สมการนาเวียร์-สโตกส์ ( / n æ v ˈ j eɪ ˈ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS ) อธิบายการเคลื่อนที่ของ ของไหล หนืดระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย นี้ ตั้งชื่อตามโคลด-หลุยส์ นาเวียร์และจอร์จ กาเบรียล สโตกส์ซึ่งพัฒนาสมการเหล่านี้ในช่วงหลายทศวรรษของการทำงานอย่างต่อเนื่อง ตั้งแต่ปี 1822 (นาเวียร์) ถึงปี 1842–1850 (สโตกส์) ซิเมออน เดนิส ปัวซงก็ได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยอิสระ^{[ 1 ] : 696–7}

สมการนาเวียร์-สโตกส์แสดง สมดุล โมเมนตัม ทางคณิตศาสตร์ สำหรับของไหลแบบนิวตันและใช้หลักการอนุรักษ์มวลบางครั้งจะมีสมการสถานะที่เชื่อมโยงความดันอุณหภูมิ และความหนาแน่นมา ด้วย ^{[ 2 ]}สมการเหล่านี้เกิดขึ้นจากการประยุกต์ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับการเคลื่อนที่ของของไหลพร้อมกับสมมติฐานที่ว่าความเครียดในของไหลเป็นผลรวมของเทอมความหนืดที่แพร่กระจาย (เป็นสัดส่วนกับความชันของความเร็ว) และเทอมความดัน—ดังนั้นจึงอธิบายการไหลแบบหนืด สมการนาเวียร์-สโตกส์เป็นการขยายสมการออยเลอร์ในแง่ที่ว่าแบบจำลองหลังพิจารณาเฉพาะการไหลแบบไม่มีความหนืดเท่านั้น

สมการนาเวียร์-สโตกส์มีความสำคัญอย่างยิ่งในทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม เนื่องจากสามารถนำมาใช้จำลองสถานการณ์ต่างๆ ได้มากมาย ไม่ว่าจะเป็นในรูปแบบเต็มหรือแบบย่อ สมการเหล่านี้สามารถช่วยในการออกแบบเครื่องบินและรถยนต์ การศึกษาการไหลเวียนของเลือดการออกแบบโรงไฟฟ้าการวิเคราะห์มลพิษและปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย เมื่อรวมกับสมการของแม็กซ์เวลล์ แล้ว สมการเหล่านี้จะประกอบเป็นพื้นฐานของพลศาสตร์แม่เหล็กไฟฟ้า

สมการนาเวียร์-สโตกส์ยังน่าสนใจอย่างมากในเชิงคณิตศาสตร์ล้วนๆ แม้ว่าจะมีการใช้งานในทางปฏิบัติมากมาย แต่สมมติฐานที่ว่าสมการเหล่านี้มี คำตอบ ที่เรียบ (หมายถึงอนุพันธ์อนันต์) หรือมีขอบเขตในสามมิติยังไม่ได้รับการพิสูจน์ นี่เรียกว่าปัญหาการมีอยู่และความเรียบของนาเวียร์- สโตกส์ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้เรียกปัญหานี้ว่าเป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์และได้เสนอรางวัล 1 ล้านดอลลาร์สำหรับคำตอบหรือตัวอย่างค้าน^{[ 3 ] [ 4 ]}

คำตอบของสมการคือความเร็วการไหลมันเป็นสนามเวกเตอร์ —สำหรับทุกจุดในของไหลในช่วงเวลาใดๆ มันจะให้เวกเตอร์ที่มีทิศทางและขนาดเท่ากับความเร็วของของไหล ณ จุดนั้นในอวกาศและในช่วงเวลานั้น มีการศึกษาในสามมิติเชิงพื้นที่และหนึ่งมิติเวลา และมีการศึกษาอนาล็อกในมิติที่สูงกว่าในทั้งคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ เมื่อคำนวณสนามความเร็วได้แล้ว ปริมาณอื่นๆ ที่น่าสนใจ เช่นความดันหรืออุณหภูมิสามารถหาได้โดยใช้สมการและความสัมพันธ์ทางพลศาสตร์ ซึ่งแตกต่างจากสิ่งที่เห็นโดยทั่วไปในกลศาสตร์คลาสสิกที่คำตอบมักจะเป็นวิถีการเคลื่อนที่ของตำแหน่งของอนุภาคหรือการเบี่ยงเบนของตัวกลางต่อเนื่องการศึกษาความเร็วแทนตำแหน่งนั้นสมเหตุสมผลกว่าสำหรับของไหล แม้ว่าเพื่อจุดประสงค์ในการแสดงภาพ เราสามารถคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ ต่างๆ ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเส้นกระแสของสนามเวกเตอร์ ซึ่งตีความว่าเป็นความเร็วการไหล คือเส้นทางที่อนุภาคของไหลที่ไม่มีมวลจะเคลื่อนที่ไป เส้นทางเหล่านี้คือเส้นโค้งอินทิกรัลซึ่งอนุพันธ์ ณ แต่ละจุดมีค่าเท่ากับสนามเวกเตอร์ และสามารถแสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมของสนามเวกเตอร์ ณ จุดเวลาใดจุดหนึ่งได้

สมการโมเมนตัมของนาเวียร์-สโตกส์สามารถหาได้จากรูปแบบเฉพาะของสมการโมเมนตัมของโคชีซึ่งรูปแบบทั่วไปของการพาความร้อนคือ: โดยการกำหนดให้เทนเซอร์ความเค้นของโคชีเป็นผลรวมของพจน์ความหนืด( ความเค้นเบี่ยงเบน ) และพจน์ความดัน(ความเค้นปริมาตร) เราจะได้: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}+\mathbf {a} .}$$${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}}$${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}$${\textstyle -p\mathbf {I} }$

ที่ไหน

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$คืออนุพันธ์ของวัสดุซึ่งกำหนดไว้ดังนี้${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$คือความหนาแน่น (มวล)
• ${\textstyle \mathbf {u} }$คือความเร็วการไหล
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$คือความแตกต่าง
• ${\textstyle p}$คือความดัน
• ${\textstyle t}$ถึงเวลาแล้ว
• ${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}$คือเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบนซึ่งมีอันดับ 2
• ${\textstyle \mathbf {a} }$แสดงถึงความเร่งของวัตถุที่กระทำต่อตัวกลางต่อเนื่อง เช่นแรงโน้มถ่วง ความเร่งเนื่องจากแรงเฉื่อยความเร่งเนื่องจากไฟฟ้าสถิตและอื่นๆ

ในรูปแบบนี้ เห็นได้ชัดว่าภายใต้สมมติฐานของของเหลวที่ไม่มีความหนืด – คือไม่มีความเค้นเฉือน – สมการของโคชีจะลดรูปเป็นสมการของออยเลอร์

โดยสมมติว่ามวลมีการอนุรักษ์และด้วยคุณสมบัติที่ทราบของไดเวอร์เจนซ์และเกรเดียนต์เราสามารถใช้สมการความต่อเนื่องของ มวล ซึ่งแสดงถึงมวลต่อหน่วยปริมาตรของ ของไหล ที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยสัมพันธ์กับพื้นที่และเวลา (เช่นอนุพันธ์เชิงวัสดุ ) ของปริมาตรจำกัดใดๆ ( ) เพื่อแสดงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในตัวกลางของไหล: โดยที่ ${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$${\textstyle \mathbf {V} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\บางส่วน \rho }{\บางส่วน t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\บางส่วน \rho }{\บางส่วน t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$คือค่าอนุพันธ์เชิงวัสดุของมวลต่อหน่วยปริมาตร ( ความหนาแน่น)${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle \iiint \limits _{V}{\bigl (}F(x_{1},x_{2},x_{3},t){\bigr )}\,dV}$คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สำหรับการอินทิเกรตตลอดปริมาตร ( )${\textstyle V}$
• ${\textstyle {\frac {\บางส่วน }{\บางส่วน t}}}$คือตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์อนุพันธ์ย่อย
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$คือค่าไดเวอร์เจนซ์ของความเร็วการไหล ( ) ซึ่งเป็นฟิลด์สเกลาร์ , ^{[ a ]}${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle \nabla \rho \,}$คือเกรเดียนต์ของความหนาแน่น ( ) ซึ่งเป็นอนุพันธ์เวกเตอร์ของฟิลด์สเกลาร์ , ^{[ a ]}${\displaystyle \rho }$

เพื่อให้ได้รูปแบบการอนุรักษ์ของสมการการเคลื่อนที่ ซึ่งมักจะเขียนว่า: ^{[ 5 ]}

โดยที่ผลคูณภายนอกของความเร็วการไหล ( ): ${\textstyle \otimes }$${\textstyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}}$$

ด้านซ้ายของสมการอธิบายถึงความเร่ง และอาจประกอบด้วยส่วนประกอบที่ขึ้นอยู่กับเวลาและส่วนประกอบแบบพาความร้อน (รวมถึงผลกระทบของพิกัดที่ไม่เฉื่อยหากมีอยู่) ด้านขวาของสมการเป็นผลรวมของผลกระทบทางอุทกสถิต การล divergence ของความเค้นเฉือน และแรงภายนอก (เช่น แรงโน้มถ่วง)

สมการสมดุลที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพทั้งหมด เช่น สมการนาเวียร์-สโตกส์ สามารถหาได้โดยเริ่มจากสมการโคชี และระบุเทนเซอร์ความเค้นผ่านความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างโดยการแสดงเทนเซอร์ความเค้นเฉือนในรูปของความหนืดและ เกรเดียนต์ ความเร็ว ของไหล และสมมติว่าความหนืดคงที่ สมการโคชีข้างต้นจะนำไปสู่สมการนาเวียร์-สโตกส์ด้านล่าง

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของสมการโคชี และสมการต่อเนื่องอื่นๆ ทั้งหมด (รวมถึงสมการออยเลอร์และนาเวียร์-สโตกส์) คือการมีอยู่ของความเร่งแบบพาความร้อน: ผลกระทบของความเร่งของการไหลเมื่อเทียบกับพื้นที่ ในขณะที่อนุภาคของไหลแต่ละตัวมีความเร่งที่ขึ้นอยู่กับเวลา ความเร่งแบบพาความร้อนของสนามการไหลเป็นผลกระทบเชิงพื้นที่ ตัวอย่างหนึ่งคือการที่ของไหลมีความเร็วเพิ่มขึ้นในหัวฉีด

หมายเหตุ: ในที่นี้ เทนเซอร์ความเค้นส่วนเบี่ยงเบนจะถูกแสดงในลักษณะเดียวกับที่ใช้ในสมการต่อเนื่องทั่วไปและในส่วนของการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ ${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {\tau }}}$

สมการโมเมนตัมอัดของ Navier–Stokes เป็นผลมาจากสมมติฐานต่อไปนี้เกี่ยวกับเทนเซอร์ความเค้น Cauchy: ^{[ 6 ]}

• ความเค้นเป็นค่าคงที่แบบกาลิเลียน : มันไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วการไหลโดยตรง แต่ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของความเร็วการไหลเท่านั้น ดังนั้นตัวแปรความเค้นจึงเป็นเกรเดียนต์ของเทนเซอร์หรือเรียกง่ายๆ ว่าเทนเซอร์อัตราการเปลี่ยนแปลงความเครียด :${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}}$
• ความเค้นเบี่ยงเบนเป็นเชิงเส้นในตัวแปรนี้: โดยที่ไม่ขึ้นอยู่กับเทนเซอร์อัตราความเครียดคือเทนเซอร์อันดับสี่ที่แสดงถึงค่าคงที่สัดส่วน เรียกว่าเทนเซอร์ความหนืดหรือความยืดหยุ่นและ : คือ ผลคูณด อทคู่${\textstyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }}({\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}}$${\textstyle p}$${\textstyle \mathbf {C} }$
• ถือว่าของไหลเป็นไอโซโทรปิกเช่นเดียวกับก๊าซและของเหลวทั่วไป และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเทนเซอร์ไอโซโทรปิก ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบนมีความสมมาตรจึงสามารถแสดงได้โดยการแยกส่วนของเฮล์มโฮลทซ์ ในรูปของ พารามิเตอร์ลาเม สองตัวที่เป็นสเกลาร์ ได้แก่ ความหนืด ลำดับที่สองและความหนืดไดนามิกดังเช่นที่ใช้กันโดยทั่วไปใน ความยืดหยุ่น เชิง เส้น${\textstyle \mathbf {C} }$${\textstyle \lambda }$${\textstyle \mu }$
  สมการความสัมพันธ์ระหว่าง  ความเค้นเชิงเส้น(รูปแบบคล้ายกับของของแข็งยืดหยุ่น)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  โดยที่คือเทนเซอร์เอกลักษณ์และคือร่องรอยของเทนเซอร์อัตราความเครียด ดังนั้นการแยกส่วนนี้สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนดังนี้: ${\textstyle \mathbf {I} }$${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right).}$$

เนื่องจากร่องรอยของเทนเซอร์อัตราการเปลี่ยนแปลงความเครียดในสามมิติคือไดเวอร์เจนซ์ (กล่าวคือ อัตราการขยายตัว) ของการไหล: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

จากความสัมพันธ์นี้ และเนื่องจากร่องรอยของเทนเซอร์เอกลักษณ์ในสามมิติคือสาม: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

ร่องรอยของเทนเซอร์ความเครียดในสามมิติจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

ดังนั้นโดยการแยกเทนเซอร์ความเครียดออกเป็น ส่วน ไอโซโทรปิกและ ส่วน เบี่ยงเบนสลับ กันไป ตามปกติในพลศาสตร์ของไหล: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

ขอแนะนำค่าความหนืดเชิง ปริมาตร ${\textstyle \zeta }$$${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

เราได้สมการองค์ประกอบเชิง เส้น ในรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปในอุณหพลศาสตร์ความร้อน : ^{[ 6 ]}

ซึ่งสามารถจัดเรียงในรูปแบบปกติอื่นๆ ได้เช่นกัน: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\zeta -{\tfrac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

โปรดทราบว่าในกรณีที่สามารถบีอัดได้ ความดันจะไม่เป็นสัดส่วนกับ เทอม ความเค้นแบบไอโซโทรปิก อีกต่อไป เนื่องจากมีเทอมความหนืดปริมาตรเพิ่มเติมเข้ามา: $${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$$

และเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบน ยังคงตรงกับเทนเซอร์ความเค้นเฉือน(กล่าวคือ ความเค้นเบี่ยงเบนในของไหลแบบนิวตันไม่มีส่วนประกอบของความเค้นปกติ) และยังมีพจน์การอัดตัวเพิ่มเติมจากกรณีที่อัดไม่ได้ ซึ่งเป็นสัดส่วนกับความหนืดเฉือน: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$$

ความหนืดเชิงปริมาตรและความหนืดเชิงพลวัตไม่จำเป็นต้องคงที่เสมอไป โดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับตัวแปรทางเทอร์โมไดนามิกสองตัว หากของเหลวประกอบด้วยสารเคมีชนิดเดียว เช่น ความดันและอุณหภูมิ สมการใดๆ ที่แสดงค่าสัมประสิทธิ์การขนส่ง ตัวใดตัวหนึ่ง ในตัวแปรอนุรักษ์ อย่างชัดเจน เรียกว่าสมการสถานะ^{[ 9 ]}${\textstyle \zeta }$${\textstyle \mu }$

สมการนาเวียร์-สโตกส์ทั่วไปที่สุดมีดังนี้

ในสัญกรณ์ดัชนี สมการสามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 10 ]}

สมการที่สอดคล้องกันในรูปแบบการอนุรักษ์สามารถหาได้โดยพิจารณาว่า เมื่อกำหนดสมการความต่อเนื่องของ มวล แล้ว ด้านซ้ายจะเทียบเท่ากับ:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

สุดท้ายนี้:

นอกเหนือจากการขึ้นอยู่กับความดันและอุณหภูมิแล้ว สัมประสิทธิ์ความหนืดที่สองยังขึ้นอยู่กับกระบวนการด้วย กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ความหนืดที่สองไม่ใช่เพียงคุณสมบัติของวัสดุเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในกรณีของคลื่นเสียงที่มีความถี่ที่แน่นอนซึ่งบีบอัดและขยายองค์ประกอบของของเหลวสลับกัน สัมประสิทธิ์ความหนืดที่สองจะขึ้นอยู่กับความถี่ของคลื่น การพึ่งพานี้เรียกว่าการกระจายตัวในบางกรณีความหนืดที่สอง สามารถถือว่าคงที่ได้ ซึ่งในกรณีนี้ ผลของความหนืดปริมาตรคือความดันเชิงกลไม่เท่ากับความดัน ทางเทอร์โมไดนามิก : ^{[ 11 ]}ดังที่แสดงไว้ด้านล่าง ${\textstyle \zeta }$${\textstyle \zeta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),\\&{\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,\end{aligned}}}$$ อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างนี้มักถูกละเลยเป็นส่วนใหญ่ (นั่นคือเมื่อใดก็ตามที่เราไม่ได้จัดการกับกระบวนการต่างๆ เช่น การดูดซับเสียงและการลดทอนของคลื่นกระแทก^{[ 12 ]}ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดที่สองมีความสำคัญ) โดยการสมมติอย่างชัดเจนว่าสมมติฐานของการตั้งค่านี้เรียกว่าสมมติฐานของสโตกส์ [ ^{13 ] ความ}ถูกต้องของสมมติฐานของสโตกส์สามารถพิสูจน์ได้สำหรับก๊าซโมโนอะตอมทั้งจากการทดลองและจากทฤษฎีจลนศาสตร์^{[ 14 ]}สำหรับก๊าซและของเหลวอื่นๆ สมมติฐานของสโตกส์โดยทั่วไปไม่ถูกต้อง ด้วยสมมติฐานของสโตกส์ สมการนาเวียร์-สโตกส์จึงกลายเป็น ${\textstyle \zeta =0}$${\textstyle \zeta =0}$

หากถือว่าความหนืดแบบไดนามิกและความหนืดปริมาตรมีความสม่ำเสมอในอวกาศ สมการในรูปแบบการพาความร้อนสามารถลดรูปให้ง่ายขึ้นได้อีก โดยการคำนวณไดเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์ความเค้น เนื่องจากไดเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์คือและไดเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์คือในที่สุดเราก็จะได้สมการโมเมนตัม Navier–Stokes ที่อัดได้: ^{[ 15 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \zeta }$${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}}$${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

โดยที่คืออนุพันธ์ของวัสดุคือความหนืดจลน์ เฉือน และ คือความหนืดจลน์ปริมาตร ด้านซ้ายมือเปลี่ยนแปลงไปในรูปแบบการอนุรักษ์ของสมการโมเมนตัมนาเวียร์-ส โตกส์ โดยการนำตัวดำเนินการบนความเร็วการไหลมาไว้ทางด้านซ้ายมือ จะได้ว่า: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$${\textstyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$

พจน์ความเร่งแบบพาความร้อนสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า โดยที่เวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์แลมบ์ $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

สำหรับกรณีพิเศษของการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ความดันจะจำกัดการไหลเพื่อให้ปริมาตรขององค์ประกอบของไหลคงที่: การไหลแบบไอโซโคริกส่งผลให้เกิดสนามความเร็วโซเลนอยด์ที่ มี ^{[ 16 ]}${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

สมการโมเมนตัมที่ไม่สามารถอัดได้ของ Navier–Stokes เป็นผลมาจากสมมติฐานต่อไปนี้เกี่ยวกับเทนเซอร์ความเค้น Cauchy: ^{[ 6 ]}

• ความเค้นเป็นค่าคงที่แบบกาลิเลียน กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วการไหลโดยตรง แต่ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์เชิงพื้นที่ของความเร็วการไหลเท่านั้น ดังนั้นตัวแปรความเค้นจึงเป็นเกรเดียนต์ของเทนเซอร์${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• ถือว่าของไหลเป็นไอโซโทรปิกเช่นเดียวกับก๊าซและของเหลวทั่วไป และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเทนเซอร์ไอโซโทรปิก ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเทนเซอร์ความเค้นส่วนเบี่ยงเบนสามารถแสดงได้ในรูปของความหนืดไดนามิก : ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\textstyle \mu }$
  สมการความเค้น  ของสโตกส์(สมการที่ใช้สำหรับของแข็งยืดหยุ่นที่ไม่สามารถอัดได้)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  โดยที่ เทนเซอร์ อัตราความเครียด คือ ดังนั้นการแยกส่วนนี้สามารถทำให้ชัดเจนได้ดังนี้: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathsf {T}}\right)}$$

  สมการความเค้นของสโตกส์  (สูตรที่ใช้สำหรับของไหลหนืดที่ไม่สามารถอัดได้)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right]}$

สมการเชิงโครงสร้างนี้ยังเรียกว่ากฎความหนืดของนิวตันความหนืดไดนามิกμ ไม่จำเป็นต้องคงที่ – ในการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ ความหนืดอาจขึ้นอยู่กับความหนาแน่นและความดัน สมการใดๆ ที่แสดง ค่าสัมประสิทธิ์การขนส่งเหล่านี้ในตัวแปรอนุรักษ์ อย่างชัดเจน เรียกว่าสมการสถานะ^{[ 9 ]}

ความแตกต่างของความเค้นเฉือนในกรณีที่มีความหนืดสม่ำเสมอจะกำหนดโดย: เนื่องจากสำหรับของไหลที่ไม่สามารถอัดได้ $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

กฎการอัดไม่ได้ตัดคลื่นความหนาแน่นและความดันออกไป เช่น คลื่นเสียงหรือคลื่นกระแทกดังนั้นการทำให้ง่ายขึ้นนี้จึงไม่มีประโยชน์หากสนใจปรากฏการณ์เหล่านี้ สมมติฐานการไหลที่อัดไม่ได้มักจะใช้ได้ดีกับของเหลวทั้งหมดที่เลขมัค ต่ำ (เช่น สูงถึงประมาณมัค 0.3) เช่น สำหรับการจำลองลมที่อุณหภูมิปกติ^{[ 17 ]}สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่อัดไม่ได้จะมองเห็นได้ดีที่สุดโดยการหารด้วยความหนาแน่น: ^{[ 18 ]}

โดยที่เรียกว่าความหนืดจลน์เมื่อแยกความเร็วของของเหลวออกไป เราสามารถกล่าวได้ว่า: ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

ถ้าความหนาแน่นคงที่ตลอดทั้งบริเวณของไหล หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าองค์ประกอบของไหลทั้งหมดมีความหนาแน่นเท่ากันแล้วเราจะได้ว่า ${\textstyle \rho }$

โดยที่เรียก ว่าหัวแรงดัน ต่อหน่วย${\textstyle {\frac {p}{\rho }}}$

ในการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ สนามความดันจะสอดคล้องกับ^สมการปัวซง [ ^{10 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

ซึ่งได้มาจากการหาไดเวอร์เจนซ์ของสมการโมเมนตัม

การพิจารณาความหมายของแต่ละคำอย่างละเอียดนั้นคุ้มค่าอย่างยิ่ง (ลองเปรียบเทียบกับสมการโมเมนตัมของโคชี ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

พจน์ลำดับสูงกว่า ซึ่งก็คือไดเวอร์เจนซ์ของความเค้นเฉือนจะลดลงเหลือเพียงพจน์เวกเตอร์ลาปลาเซียน [ ^{19 ] พจน์}ลาปลาเซียนนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างความเร็ว ณ จุดหนึ่งกับความเร็วเฉลี่ยในปริมาตรโดยรอบขนาดเล็ก ซึ่งหมายความว่าสำหรับของไหลแบบนิวตัน ความหนืดจะทำงานเป็นการแพร่กระจายของโมเมนตัมในลักษณะเดียวกับการนำความร้อนในความเป็นจริง หากละเลยพจน์การพาความร้อน สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้จะนำไปสู่สมการการแพร่กระจาย เวกเตอร์ (กล่าวคือสมการสโตกส์ ) แต่โดยทั่วไปแล้วจะมีพจน์การพาความร้อนอยู่ ดังนั้นสมการนาเวียร์-สโตกส์ ที่ ไม่สามารถอัดได้จึงอยู่ในกลุ่มสมการการพาความร้อน-การแพร่กระจาย${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

ในกรณีปกติที่สนามภายนอกเป็นสนามอนุรักษ์ โดยการกำหนดค่าหัวไฮดรอลิก : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$$${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

ในที่สุดเราก็สามารถย่อแหล่งกำเนิดทั้งหมดให้เหลือเพียงเทอมเดียว โดยได้สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้ พร้อมด้วยสนามภายนอกแบบอนุรักษ์: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้ โดยมีความหนาแน่นและความหนืดสม่ำเสมอ และสนามภายนอกแบบอนุรักษ์ เป็นสมการพื้นฐานของอุทกศาสตร์ โดเมนของสมการเหล่านี้โดยทั่วไปคือ ปริภูมิยูคลิด 3 มิติหรือน้อยกว่าซึ่ง โดยปกติจะกำหนดกรอบอ้างอิง พิกัดตั้งฉากเพื่อแสดงระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบสเกลาร์ที่จะต้องแก้ ในระบบพิกัดตั้งฉาก 3 มิติ มี 3 ระบบ ได้แก่คาร์ทีเซียนทรงกระบอกและทรงกลมการแสดงสมการเวกเตอร์นาเวียร์-สโตกส์ในพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นค่อนข้างตรงไปตรงมาและไม่ได้รับอิทธิพลมากนักจากจำนวนมิติของปริภูมิยูคลิดที่ใช้ และกรณีนี้ก็เป็นเช่นเดียวกันสำหรับพจน์อันดับแรก (เช่น พจน์การแปรผันและการพาความร้อน) ในระบบพิกัดตั้งฉากที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียนด้วย แต่สำหรับพจน์ลำดับสูงกว่า (สองพจน์ที่ได้มาจากการล divergence ของความเค้นเบี่ยงเบน ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้สมการนาเวียร์-สโตกส์แตกต่างจากสมการออยเลอร์) จำเป็นต้องใช้ แคลคูลัสเทนเซอร์ บางส่วน เพื่อหาการแสดงออกในระบบพิกัดเชิงตั้งฉากที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียน กรณีพิเศษของสมการพื้นฐานของอุทกศาสตร์คือสมการของเบอร์นูลลี

สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้นั้นเป็นสมการประกอบ ซึ่งเป็นผลรวมของสมการเชิงตั้งฉากสองสมการ โดยที่และ เป็น ตัวดำเนินการฉายภาพแบบโซเลนอยด์และแบบไม่หมุนที่สอดคล้องกับและและเป็นส่วนที่ไม่คงตัวและส่วนที่คงตัวของแรงภายนอก ผลลัพธ์นี้ได้มาจากทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเวกเตอร์) สมการแรกเป็นสมการควบคุมความเร็วแบบไม่มีความดัน ในขณะที่สมการที่สองสำหรับความดันเป็นฟังก์ชันของความเร็วและเกี่ยวข้องกับสมการปัวซงของความดัน $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$${\textstyle \Pi ^{S}}$${\textstyle \Pi ^{I}}$${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

รูปแบบฟังก์ชันที่ชัดเจนของตัวดำเนินการฉายภาพใน 3 มิติ พบได้จากทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์ โดยมีโครงสร้างที่คล้ายกันใน 2 มิติ ดังนั้นสมการควบคุมจึงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงปริพันธ์ที่คล้ายกับ กฎ ของคูลอมบ์และบิโอต์-ซาวาร์ซึ่งไม่สะดวกสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลข $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

รูปแบบอ่อนหรือแปรผันที่เทียบเท่าของสมการ ซึ่งพิสูจน์แล้วว่าสร้างโซลูชันความเร็วเดียวกันกับสมการ Navier–Stokes ^{[ 20 ]}กำหนดโดย $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

สำหรับฟังก์ชันทดสอบที่ไม่มีการล divergence ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม ในที่นี้ การฉายภาพจะสำเร็จได้ด้วยความเป็นตั้งฉากของปริภูมิฟังก์ชันโซเลนอยด์และฟังก์ชันไร้การหมุน รูปแบบแบบไม่ต่อเนื่องนี้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณองค์ประกอบจำกัดของการไหลที่ไม่มีการล divergence ดังที่เราจะเห็นในส่วนถัดไป ที่นั่น เราจะสามารถตอบคำถามที่ว่า "จะระบุปัญหาที่ขับเคลื่อนด้วยแรงดัน (Poiseuille) ด้วยสมการควบคุมที่ไม่มีแรงดันได้อย่างไร" ${\textstyle \mathbf {w} }$

การที่ไม่มีแรงดันปรากฏในสมการความเร็วควบคุม แสดงให้เห็นว่าสมการนั้นไม่ใช่สมการพลศาสตร์ แต่เป็นสมการจลนศาสตร์ โดยที่เงื่อนไขการไม่มีไดเวอร์เจนซ์ทำหน้าที่เสมือนสมการอนุรักษ์ ซึ่งดูเหมือนจะหักล้างข้อความที่กล่าวกันบ่อยๆ ว่าแรงดันที่ไม่สามารถอัดได้นั้นบังคับให้เกิดเงื่อนไขการไม่มีไดเวอร์เจนซ์

พิจารณาสมการ Navier–Stokes ที่ไม่สามารถอัดได้สำหรับของไหลแบบนิวตันที่มีความหนาแน่นคงที่ในโดเมน ที่มีขอบเขต เป็นและส่วนต่าง ๆ ของขอบเขตที่ ใช้เงื่อนไขขอบเขตDirichletและ Neumann ตามลำดับ ( ): ^{[ 21 ]}คือความเร็วของของไหล คือความดันของของไหล คือเทอมบังคับที่กำหนด คือ เวกเตอร์ปกติหน่วยที่ชี้ออกไปด้านนอกของและคือเทนเซอร์ความเค้นหนืดที่กำหนดดังนี้: ^{[ 21 ]} ให้คือความหนืดไดนามิกของของไหล คือ เทนเซอร์เอกลักษณ์อันดับสองและ คือ เทนเซอร์อัตราความเครียดที่กำหนดดังนี้: ^{[ 21 ]} ฟังก์ชันและคือข้อมูลขอบเขต Dirichlet และ Neumann ที่กำหนด ในขณะที่คือเงื่อนไขเริ่มต้นสมการแรกคือสมการสมดุลโมเมนตัม ในขณะที่สมการที่สองแสดงถึงการอนุรักษ์มวลนั่นคือสมการความต่อเนื่องเมื่อสมมติความหนืดไดนามิกคงที่ โดยใช้เอกลักษณ์เวกเตอร์ และใช้ประโยชน์จากการอนุรักษ์มวล ความแตกต่างของเทนเซอร์ความเครียดรวมในสมการโมเมนตัมสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 21 ]} ยิ่งไปกว่านั้น โปรดทราบว่าเงื่อนไขขอบเขตของ Neumann สามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้: ^{[ 21 ]}${\textstyle \rho }$$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$$${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$${\textstyle \Gamma _{D}}$${\textstyle \Gamma _{N}}$${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$$${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$${\textstyle \mathbf {u} }$${\textstyle p}$${\textstyle \mathbf {f} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\textstyle \Gamma _{N}}$${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$${\textstyle \mu }$${\textstyle \mathbf {I} }$${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right).}$$${\textstyle \mathbf {g} }$${\textstyle \mathbf {h} }$${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathsf {T}}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}={\bigl (}-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ){\bigr )}{\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

เพื่อที่จะค้นหารูปแบบอ่อนของสมการ Navier–Stokes ก่อนอื่นให้พิจารณาสมการโมเมนตัม^{[ 21 ]} คูณด้วยฟังก์ชันทดสอบที่กำหนดในปริภูมิที่เหมาะสมและอินทิเกรตทั้งสองสมาชิกเทียบกับโดเมน: ^{[ 21 ]} ทำการอินทิเกรตแบบย้อนกลับโดยแยกส่วนของเทอมการแพร่กระจายและแรงดัน และโดยใช้ทฤษฎีบทของ Gauss: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$${\textstyle \mathbf {v} }$${\textstyle V}$${\textstyle \Omega }$$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

โดยใช้ความสัมพันธ์เหล่านี้ จะได้ว่า: ^{[ 21 ]} ในทำนองเดียวกัน สมการความต่อเนื่องจะถูกคูณด้วยฟังก์ชันทดสอบที่อยู่ในพื้นที่และรวมในโดเมน: ^{[ 21 ]} ฟังก์ชันพื้นที่ถูกเลือกดังนี้: เมื่อพิจารณาว่าฟังก์ชันทดสอบเป็นศูนย์บนขอบเขต Dirichlet และพิจารณาเงื่อนไข Neumann อินทิกรัลบนขอบเขตสามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้: ^{[ 21 ]} เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้การกำหนดสูตรแบบอ่อนของสมการ Navier–Stokes จะแสดงออกมาดังนี้: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$${\textstyle q}$${\textstyle Q}$${\textstyle \Omega }$$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$${\textstyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

เมื่อแบ่งโดเมนของปัญหาออกเป็นส่วนๆ และกำหนดฟังก์ชันพื้นฐานบนโดเมนที่แบ่งแล้ว รูปแบบไม่ต่อเนื่องของสมการควบคุมจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

ควรเลือกฟังก์ชันพื้นฐานที่สะท้อนคุณลักษณะสำคัญของการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ – โดยที่องค์ประกอบต้องไม่มีการล divergence แม้ว่าความเร็วจะเป็นตัวแปรที่น่าสนใจ แต่การมีอยู่ของฟังก์ชันกระแสหรือศักย์เวกเตอร์นั้นจำเป็นตามทฤษฎีบทของเฮล์มโฮลทซ์ นอกจากนี้ เพื่อกำหนดการไหลของของเหลวในกรณีที่ไม่มีการไล่ระดับความดัน เราสามารถระบุความแตกต่างของค่าฟังก์ชันกระแสในช่องทาง 2 มิติ หรือปริพันธ์เชิงเส้นของส่วนประกอบสัมผัสของศักย์เวกเตอร์รอบช่องทางใน 3 มิติ โดยการไหลนั้นกำหนดโดยทฤษฎีบทของสโตกส์การอภิปรายต่อไปนี้จะจำกัดอยู่เฉพาะ 2 มิติ

เราจำกัดขอบเขตการอภิปรายเพิ่มเติมเฉพาะกับองค์ประกอบไฟไนต์เฮอร์ไมต์แบบต่อเนื่องที่มีอย่างน้อยระดับความเป็นอิสระของอนุพันธ์อันดับแรก ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถดึงองค์ประกอบสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจำนวนมากจาก เอกสารเกี่ยวกับ การดัดแผ่นได้องค์ประกอบเหล่านี้มีอนุพันธ์เป็นส่วนประกอบของเกรเดียนต์ ใน 2 มิติ เกรเดียนต์และเคิร์ลของสเกลาร์นั้นตั้งฉากกันอย่างชัดเจน โดยกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathsf {T}},\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}$$

การนำองค์ประกอบการดัดแผ่นต่อเนื่องมาใช้ การสลับระดับความเป็นอิสระของอนุพันธ์ และการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่เหมาะสม จะทำให้ได้องค์ประกอบฟังก์ชันกระแสหลายตระกูล

การหาค่า curl ขององค์ประกอบฟังก์ชันกระแสสเกลาร์ทำให้ได้องค์ประกอบความเร็วที่ปราศจากไดเวอร์เจนซ์^{[ 22 ] [ 23 ]}ข้อกำหนดที่ว่าองค์ประกอบฟังก์ชันกระแสจะต้องต่อเนื่องทำให้มั่นใจได้ว่าส่วนประกอบปกติของความเร็วจะต่อเนื่องกันที่ส่วนต่อประสานขององค์ประกอบ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการทำให้ไดเวอร์เจนซ์หายไปที่ส่วนต่อประสานเหล่านี้

เงื่อนไขขอบเขตนั้นง่ายต่อการใช้งาน ฟังก์ชันกระแสจะมีค่าคงที่บนพื้นผิวที่ไม่มีการไหล โดยมีเงื่อนไขความเร็วแบบไม่มีการลื่นไถลบนพื้นผิว ความแตกต่างของฟังก์ชันกระแสในช่องเปิดจะเป็นตัวกำหนดการไหล ไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขขอบเขตใดๆ บนขอบเขตเปิด แม้ว่าอาจใช้ค่าที่สอดคล้องกันได้ในบางกรณี เงื่อนไขเหล่านี้ทั้งหมดเป็นเงื่อนไขแบบ Dirichlet

สมการพีชคณิตที่จะต้องแก้ตั้งขึ้นได้ง่าย แต่แน่นอนว่าเป็นสมการไม่เชิงเส้นจึงต้องใช้วิธีการวนซ้ำของสมการเชิงเส้น

หลักการที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับสามมิติได้เช่นกัน แต่การขยายจากสองมิติไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากลักษณะเวกเตอร์ของศักยภาพ และไม่มีความสัมพันธ์ที่เรียบง่ายระหว่างเกรเดียนต์และเคิร์ลเหมือนในสองมิติ

การหาค่าความดันจากสนามความเร็วเป็นเรื่องง่าย สมการอ่อนแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับความชันของความดันคือ $${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-{\bigl (}\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

โดยที่ฟังก์ชันทดสอบ/น้ำหนักเป็นแบบไม่หมุน สามารถใช้ไฟไนต์เอเลเมนต์แบบสเกลาร์ที่สอดคล้องกันได้ อย่างไรก็ตาม ฟิลด์เกรเดียนต์ความดันก็อาจเป็นสิ่งที่น่าสนใจเช่นกัน ในกรณีนี้ สามารถใช้ Hermite เอเลเมนต์แบบสเกลาร์สำหรับความดันได้ ส่วนฟังก์ชันทดสอบ/น้ำหนักนั้น ควรเลือกเวกเตอร์เอเลเมนต์แบบไม่หมุนที่ได้จากเกรเดียนต์ของเอเลเมนต์ความดัน ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

กรอบอ้างอิงแบบหมุนทำให้เกิดแรงเสมือนที่น่าสนใจบางอย่างในสมการผ่านทาง พจน์ อนุพันธ์เชิงวัสดุพิจารณากรอบอ้างอิงเฉื่อย ที่อยู่กับที่  และกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วและหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมเมื่อเทียบกับกรอบอ้างอิงที่อยู่กับที่ สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่สังเกตจากกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อยจึงกลายเป็น ${\textstyle K}$${\textstyle K'}$${\textstyle \mathbf {U} (t)}$${\textstyle \Omega (t)}$

ในที่นี้และถูกวัดในกรอบอ้างอิงที่ไม่เฉื่อย พจน์แรกในวงเล็บแสดงถึงความเร่งโคริโอลิสพจน์ที่สองเกิดจากความเร่งหนีศูนย์กลางพจน์ที่สามเกิดจากความเร่งเชิงเส้นของเทียบกับและพจน์ที่สี่เกิดจากความเร่งเชิงมุมของเทียบกับ ${\textstyle \mathbf {x} }$${\textstyle \mathbf {u} }$${\textstyle K'}$${\textstyle K}$${\textstyle K'}$${\textstyle K}$

สมการนาเวียร์-สโตกส์เป็นเพียงการแสดงสมดุลของโมเมนตัมเท่านั้น ในการอธิบายการไหลของของเหลวอย่างสมบูรณ์ จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม ซึ่งปริมาณข้อมูลจะขึ้นอยู่กับสมมติฐานที่ใช้ ข้อมูลเพิ่มเติมนี้อาจรวมถึงข้อมูลขอบเขต (เช่น พื้นผิวไม่ลื่นพื้นผิวคาปิลลารีเป็นต้น) การอนุรักษ์มวลสมดุลของพลังงานและ/หรือสมการสถานะ

ไม่ว่าสมมติฐานการไหลจะเป็นอย่างไรโดยทั่วไปแล้วจำเป็นต้องมี ข้อความแสดงถึง การอนุรักษ์มวล ซึ่งทำได้โดย สมการความต่อเนื่อง ของมวล ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นในหัวข้อ "สมการความต่อเนื่องทั่วไป" ในบทความนี้ ดังนี้: ของเหลวที่ มี ความหนาแน่นคงที่เรียกว่า ของเหลว อัดไม่ได้ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของมวลเทียบกับเวลาและเกรเดียนต์ของความหนาแน่นจึงเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ สมการความต่อเนื่องทั่วไปจะลดลงเหลือ: ยิ่งไปกว่านั้น การสมมติว่าหมายความว่าด้านขวาของสมการ (ศูนย์) หารด้วยความหนาแน่นลงตัวดังนั้นสมการความต่อเนื่องสำหรับของเหลวอัดไม่ได้ จึง ลดลงเหลือ: ความสัมพันธ์นี้ ระบุว่าไดเวอร์เจนซ์ ของ เวกเตอร์ความเร็วการ ไหล เท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสำหรับของเหลวอัดไม่ได้ สนามความเร็ว การไหลเป็นสนามเวกเตอร์โซเลน อยด์ หรือสนามเวกเตอร์ที่ไม่มีไดเวอร์เจนซ์ โปรดทราบว่าความสัมพันธ์นี้สามารถขยายเพิ่มเติมได้เนื่องจากมีความเป็นเอกลักษณ์กับตัวดำเนินการลาปลาสเวกเตอร์และความหมุนวนซึ่งแสดงออกมาได้ดังนี้ สำหรับ ของไหลที่อัดไม่ได้ :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}\left({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )}\right)dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\textstyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$${\textstyle \nabla \rho }$${\textstyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0}$$${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$$${\displaystyle \rho \neq 0}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\bigl (}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ){\bigr )}=-(\nabla \times {\boldsymbol {\omega }})}$$

การหาค่า curlของสมการ Navier–Stokes ที่ไม่สามารถอัดได้ ส่งผลให้ความดันหายไป สิ่งนี้เห็นได้ง่ายเป็นพิเศษหากสมมติว่าเป็นการไหลแบบคาร์ทีเซียน 2 มิติ (เช่นในกรณี 3 มิติที่เสื่อมสภาพโดยที่ไม่มีการพึ่งพาสิ่งใด ๆ กับ) ซึ่งสมการจะลดลงเหลือ: ${\textstyle u_{z}=0}$${\textstyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

การหาอนุพันธ์ของสมการแรกเทียบกับ การหาอนุพันธ์ของสมการที่สองเทียบกับ และการลบสมการที่ได้จะช่วยขจัดความดันและ แรงอนุรักษ์ ใดๆ สำหรับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ การกำหนดฟังก์ชันกระแสผ่าน จะทำให้ความต่อเนื่องของมวลเป็นไปตามเงื่อนไขโดยไม่มีเงื่อนไข (เนื่องจากฟังก์ชันกระแสมีความต่อเนื่อง) จากนั้นการอนุรักษ์โมเมนตัมและมวลแบบนิวตัน 2 มิติที่ไม่สามารถอัดได้จะรวมเข้าเป็นสมการเดียว: ${\textstyle y}$${\textstyle x}$${\textstyle \psi }$$${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

โดยที่คือตัวดำเนินการไบฮาร์มอนิก 2 มิติ และคือความหนืดจลน์เราสามารถแสดงสิ่งนี้ได้อย่างกระชับโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนได้ เช่นกัน : ${\textstyle \nabla ^{4}}$${\textstyle \nu }$${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

สมการเดียวนี้ เมื่อรวมกับเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม จะอธิบายการไหลของของเหลวใน 2 มิติ โดยใช้เพียงความหนืดจลน์เป็นพารามิเตอร์เท่านั้น โปรดทราบว่าสมการสำหรับการไหลแบบคืบคลานจะเกิดขึ้นเมื่อสมมติว่าด้านซ้ายเป็นศูนย์

ใน การไหล แบบสมมาตรตามแกนสามารถใช้สูตรฟังก์ชันกระแสอีกแบบหนึ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันกระแสสโตกส์ เพื่ออธิบายส่วนประกอบความเร็วของการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ด้วย ฟังก์ชัน สเกลาร์ เพียงฟังก์ชันเดียว

สมการนาเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถอัดได้ เป็นสมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิตซึ่งมีข้อเสียคือไม่มีกลไกที่ชัดเจนสำหรับการเปลี่ยนแปลงความดันตามเวลา ดังนั้นจึงมีการพยายามอย่างมากที่จะกำจัดความดันออกจากกระบวนการคำนวณทั้งหมดหรือบางส่วน การกำหนดสูตรฟังก์ชันกระแสช่วยกำจัดความดันได้ แต่เฉพาะในสองมิติเท่านั้น และต้องแลกมาด้วยการนำอนุพันธ์อันดับสูงกว่ามาใช้และการกำจัดความเร็ว ซึ่งเป็นตัวแปรหลักที่สนใจ

สมการ Navier–Stokes เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้น ในกรณีทั่วไป และยังคงอยู่ในเกือบทุกสถานการณ์จริง^{[ 24 ] [ 25 ]}ในบางกรณี เช่น การไหลแบบหนึ่งมิติและการไหลแบบ Stokes (หรือการไหลแบบคืบคลาน) สมการสามารถลดรูปเป็นสมการเชิงเส้นได้ ความเป็นไม่เชิงเส้นทำให้ปัญหาส่วนใหญ่ยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ไข และเป็นปัจจัยหลักที่ทำให้เกิดความปั่นป่วนที่สมการจำลองขึ้น

ความไม่เป็นเชิงเส้นเกิดจาก การเร่งความเร็ว แบบพาความร้อนซึ่งเป็นการเร่งความเร็วที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วตามตำแหน่ง ดังนั้น การไหลแบบพาความร้อนใดๆ ไม่ว่าจะเป็นแบบปั่นป่วนหรือไม่ก็ตาม จะเกี่ยวข้องกับความไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างของการไหลแบบพาความร้อนแต่เป็นแบบราบเรียบ (ไม่เป็นปั่นป่วน) คือการไหลของของเหลวหนืด (เช่น น้ำมัน) ผ่านหัวฉีด ที่แคบลง การไหล ดังกล่าว ไม่ว่าจะสามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำหรือไม่ก็ตาม มักจะสามารถศึกษาและทำความเข้าใจได้อย่างละเอียด^{[ 26 ]}

ความปั่นป่วน คือพฤติกรรม อลหม่านที่ขึ้นอยู่กับเวลาซึ่งพบเห็นได้ในการไหลของของเหลวหลายชนิด โดยทั่วไปเชื่อกันว่าเกิดจากความเฉื่อยของของเหลวโดยรวม: ผลรวมของการเร่งความเร็วที่ขึ้นอยู่กับเวลาและการเร่งความเร็วแบบพาความร้อน ดังนั้นการไหลที่ผลกระทบจากความเฉื่อยมีน้อยมักจะเป็นแบบราบเรียบ ( เลขเรย์โนลด์จะวัดว่าการไหลได้รับผลกระทบจากความเฉื่อยมากน้อยเพียงใด) เชื่อกันว่า แม้จะไม่ทราบแน่ชัดก็ตาม สมการนาเวียร์-สโตกส์สามารถอธิบายความปั่นป่วนได้อย่างถูกต้อง^{[ 27 ]}

การแก้สมการ Navier–Stokes สำหรับการไหลแบบปั่นป่วนด้วยวิธีเชิงตัวเลขนั้นยากมาก และเนื่องจากขนาดความยาวการผสมที่แตกต่างกันอย่างมากที่เกี่ยวข้องกับการไหลแบบปั่นป่วน การแก้ปัญหาที่เสถียรจึงต้องการความละเอียดของตาข่ายที่ละเอียดมากจนเวลาในการคำนวณสูงเกินไปจนไม่สามารถทำได้จริงสำหรับการคำนวณหรือการจำลองเชิงตัวเลขโดยตรงความพยายามในการแก้ปัญหาการไหลแบบปั่นป่วนโดยใช้ตัวแก้ปัญหาการไหลแบบราบเรียบมักจะส่งผลให้ได้คำตอบที่ไม่คงที่ตามเวลา ซึ่งไม่สามารถลู่เข้าได้อย่างเหมาะสม เพื่อแก้ไขปัญหานี้ สมการเฉลี่ยตามเวลา เช่นสมการ Navier–Stokes เฉลี่ยของ Reynolds (RANS) ซึ่งเสริมด้วยแบบจำลองความปั่นป่วน ถูกนำมาใช้ใน การประยุกต์ใช้ พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD) ในทางปฏิบัติเมื่อจำลองการไหลแบบปั่นป่วน แบบจำลองบางแบบ ได้แก่ แบบจำลอง Spalart–Allmaras , k – ω , k – εและSSTซึ่งเพิ่มสมการเพิ่มเติมต่างๆ เพื่อให้สมการ RANS สมบูรณ์ยิ่งขึ้นการจำลองกระแสน้ำวนขนาดใหญ่ (LES) สามารถนำมาใช้แก้สมการเหล่านี้ในเชิงตัวเลขได้เช่นกัน วิธีการนี้ใช้ทรัพยากรในการคำนวณมากกว่า RANS ทั้งในด้านเวลาและหน่วยความจำ แต่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า เนื่องจากสามารถจำลองขนาดของกระแสน้ำวนขนาดใหญ่ได้อย่างชัดเจน

เมื่อนำสมการเสริม (เช่น การอนุรักษ์มวล) และเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้อย่างดีมาใช้ร่วมด้วย สมการนาเวียร์-สโตกส์ดูเหมือนจะจำลองการเคลื่อนที่ของไหลได้อย่างแม่นยำ แม้แต่การไหลแบบปั่นป่วนก็ดูเหมือนจะสอดคล้องกับการสังเกตการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริง (โดยเฉลี่ย)

สมการ Navier–Stokes ถือว่าของไหลที่กำลังศึกษาเป็นของไหลต่อเนื่อง (สามารถแบ่งย่อยได้ไม่จำกัดและไม่ได้ประกอบด้วยอนุภาค เช่น อะตอมหรือโมเลกุล) และไม่ได้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพัทธภาพในระดับที่เล็กมากหรือภายใต้เงื่อนไขสุดขั้ว ของไหลจริงที่ประกอบด้วยโมเลกุลแบบไม่ต่อเนื่องจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากของไหลต่อเนื่องที่จำลองโดยสมการ Navier–Stokes ตัวอย่างเช่นแรงดึงผิวของชั้นภายในในของไหลปรากฏขึ้นสำหรับการไหลที่มีความชันสูง^{[ 28 ]} สำหรับค่า Knudsen number ขนาดใหญ่ ของปัญหาสมการ Boltzmannอาจเป็นตัวเลือกที่เหมาะสม^{[ 29 ]} หากไม่เป็นเช่นนั้น อาจต้องใช้พลศาสตร์โมเลกุลหรือวิธีการผสมผสานต่างๆ^{[ 30 ]}

ข้อจำกัดอีกประการหนึ่งคือลักษณะที่ซับซ้อนของสมการ สูตรที่ผ่านการทดสอบมาแล้วมีอยู่สำหรับตระกูลของไหลทั่วไป แต่การประยุกต์ใช้สมการ Navier–Stokes กับตระกูลที่ไม่ค่อยพบเห็นมักจะส่งผลให้เกิดสูตรที่ซับซ้อนมากและมักจะก่อให้เกิดปัญหาการวิจัยที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข ด้วยเหตุนี้ สมการเหล่านี้จึงมักเขียนขึ้นสำหรับของไหลแบบนิวตันซึ่งแบบจำลองความหนืดเป็นแบบเชิงเส้น แบบจำลองทั่วไปที่แท้จริงสำหรับการไหลของของไหลชนิดอื่น (เช่น เลือด) ยังไม่มีอยู่^{[ 31 ]}

สมการนาเวียร์-สโตกส์ แม้จะเขียนขึ้นโดยเฉพาะสำหรับของไหลชนิดใดชนิดหนึ่ง ก็ยังมีความเป็นทั่วไปอยู่ และการนำไปประยุกต์ใช้กับปัญหาเฉพาะต่างๆ ก็มีความหลากหลายมาก ส่วนหนึ่งเป็นเพราะมีปัญหามากมายที่สามารถจำลองได้ ตั้งแต่ปัญหาที่ง่ายที่สุดอย่างการกระจายตัวของความดันสถิต ไปจนถึงปัญหาที่ซับซ้อนอย่างการไหลแบบหลายเฟสที่ ขับเคลื่อนด้วยแรงตึงผิว

โดยทั่วไป การประยุกต์ใช้กับปัญหาเฉพาะมักเริ่มต้นด้วยการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการไหลและการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น/เงื่อนไขขอบเขต จากนั้นอาจตามด้วยการวิเคราะห์ขนาดเพื่อลดความซับซ้อนของปัญหาลงอีก

สมมติว่าเป็นการไหลแบบคงที่ ขนาน หนึ่งมิติ ไม่มีการพาความร้อน และขับเคลื่อนด้วยแรงดันระหว่างแผ่นขนานปัญหาค่าขอบเขต ที่ปรับขนาดแล้ว (ไร้มิติ) ที่ได้จะ เป็นดังนี้: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

เงื่อนไขขอบเขตคือเงื่อนไขไม่ลื่นไถลปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายสำหรับสนามการไหล: $${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

จากจุดนี้เป็นต้นไป เราสามารถหาค่าต่างๆ ที่น่าสนใจได้ง่ายขึ้น เช่น แรงต้านหนืด หรืออัตราการไหลสุทธิ

ความยากลำบากอาจเกิดขึ้นเมื่อปัญหาซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่ดูเหมือนไม่ซับซ้อนจากการไหลแบบขนานข้างต้นคือ การไหล แบบรัศมีระหว่างแผ่นขนาน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพาความร้อนและดังนั้นจึงเป็นแบบไม่เชิงเส้น สนามความเร็วอาจแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle f(z)}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญนี้คือสิ่งที่ได้มาเมื่อเขียนสมการ Navier–Stokes และใช้สมมติฐานการไหล (นอกจากนี้ ยังมีการหาค่าความชันของความดันด้วย) เทอมที่ไม่เป็นเชิงเส้นทำให้ปัญหานี้แก้ไขได้ยากมากในเชิงวิเคราะห์ ( อาจพบวิธีแก้ปัญหาโดยปริยาย ที่ยาว ซึ่งเกี่ยวข้องกับ ปริพันธ์เชิงวงรีและรากของพหุนามกำลังสาม ) ปัญหาเกี่ยวกับการมีอยู่จริงของคำตอบเกิดขึ้นสำหรับ(โดยประมาณ; นี่ไม่ใช่√2 ) โดยพารามิเตอร์คือเลขเรย์โนลด์ที่มีมาตราส่วนที่เลือกอย่างเหมาะสม^{[ 32 ]} นี่เป็นตัวอย่างของสมมติฐานการไหลที่สูญเสียความสามารถในการใช้งาน และเป็นตัวอย่างของความยากลำบากในการไหลที่มีเลขเรย์โนลด์ "สูง" ^{[ 32 ]}${\textstyle R>1.41}$${\textstyle R}$

การพาความร้อนแบบเรย์ลี-เบนาร์ด เป็นการพาความร้อนตามธรรมชาติชนิดหนึ่งที่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการนาเวียร์-สโตกส์ และเป็นหนึ่งในปรากฏการณ์การพาความร้อนที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เนื่องจากสามารถวิเคราะห์และทดลองได้ง่าย

มีคำตอบที่แน่นอนบางส่วนสำหรับสมการ Navier–Stokes ตัวอย่างของกรณีที่เสื่อมสภาพ—โดยที่พจน์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นในสมการ Navier–Stokes เท่ากับศูนย์—ได้แก่การไหลแบบ Poiseuilleการไหลแบบ Couetteและชั้นขอบเขต Stokes แบบสั่น แต่ยังมีตัวอย่างที่น่าสนใจกว่านั้นอีก คือ คำตอบสำหรับสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบสมบูรณ์ เช่น การไหล แบบJeffery–Hamel การ ไหลแบบหมุนวนของ Von Kármán การไหลที่จุดหยุดนิ่งกระแสน้ำLandau–Squireและ กระแสน้ำ วนTaylor–Green ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} คำตอบ ที่คล้ายคลึงกันแบบขึ้นอยู่กับเวลาของสมการ Navier–Stokes สามมิติที่ไม่สามารถอัดได้ในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถให้ได้โดยใช้ฟังก์ชันของ Kummerที่มีอาร์กิวเมนต์กำลังสอง^{[ 36 ]}สำหรับสมการ Navier–Stokes ที่อัดได้ คำตอบที่คล้ายคลึงกันแบบขึ้นอยู่กับเวลาจะเป็นฟังก์ชัน Whittakerอีกครั้งโดยมีอาร์กิวเมนต์กำลังสองเมื่อใช้สมการสถานะโพลีโทรปิก เป็นเงื่อนไขปิด ^{[ 37 ]}โปรดทราบว่าการมีอยู่ของคำตอบที่แน่นอนเหล่านี้ไม่ได้หมายความว่าคำตอบเหล่านั้นจะเสถียร: ความปั่นป่วนอาจเกิดขึ้นที่เลขเรย์โนลด์ที่สูงขึ้น

ภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติม ส่วนประกอบต่างๆ สามารถแยกออกจากกันได้^{[ 38 ]}