁠ ⁠ซึ่งแต่ละตัวมีมากกว่า⁠ ⁠หลัก จะได้ตัวเลขสำคัญมากกว่า⁠ ⁠หลักของอัตราส่วนทองคำ การขยายทศนิยมของอัตราส่วนทองคำ⁠ ⁠ ^{[ 1 ]}ได้รับการคำนวณจนมีความแม่นยำถึงยี่สิบล้านล้าน ( ⁠ ⁠ ) หลัก^{[ 70 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{25001}}$${\displaystyle F_{25000}}$${\displaystyle 5000}$${\displaystyle 10{,}000}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}$

ในระนาบเชิงซ้อน ราก ที่ห้าของเอกภาพ(${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$สำหรับจำนวนเต็ม) ที่${\displaystyle k}$สอดคล้องกับเงื่อนไขจะ${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม พวกมันไม่ได้ก่อตัวเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสอง อย่างไรก็ตาม ผลรวมของรากที่ห้าของเอกภาพใดๆ กับ จำนวนเชิงซ้อนสังยุคของมันจะเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง ซึ่งเป็นสมาชิกของโดยเฉพาะ${\displaystyle z+{\bar {z}}}$อย่าง ยิ่ง${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}$$

สิ่งนี้ยังใช้ได้กับรากที่สิบที่เหลือของเอกภาพที่น่าพอใจด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$ ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันแกมมา คำ ตอบเดียวของสมการคือและ​​​${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$${\displaystyle z=\varphi }$${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$

เมื่อใช้สัดส่วนทองคำเป็นฐานของระบบตัวเลข (ดูฐานสัดส่วนทองคำซึ่งบางครั้งเรียกว่าฟินารีหรือ- นารี${\displaystyle \varphi }$ ) จำนวนเต็มกำลังสองในวงแหวน–นั่นคือ จำนวนในรูปแบบสำหรับและใน – จะมีการแสดงผลแบบสิ้นสุดแต่เศษส่วนตรรกยะจะมีการ แสดงผล แบบไม่สิ้นสุด ${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$${\displaystyle a+b\varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

อัตราส่วนทองคำยังปรากฏในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ด้วย โดยเป็นระยะทางสูงสุดจากจุดบนด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่า ไปยัง ^ด้านที่อยู่ใกล้กว่าของอีกสองด้าน ระยะทางนี้ ความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เกิดจากจุดสัมผัสของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4\log(\varphi )}$^[ 71 ^]

อัตราส่วนทองคำปรากฏในทฤษฎีฟังก์ชันมอดูลาร์เช่นกัน สำหรับให้ จาก นั้น และ โดย ที่และในเศษส่วนต่อเนื่องควรประเมินเป็น^{ฟังก์ชันไม่}เปลี่ยนแปลงภายใต้ซึ่งเป็นกลุ่มย่อย^ความ สอดคล้อง ของกลุ่มมอดูลาร์นอกจากนี้สำหรับจำนวนจริงบวกและที่[ 72 ]${\displaystyle |q|<1,}$$${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$${\displaystyle \Gamma (5)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

คือ${\displaystyle \varphi }$เลขพิโสต-วิชัยรควัน^{[ 73 ]}

สถาปนิก ชาวสวิสเลอ คอร์บูซิเยร์ผู้มีชื่อเสียงจากผลงาน การออกแบบ สไตล์สากลสมัยใหม่ ได้วางศูนย์กลางปรัชญาการออกแบบของเขาไว้ที่ระบบความกลมกลืนและสัดส่วน ความเชื่อของเลอ คอร์บูซิเยร์ในระเบียบทางคณิตศาสตร์ของจักรวาลนั้นเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับอัตราส่วนทองคำและอนุกรมฟิโบนาชชี ซึ่งเขาอธิบายว่าเป็น "จังหวะที่ปรากฏให้เห็นได้ด้วยตาและชัดเจนในความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน และจังหวะเหล่านี้เป็นรากฐานของกิจกรรมของมนุษย์ พวกมันดังก้องอยู่ในมนุษย์ด้วยความหลีกเลี่ยงไม่ได้ตามธรรมชาติ ความหลีกเลี่ยงไม่ได้อันละเอียดอ่อนเดียวกันนี้ที่ทำให้เด็ก คนชรา คนป่าเถื่อน และผู้มีการศึกษาต่างลากเส้นตามสัดส่วนทองคำ" ^{[ 74 ] [ 75 ]}

เลอ คอร์บูซิเยร์ ใช้สัดส่วนทองคำอย่างชัดเจนใน ระบบ โมดูลอร์ ของเขา เพื่อกำหนด สัดส่วน ทางสถาปัตยกรรมเขาเห็นว่าระบบนี้เป็นการสืบทอดประเพณีอันยาวนานของวิทรูเวียสภาพ " มนุษย์วิทรูเวียน " ของเลโอนาร์โด ดา วินชี ผลงานของเลออน บัตติสตา อัลเบอร์ติและคนอื่นๆ ที่ใช้สัดส่วนของร่างกายมนุษย์เพื่อปรับปรุงรูปลักษณ์และฟังก์ชันของสถาปัตยกรรม

นอกจากอัตราส่วนทองคำแล้ว เลอ คอร์บูซิเยร์ยังใช้การวัดของมนุษย์ตัวเลขฟิโบนาชชี และหน่วยสองเท่าเป็นพื้นฐานในการสร้างระบบ นี้เขาได้นำแนวคิดเรื่องอัตราส่วนทองคำในสัดส่วนของมนุษย์มาใช้ในระดับสูงสุด โดยเขาแบ่งความสูงของแบบจำลองร่างกายมนุษย์ที่สะดือออกเป็นสองส่วนตามอัตราส่วนทองคำ จากนั้นจึงแบ่งส่วนเหล่านั้นออกเป็นอัตราส่วนทองคำที่หัวเข่าและลำคอ เขาใช้สัดส่วนอัตราส่วนทองคำเหล่านี้ใน ระบบ โมดูลอร์ วิลล่าสไตน์ ของเลอ คอร์บูซิเยร์ในปี 1927 ในเมืองการ์เชสเป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ระบบโมดูลอร์ แผนผังพื้น รูปทรงด้านหน้า และโครงสร้างภายในของวิลล่าที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีลักษณะใกล้เคียงกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ^{[ 76 ]}

สถาปนิกชาวสวิสอีกคนหนึ่งคือMario Bottaได้ออกแบบบ้านหลายหลังโดยอิงจากรูปทรงเรขาคณิต บ้านส่วนตัวหลายหลังที่เขาออกแบบในสวิตเซอร์แลนด์ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงกลม ลูกบาศก์และทรงกระบอก ในบ้านที่เขาออกแบบในOriglioอัตราส่วนทองคำคือสัดส่วนระหว่างส่วนกลางและส่วนด้านข้างของบ้าน^{[ 77 ]}

ภาพประกอบของLeonardo da Vinci เกี่ยวกับรูป ทรงหลายเหลี่ยม ใน สัดส่วน Divina proportioneของ Pacioli ทำให้บางคนคาดเดาว่าเขาได้นำอัตราส่วนทองคำมาใช้ในภาพวาดของเขา แต่ข้อเสนอแนะที่ว่าภาพโมนาลิซ่า ของเขา ใช้สัดส่วนอัตราส่วนทองคำนั้นไม่ได้รับการสนับสนุนจากงานเขียนของ Leonardo เอง^{[ 78 ]}ในทำนองเดียวกัน แม้ว่า ภาพ Vitruvian Man ของ Leonardo มักจะแสดงร่วมกับอัตราส่วนทองคำ แต่สัดส่วนของรูปทรงนั้นไม่ได้ตรงกับอัตราส่วนทองคำ และข้อความกล่าวถึงเฉพาะอัตราส่วนจำนวนเต็มเท่านั้น^{[ 79 ] [ 80 ]}

ซัลวาดอร์ ดาลีได้รับอิทธิพลจากผลงานของมาติลา กีกา [ ^{81 ] จึง}ใช้สัดส่วนทองคำอย่างชัดเจนในผลงานชิ้นเอกของเขา คือพระมหาศีลระลึกมื้อสุดท้ายขนาดของผืนผ้าใบเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ทรงสิบสองเหลี่ยมขนาดใหญ่ ซึ่งมองจากมุมมองแบบเปอร์สเปคทีฟเพื่อให้ขอบต่างๆ ปรากฏเป็นสัดส่วนทองคำซึ่งกันและกัน ถูกแขวนอยู่เหนือและด้านหลังพระเยซูและครอบงำองค์ประกอบ^{[ 78 ] [ 82 ]}อัลมาดา เนเกรโรสศิลปินแนวฟิวเจอร์ ริสต์ ได้ใช้โครงสร้างทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับสัดส่วนทองคำอย่างเปิดเผยในงานศิลปะต่างๆ^{[ 83 ]}

การศึกษาทางสถิติเกี่ยวกับผลงานศิลปะ 565 ชิ้นของจิตรกรผู้ยิ่งใหญ่ต่างๆ ที่ดำเนินการในปี 1999 พบว่าศิลปินเหล่านี้ไม่ได้ใช้สัดส่วนทองคำในขนาดของผืนผ้าใบ การศึกษาสรุปว่าอัตราส่วนเฉลี่ยของสองด้านของภาพวาดที่ศึกษาคือ⁠ ⁠${\displaystyle 1.34}$โดยค่าเฉลี่ยสำหรับศิลปินแต่ละคนมีตั้งแต่⁠ ⁠${\displaystyle 1.04}$ ( Goya ) ถึง⁠ ⁠${\displaystyle 1.46}$ ( Bellini ) ^{[ 84 ]}ในทางกลับกัน Pablo Tosto ได้ระบุผลงานกว่า 350 ชิ้นของศิลปินที่มีชื่อเสียง รวมถึงมากกว่า 100 ชิ้นที่มีผืนผ้าใบที่มีสัดส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำและ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$และชิ้นอื่นๆ ที่มีสัดส่วน^เช่น ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 4}$และ⁠ ⁠ ${\displaystyle 6}$^{[ 85} ]

ตามคำกล่าวของJan Tschichold

มีอยู่ช่วงหนึ่งที่การเบี่ยงเบนจากสัดส่วนหน้ากระดาษที่สวยงามอย่างแท้จริง⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbin {:} 3}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}}$และสัดส่วนทองคำนั้นหายาก หนังสือหลายเล่มที่ผลิตขึ้นระหว่างปี 1550 ถึง 1770 แสดงสัดส่วนเหล่านี้ได้อย่างแม่นยำภายในครึ่งมิลลิเมตร^{[ 87 ]}

ตามแหล่งข้อมูลบางแหล่ง อัตราส่วนทองคำถูกนำมาใช้ในการออกแบบในชีวิตประจำวัน เช่น สัดส่วนของไพ่ โปสการ์ด โปสเตอร์ แผ่นปิดสวิตช์ไฟ และโทรทัศน์จอกว้าง^{[ 88 ]}

อัตราส่วนด้าน (อัตราส่วนความกว้างต่อความสูง) ของธงชาติโตโกตั้งใจให้เป็นอัตราส่วนทองคำ ตามที่ผู้ออกแบบระบุไว้^{[ 89 ]}

Ernő Lendvaiวิเคราะห์ผลงานของBéla Bartók ว่ามีพื้นฐานมาจากระบบที่ตรงข้ามกันสองระบบ คือ อัตราส่วนทองคำ และสเกลเสียง^{[ 90 ]}แม้ว่านักวิชาการดนตรีคนอื่นๆ จะปฏิเสธการวิเคราะห์นั้นก็ตาม^{[ 91 ]} Erik Satieนักประพันธ์ชาวฝรั่งเศสใช้อัตราส่วนทองคำในผลงานหลายชิ้นของเขา รวมถึงSonneries de la Rose+Croixอัตราส่วนทองคำยังปรากฏให้เห็นในการจัดระเบียบส่วนต่างๆ ในดนตรีของReflets dans l'eau (Reflections in water) ของ DebussyจากImages (ชุดที่ 1, 1905) ซึ่ง "ลำดับของคีย์ถูกทำเครื่องหมายด้วยช่วงห่าง34, 21, 13และ8และจุดไคลแม็กซ์หลักอยู่ที่ตำแหน่ง phi" ^{[ 92 ]}

นักดนตรีวิทยาRoy Howatสังเกตว่าขอบเขตรูปแบบของLa Mer ของ Debussy สอดคล้องกับสัดส่วนทองคำอย่างแม่นยำ^{[ 93 ]} Trezise พบว่าหลักฐานภายในนั้น "น่าทึ่ง" แต่เตือนว่าไม่มีหลักฐานที่เป็นลายลักษณ์อักษรหรือรายงานใดที่บ่งชี้ว่า Debussy จงใจแสวงหาสัดส่วนดังกล่าว^{[ 94 ]}