เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นระบบสัจพจน์ซึ่งทฤษฎีบท ทั้งหมด ("ข้อความที่เป็นจริง") ได้มาจากสัจพจน์ง่ายๆ จำนวนเล็กน้อย จนกระทั่งมีการเกิดขึ้นของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสัจพจน์เหล่านี้ถือว่าเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดในโลกทางกายภาพ ดังนั้นทฤษฎีบททั้งหมดจึงเป็นจริงเท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลของยุคลิดจากสมมติฐานไปสู่ข้อสรุปยังคงใช้ได้โดยไม่ขึ้นกับความเป็นจริงทางกายภาพ^{[ 4 ]}

ในช่วงต้นของหนังสือเล่มแรกของElementsยูคลิดได้ให้ส postulates (axioms) ห้าข้อสำหรับเรขาคณิตระนาบ โดยระบุในแง่ของการสร้าง (ตามที่แปลโดย Thomas Heath): ^{[ 5 ]}

ขอตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

1. การลากเส้นตรงจากจุด ใดจุดหนึ่ง ไปยังจุดใดจุดหนึ่ง
2. เพื่อต่อขยายเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดอย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง
3. เพื่ออธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและระยะทาง (รัศมี) ใดๆ
4. มุมฉาก ทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
5. [ สัจพจน์เส้นขนาน ]: ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมภายในด้านเดียวกันมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงทั้งสองนั้น ถ้าลากต่อไปเรื่อยๆ จะมาบรรจบกันที่ด้านที่มีมุมภายในน้อยกว่าสองมุมฉาก

แม้ว่ายูคลิดจะยืนยันอย่างชัดเจนถึงการมีอยู่ของวัตถุที่ถูกสร้างขึ้น แต่ในการให้เหตุผลของเขา เขายังสมมติโดยนัยว่าวัตถุเหล่านั้นมีเพียงหนึ่งเดียวด้วย

องค์ประกอบเหล่านี้ยังรวมถึงสิ่งต่อไปนี้อีกห้าประการ "แนวคิดทั่วไป :

1. สิ่งที่มีค่าเท่ากับสิ่งเดียวกัน ย่อมมีค่าเท่ากันกับสิ่งอื่นด้วย ( คุณสมบัติการถ่ายทอดของความสัมพันธ์แบบยุคลิด )
2. ถ้านำสิ่งเท่ากันมาบวกกับสิ่งเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเท่ากัน (คุณสมบัติการบวกของความเท่ากัน)
3. ถ้าลบสิ่งที่เท่ากันออกจากสิ่งที่เท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากัน (คุณสมบัติการลบของความเท่ากัน)
4. สิ่งที่ตรงกันย่อมเท่ากัน (สมบัติสะท้อน)
5. ส่วนรวมนั้นยิ่งใหญ่กว่าส่วนย่อย

นักวิชาการสมัยใหม่เห็นพ้องกันว่าสมมติฐานของยูคลิดไม่ได้ให้พื้นฐานตรรกะที่สมบูรณ์ตามที่ยูคลิดต้องการสำหรับการนำเสนอของเขา^{[ 6 ]}การวิเคราะห์สมัยใหม่ใช้ชุดสัจพจน์ที่กว้างขวางและสมบูรณ์ยิ่งขึ้น

สำหรับชาวโบราณ สัจพจน์เส้นขนานดูเหมือนจะไม่ชัดเจนเท่ากับสัจพจน์อื่นๆ พวกเขามุ่งหวังที่จะสร้างระบบของข้อเสนอที่แน่นอนอย่างแท้จริง และสำหรับพวกเขา ดูเหมือนว่าสัจพจน์เส้นขนานจะต้องได้รับการพิสูจน์จากข้อความที่ง่ายกว่า ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าการพิสูจน์เช่นนั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเราสามารถสร้างระบบเรขาคณิตที่สอดคล้องกัน (โดยปฏิบัติตามสัจพจน์อื่นๆ) ซึ่งสัจพจน์เส้นขนานเป็นจริง และระบบอื่นๆ ที่สัจพจน์เส้นขนานเป็นเท็จ^{[ 7 ]}ยูคลิดเองดูเหมือนจะพิจารณาว่ามันแตกต่างจากสัจพจน์อื่นๆ ในเชิงคุณภาพ ดังที่เห็นได้จากการจัดระเบียบของElements : ข้อเสนอ 28 ข้อแรกของเขาเป็นข้อเสนอที่สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้ สัจพจน์เส้นขนาน

สามารถกำหนดสัจพจน์ทางเลือกได้หลายแบบซึ่งมีความสมมูลทางตรรกะกับสัจพจน์ขนาน (ในบริบทของสัจพจน์อื่นๆ) ตัวอย่างเช่นสัจพจน์ของเพลย์แฟร์กล่าวว่า:

ในระนาบ หนึ่งๆ เมื่อลากเส้น ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงที่กำหนด จะสามารถลากเส้นได้มากที่สุดเพียงเส้นเดียวเท่านั้น ซึ่งเส้นนั้นจะไม่ตัดกับเส้นตรงที่กำหนดเลย

เงื่อนไข "อย่างมากที่สุด" นั้นเพียงพอแล้ว เนื่องจากสามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ที่เหลืออยู่ว่ามีเส้นขนานอย่างน้อยหนึ่งเส้น

เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นแบบสร้างสรรค์สัจพจน์ข้อ 1, 2, 3 และ 5 ยืนยันการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของรูปทรงเรขาคณิตบางรูป และการยืนยันเหล่านี้มีลักษณะเป็นแบบสร้างสรรค์ กล่าวคือ เราไม่เพียงแต่ได้รับแจ้งว่าสิ่งต่างๆ มีอยู่จริง แต่ยังได้รับวิธีการสร้างสิ่งเหล่านั้นโดยใช้เพียงแค่เข็มทิศและไม้บรรทัดที่ไม่มีเครื่องหมาย [ ^{8 ]}ในแง่นี้ เรขาคณิตแบบยุคลิดมีความเป็นรูปธรรมมากกว่าระบบสัจพจน์สมัยใหม่หลายระบบ เช่น^{ทฤษฎี}เซตซึ่งมักจะยืนยันการมีอยู่ของวัตถุโดยไม่บอกวิธีการสร้าง หรือแม้กระทั่งยืนยันการมีอยู่ของวัตถุที่ไม่สามารถสร้างได้ภายในทฤษฎี^{[ 9 ]}พูดอย่างเคร่งครัด เส้นบนกระดาษเป็นแบบจำลองของวัตถุที่กำหนดไว้ภายในระบบที่เป็นทางการ มากกว่าจะเป็นตัวอย่างของวัตถุเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น เส้นตรงแบบยุคลิดไม่มีความกว้าง แต่เส้นที่วาดจริงใดๆ ก็จะมีความกว้าง แม้ว่านักคณิตศาสตร์สมัยใหม่เกือบทั้งหมดจะถือว่าการพิสูจน์แบบไม่สร้างสรรค์มีความถูกต้องเท่ากับการพิสูจน์แบบสร้างสรรค์ แต่ก็มักจะถูกมองว่าไม่สง่างามเข้าใจง่าย หรือมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ การพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ของยูคลิดมักจะแทนที่การพิสูจน์ที่ไม่ใช่เชิงสร้างสรรค์ที่ผิดพลาด เช่น การพิสูจน์ของพีทาโกเรียนบางกรณีที่ถือว่าจำนวนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งมักจะต้องใช้ข้อความเช่น "หาค่าร่วมมากที่สุดของ..." ^{[ 10 ]}

ยูคลิดมักใช้การพิสูจน์โดยการขัดแย้ง^{[ 11 ]}

โดยทั่วไป จุดต่างๆ จะถูกตั้งชื่อโดยใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ ส่วนรูปทรงอื่นๆ เช่น เส้นตรง สามเหลี่ยม หรือวงกลม จะถูกตั้งชื่อโดยการระบุจำนวนจุดที่เพียงพอที่จะแยกแยะรูปทรงนั้นออกจากรูปทรงที่เกี่ยวข้องได้อย่างชัดเจน เช่น สามเหลี่ยม ABC โดยทั่วไปจะเป็นสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด A, B และ C

มุมที่มีผลรวมเป็นมุมฉากเรียกว่ามุมประกอบ มุมประกอบเกิดขึ้นเมื่อรังสีหนึ่งมีจุดยอดร่วมกันกับรังสีอีกเส้นหนึ่ง และชี้ไปในทิศทางที่อยู่ระหว่างรังสีสองเส้นเดิมที่ประกอบกันเป็นมุมฉาก จำนวนรังสีที่อยู่ระหว่างรังสีสองเส้นเดิมนั้นมีเป็นอนันต์

มุมที่มีผลรวมเท่ากับมุมตรงเรียกว่ามุมเสริมกัน มุมเสริมกันเกิดขึ้นเมื่อรังสีหนึ่งมีจุดยอดร่วมกันกับรังสีอีกอัน และชี้ไปในทิศทางที่อยู่ระหว่างรังสีสองอันเดิมที่ทำให้เกิดมุมตรง (มุม 180 องศา) จำนวนรังสีที่อยู่ระหว่างรังสีสองอันเดิมนั้นมีเป็นอนันต์

ในศัพท์สมัยใหม่ มุมต่างๆ มัก จะวัดเป็นองศาหรือเรเดียน

ตำราเรียนสมัยใหม่มักจะกำหนดรูปทรงที่แตกต่างกันออกไป เช่นเส้นตรง (อนันต์), รังสี (กึ่งอนันต์) และส่วนของเส้นตรง (มีความยาวจำกัด) แต่ยูคลิดนั้น แทนที่จะกล่าวถึงรังสีว่าเป็นวัตถุที่ทอดยาวไปถึงอนันต์ในทิศทางเดียว เขามักจะใช้ถ้อยคำเช่น "ถ้าเส้นตรงนั้นมีความยาวเพียงพอ" แม้ว่าบางครั้งเขาจะกล่าวถึง "เส้นตรงอนันต์" ก็ตาม สำหรับยูคลิดแล้ว "เส้นตรง" อาจเป็นได้ทั้งเส้นตรงหรือเส้นโค้ง และเขาใช้คำที่เฉพาะเจาะจงกว่าคือ "เส้นตรง" เมื่อจำเป็น

สะพานลา ( pons asinorum ) ระบุว่าในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานจะเท่ากัน และหากลากเส้นตรงที่เท่ากันต่อไปอีก มุมใต้ฐานก็จะเท่ากัน [ ^{12 ] ชื่อ}นี้อาจมาจากบทบาทที่ใช้บ่อยในการทดสอบสติปัญญาของผู้อ่านในElementsและเป็นสะพานเชื่อมไปสู่ข้อเสนอที่ยากขึ้นที่ตามมา นอกจากนี้ยังอาจตั้งชื่อเช่นนี้เพราะรูปทรงเรขาคณิตคล้ายกับสะพานสูงชันที่ลาที่เดินมั่นคงเท่านั้นที่จะข้ามได้^{[ 13 ]}

รูปแบบความสอดคล้องสี่แบบ: SAS, ASA, AAS และกรณี SSA ที่คลุมเครือ (ด้านล่างขวา) ซึ่งสามารถสร้างสามเหลี่ยมที่แตกต่างกันสองแบบได้

รูปสองรูปทางซ้ายนั้นเท่ากันทุกประการ รูปที่สามคล้ายคลึงกับสองรูปแรก และรูปสุดท้ายไม่เหมือนทั้งสองอย่าง ความเท่ากันทุกประการจะเปลี่ยนแปลงตำแหน่งและทิศทาง แต่รักษาระยะทางและมุมไว้ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าค่าคงที่

รูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้ (หนังสือเล่มที่ 1 ข้อ 4, 8 และ 26):

• SSS — ทั้งสามด้านเท่ากัน
• SAS — ด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน
• ASA — มุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างมุมทั้งสองเท่ากัน

รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันสามมุม ( AAA ) จะคล้ายกัน แต่ไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกประการ ในทำนองเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้านและมุมที่ไม่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง ( SSA ) ก็ไม่รับประกันว่าจะเท่ากันทุกประการเสมอไป

ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมเท่ากับมุมเส้นตรง:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$^{[ 14 ]}

นั่นหมายความว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีมุมภายใน 60° อยู่สามมุม และสามเหลี่ยมทุกรูปจะมีมุมแหลมอย่างน้อยสองมุมและมุมป้านหรือมุมฉาก อย่างมากหนึ่ง มุม

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอันโด่งดัง(เล่ม 1 ข้อเสนอที่ 47) กล่าวว่า ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาวaและbและด้านตรงข้ามมุมฉากยาวc :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากทั้งสองข้าง

ทฤษฎีบทของทาเลสซึ่งตั้งชื่อตามทาเลสแห่งมิเลตุสกล่าวว่า ถ้าจุด A, B และ C อยู่บนวงกลมที่มี AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางแล้ว:

$มุม ABC = 90°$

แคนเตอร์สันนิษฐานว่าธาเลสพิสูจน์สิ่งนี้โดยใช้ยูคลิด เล่ม 1 ข้อ 32 ตามแบบยูคลิด เล่ม 3 ข้อ 31 ^{[ 15 ] [ 16 ]}

ทฤษฎีบทของปโตเลมีกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่อยู่ภายในวงกลม (รูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่อยู่ภายในวงกลม) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส ABCD:

${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA}$

กล่าวคือ ผลคูณของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของผลคูณของด้านตรงข้าม ทฤษฎีบทนี้เป็นการขยายความของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งได้มาจากกรณีพิเศษที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปโตเลมี ในหนังสืออัลมาเกสต์ได้ใช้ผลลัพธ์นี้ในการสร้างตารางคอร์ด ของเขา ซึ่งเป็นต้นแบบของตารางตรีโกณมิติสมัยใหม่

หนังสือเล่มที่ 13 ของElementsซึ่งเป็นหนังสือเล่มสุดท้าย อุทิศให้กับการสร้างและการจำแนกรูปทรงเรขาคณิตเพลโตได้แก่ ทรงสี่ หน้า ทรงลูกบาศก์ทรงแปด หน้า ทรงสิบสองหน้าและทรงยี่สิบหน้าซึ่งแต่ละรูปเป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากันทุกประการและมาบรรจบกันในลักษณะเดียวกันที่ทุกจุดยอด ข้อเสนอ 13–17 สร้างรูปทรงเรขาคณิตทั้งห้ารูปนี้ตามลำดับ และสำหรับแต่ละรูป ยูคลิดจะหาอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบต่อความยาวขอบ^{[ 17 ]}ข้อเสนอ 18 โต้แย้งว่าไม่มีทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนูนอื่นใดอีก^{[ 18 ]}

ในศัพท์สมัยใหม่ พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบจะแปรผันตรงกับกำลังสองของมิติเชิงเส้นใดๆ และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิตสามมิติจะแปรผันตรงกับกำลังสาม:

${\displaystyle A\พร็อพโต L^{2},\qquad V\พร็อพโต L^{3}}$

ยูคลิดพิสูจน์ผลลัพธ์เหล่านี้ในกรณีพิเศษต่างๆ เช่น พื้นที่ของวงกลม^{[ 19 ]}และปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน^{[ 20 ]} ยูคลิดกำหนดค่าคงที่สัดส่วนที่เกี่ยวข้องบางส่วน แต่ไม่ใช่ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น อาร์คิมิดีสผู้สืบทอดของเขาเป็น ผู้ ^{พิสูจน์}ว่าทรงกลมมีปริมาตร2/3ของทรงกระบอกที่ล้อมรอบ^{[ 21} ]

• การวิเคราะห์ความเค้น : การวิเคราะห์ความเค้นโดยใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นสิ่งสำคัญในการกำหนดการกระจายความเค้นในชิ้นส่วนทางกล ซึ่งจำเป็นต่อการรับประกัน ความสมบูรณ์ และความทนทานของโครงสร้าง

• การออกแบบเฟือง : เฟือง - การออกแบบเฟือง ซึ่งเป็นองค์ประกอบสำคัญในระบบกลไก หลายระบบ อาศัยเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นอย่างมาก เพื่อให้แน่ใจว่ารูปทรงฟันเฟืองและการเข้ากันของ ฟันเฟืองนั้นเหมาะสม สำหรับการส่งกำลัง อย่างมี ประสิทธิภาพ

• การออกแบบเครื่องแลกเปลี่ยนความร้อน:ในวิศวกรรมความร้อนนั้น เรขาคณิตแบบยุคลิดถูกนำมาใช้ในการออกแบบเครื่องแลกเปลี่ยนความร้อนโดยที่รูปทรงเรขาคณิตมีอิทธิพลอย่างมากต่อประสิทธิภาพทางความร้อนดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ เครื่องแลกเปลี่ยนความร้อนแบบท่อและเปลือกและเครื่องแลกเปลี่ยนความร้อนแบบแผ่น

• การออกแบบเลนส์ : เลนส์ - ในวิศวกรรมทัศนศาสตร์ เรขาคณิตแบบยุคลิดมีความสำคัญอย่างยิ่งในการออกแบบเลนส์ โดยรูปทรงเรขาคณิตที่แม่นยำจะเป็นตัวกำหนดคุณสมบัติการโฟกัสทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตวิเคราะห์การโฟกัสของแสงโดยเลนส์และกระจก

• การวิเคราะห์การสั่นสะเทือน : เรขาคณิตแบบยูคลิดมีความสำคัญอย่างยิ่งในการวิเคราะห์และทำความเข้าใจการสั่นสะเทือนในระบบกลไกช่วยในการออกแบบระบบที่สามารถทนทานหรือใช้ประโยชน์จากการสั่นสะเทือน เหล่านี้ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

• การออกแบบปีก : การออกแบบปีกเครื่องบิน - การประยุกต์ใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดในอากาศพลศาสตร์นั้นเห็นได้ชัดในการออกแบบปีกเครื่องบิน ปีกเครื่องบินและปีกใต้น้ำซึ่งรูปทรงเรขาคณิตส่งผลโดยตรงต่อลักษณะการยกและแรงต้าน

• วงโคจรของดาวเทียม : เรขาคณิตแบบยุคลิดช่วยในการคำนวณและทำนายวงโคจรของดาวเทียมซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับภารกิจอวกาศและ การปฏิบัติงาน ของดาวเทียม ที่ประสบความสำเร็จ ดูเพิ่มเติมที่ดาราศาสตร์พลศาสตร์กลศาสตร์ท้องฟ้าและ วง โคจรวงรี

• การสร้างแบบจำลอง 3 มิติ : ใน ระบบ CAD (การออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย)เรขาคณิตแบบยูคลิดเป็นพื้นฐานสำคัญในการสร้างแบบจำลอง 3 มิติที่แม่นยำของชิ้นส่วนทางกล แบบจำลองเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแสดงภาพและทดสอบการออกแบบก่อนการผลิต

• การออกแบบและการผลิต : CAM (การผลิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย)ส่วนใหญ่ใช้เรขาคณิตแบบยุคลิด เรขาคณิตที่ใช้ในการออกแบบใน CAD/CAM โดยทั่วไปประกอบด้วยรูปทรงที่ล้อมรอบด้วยระนาบทรงกระบอกกรวยทอรัสและรูปทรงยุคลิดอื่นๆ ที่คล้ายกัน ปัจจุบัน CAD/CAM มีความสำคัญอย่างยิ่งในการออกแบบผลิตภัณฑ์หลากหลายประเภท ตั้งแต่รถยนต์และเครื่องบินไปจนถึงเรือและสมาร์ทโฟน

• วิวัฒนาการของวิธีการเขียนแบบ : ในอดีต เรขาคณิตแบบยุคลิดขั้นสูง รวมถึงทฤษฎีบทต่างๆ เช่นทฤษฎีบทของปาสคาลและทฤษฎีบทของบริอองชงเป็นส่วนสำคัญของวิธีการเขียนแบบ อย่างไรก็ตาม ด้วยการถือกำเนิดของระบบ CAD สมัยใหม่ ความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีบทเหล่านี้จึงมีความจำเป็นน้อยลงในกระบวนการออกแบบและการผลิตในปัจจุบัน

• การ ออกแบบแผงวงจรพิมพ์ ( PCB ) : การออกแบบแผงวงจรพิมพ์ (PCB) ใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดเพื่อการจัดวางและการเดินสายของชิ้นส่วนอย่างมีประสิทธิภาพ ทำให้มั่นใจได้ถึงการทำงานในขณะที่ใช้พื้นที่อย่างเหมาะสมการจัดวางชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์บน PCB อย่างมีประสิทธิภาพมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการลดการรบกวนของสัญญาณและเพิ่ม ประสิทธิภาพ ของวงจร

• การออกแบบเสาอากาศ:เรขาคณิตแบบยุคลิดช่วยในการออกแบบเสาอากาศ โดยการจัดเรียงเชิงพื้นที่และมิติมีผลโดยตรงต่อประสิทธิภาพของเสาอากาศและชุดเสาอากาศในการส่งและรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

• ทฤษฎีสนาม : การไหลศักย์เชิงซ้อน - ในการศึกษาเกี่ยวกับ สนาม การไหลแบบไร้ความหนืดและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเรขาคณิตแบบยุคลิดช่วยในการมองเห็นภาพและแก้ปัญหาการไหลศักย์ ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำความเข้าใจปฏิสัมพันธ์ระหว่างสนาม ความเร็วของไหลและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในพื้นที่สามมิติ ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยสนามโซเลนอยด์แบบไร้การหมุน หรือ สนามเวก เตอร์อนุรักษ์

• การวิเคราะห์ระบบควบคุม : ระบบควบคุม - การประยุกต์ใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดในทฤษฎีการควบคุมช่วยในการวิเคราะห์และออกแบบระบบควบคุมโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการทำความเข้าใจและเพิ่มประสิทธิภาพเสถียรภาพและการตอบสนองของ ระบบ

• เครื่องมือคำนวณ : เมทริกซ์ จาโคเบียน - เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นส่วนสำคัญในการใช้เมทริกซ์จาโคเบียนสำหรับการแปลงและระบบควบคุมใน สาขาวิศวกรรม เครื่องกลและวิศวกรรมไฟฟ้าโดยให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับพฤติกรรมและคุณสมบัติของระบบ เมทริกซ์จาโคเบียนทำหน้าที่เป็นเมทริกซ์ออกแบบ เชิงเส้น ในการถดถอย ทางสถิติ และการปรับเส้นโค้งให้เหมาะสม ดูวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดแบบไม่เชิงเส้น เมทริกซ์จาโคเบียนยังใช้ในเมทริกซ์สุ่มโมเมนต์สถิติและการวินิจฉัยอีก ด้วย

อาร์คิมิดีส ( ประมาณ287 ปีก่อนคริสตกาล– ประมาณ212 ปีก่อนคริสตกาล ) บุคคลที่มีสีสันซึ่งมีเรื่องเล่าทางประวัติศาสตร์มากมายบันทึกไว้ ได้รับการจดจำร่วมกับยูคลิดในฐานะหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัยโบราณ แม้ว่ารากฐานของงานของเขาจะถูกวางไว้โดยยูคลิด แต่งานของเขานั้นแตกต่างจากของยูคลิดตรงที่เชื่อกันว่าเป็นงานดั้งเดิมทั้งหมด^{[ 25 ]}เขาพิสูจน์สมการสำหรับปริมาตรและพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ ในสองและสามมิติ และประกาศคุณสมบัติของอาร์คิมิดีสของจำนวนจำกัด 

อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กา ( ประมาณ240 ปีก่อนคริสตกาล– ประมาณ190 ปีก่อนคริสตกาล ) เป็นที่รู้จักกันดีในด้านการศึกษาเกี่ยวกับภาคตัดกรวย 

เรเน่ เดส์การ์ต (1596–1650) พัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งเป็นวิธีการทางเลือกในการกำหนดรูปแบบเรขาคณิต โดยมุ่งเน้นที่การเปลี่ยนเรขาคณิตให้เป็นพีชคณิต^{[ 26 ]}

ในแนวทางนี้ จุดบนระนาบจะถูกแทนด้วย พิกัด คาร์ทีเซียน ( x , y ) เส้นตรงจะถูกแทนด้วยสมการของเส้นตรง และอื่นๆ

ในแนวทางดั้งเดิมของยูคลิดทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้มาจากสัจพจน์ของยูคลิด ส่วนในแนวทางของคาร์ทีเซียน สัจพจน์เหล่านั้นคือสัจพจน์ของพีชคณิต และสมการที่แสดงทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็คือคำนิยามของพจน์หนึ่งในสัจพจน์ของยูคลิด ซึ่งในที่นี้ถือว่าเป็นทฤษฎีบทแล้ว

สมการ

${\displaystyle |PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,}$

การกำหนดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดP = ( p , p ) และQ = ( q , q ) เรียกว่าเมตริกแบบยุคลิดและเมตริกอื่นๆ กำหนดเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

^{ในแง่ของเรขาคณิตวิเคราะห์ ข้อจำกัดของเรขาคณิตคลาสสิก ที่ ใช้เฉพาะวงเวียนและไม้บรรทัด หมายถึงข้อจำกัดที่ใช้ได้เฉพาะ สม}การอันดับหนึ่งและอันดับสอง เช่นy = 2x + 1 (เส้นตรง) หรือx² + y² = 7 (วงกลม)

นอกจากนี้ ในศตวรรษที่ 17 Girard Desarguesซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีทัศนียวิทยาได้นำเสนอแนวคิดของจุด เส้น และระนาบในอุดมคติที่อนันต์ ผลลัพธ์นี้สามารถถือได้ว่าเป็นเรขาคณิตทั่วไปประเภทหนึ่งเรขาคณิตเชิงฉายแต่ยังสามารถใช้เพื่อสร้างการพิสูจน์ในเรขาคณิตยุคลิดธรรมดาซึ่งจำนวนกรณีพิเศษจะลดลง^{[ 27 ]}

นักเรขาคณิตในศตวรรษที่ 18 พยายามอย่างหนักเพื่อกำหนดขอบเขตของระบบยูคลิด หลายคนพยายามพิสูจน์สัจพจน์ข้อที่ห้าจากสัจพจน์สี่ข้อแรกแต่ไม่สำเร็จ ภายในปี 1763 มีการตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่แตกต่างกันอย่างน้อย 28 ฉบับ แต่ทั้งหมดก็พบว่าไม่ถูกต้อง^{[ 28 ]}

ก่อนหน้าช่วงเวลานี้ นักเรขาคณิตยังพยายามกำหนดว่าการสร้างใดบ้างที่สามารถทำได้ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น ปัญหาการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติภายในทฤษฎี เนื่องจากสัจพจน์อ้างถึงการดำเนินการเชิงสร้างสรรค์ที่สามารถทำได้ด้วยเครื่องมือเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม ความพยายามหลายศตวรรษล้มเหลวในการหาทางแก้ปัญหานี้ จนกระทั่งPierre Wantzelได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ในปี 1837 ว่าการสร้างดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ การสร้างอื่นๆ ที่พิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ ได้แก่การเพิ่มขนาดลูกบาศก์เป็นสองเท่าและการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากวงกลมในกรณีของการเพิ่มขนาดลูกบาศก์เป็นสองเท่า ความเป็นไปไม่ได้ของการสร้างนั้นเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าวิธีการใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเกี่ยวข้องกับสมการที่มีลำดับเป็นกำลังสองจำนวนเต็ม^{[ 29 ]}ในขณะที่การเพิ่มขนาดลูกบาศก์เป็นสองเท่าต้องใช้การแก้สมการลำดับที่สาม

ออยเลอร์ได้กล่าวถึงการขยายความของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่เรียกว่า เรขาคณิตเชิงเส้นตรง ( affine geometry ) ซึ่งยังคงรักษาสัจพจน์ข้อที่ห้าไว้โดยไม่เปลี่ยนแปลง ในขณะที่ลดทอนสัจพจน์ข้อที่สามและข้อที่สี่ในลักษณะที่ขจัดแนวคิดเรื่องมุม (ซึ่งทำให้สามเหลี่ยมมุมฉากไม่มีความหมาย) และความเท่ากันของความยาวของส่วนของเส้นตรงโดยทั่วไป (ซึ่งทำให้วงกลมไม่มีความหมาย) ในขณะที่ยังคงรักษาแนวคิดเรื่องความขนานเป็นความสัมพันธ์สมมูลระหว่างเส้นตรง และความเท่ากันของความยาวของส่วนของเส้นตรงที่ขนานกัน (ดังนั้นส่วนของเส้นตรงจึงยังคงมีจุดกึ่งกลาง)

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 คาร์โนต์และโมเบียสได้พัฒนาการใช้มุมที่มีเครื่องหมายและส่วนของเส้นตรงอย่างเป็นระบบเพื่อทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นและเป็นเอกภาพ^{[ 30 ]}

มิติที่สูงกว่า

ในช่วงทศวรรษ 1840 วิลเลียม โรวัน แฮมิลตันได้พัฒนาควอเทอร์ เนียน และจอ ห์น ที . เกรฟส์และอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ได้พัฒนาอ็อกโทเนียน สิ่งเหล่านี้คือพีชคณิตแบบมีบรรทัดฐานซึ่งขยายจำนวนเชิงซ้อนต่อมาเป็นที่เข้าใจกันว่าควอเทอร์เนียนยังเป็นระบบเรขาคณิตแบบยุคลิดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนจริงสี่พิกัด^{[ 31 ]}เคย์ลีย์ใช้ควอเทอร์เนียนเพื่อศึกษา การหมุนในปริภูมิ ยุคลิด 4 มิติ^{[ 32 ]}

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 ลุดวิก ชลาฟลีได้พัฒนาแนวคิดทั่วไปของปริภูมิยุคลิดโดยขยายเรขาคณิตยุคลิดไปยังมิติที่สูงขึ้นเขาได้กำหนด นิยาม ของโพลี สกีม ซึ่งต่อมาเรียกว่าโพลีโทปซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมและทรงหลายเหลี่ยมในมิติที่สูงขึ้นเขาได้พัฒนาทฤษฎีของพวกมันและค้นพบโพลีโทปปกติทั้งหมด ได้แก่ ...${\displaystyle n}$รูปทรงเรขาคณิตหลายมิติที่เทียบเคียงได้กับรูปหลายเหลี่ยมปกติและทรงหลายเหลี่ยมเพลโตเขาพบว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติหกรูปในมิติสี่และสามรูปในมิติที่สูงกว่าทั้งหมด

โพลีโทปนูนปกติ 4 มิติ
กลุ่มสมมาตร	เอ	บี		เอฟ	เอช
ชื่อ	5 เซลล์ ไฮเปอร์เททราเฮดรอน 5 จุด	16 เซลล์ ไฮเปอร์ออกตาเฮดรอน 8 จุด	8 เซลล์ ไฮเปอร์คิวบ์ 16 จุด	24 เซลล์ 24 จุด	600 เซลล์ ไฮเปอร์ไอโคซาเฮดรอน 120 จุด	120 เซลล์ ไฮเปอร์โดเดคาเฮดรอน 600 จุด
สัญลักษณ์ Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
กระจกค็อกซ์เตอร์
มุมไดเฮดรัลสะท้อน	𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠​​​​​	𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 4 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠​​​​​	𝝅 / 4 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠​​​​​	𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 4 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠​​​​​	𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠​​​​​	𝝅 / 5 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ 𝝅 / 2 ⁠​​​​​
กราฟ
จุดยอด	5 ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า	ทรงแปดเหลี่ยม 8	16 เตตระเฮดรัล	24 ลูกบาศก์เมตร	120 ไอโคซาเฮดรอล	ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า 600
ขอบ	10 สามเหลี่ยม	24 ตารางเมตร	32 สามเหลี่ยม	96 สามเหลี่ยม	720 รูปห้าเหลี่ยม	1200 สามเหลี่ยม
ใบหน้า	สามเหลี่ยม 10 รูป	สามเหลี่ยม 32 รูป	24 ช่องสี่เหลี่ยม	สามเหลี่ยม 96 รูป	1200 สามเหลี่ยม	รูปห้าเหลี่ยม 720 รูป
เซลล์	5 เตตระเฮดรา	16 เตตระเฮดรา	8 ลูกบาศก์	24 ทรงแปดเหลี่ยม	เตตระเฮดรา 600	120 ทรงสิบสองเหลี่ยม
โทริ	1 5-เตตระเฮดรอน	2 8-เตตระเฮดรอน	2 4-ลูกบาศก์	4 6-ออกตาเฮดรอน	20 30-เตตระเฮดรอน	12 10-dodecahedron
จารึก	120 ใน 120 เซลล์	675 ใน 120 เซลล์	2 16 เซลล์	3 8 เซลล์	25 24 เซลล์	10,600 เซลล์
รูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่		2 ช่องสี่เหลี่ยม x 3	สี่เหลี่ยมผืนผ้า 4 x 4	หกเหลี่ยม 4 อัน x 4 อัน	12 รูปสิบเหลี่ยม x 6	รูปหกเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอ 100 ชิ้น x 4
รูปหลายเหลี่ยมเพทรี	1 รูปห้าเหลี่ยม x 2	1 แปดเหลี่ยม x 3	2 รูปแปดเหลี่ยม x 4	2 สิบสองเหลี่ยม x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
รัศมียาว	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
ความยาวขอบ	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
รัศมีสั้น	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
พื้นที่	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
ปริมาณ	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-เนื้อหา	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{ฉบับย่อ}}\times {\text{เล่ม}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

Schläfli ทำงานชิ้นนี้ในที่ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก และงานฉบับเต็มได้รับการตีพิมพ์หลังจากที่เขาเสียชีวิตแล้วในปี 1901 งานชิ้นนี้แทบไม่มีอิทธิพลใดๆ จนกระทั่งถูกค้นพบอีกครั้งและบันทึกอย่างครบถ้วนในปี 1948โดยHSM Coxeter

ในปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ดได้นำเสนอสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตโดยรวมควอเทอร์เนียนของแฮมิลตันเข้ากับพีชคณิตของเฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ และเปิดเผยธรรมชาติเชิงเรขาคณิตของระบบเหล่านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสี่มิติ การดำเนินการของ พีชคณิตคลิฟฟอร์ดมีผลในการสะท้อน การหมุน การเลื่อน และการแมปวัตถุเชิงเรขาคณิตที่กำลังถูกจำลองไปยังตำแหน่งใหม่ทอรัสคลิฟฟอร์ดบนพื้นผิวของทรงกลม 3 มิติเป็นการฝังแบบแบนที่ง่ายที่สุดและสมมาตรที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนของวงกลมสองวง (ในความหมายเดียวกับที่พื้นผิวของทรงกระบอกนั้น "แบน")

ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ เกี่ยวข้องกับปริภูมิ -เวลาสี่มิติหรือปริภูมิมิงคอฟสกีซึ่งไม่ใช่ปริภูมิแบบยุคลิดนี่แสดงให้เห็นว่าเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ซึ่งถูกนำเสนอเมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมาเพื่อแสดงให้เห็นว่า ไม่สามารถพิสูจน์ สัจพจน์เส้นขนานได้นั้น ก็มีประโยชน์ในการอธิบายโลกทางกายภาพเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม “ส่วนพื้นที่” สามมิติของพื้นที่มินคอฟสกีนั้นยังคงเป็นพื้นที่ของเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่เรขาคณิตของส่วนพื้นที่ของกาลอวกาศไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด^{[ 37 ]}ตัวอย่างเช่น หากสร้างสามเหลี่ยมจากรังสีแสงสามเส้น โดยทั่วไปแล้วมุมภายในจะไม่รวมกันได้ 180 องศาเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สนามโน้มถ่วงที่ค่อนข้างอ่อน เช่น ของโลกหรือดวงอาทิตย์ จะถูกแทนด้วยเมตริกที่ใกล้เคียงกับเรขาคณิตแบบยุคลิด แต่ไม่แน่นอน จนกระทั่งศตวรรษที่ 20 ยังไม่มีเทคโนโลยีใดที่สามารถตรวจจับความเบี่ยงเบนของรังสีแสงจากเรขาคณิตแบบยุคลิดได้ แต่ไอน์สไตน์ได้ทำนายว่าความเบี่ยงเบนดังกล่าวจะมีอยู่จริง ต่อมาได้รับการยืนยันโดยการสังเกตการณ์ เช่น การโค้งงอเล็กน้อยของแสงดาวโดยดวงอาทิตย์ระหว่างสุริยุปราคาในปี 1919 และการพิจารณาดังกล่าวเป็นส่วนสำคัญของซอฟต์แวร์ที่ทำงานในระบบGPS ในปัจจุบัน ^{[ 38 ]}

บางครั้งยูคลิดแยกแยะอย่างชัดเจนระหว่าง "เส้นจำกัด" (เช่น สัจพจน์ข้อ 2) และ " เส้น อนันต์ " (หนังสือเล่มที่ 1 ข้อเสนอที่ 12) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วเขาจะไม่ทำการแยกแยะเช่นนั้นเว้นแต่จำเป็น สัจพจน์ไม่ได้อ้างถึงเส้นอนันต์อย่างชัดเจน แม้ว่าตัวอย่างเช่น นักวิจารณ์บางคนตีความสัจพจน์ข้อ 3 การมีอยู่ของวงกลมที่มีรัศมีใดๆ ก็ตาม ว่าหมายความว่าพื้นที่เป็นอนันต์^{[ 42 ]}

แนวคิดเรื่องปริมาณอนันต์เล็ก ๆเคยถูกอภิปรายอย่างกว้างขวางโดยสำนักอีเลียติก มาก่อน แต่ไม่มีใครสามารถวางแนวคิดนี้บนพื้นฐานตรรกะที่มั่นคงได้ ทำให้เกิดความขัดแย้ง เช่นความขัดแย้งของซีโนซึ่งยังไม่ได้รับการแก้ไขให้เป็นที่น่าพอใจโดยทั่วไป ยูคลิดใช้วิธีการหาค่าโดยประมาณแทนที่จะใช้ปริมาณอนันต์เล็ก ๆ^{[ 44 ]}

นักวิจารณ์โบราณรุ่นหลัง เช่นโพรคลัส (ค.ศ. 410–485) ถือว่าคำถามมากมายเกี่ยวกับอนันต์เป็นประเด็นที่ต้องพิสูจน์ และตัวอย่างเช่น โพรคลัสอ้างว่าพิสูจน์ได้ว่าเส้นตรงสามารถแบ่งได้เป็นอนันต์ โดยอาศัยการพิสูจน์โดยการขัดแย้ง ซึ่งเขาพิจารณากรณีที่จำนวนจุดเป็นเลขคู่และเลขคี่ที่ประกอบกันเป็นเส้นตรงนั้น^{[ 45 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veroneseและคนอื่นๆ ได้สร้างผลงานที่เป็นที่ถกเถียงเกี่ยวกับ แบบจำลองเรขาคณิตแบบยุคลิด ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน ซึ่งระยะห่างระหว่างจุดสองจุดอาจเป็นอนันต์หรือเล็กน้อยมาก ตามความหมาย ของ นิวตัน - ไลบ์นิซ^{[ 46 ]}ห้าสิบปีต่อมาAbraham Robinsonได้วางรากฐานทางตรรกะที่เข้มงวดสำหรับงานของ Veronese ^{[ 47 ]}

นักเรขาคณิตโบราณอาจพิจารณาว่าสมมติฐานเส้นขนาน – ที่ว่าเส้นขนานสองเส้นจะไม่ตัดกัน – มีความแน่นอนน้อยกว่าสมมติฐานอื่นๆ เนื่องจากเป็นการกล่าวถึงบริเวณในอวกาศที่อยู่ห่างไกลอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จึงไม่สามารถตรวจสอบทางกายภาพได้^{[ 48 ]}

การกำหนดสูตรสมัยใหม่ของการพิสูจน์โดยการอุปมานไม่ได้พัฒนาขึ้นจนกระทั่งศตวรรษที่ 17 แต่นักวิจารณ์บางคนในภายหลังถือว่าการพิสูจน์โดยการอุปมานนั้นแฝงอยู่ในการพิสูจน์บางอย่างของยูคลิด เช่น การพิสูจน์จำนวนเฉพาะที่ไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 49 ]}

ปรากฏการณ์ที่ดูเหมือนจะขัดแย้งกันซึ่งเกี่ยวข้องกับอนุกรมอนันต์ เช่นปรากฏการณ์ของซีโน มีมาก่อนยุคของยูคลิด ยูคลิดหลีกเลี่ยงการอภิปรายในเรื่องนี้ ตัวอย่างเช่น เขาให้สูตรสำหรับผลรวมย่อยของอนุกรมเรขาคณิตใน IX.35 โดยไม่ได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่จะให้จำนวนพจน์เป็นอนันต์

ยูคลิดมักใช้วิธีการพิสูจน์โดยการขัดแย้งดังนั้นการนำเสนอเรขาคณิตแบบยูคลิดแบบดั้งเดิมจึงถือว่าตรรกะแบบคลาสสิกซึ่งข้อเสนอทุกข้อเป็นจริงหรือเท็จ กล่าวคือ สำหรับข้อเสนอใดๆ P ข้อเสนอ "P หรือไม่ P" จะเป็นจริงโดยอัตโนมัติ^{[ 50 ]}การพิสูจน์โดยการขัดแย้ง (หรือ วิธี การลดทอนสู่ความไร้สาระ ) ขึ้นอยู่กับหลักการสำคัญสองประการของตรรกะแบบคลาสสิก ได้แก่กฎแห่งความขัดแย้งและกฎแห่งการยกเว้นตรงกลางในแง่ง่ายๆ กฎแห่งความขัดแย้งกล่าวว่า ถ้า S เป็นข้อความใดๆ แล้ว S และความขัดแย้ง (นั่นคือ การปฏิเสธ) ของ S ไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันได้และกฎแห่งการยกเว้นตรงกลางระบุว่าS หรือการปฏิเสธของ S ต้องเป็นจริง (นั่นคือ ไม่มีความเป็นไปได้ที่สามหรือตรงกลาง) ดังนั้นวิธีการนี้จึงประกอบด้วยการสมมติ (โดยทางสมมติฐาน) ว่าข้อเสนอที่จะต้องพิสูจน์นั้นเป็นเท็จ หากเกิดความไร้สาระขึ้น ก็สรุปได้ว่าสมมติฐานนั้นไม่สามารถยอมรับได้ และข้อเสนอเดิมจะต้องเป็นจริง^{[ 51 ]}

การวางเรขาคณิตแบบยุคลิดบนพื้นฐานสัจพจน์ที่มั่นคงเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจมานานหลายศตวรรษ^{[ 52 ]}บทบาทของแนวคิดพื้นฐานหรือแนวคิดที่ยังไม่ได้นิยามนั้นได้รับการนำเสนออย่างชัดเจนโดยAlessandro Padoaจาก คณะผู้แทน Peanoในการประชุมปารีสปี 1900: ^{[ 52 ] [ 53 ]}

...เมื่อเราเริ่มวางกรอบทฤษฎี เราอาจจินตนาการได้ว่าสัญลักษณ์ที่ไม่ได้นิยามนั้นไร้ความหมายโดยสิ้นเชิงและข้อเสนอที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์นั้นเป็นเพียงเงื่อนไขที่ถูกกำหนดขึ้นกับสัญลักษณ์ที่ไม่ได้นิยามเหล่านั้น

ดังนั้นระบบความคิดที่เราเลือกไว้ในตอนแรกนั้นเป็นเพียงการตีความหนึ่ง ของสัญลักษณ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ แต่...ผู้อ่านสามารถเพิกเฉยต่อการตีความนี้ได้ และมีอิสระที่จะแทนที่ด้วย การตีความอื่นในใจ...ที่ตรงตามเงื่อนไข...

ดังนั้น คำถาม เชิงตรรกะจึงเป็นอิสระอย่างสมบูรณ์จากคำถามเชิงประจักษ์หรือเชิงจิตวิทยา ...

ระบบสัญลักษณ์ที่ไม่นิยามนั้น อาจถือได้ว่าเป็นนามธรรมที่ได้มาจากทฤษฎีเฉพาะทางซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ...ระบบสัญลักษณ์ที่ไม่นิยามถูกแทนที่ด้วยการตีความแต่ละแบบอย่างต่อเนื่อง...

นั่นคือ คณิตศาสตร์เป็นความรู้ที่ไม่ขึ้นกับบริบทภายในกรอบลำดับชั้น ดังที่เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ กล่าวไว้ ว่า: ^{[ 54 ]}

ถ้าสมมติฐานของเราเกี่ยวกับสิ่งใดสิ่งหนึ่งไม่ใช่เกี่ยวกับสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยเฉพาะ การอนุมานของเราก็ถือเป็นคณิตศาสตร์ ดังนั้น คณิตศาสตร์จึงอาจนิยามได้ว่าเป็นวิชาที่เราไม่เคยรู้เลยว่าเรากำลังพูดถึงอะไร หรือสิ่งที่เราพูดนั้นเป็นจริงหรือไม่

เรขาคณิตคือศาสตร์แห่งการใช้เหตุผลที่ถูกต้องกับรูปทรงที่ไม่ถูกต้อง

• สัจพจน์ของยูคลิด: ในวิทยานิพนธ์ของเขาที่วิทยาลัยทรินิตี้ เคมบริดจ์ เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ได้สรุปบทบาทที่เปลี่ยนแปลงไปของเรขาคณิตของยูคลิดในความคิดของนักปรัชญาจนถึงเวลานั้น^{[ 55 ]}มันเป็นความขัดแย้งระหว่างความรู้ที่แน่นอนซึ่งเป็นอิสระจากการทดลอง และประสบการณ์นิยมซึ่งต้องอาศัยข้อมูลจากการทดลอง ปัญหานี้ชัดเจนขึ้นเมื่อมีการค้นพบว่าสัจพจน์เส้นขนานไม่จำเป็นต้องถูกต้องเสมอไป และการนำไปใช้เป็นเรื่องเชิงประจักษ์ ซึ่งเป็นตัวตัดสินว่าเรขาคณิตที่ใช้ได้นั้นเป็นแบบยูคลิดหรือไม่ใช่แบบยูคลิด
• สัจพจน์ของฮิลเบิร์ต : สัจพจน์ของฮิลเบิร์ตมีเป้าหมายเพื่อระบุชุด สัจพจน์ อิสระที่เรียบง่ายและครบถ้วนซึ่งสามารถอนุมานทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่สำคัญที่สุดได้ วัตถุประสงค์ที่โดดเด่นคือการทำให้เรขาคณิตแบบยุคลิดมีความเข้มงวด (โดยหลีกเลี่ยงข้อสมมติที่ซ่อนเร้น) และทำให้เห็นถึงผลลัพธ์ของสัจพจน์เส้นขนานอย่างชัดเจน
• สัจพจน์ของ Birkhoff : Birkhoff เสนอสัจพจน์สี่ข้อสำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดที่สามารถยืนยันได้ด้วยการทดลองโดยใช้มาตราส่วนและไม้โปรแทรกเตอร์ ระบบนี้อาศัยคุณสมบัติของจำนวนจริงเป็น อย่างมาก ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]}แนวคิดเรื่องมุมและระยะทางกลายเป็นแนวคิดพื้นฐาน^{[ 59 ]}
• สัจพจน์ของ Tarski : Alfred Tarski (1902–1983) และลูกศิษย์ของเขาได้นิยาม เรขาคณิตยุคลิด เบื้องต้นว่าเป็นเรขาคณิตที่สามารถแสดงได้ในตรรกะลำดับที่หนึ่งและไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีเซตสำหรับฐานตรรกะ^{[ 60 ]}ซึ่งตรงกันข้ามกับสัจพจน์ของ Hilbert ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตจุด^{[ 61 ]} Tarski พิสูจน์ว่าการกำหนดสัจพจน์ของเรขาคณิตยุคลิดเบื้องต้นของเขานั้นสอดคล้องและสมบูรณ์ในแง่ หนึ่ง กล่าวคือ มีอัลกอริทึมที่สามารถแสดงได้ว่าจริงหรือเท็จสำหรับทุกข้อเสนอ^{[ 36 ]} (สิ่งนี้ไม่ขัดกับทฤษฎีบทของ Gödel เพราะเรขาคณิตยุคลิดไม่สามารถอธิบาย เลขคณิตในปริมาณที่เพียงพอสำหรับทฤษฎีบทที่จะนำไปใช้ได้^{[ 62 ]} ) สิ่งนี้เทียบเท่ากับความสามารถในการตัดสินของฟิลด์ปิดจริงซึ่งเรขาคณิตยุคลิดเบื้องต้นเป็นแบบจำลอง