ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตนอกยุคลิดประกอบด้วยเรขาคณิตสองแบบที่อิงตามสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสัจพจน์ที่ระบุเรขาคณิตยุคลิดเนื่องจากเรขาคณิตยุคลิดอยู่ตรงจุดตัดของเรขาคณิตเมตริกและเรขาคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตนอกยุคลิดจึงเกิดขึ้นได้จากการแทนที่สัจพจน์เส้นขนานด้วยสัจพจน์อื่น หรือการพิจารณารูปแบบกำลังสองอื่นนอกเหนือจากรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนซึ่งเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเมตริกในกรณีแรก จะได้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตวงรีซึ่งเป็นเรขาคณิตนอกยุคลิดแบบดั้งเดิม เมื่อยอมรับรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิก แล้ว จะมีระนาบเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับ พีชคณิตระนาบซึ่งก่อให้เกิดเรขาคณิตจลนศาสตร์ที่เรียกว่าเรขาคณิตนอกยุคลิดเช่นกัน

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างเรขาคณิตเมตริกคือลักษณะของเส้นขนานสัจพจน์ข้อที่ห้าของยูคลิด หรือ สัจพจน์เส้นขนานเทียบเท่ากับสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ซึ่งกล่าวว่า ภายในระนาบสองมิติ สำหรับเส้นตรงl ใดๆ และจุดA ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บน เส้นตรง lจะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ลากผ่าน จุด A และ ไม่ตัดกับเส้นตรงlในทางตรงกันข้าม ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก มี เส้นตรงที่ลากผ่านจุด A และไม่ตัดกับเส้น ตรงlเป็นจำนวนอนันต์ในขณะที่ในเรขาคณิตวงรี เส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดA จะ ตัดกับ เส้น ตรงl

อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายความแตกต่างระหว่างรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้คือการพิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่ทอดยาวไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในระนาบสองมิติ ซึ่งทั้งสองเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่สาม (ในระนาบเดียวกัน):

• ในเรขาคณิตแบบยูคลิด เส้นตรงจะอยู่ห่างกันในระยะ คงที่ (หมายความว่า เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นหนึ่ง ณ จุดใดๆ จะตัดกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง และความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดจะคงที่) และเส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า เส้นขนาน
• ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก เส้นเหล่านี้จะแยกออกจากกัน โดยระยะห่างจะเพิ่มขึ้นเมื่ออยู่ห่างจากจุดตัดกับเส้นตั้งฉากร่วม เส้นเหล่านี้มักเรียกว่า เส้นอัลตร้าพาราเลล
• ในเรขาคณิตวงรี เส้นต่างๆ จะลู่เข้าหากันและตัดกัน

เรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งตั้งชื่อตามยูคลิดนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก นั้น ครอบคลุมคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดบางส่วน และเรขาคณิตที่เบี่ยงเบนไปจากเรขาคณิตแบบนี้จะไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นสิ่งที่ถูกต้อง จนกระทั่งศตวรรษที่ 19

การถกเถียงที่นำไปสู่การค้นพบเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดเริ่มต้นขึ้นเกือบจะในทันทีที่ยูคลิดเขียนหนังสือElementsในหนังสือElementsยูคลิดเริ่มต้นด้วยสมมติฐานจำนวนจำกัด (23 นิยาม 5 แนวคิดทั่วไป และ 5 ส postulates) และพยายามพิสูจน์ผลลัพธ์อื่นๆ ทั้งหมด ( propositions ) ในงานเขียนนั้น ส postulates ที่โด่งดังที่สุดมักถูกเรียกว่า "ส postulate ข้อที่ห้าของยูคลิด" หรือเรียกง่ายๆ ว่า สpostulate เส้นขนานซึ่งในสูตรดั้งเดิมของยูคลิดมีดังนี้:

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้นในลักษณะที่มุมภายในด้านเดียวกันรวมกันแล้วน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงทั้งสองนั้น ถ้าลากต่อไปเรื่อยๆ จะมาบรรจบกันที่ด้านที่มีมุมรวมกันแล้วน้อยกว่าสองมุมฉาก

นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้คิดค้นรูปแบบที่เรียบง่ายกว่าของสมบัติข้อนี้ อย่างไรก็ตาม ไม่ว่ารูปแบบของสัจพจน์จะเป็นอย่างไร มันก็ดูซับซ้อนกว่าสัจพจน์อื่นๆ ของยูคลิด เสมอ :

1. การลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งไปยังจุดใดจุดหนึ่ง
2. เพื่อต่อขยายเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดอย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง
3. เพื่ออธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีใดๆ
4. มุมฉากทุกมุมมีขนาดเท่ากัน

เป็นเวลาอย่างน้อยหนึ่งพันปีแล้วที่นักเรขาคณิตต่างรู้สึกไม่สบายใจกับความซับซ้อนที่แตกต่างกันของสัจพจน์ข้อที่ห้า และเชื่อว่าสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทจากสัจพจน์อีกสี่ข้อ หลายคนพยายามหาการพิสูจน์โดยการขัดแย้งรวมถึงIbn al-Haytham (Alhazen, ศตวรรษที่ 11) ^{[ 1 ]} Omar Khayyám (ศตวรรษที่ 12), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (ศตวรรษที่ 13) และGiovanni Girolamo Saccheri (ศตวรรษที่ 18)

ทฤษฎีบทของ Ibn al-Haytham, Khayyam และ al-Tusi เกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมรวมถึงรูปสี่เหลี่ยม Lambertและรูปสี่เหลี่ยม Saccheriถือเป็น "ทฤษฎีบทแรกๆ ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตวงรี " ทฤษฎีบทเหล่านี้พร้อมกับสมมติฐานทางเลือกอื่นๆ เช่นสัจพจน์ของ Playfairมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดในภายหลัง ความพยายามในช่วงแรกๆ เหล่านี้ในการท้าทายสัจพจน์ข้อที่ห้ามีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาในหมู่นักเรขาคณิตชาวยุโรปรุ่นหลัง รวมถึงWitelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallisและ Saccheri ^{[ 2 ]} อย่างไรก็ตาม ความพยายามในช่วงแรกๆ เหล่านี้ทั้งหมดในการพยายามกำหนดเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดได้ให้การพิสูจน์ที่บกพร่องของสัจพจน์เส้นขนาน โดยขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนานโดยพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม ความพยายามในช่วงแรกเหล่านี้ได้ให้คุณสมบัติเบื้องต้นบางประการของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกและแบบวงรี

ตัวอย่างเช่น คายยัมพยายามที่จะได้มาซึ่งทฤษฎีบทจากสมมติฐานที่เทียบเท่ากันซึ่งเขากำหนดขึ้นจาก "หลักการของนักปรัชญา" ( อริสโตเติล ): "เส้นตรงสองเส้นที่บรรจบกันจะตัดกัน และเป็นไปไม่ได้ที่เส้นตรงสองเส้นที่บรรจบกันจะแยกออกจากกันในทิศทางที่พวกมันบรรจบกัน" ^{[ 3 ]}จากนั้นคายยัมพิจารณากรณีสามกรณีคือ มุมฉาก มุมป้าน และมุมแหลม ที่มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรีสามารถเป็นได้ และหลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับพวกมันแล้ว เขาก็หักล้างกรณีมุมป้านและมุมแหลมได้อย่างถูกต้องโดยอาศัยสมมติฐานของเขา และด้วยเหตุนี้จึงได้มาซึ่งสมมติฐานคลาสสิกของยูคลิด ซึ่งเขาไม่รู้ว่าเทียบเท่ากับสมมติฐานของเขาเอง อีกตัวอย่างหนึ่งคือบุตรชายของอัล-ตูซี ซาดร์ อัล-ดิน (บางครั้งรู้จักกันในชื่อ "ซูโด-ตูซี") ซึ่งเขียนหนังสือเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1298 โดยอิงจากความคิดในภายหลังของอัล-ตูซี ซึ่งนำเสนอสมมติฐานอีกประการหนึ่งที่เทียบเท่ากับสมมติฐานเส้นขนาน "โดยพื้นฐานแล้ว เขาได้แก้ไขทั้งระบบสัจพจน์และสมมติฐานของยุคลิด รวมถึงการพิสูจน์ข้อเสนอหลายข้อจากElements " ^{[ 4 ] [ 5 ]}งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในกรุงโรมในปี 1594 และได้รับการศึกษาโดยนักเรขาคณิตชาวยุโรป รวมถึง Saccheri ^{[ 4 ]}ซึ่งวิจารณ์งานนี้เช่นเดียวกับงานของ Wallis ^{[ 6 ]}

จิออร์ดาโน วิตาเลในหนังสือEuclide restituo (ค.ศ. 1680, 1686) ของเขา ใช้รูปสี่เหลี่ยมซัคเครีเพื่อพิสูจน์ว่า ถ้าจุดสามจุดอยู่บนฐาน AB และจุดยอด CD โดยอยู่ห่างเท่ากันแล้ว AB และ CD ก็จะอยู่ห่างเท่ากันทุกที่

ในงานเขียนชื่อEuclides ab Omni Naevo Vindicatus ( ยูคลิดผู้ปราศจากข้อบกพร่องทั้งปวง ) ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1733 ซัคเคอรีได้ปฏิเสธความเป็นไปได้ของเรขาคณิตวงรีอย่างรวดเร็ว (เนื่องจากต้องมีการปรับเปลี่ยนสัจพจน์อื่นๆ ของยูคลิดเพื่อให้เรขาคณิตวงรีใช้งานได้) และเริ่มลงมือพิสูจน์ผลลัพธ์จำนวนมากในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

ในที่สุดเขาก็มาถึงจุดที่เชื่อว่าผลลัพธ์ของเขาแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ข้ออ้างของเขาดูเหมือนจะตั้งอยู่บนสมมติฐานแบบยุคลิด เนื่องจากไม่มี ข้อขัดแย้ง ทางตรรกะใดๆ ปรากฏอยู่ ในความพยายามที่จะพิสูจน์เรขาคณิตแบบยุคลิดนี้ เขากลับค้นพบเรขาคณิตแบบใหม่ที่ใช้ได้จริงโดยไม่ได้ตั้งใจ แต่เขาไม่รู้ตัว

ในปี ค.ศ. 1766 โยฮันน์ แลมเบิร์ตได้เขียน แต่ไม่ได้ตีพิมพ์Theorie der Parallellinienซึ่งเขาพยายามพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ห้าเช่นเดียวกับซัคเคอรี เขาทำงานกับรูปทรงที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ต ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสามมุม (สามารถถือได้ว่าเป็นครึ่งหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี) เขาได้ขจัดความเป็นไปได้ที่มุมที่สี่จะเป็นมุมป้านอย่างรวดเร็ว เช่นเดียวกับที่ซัคเคอรีและคัยยัมได้ทำ และจากนั้นก็ดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทหลายข้อภายใต้สมมติฐานของมุมแหลม แตกต่างจากซัคเคอรี เขาไม่เคยรู้สึกว่าเขาพบข้อขัดแย้งกับสมมติฐานนี้ เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดว่าผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นเมื่อพื้นที่ของสามเหลี่ยมลดลง และสิ่งนี้ทำให้เขาคาดเดาถึงความเป็นไปได้ของแบบจำลองกรณีมุมแหลมบนทรงกลมที่มีรัศมีจินตนาการ เขาไม่ได้พัฒนาความคิดนี้ต่อไปอีก^{[ 7 ]}

ในเวลานั้นเป็นที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าจักรวาลทำงานตามหลักการของเรขาคณิตแบบยุคลิด^{[ 8 ]}

ต้นศตวรรษที่ 19 ในที่สุดก็ได้เห็นขั้นตอนสำคัญในการสร้างเรขาคณิตนอกยุคลิด ประมาณปี 1813 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดยอิสระจากกันประมาณปี 1818 เฟอร์ดินานด์ คาร์ลชไวคาร์ ท ศาสตราจารย์ด้านกฎหมายชาวเยอรมัน^{[ 9 ]}ได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตนอกยุคลิด ชไวคาร์ทตีพิมพ์ผลงานของเขาในหนังสือของเขาในปี 1807 ^{[ 10 ]}ตามที่จอร์จ บรูซ ฮัลสเตด^{[ 11 ]} กล่าวไว้ ว่า "ชไวคาร์ทอาจถือได้ว่าเป็นคนแรกที่ตีพิมพ์บทความที่มีสติสัมปชัญญะอย่างแท้จริงเกี่ยวกับเรขาคณิตนอกยุคลิด ซึ่งกำหนดวันที่ของการสร้างและการตั้งชื่อเรขาคณิตนอกยุคลิดอย่างมีสติครั้งแรกไว้ระหว่างปี 1812 ถึง 1816" หลานชายของ Schweikart ชื่อFranz Taurinusได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์ที่สำคัญของตรีโกณมิติไฮเปอร์โบลิกในเอกสารสองฉบับในปี พ.ศ. 2368 และ พ.ศ. 2469 แม้ว่าจะยอมรับความสอดคล้องภายในของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก แต่เขาก็ยังคงเชื่อในบทบาทพิเศษของเรขาคณิตยุคลิด^{[ 12 ]}

จากนั้นในปี 1829–1830 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียNikolai Ivanovich Lobachevskyและในปี 1832 นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีJános Bolyaiได้ตีพิมพ์ตำราเกี่ยวกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกแยกกันและเป็นอิสระต่อกัน ส่งผลให้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกถูกเรียกว่าเรขาคณิตแบบ Lobachevsky หรือเรขาคณิตแบบ Bolyai-Lobachevsky เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ทั้งสองเป็นผู้ประพันธ์พื้นฐานของเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดโดยอิสระต่อกันGaussกล่าวกับบิดาของ Bolyai เมื่อได้เห็นผลงานของ Bolyai ผู้น้องว่าเขาได้พัฒนาเรขาคณิตดังกล่าวเมื่อหลายปีก่อน^{[ 13 ]} แม้ว่าเขาจะไม่ได้ตีพิมพ์ ในขณะที่ Lobachevsky สร้างเรขาคณิตนอกยุคยูคลิดโดยการปฏิเสธสัจพจน์เส้นขนาน Bolyai ได้พัฒนาเรขาคณิตที่ทั้งเรขาคณิตแบบยูคลิดและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิ กเป็นไปได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์  kโบไลย์ปิดท้ายงานของเขาโดยกล่าวว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินด้วยเหตุผลทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวว่าเรขาคณิตของจักรวาลทางกายภาพเป็นแบบยุคลิดหรือแบบไม่ยุคลิด นี่เป็นภารกิจของวิทยาศาสตร์กายภาพ

เบอร์นาร์ด รีมันน์ในการบรรยายที่มีชื่อเสียงในปี พ.ศ. 2397 ได้วางรากฐานสาขาเรขาคณิตแบบรีมันน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอธิบายแนวคิดที่เรียกว่าแมนิโฟลด์เมตริกแบบรีมันน์และความโค้งเขาสร้างตระกูลเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจำนวนอนันต์โดยให้สูตรสำหรับตระกูลเมตริกแบบรีมันน์บนลูกบอลหน่วยในปริภูมิยุคลิด เรขาคณิต ที่ง่ายที่สุดในตระกูลนี้เรียกว่าเรขาคณิตเชิงวงรีและถือว่าเป็นเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเนื่องจากไม่มีเส้นขนาน^{[ 14 ]}

ด้วยการกำหนดเรขาคณิตในรูปของเทนเซอร์ ความโค้ง รีมันน์จึงทำให้เรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดสามารถนำไปใช้กับมิติที่สูงขึ้นได้ เบลตรามี (1868) เป็นคนแรกที่นำเรขาคณิตของรีมันน์ไปประยุกต์ใช้กับปริภูมิที่มีความโค้งเป็นลบ

เกาส์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "เรขาคณิตนอกยุคลิด" ^{[ 15 ]}เขาหมายถึงงานของเขาเอง ซึ่งในปัจจุบันเราเรียกว่าเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกหรือเรขาคณิตโลบาเชฟสกีนักเขียนสมัยใหม่หลายคนยังคงใช้คำว่าเรขาคณิตนอกยุคลิด ทั่วไป เพื่อหมายถึงเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก^{[ 16 ]}

อาร์เธอร์ เคย์ลีย์สังเกตว่าระยะห่างระหว่างจุดภายในภาคตัดกรวยสามารถกำหนดได้โดยใช้ลอการิทึมและ ฟังก์ชันอัตราส่วน ไขว้เชิงโปรเจกทีฟ วิธีนี้ได้รับการขนานนามว่าเมตริกเคย์ลีย์-ไคลน์เนื่องจากเฟลิกซ์ ไคลน์ใช้ประโยชน์จากมันเพื่ออธิบายเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในบทความ^{[ 17 ]}ในปี พ.ศ. 2414 และ พ.ศ. 2416 และต่อมาในรูปแบบหนังสือ เมตริกเคย์ลีย์-ไคลน์ได้ให้แบบจำลองการทำงานของเรขาคณิตเมตริกแบบไฮเปอร์โบลิกและวงรี รวมถึงเรขาคณิตแบบยุคลิดด้วย

ไคลน์เป็นผู้รับผิดชอบคำว่า "ไฮเปอร์โบลิก" และ "วงรี" (ในระบบของเขา เขาเรียกเรขาคณิตแบบยุคลิด ว่า พาราโบลิกซึ่งเป็นคำที่โดยทั่วไปเลิกใช้ไปแล้ว^{[ 18 ]} ) อิทธิพลของเขานำไปสู่การใช้คำว่า "เรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด" ในปัจจุบัน ซึ่งหมายถึงเรขาคณิตแบบ "ไฮเปอร์โบลิก" หรือ "วงรี"

มีนักคณิตศาสตร์บางคนที่ต้องการขยายรายการเรขาคณิตที่ควรเรียกว่า "ไม่ใช่แบบยุคลิด" ในรูปแบบต่างๆ^{[ 19 ]}

มีเรขาคณิตหลายประเภทที่แตกต่างจากเรขาคณิตแบบยุคลิดอย่างมาก แต่ก็ไม่ได้รวมอยู่ในความหมายทั่วไปของ "เรขาคณิตนอกยุคลิด" เสมอไป เช่นเรขาคณิตแบบรีมันน์ใน กรณีทั่วไปบางกรณี

เรขาคณิตแบบยุคลิดสามารถอธิบายได้โดยใช้สัจพจน์หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ระบบสัจพจน์ห้าข้อดั้งเดิมของยุคลิดไม่ใช่หนึ่งในนั้น เนื่องจากบทพิสูจน์ของเขาอาศัยสมมติฐานที่ไม่ได้ระบุไว้หลายประการซึ่งควรจะถือว่าเป็นสัจพจน์ด้วยระบบของฮิลเบิร์ตซึ่งประกอบด้วยสัจพจน์ 20 ข้อ^{[ 20 ]}เป็นไปตามแนวทางของยุคลิดอย่างใกล้ชิดที่สุดและให้เหตุผลสำหรับบทพิสูจน์ทั้งหมดของยุคลิด ระบบอื่นๆ ที่ใช้ชุดคำที่ไม่นิยามที่ แตกต่างกัน จะได้เรขาคณิตเดียวกันโดยเส้นทางที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ทุกแนวทางมีสัจพจน์ที่เทียบเท่าทางตรรกะกับสัจพจน์ข้อที่ห้าของยุคลิด คือสัจพจน์เส้นขนานฮิลเบิร์ตใช้รูปแบบสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ ในขณะที่เบิร์คฮอฟฟ์ใช้สัจพจน์ที่กล่าวว่า "มีสามเหลี่ยมที่คล้ายกันแต่ไม่เท่ากันอยู่คู่หนึ่ง" ในระบบใดๆ เหล่านี้ การลบสัจพจน์หนึ่งข้อที่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน ไม่ว่าจะอยู่ในรูปแบบใดก็ตาม และปล่อยให้สัจพจน์อื่นๆ ทั้งหมดคงอยู่ จะทำให้เกิดเรขาคณิตสัมบูรณ์เนื่องจากข้อเสนอ 28 ข้อแรกของยูคลิด (ในThe Elements ) ไม่จำเป็นต้องใช้สัจพจน์เส้นขนานหรือสิ่งใดๆ ที่เทียบเท่ากับมัน ดังนั้นข้อเสนอเหล่านั้นจึงเป็นข้อความที่ถูกต้องในเรขาคณิตสัมบูรณ์^{[ 21 ]}

เพื่อให้ได้เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะต้องแทนที่สัจพจน์เส้นขนาน (หรือสิ่งที่เทียบเท่า) ด้วยสัจพจน์ปฏิเสธ ของมัน การปฏิเสธสัจพจน์ของเพลย์แฟร์เนื่องจากเป็นประโยคประกอบ (...มีอยู่เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น...) สามารถทำได้สองวิธี คือ จะมีเส้นตรงมากกว่าหนึ่งเส้นที่ลากผ่านจุดนั้นขนานกับเส้นตรงที่กำหนด หรือจะไม่มีเส้นตรงใดที่ลากผ่านจุดนั้นขนานกับเส้นตรงที่กำหนดเลย

• ในกรณีแรก การแทนที่สัจพจน์เส้นขนาน (หรือสัจพจน์ที่เทียบเท่า) ด้วยข้อความ "ในระนาบที่กำหนดจุด P และเส้นตรงl ที่ ไม่ผ่าน P จะมีเส้นตรงสองเส้นที่ผ่าน P ซึ่งไม่ตัดกับl " และคงสัจพจน์อื่นๆ ทั้งหมดไว้ จะได้เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก^{[ 22 ]}
• กรณีที่สองนั้นจัดการได้ยากกว่า การแทนที่สัจพจน์เส้นขนานด้วยข้อความว่า "ในระนาบที่กำหนดจุด P และเส้นตรงl ที่ ไม่ผ่านจุด P เส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านจุด P จะตัดกับเส้นตรงl " นั้นไม่ได้ให้ชุดสัจพจน์ที่สอดคล้องกัน เนื่องจากเส้นขนานมีอยู่ในเรขาคณิตสัมบูรณ์^{[ 23 ]}แต่ข้อความนี้บอกว่าไม่มีเส้นขนาน ปัญหานี้เป็นที่รู้จัก (ในรูปแบบที่แตกต่างกัน) โดย Khayyam, Saccheri และ Lambert และเป็นพื้นฐานสำหรับการปฏิเสธสิ่งที่เรียกว่า "กรณีมุมป้าน" เพื่อให้ได้ชุดสัจพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งรวมถึงสัจพจน์เกี่ยวกับการไม่มีเส้นขนาน สัจพจน์อื่นๆ บางส่วนจะต้องได้รับการปรับแต่ง การปรับเปลี่ยนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับระบบสัจพจน์ที่ใช้ การปรับแต่งเหล่านี้มีผลทำให้สัจพจน์ข้อที่สองของยูคลิดเปลี่ยนจากข้อความที่ว่าส่วนของเส้นตรงสามารถขยายได้เรื่อยๆ ไปเป็นข้อความที่ว่าเส้นตรงไม่มีขอบเขตเรขาคณิตวงรีของรีมันน์ปรากฏขึ้นเป็นเรขาคณิตที่เป็นธรรมชาติที่สุดที่สอดคล้องกับสัจพจน์นี้

แบบจำลองเรขาคณิตนอกยุคลิดคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดในแง่ที่ว่า ไม่มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่สามารถลากขนานกับเส้นตรงl ที่กำหนด ให้ ผ่านจุดAที่ไม่ได้อยู่บน เส้นตรง lได้ ในทางตรงกันข้าม ในแบบจำลองเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก มี เส้น ตรงจำนวนอนันต์ที่ลากผ่าน จุด Aและขนานกับเส้นตรงlและในแบบจำลองเรขาคณิตวงรี ไม่มีเส้นตรงขนานกันอยู่ (ดูข้อมูลเพิ่มเติมได้ในหัวข้อเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตวงรี )

เรขาคณิตแบบยุคลิดนั้นจำลองมาจากแนวคิดเรื่อง "ระนาบแบน"แบบจำลองที่ง่ายที่สุดสำหรับเรขาคณิตแบบวงรีคือทรงกลม โดยที่เส้นต่างๆ คือ " วงกลมใหญ่ " (เช่นเส้นศูนย์สูตรหรือเส้นเมริเดียนบนลูกโลก ) และจุดที่อยู่ตรงข้ามกันจะถูกระบุว่าเป็นจุดเดียวกัน ส่วนทรงกลมเสมือน นั้น มีความโค้ง ที่เหมาะสม สำหรับการจำลองเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบ ลิก

แบบจำลองที่ง่ายที่สุดสำหรับเรขาคณิตเชิงวงรีคือทรงกลม โดยที่เส้นต่างๆ คือ " วงกลมใหญ่ " (เช่นเส้นศูนย์สูตรหรือเส้นเมริเดียนบนลูกโลก ) และจุดตรงข้ามกัน (เรียกว่าจุดตรงข้าม ) ถือว่าเหมือนกัน นี่เป็นหนึ่งในแบบจำลองมาตรฐานของระนาบเชิงฉายจริงเช่นกัน ความแตกต่างคือ ในฐานะแบบจำลองของเรขาคณิตเชิงวงรี มีการนำเมตริกมาใช้เพื่อให้สามารถวัดความยาวและมุมได้ ในขณะที่ในฐานะแบบจำลองของระนาบเชิงฉาย ไม่มีเมตริกดังกล่าว

ในแบบจำลองวงรี สำหรับเส้นตรงl ใดๆ และจุดA ใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่บน เส้นตรง lเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านจุดAจะตัดกับเส้นตรงl

แม้หลังจากผลงานของโลบาเชฟสกี เกาส์ และโบลยาอี คำถามก็ยังคงอยู่ว่า "มีแบบจำลองดังกล่าวสำหรับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก หรือไม่ ?" แบบจำลองสำหรับเรขาคณิตไฮเปอร์ โบลิก ได้รับคำตอบโดยยูจีนิโอ เบลตรามีในปี 1868 ซึ่งเป็นคนแรกที่แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวที่เรียกว่าทรงกลมเทียม (pseudosphere)มีความโค้ง ที่เหมาะสม ในการจำลองส่วนหนึ่งของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกและในบทความฉบับที่สองในปีเดียวกันนั้น เขาได้กำหนดแบบจำลองไคลน์ (Klein model ) ซึ่งจำลองปริภูมิไฮเปอร์โบลิกทั้งหมด และใช้แบบจำลองนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าเรขาคณิตยุคลิดและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสอดคล้องกันอย่าง เท่าเทียมกัน กล่าวคือ เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีความสอดคล้องกัน ทางตรรกะ ก็ต่อเมื่อเรขาคณิตยุคลิดมีความสอดคล้องกันทางตรรกะเช่นกัน (ข้อสรุปย้อนกลับได้มาจาก แบบจำลอง ทรงกลมเทียมของเรขาคณิตยุคลิด)

ในแบบจำลองไฮเปอร์โบลิก ภายในระนาบสองมิติ สำหรับเส้นตรงl ใดๆ และจุดA ใดๆ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงlจะมีเส้นตรงจำนวนอนันต์ที่ ลากผ่าน จุด Aและไม่ตัดกับเส้นตรงl

ในแบบจำลองเหล่านี้ แนวคิดของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะถูกแทนด้วยวัตถุแบบยุคลิดในบริบทแบบยุคลิด ซึ่งก่อให้เกิดความบิดเบือนในการรับรู้ โดยที่เส้นตรงของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะถูกแทนด้วยเส้นโค้งแบบยุคลิดที่โค้งงอ การ "โค้งงอ" นี้ไม่ใช่คุณสมบัติของเส้นที่ไม่ใช่แบบยุคลิด แต่เป็นเพียงกลวิธีในการแสดงผลเท่านั้น

ในสามมิติ มีแบบจำลองเรขาคณิตแปดแบบ^{[ 24 ]}ได้แก่ เรขาคณิตแบบยุคลิด วงรี และไฮเปอร์โบลิก เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติ เรขาคณิตแบบผสมที่เป็นทั้งแบบยุคลิดและแบบไฮเปอร์โบลิกหรือทรงกลม เรขาคณิตแบบผสมที่มีการบิดเบี้ยว และเรขาคณิตที่ผิดปกติแบบหนึ่งซึ่งไม่สมมาตร โดยสมบูรณ์ (กล่าวคือ ทุกทิศทางมีพฤติกรรมแตกต่างกัน)

เรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตแบบไม่ยุคลิดมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันหลายอย่าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของเส้นขนาน ความเหมือนกันนี้เป็นหัวข้อของเรขาคณิตสัมบูรณ์ (หรือเรียกว่าเรขาคณิตที่เป็นกลาง ) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่ทำให้เรขาคณิตแบบหนึ่งแตกต่างจากแบบอื่นนั้นได้รับความสนใจมากที่สุดในประวัติศาสตร์

นอกเหนือจากพฤติกรรมของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับเส้นตั้งฉากร่วมที่กล่าวถึงในบทนำแล้ว เรายังมีสิ่งต่อไปนี้อีกด้วย:

• รูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสามมุม มุมที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมแลมเบิร์ตจะเป็นมุมแหลมถ้าเรขาคณิตเป็นแบบไฮเปอร์ โบลิก เป็นมุมฉากถ้าเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิด หรือเป็นมุมป้านถ้าเรขาคณิตเป็นแบบวงรี ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ซึ่งเป็นข้อความที่เทียบเท่ากับสัจพจน์เส้นขนาน) จึงมีอยู่เฉพาะในเรขาคณิตแบบยูคลิดเท่านั้น
• รูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่ (Saccheri quadrilateral)คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และตั้งฉากกับด้านหนึ่งที่เรียกว่าด้านฐานมุมอีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่เรียกว่ามุมยอดและมีขนาดเท่ากัน มุมยอดของรูปสี่เหลี่ยมซัคเคอรี่จะเป็นมุมแหลมถ้าเรขาคณิตเป็นแบบไฮเปอร์โบลิก เป็นมุมฉากถ้าเรขาคณิตเป็นแบบยูคลิด และเป็นมุมป้านถ้าเรขาคณิตเป็นแบบวงรี
• ผลรวมของขนาดมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะมีค่าน้อยกว่า 180° ถ้าเป็นเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก มีค่าเท่ากับ 180° ถ้าเป็นเรขาคณิตแบบยูคลิด และมีค่ามากกว่า 180° ถ้าเป็นเรขาคณิตแบบวงรี ค่าความบกพร่องของสามเหลี่ยมคือค่าตัวเลข (180° − ผลรวมของขนาดมุมของสามเหลี่ยม) ผลลัพธ์นี้อาจกล่าวได้ว่า ค่าความบกพร่องของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิกมีค่าเป็นบวก ค่าความบกพร่องของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตแบบยูคลิดมีค่าเป็นศูนย์ และค่าความบกพร่องของสามเหลี่ยมในเรขาคณิตแบบวงรีมีค่าเป็นลบ

ก่อนที่เบลตรามี ไคลน์ และปวงกาเร จะนำเสนอแบบจำลองระนาบที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เรขาคณิตแบบยุคลิดถือเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพื้นที่ ที่ไม่มีใครโต้แย้งได้ ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากสาระสำคัญของวิชาเรขาคณิตสังเคราะห์คือการแสดงออกถึงเหตุผลเป็นหลัก มุมมองแบบยุคลิดจึงถือเป็นอำนาจเบ็ดเสร็จ

การค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดได้ส่งผลกระทบเป็นวงกว้างซึ่งขยายออกไปไกลเกินขอบเขตของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ การพิจารณาความรู้ของมนุษย์ของนักปรัชญาอิมมานูเอล คานต์มีบทบาทพิเศษสำหรับเรขาคณิต มันเป็นตัวอย่างหลักของความรู้เชิงสังเคราะห์ก่อนประสบการณ์ ซึ่งไม่ได้มาจากประสาทสัมผัสหรืออนุมานผ่านตรรกะ ความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ของเราเป็นความจริงที่เราเกิดมาพร้อมกับมัน น่าเสียดายสำหรับคานต์ แนวคิดของเขาเกี่ยวกับเรขาคณิตที่ถูกต้องอย่างไม่เปลี่ยนแปลงนี้เป็นแบบยุคลิด เทววิทยาก็ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงจากความจริงสัมบูรณ์ไปสู่ความจริงสัมพัทธ์ในลักษณะที่คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับโลกโดยรอบ ซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์นี้^{[ 25 ]}

เรขาคณิตนอกยุคยูคลิดเป็นตัวอย่างของการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ได้เปลี่ยนมุมมองที่มีต่อวิชาของ ตน ^{[ 26 ]}นักเรขาคณิตบางคนเรียกโลบาเชฟสกีว่า " โคเปอร์นิคัสแห่งเรขาคณิต" เนื่องจากลักษณะการปฏิวัติของงานของเขา^{[ 27 ] [ 28 ]}

การมีอยู่ของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดส่งผลกระทบต่อชีวิตทางปัญญาของอังกฤษในยุควิกตอเรียในหลาย ๆ ด้าน^{[ 29 ]}และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นหนึ่งในปัจจัยหลักที่ทำให้เกิดการพิจารณาการสอนเรขาคณิตใหม่โดยอิงจากElements ของยุคลิดประเด็นหลักสูตรนี้มีการถกเถียงกันอย่างดุเดือดในเวลานั้น และยังเป็นหัวข้อของหนังสือเรื่องEuclid and his Modern Rivalsซึ่งเขียนโดย Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898) หรือที่รู้จักกันดีในนามLewis Carrollผู้เขียนAlice in Wonderland

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ระนาบจะถูกอธิบายด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน :

${\displaystyle C=\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$

บางครั้ง จุดเหล่านี้จะถูกระบุด้วยจำนวนเชิงซ้อนทั่วไปz = x + y εโดยที่ ε ² ∈ { –1, 0, 1 }

ระนาบยุคลิดสอดคล้องกับกรณีε ² = −1ซึ่งเป็นหน่วยจินตนาการเนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของzกำหนดโดย

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(xy\epsilon )=x^{2}+y^{2},}$ปริมาณนี้คือค่ากำลังสองของระยะทางแบบยุคลิดระหว่างzกับจุดกำเนิด

ตัวอย่างเช่น{ z | zz * = 1}คือวงกลม หน่วย

สำหรับพีชคณิตระนาบ เรขาคณิตนอกยุคลิดเกิดขึ้นในกรณีอื่นๆ เมื่อε ² = +1หน่วยไฮเปอร์โบลิกจากนั้นzเป็นจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนและตามธรรมเนียมแล้วjจะแทนที่เอปซิลอน จากนั้น

${\displaystyle zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(xy\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!}$

และ{ z | zz * = 1}คือ ไฮเปอร์ โบ ลาหน่วย

เมื่อε ^{2 =} 0แล้วzจะเป็นจำนวนคู่ [ ^{30 ]}

แนวทางนี้สำหรับเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดอธิบายมุมที่ไม่ใช่ยุคลิด: พารามิเตอร์ของความชันในระนาบจำนวนคู่และมุมไฮเปอร์โบลิกในระนาบเชิงซ้อนแบบแยกส่วนสอดคล้องกับมุมในเรขาคณิตยุคลิด อันที่จริง พวกมันแต่ละตัวเกิดขึ้นจากการแยกส่วนเชิงขั้ว^ของจำนวนเชิงซ้อนz [ ^{31 ]}

เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกพบการประยุกต์ใช้ในจลนศาสตร์ด้วยจักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์ที่เฮอร์มันน์ มินคอฟสกี แนะนำ ในปี 1908 มินคอฟสกีแนะนำคำศัพท์เช่นเส้นโลกและเวลาที่เหมาะสมเข้าสู่ฟิสิกส์เชิง คณิตศาสตร์ เขาตระหนักว่าซับแมนิโฟลด์ของเหตุการณ์หนึ่งช่วงเวลาที่เหมาะสมในอนาคตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามมิติ^{[ 32 ] [ 33 ]} ในช่วงทศวรรษ 1890 อเล็กซานเดอร์ แมคฟาร์เลนได้กำหนดแผนที่ซับแมนิโฟลด์นี้ผ่านพีชคณิตของฟิสิกส์และควอเทอร์เนียนไฮเปอร์โบลิก ของเขา แม้ว่าแมคฟาร์เลนจะไม่ได้ใช้ภาษาจักรวาลวิทยาเหมือนที่มินคอฟสกีใช้ในปี 1908 โครงสร้างที่เกี่ยวข้องในปัจจุบันเรียกว่าแบบจำลองไฮเปอร์โบโลอิดของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก

พีชคณิตระนาบที่ไม่ใช่แบบยุคลิดรองรับเรขาคณิตจลนศาสตร์ในระนาบ ตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนz = e ^{a j}สามารถแทนเหตุการณ์ในปริภูมิเวลาในหนึ่งช่วงเวลาในอนาคตของกรอบอ้างอิงที่มีความเร็วa ได้ ยิ่งไปกว่านั้น การคูณด้วยzเทียบเท่ากับ การแปลง ลอเรนซ์แบบเร่ง ความเร็วซึ่งแมปกรอบที่มีความเร็วศูนย์ไปยังกรอบ ที่ มีความเร็วa

การศึกษาจลนศาสตร์ใช้ตัวเลขคู่ เพื่อแสดงคำอธิบายแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ในเวลาและพื้นที่สัมบูรณ์ : สมการเหล่านี้เทียบเท่ากับการแมปเฉือนในพีชคณิตเชิงเส้น:${\displaystyle z=x+y\เอปไซลอน ,\ควอด \เอปไซลอน ^{2}=0,}$${\displaystyle x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.}$

ด้วยตัวเลขคู่ การแมปคือ^{[ 34 ]}${\displaystyle t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .}$

มุมมองอีกประการหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในฐานะเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดได้รับการเสนอโดยEB WilsonและGilbert LewisในProceedings of the American Academy of Arts and Sciencesในปี 1912 พวกเขาปรับปรุงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ที่แฝงอยู่ในพีชคณิตจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนให้เป็นเรขาคณิตสังเคราะห์ของข้อสมมติและการอนุมาน^{[ 35 ] [ 36 ]}

เรขาคณิตนอกระบบยุคลิดมักปรากฏให้เห็นในงานวรรณกรรมแนว วิทยาศาสตร์และแฟนตาซี

• ในปี ค.ศ. 1895 เอช.จี. เวลส์ได้ตีพิมพ์เรื่องสั้นชื่อ "กรณีอันน่าทึ่งของดวงตาของเดวิดสัน" เพื่อให้เข้าใจเรื่องนี้ได้ดียิ่งขึ้น จำเป็นต้องรู้ว่าจุดตรงข้ามบนทรงกลมนั้นถูกระบุอย่างไรในแบบจำลองระนาบวงรี ในเรื่อง ขณะที่ซิดนีย์ เดวิดสันกำลังทำงานอยู่ในห้องปฏิบัติการไฟฟ้าที่วิทยาลัยเทคนิคฮาร์โลว์ ท่ามกลางพายุฝนฟ้าคะนอง เขาเห็น "คลื่นและเรือใบที่เรียบร้อยอย่างน่าทึ่ง" เมื่อเรื่องจบลง เดวิดสันพิสูจน์ได้ว่าเขาเห็นเรือ HMS Fulmarนอกเกาะแอนติโพดส์
• เรขาคณิตนอกยุคยูคลิดบางครั้งเชื่อมโยงกับอิทธิพลของนักเขียนนิยายสยองขวัญ ในศตวรรษที่ 20 อย่าง HP Lovecraftในผลงานของเขา สิ่งที่ไม่เป็นธรรมชาติหลายอย่างปฏิบัติตามกฎเรขาคณิตเฉพาะของตนเอง ในCthulhu Mythos ของ Lovecraft เมืองที่จมอยู่ใต้น้ำR'lyehมีลักษณะเฉพาะด้วยเรขาคณิตนอกยุคยูคลิด มีการบอกเป็นนัยอย่างชัดเจนว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นเป็นผลข้างเคียงจากการไม่ปฏิบัติตามกฎธรรมชาติของจักรวาลนี้ แทนที่จะใช้แบบจำลองเรขาคณิตอื่น เนื่องจากความผิดปกติโดยกำเนิดของมันกล่าวกันว่าสามารถทำให้ผู้ที่มองเห็นมันเสียสติได้^{[ 37 ]}
• ตัวละครเอกในหนังสือ Zen and the Art of Motorcycle MaintenanceของRobert Pirsigกล่าวถึงเรขาคณิตแบบรีมันน์หลายครั้ง
• ในนวนิยายเรื่อง "พี่น้องคารามาซอฟ"ดอสโตเยฟสกีได้กล่าวถึงเรขาคณิตนอกยุคลิดผ่านตัวละครชื่ออีวาน
• นวนิยายเรื่อง Inverted Worldของคริสโตเฟอร์ พรีสต์บรรยายถึงความยากลำบากในการดำรงชีวิตบนดาวเคราะห์ที่มีรูปร่างคล้ายทรงกลม หมุน ได้
• นวนิยายเรื่อง The Number of the Beastของโรเบิร์ต ไฮน์ไลน์ใช้เรขาคณิตนอกยุคลิดเพื่ออธิบายการเคลื่อนย้ายอย่างฉับพลันผ่านห้วงเวลาและอวกาศ รวมถึงระหว่างจักรวาลคู่ขนานและจักรวาลสมมติ
• HyperRogueของ Zeno Rogue เป็น เกม โร้กไลค์ที่ตั้งอยู่บนระนาบไฮเปอร์โบลิกทำให้ผู้เล่นได้สัมผัสกับคุณสมบัติมากมายของเรขาคณิตนี้ กลไก ภารกิจ และสถานที่ต่างๆ มากมายขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกอย่างมาก^{[ 38 ]}
• ในฉากนิยายวิทยาศาสตร์ เรื่อง Renegade Legion ของ เกม สงคราม เกมสวมบทบาทและนิยายของFASA การเดินทางและการสื่อสารที่เร็วกว่าแสงเป็นไปได้ด้วยการใช้เรขาคณิตหลายมิติแบบไม่เป็นยุคลิดของ Hsieh Ho ซึ่งตีพิมพ์ในช่วงกลางศตวรรษที่ 22
• ในหนังสือ Flatterlandของเอียน สจ๊วตตัวเอกอย่างวิคตอเรีย ไลน์ ได้เดินทางไปยังโลกต่าง ๆ ที่ไม่ใช่แบบเรขาคณิตยุคลิด

• ปริภูมิยูคลิด § ปริภูมิเรขาคณิตอื่นๆ
• พื้นที่ไฮเปอร์โบลิก
• ทรงกลมเลนาร์ต
• เรขาคณิตเชิงฉาย
• การเติบโตของพื้นผิวที่ไม่เป็นไปตามแบบยุคลิด
• เส้นขนาน (เรขาคณิต) § ในเรขาคณิตนอกยุคลิด
• เรขาคณิตทรงกลม § ความสัมพันธ์กับเรขาคณิตที่คล้ายคลึงกัน

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตนอกยุคลิดในวิกิมีเดียคอมมอนส์

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตนอกยุคลิด

• โรแบร์โต โบโนลา (1912) เรขาคณิตนอกยุคยูคลิด , ศาลเปิด, ชิคาโก
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์ เอฟ. , "เรขาคณิตนอกยุคลิด" , คลังประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• "เรขาคณิตนอกยุคยูคลิด" เก็บถาวรเมื่อ 2015-07-09 ที่Wayback Machineจากสารานุกรมคณิตศาสตร์ของสมาคมคณิตศาสตร์ยุโรปและ Springer
• ปริภูมิเวลาสังเคราะห์ (Synthetic Spacetime ) คือบทสรุปของสัจพจน์ที่ใช้และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว โดยวิลสันและลูอิส จัดเก็บโดยWebCite