จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน${\displaystyle a=x+yi}$และ${\displaystyle b=u+vi}$จะถูกเพิ่มโดยการบวกส่วนจริงและส่วนจินตนาการแยกกัน^{[ 13 ]}กล่าวคือ:

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$ ในทำนองเดียวกันการลบสามารถทำได้ดังนี้ $${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

การบวกสามารถมองเห็นได้ในเชิงเรขาคณิตดังนี้: ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนaและbซึ่งตีความได้ว่าเป็นจุดในระนาบเชิงซ้อน คือจุดที่ได้จากการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจากจุดยอดทั้งสามOและจุดของลูกศรที่กำกับด้วยaและb (โดยที่จุดเหล่านั้นไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) หรืออีกนัยหนึ่ง หากเรียกจุดเหล่านี้ว่าAและBตามลำดับ และจุดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานXว่าสามเหลี่ยมOABและXBAจะเท่ากันทุกประการ

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนคำนวณได้ดังนี้: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle (2-i)(3+4i)=2\cdot 3-((-1)\cdot 4)+(2\cdot 4+(-1)\cdot 3)i=10+5i.}$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีพิเศษนี้จะรวมถึงสูตรพื้นฐานด้วย

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

สูตรนี้ใช้แยกแยะจำนวนเชิงซ้อนiออกจากจำนวนจริงใดๆ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ (ทั้งบวกและลบ) จะเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ

ด้วยนิยามของการคูณและการบวกนี้ กฎที่คุ้นเคยสำหรับเลขคณิตของจำนวนตรรกยะหรือจำนวนจริงยังคงใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน กล่าวคือคุณสมบัติการกระจายและคุณสมบัติการสลับที่ (ของการบวกและการคูณ) ยังคงใช้ได้ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงสร้างโครงสร้างพีชคณิตที่เรียกว่าฟิลด์เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะหรือจำนวนจริง^{[ 14 ]}

สังยุคเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนz = x + yiถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$^{[ 15 ]}ผู้เขียนบางคนยังระบุด้วย${\displaystyle z^{*}}$ในทางเรขาคณิตzคือ"ภาพสะท้อน"ของzรอบแกนจริง การสังยุคสองครั้งจะได้จำนวนเชิงซ้อนเดิม:${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$จำนวนเชิงซ้อนจะเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อมันเท่ากับจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของมันเอง การหาจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง เป็นการดำเนินการเอกภาคไม่สามารถแสดงได้โดยใช้เพียงการดำเนินการพื้นฐาน เช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆz = x + yiผลคูณ

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

เป็น จำนวน จริงที่ไม่เป็นลบซึ่งทำให้สามารถกำหนดค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัสหรือขนาด ) ของzให้เป็นรากที่สองได้^{[ 16 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส${\displaystyle |z|}$คือระยะห่างจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อนzในระนาบเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งวงกลมรัศมีหนึ่งรอบจุดกำเนิดประกอบด้วยจำนวนzที่มีคุณสมบัติว่า${\displaystyle |z|=1}$ซึ่งรู้จักกันในชื่อจำนวนเชิงซ้อนหน่วยถ้า${\displaystyle z=x=x+0i}$ถ้าเป็นจำนวนจริง${\displaystyle |z|=|x|}$ค่าสัมบูรณ์ของมันในรูปจำนวนเชิงซ้อนและในรูปจำนวนจริงนั้นเท่ากัน

โดยใช้คอนจูเกตซึ่งเป็นส่วนกลับของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle z=x+yi}$สามารถคำนวณได้เป็น^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ โดยทั่วไปแล้ว การหารจำนวนเชิงซ้อนใดๆ${\displaystyle w=u+vi}$โดยจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle z=x+yi}$เท่ากับ $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ กระบวนการนี้บางครั้งเรียกว่า " การทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ" (แม้ว่าตัวส่วนในนิพจน์สุดท้ายอาจเป็นจำนวนจริงอตรรกยะ) เนื่องจากมีลักษณะคล้ายกับวิธีการกำจัดรากออกจากนิพจน์ง่ายๆ ในตัวส่วน^{[ 17 ] [ 18 ]}

อาร์กิวเมนต์ของz (บางครั้งเรียกว่า "เฟส" φ ) [ ^{10 ] คือ}มุมของรัศมีOzกับแกนจริงบวก และเขียนเป็นarg zซึ่งแสดงในหน่วยเรเดียนในบทความนี้ มุมนี้ถูกกำหนดไว้เฉพาะการเพิ่มผลคูณจำนวนเต็มของ${\displaystyle 2\pi }$เนื่องจากการหมุนโดย${\displaystyle 2\pi }$(หรือ 360°) รอบจุดกำเนิดจะไม่ทำให้จุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนเปลี่ยนแปลง ทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้ในการระบุอาร์กิวเมนต์อย่างเฉพาะเจาะจงคือการกำหนดให้ต้องอยู่ในช่วง${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ซึ่งเรียกว่าค่าหลัก^{[ 19 ]} สามารถคำนวณอาร์กิวเมนต์จากรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าx + yiโดยใช้ ฟังก์ชัน arctan (แทนเจนต์ผกผัน) ^{[ 20 ]}

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนz ใดๆ ที่มีค่าสัมบูรณ์${\displaystyle r=|z|}$และการโต้แย้ง${\displaystyle \varphi }$สมการ^{[ 13 ]}

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

ถือได้ว่าเอกลักษณ์นี้เรียกว่ารูปแบบเชิงขั้วของzบางครั้งอาจย่อว่า${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$ในทางอิเล็กทรอนิกส์ จะแสดงเฟเซอร์ที่มีแอมพลิจูดrและเฟสφในรูปแบบเชิงมุมดังนี้ : ^{[ 21 ]}$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

ถ้าจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนอยู่ในรูปพิกัดเชิงขั้ว เช่นz = r (cos φ + i sin φ )และz = r (cos φ + i sin φ )ผลคูณและการหารสามารถคำนวณได้ดังนี้ $${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$ (สิ่งเหล่านี้เป็นผลมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ค่าสัมบูรณ์จะถูกคูณกันและตัวแปรจะถูกบวกกันเพื่อให้ได้รูปแบบเชิงขั้วของผลคูณ ภาพทางด้านขวามือแสดงให้เห็นถึงการคูณของ $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$ เนื่องจากส่วนจริงและส่วนจินตนาการของ5 + 5i เท่ากัน มุมของจำนวนนั้นจึงเท่ากับ 45 องศา หรือπ /4 (ในหน่วยเรเดียน ) ในทางกลับกัน ผลรวมของมุมที่จุดกำเนิดของสามเหลี่ยมสีแดงและสีน้ำเงินก็คือarctan (1/3) และ arctan(1/2) ตามลำดับ ดังนั้นสูตรจึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$ ถือไว้ เนื่องจาก ฟังก์ชัน arctanสามารถประมาณได้อย่างมีประสิทธิภาพสูง สูตรเช่นนี้ – ซึ่งรู้จักกันในชื่อสูตรแบบ Machin – จึงใช้สำหรับการประมาณค่าπ ที่มีความแม่นยำสูง : ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)}$$

กำลัง ที่nของจำนวนเชิงซ้อนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรของเดอ มัวร์ซึ่งได้มาจากการใช้สูตรข้างต้นซ้ำๆ สำหรับผลคูณ: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ ตัวอย่างเช่น เลขชี้กำลังแรกๆ ของหน่วยจินตภาพiคือ${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$.

รากที่n ของจำนวนเชิงซ้อนz จะได้รับจาก^{[ 24 ]}$${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$ สำหรับ0 ≤ k ≤ n − 1 (ที่นี่${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$(โดยปกติจะเป็น รากที่ nที่เป็นบวกของจำนวนจริงบวกr ) เนื่องจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ ค่าจำนวนเต็มk อื่นๆ จึงไม่ให้ค่าอื่นๆ สำหรับค่าใดๆ${\displaystyle z\neq 0}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มี รากที่ nเชิงซ้อนที่แตกต่างกันnราก ตัวอย่างเช่น มีรากที่สี่ของ 1 อยู่ 4 ราก ได้แก่

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีวิธีธรรมชาติใดที่จะแยกแยะ รากที่ nของจำนวนเชิงซ้อนที่เฉพาะเจาะจงได้ (ซึ่งแตกต่างจากรากของจำนวนจริงบวกx ที่มีรากที่ nเป็นจำนวนจริงบวกเพียงหนึ่งเดียวจึงมักเรียกกันว่าราก ที่ nของx ) เราอาจกล่าวถึงสถานการณ์นี้โดยกล่าวว่า รากที่ nเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นnของz

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตซึ่งเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์และฌอง เลอ รอนด์ ดาเลมแบร์กล่าวว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ (เรียกว่าสัมประสิทธิ์ ) a , ..., a สมการ $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ มีคำตอบที่ซับซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบzโดยมีเงื่อนไขว่าสัมประสิทธิ์ที่สูงกว่าอย่างน้อยหนึ่งตัวa , ..., a จะต้องไม่เป็นศูนย์^{[ 25 ]}คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงสำหรับฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$(พหุพจน์x² − 2ไม่มีรากตรรกยะ เพราะ√2ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ) และจำนวนจริงก็ไม่มีรากตรรกยะเช่น^กัน${\displaystyle \mathbb {R} }$(พหุนามx² ⁺ 4ไม่มีรากจริง เพราะกำลังสองของxเป็นค่าบวกสำหรับจำนวนจริงx ใดๆ )

เนื่องจากข้อเท็จจริงนี้${\displaystyle \mathbb {C} }$เรียกว่าฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตมันเป็นรากฐานสำคัญของการประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อนหลายด้าน ดังที่จะกล่าวรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง มีวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้หลายวิธี ทั้งโดยวิธีวิเคราะห์ เช่นทฤษฎีบทของ Liouvilleหรือ วิธี เชิงโทโพโลยีเช่นจำนวนการวนรอบหรือการพิสูจน์ที่รวมทฤษฎี Galoisและข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามจริงดีกรีคี่ใดๆก็มีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก

ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนถูกนิยามว่าเป็นฟิลด์ส่วนขยาย เชิงพีชคณิต (ที่ไม่ซ้ำกัน) ของจำนวนจริง ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อ #นิยามเชิงพีชคณิตนามธรรม ต่อไป

แนวทางหนึ่งในการ${\displaystyle \mathbb {C} }$คือผ่านทางพหุนามกล่าวคือ นิพจน์ในรูปแบบ $${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ โดยที่สัมประสิทธิ์a , ..., a เป็นจำนวนจริง เซตของพหุนามทั้งหมดดังกล่าวจะถูกแทนด้วย${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$เนื่องจากผลบวกและผลคูณของพหุนามก็ยังคงเป็นพหุนามอยู่ดี ดังนั้นเซตนี้จึงเป็นพหุนาม${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ เรียกว่าวงแหวนพหุนาม (เหนือจำนวนจริง) สำหรับพหุนามp แต่ละตัวนั้น เราสามารถกำหนดจำนวนเชิงซ้อนได้${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$กล่าวคือ ค่าที่ได้จากการตั้งค่า${\displaystyle X=i}$นี่เป็นการกำหนดฟังก์ชัน

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงเนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: การประเมินค่าพหุนามเชิงเส้น${\displaystyle a+bX}$ที่${\displaystyle X=i}$เป็น${\displaystyle a+bi}$อย่างไรก็ตาม การประเมินพหุนาม${\displaystyle X^{2}+1}$ที่iคือ 0 เนื่องจาก${\displaystyle i^{2}+1=0.}$พหุนามนี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของพหุนามเชิงเส้นสองตัวได้ ข้อเท็จจริงพื้นฐานของพีชคณิตนามธรรมบ่งชี้ว่าเคอร์เนลของแผนที่ข้างต้นเป็นไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามนี้ และผลหารโดยไอเดียลนี้เป็นฟิลด์ และมีการสมสัณฐานกัน

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

ระหว่างวงแหวนผลหารและ${\displaystyle \mathbb {C} }$นักเขียนบางคนถือว่านี่คือคำจำกัดความของ${\displaystyle \mathbb {C} }$[ ^{66 ] [ 67 ] คำ จำกัดความ}นี้แสดงถึง${\displaystyle \mathbb {C} }$ในฐานะพีชคณิตกำลังสอง

สนาม${\displaystyle \mathbb {C} }$เป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและดังนั้นจึงเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

จำนวนเชิงซ้อนa + biสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์2 × 2 ที่มีรูปแบบ^{[ 68 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$ ในที่นี้ ค่าaและbเป็นจำนวนจริง เนื่องจากผลรวมและผลคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ดังกล่าวมีรูปแบบนี้เช่นกัน เมทริกซ์เหล่านี้จึงประกอบกันเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนเมทริกซ์2 × 2

การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าแผนที่ $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$ เป็นการแปลงแบบไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนไปยังวงแหวนของเมทริกซ์เหล่านี้ ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์เหล่านี้ประกอบกันเป็นฟิลด์ การแปลงแบบไอโซมอร์ฟิซึมนี้เชื่อมโยงกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน และคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนกับทรานสโพสของเมทริกซ์

การแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้วจะให้เมทริกซ์เหล่านี้อย่างชัดเจนในรูปของเมทริกซ์การหมุน ที่ปรับขนาด แล้ว $${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &\;\;r\cos \theta \end{pmatrix}}}$$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีที่r = 1ซึ่งก็คือ${\displaystyle |a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1}$ให้เมทริกซ์การหมุน (ที่ไม่ได้ปรับขนาด)

แนวคิดเรื่องอนุกรมลู่เข้าและฟังก์ชันต่อเนื่องในวิเคราะห์เชิงจริงนั้นมีลักษณะคล้ายคลึงกันในวิเคราะห์เชิงซ้อน ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตนาการลู่เข้าด้วย ซึ่งเทียบเท่ากับนิยาม(ε, δ) ของลิมิตโดยที่ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงถูกแทนที่ด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จากมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น${\displaystyle \mathbb {C} }$ซึ่งได้รับการเสริมด้วยเมตริก$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$เป็น ปริภูมิเมตริก สมบูรณ์ซึ่งรวมถึงอสมการสามเหลี่ยม ด้วย$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อนz และz ใด ๆ

เช่นเดียวกับในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงจริง แนวคิดเรื่องการลู่เข้านี้ใช้ในการสร้าง ฟังก์ชันพื้นฐานจำนวนหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp zหรือเขียนว่าe ^zถูกกำหนดให้เป็นอนุกรมอนันต์ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าลู่เข้าสำหรับz ใดๆ : $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \exp(1)}$คือจำนวนของออยเลอร์${\displaystyle e\approx 2.718}$สูตรของออยเลอร์กล่าวว่า :$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ สำหรับจำนวนจริงφ ใดๆ สูตรนี้เป็นผลลัพธ์อย่างรวดเร็วจากข้อเท็จจริงพื้นฐานทั่วไปเกี่ยวกับอนุกรมกำลังลู่เข้าและนิยามของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องในฐานะอนุกรมกำลัง ในกรณีพิเศษนี้รวมถึงเอกลักษณ์ของออยเลอร์ ด้วย$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

สำหรับจำนวนจริงบวกt ใดๆ จะมีจำนวนจริงx เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ที่ทำให้${\displaystyle \exp(x)=t}$สิ่งนี้จึงนำไปสู่คำจำกัดความของลอการิทึมธรรมชาติว่าเป็นส่วนกลับ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สถานการณ์จะแตกต่างออกไปสำหรับจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจาก

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

โดยใช้สมการเชิงฟังก์ชันและเอกลักษณ์ของออยเลอร์ ตัวอย่างเช่นe ^iπ = e ^{3 iπ} = −1ดังนั้นทั้งiπและ3 iπจึงเป็นค่าที่เป็นไปได้สำหรับลอการิทึมเชิงซ้อนของ−1

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเชิงซ้อนw ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จำนวนz ใดๆ ก็ สามารถแก้สมการได้

${\displaystyle \exp z=w}$

เรียกว่าลอการิทึมเชิงซ้อนของwซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle \log w}$สามารถแสดงได้ว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตาม^{[ 69 ]}$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \arg }$คืออาร์กิวเมนต์ที่นิยามไว้ข้างต้นและ${\displaystyle \ln }$ลอการิทึมธรรมชาติ (ของจริง) เนื่องจาก arg เป็นฟังก์ชันหลายค่าซึ่งมีค่าเฉพาะไม่เกินผลคูณของ2π เท่านั้น log จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าเช่นกันค่าหลักของ log มักจะหาได้จากการจำกัดส่วนจินตนาการให้อยู่ในช่วง(−π , π ] ซึ่งทำให้ลอการิทึมเชิงซ้อนเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective function )ที่มีค่าอยู่ในช่วงดังกล่าว${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$(ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์)${\displaystyle S_{0}}$(ดังภาพประกอบด้านบน) $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

ถ้า${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$ถ้า φ ไม่ใช่จำนวนจริงที่ไม่เป็นบวก (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง) ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนที่ได้จะมีค่าอยู่ในช่วง−π < φ < π ลอการิทึมเชิงซ้อน เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์นอกเหนือจากจำนวนจริงลบ แต่ไม่สามารถขยายให้เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่จำนวนจริงลบใดๆได้${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$โดยที่ค่าหลักคือln z = ln(− z ) + iπ . ^{[ h ]}

การยก กำลังเชิงซ้อนz ^ωถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$ และมีค่าหลายค่า ยกเว้นเมื่อωเป็นจำนวนเต็ม สำหรับω = 1 / nสำหรับจำนวนธรรมชาติn บางค่า จะทำให้ได้ ค่ารากที่nที่ไม่ซ้ำกัน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หาก z > 0เป็นจำนวนจริง (และωเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ) จะมีตัวเลือกที่เหมาะสมกว่าคือ${\displaystyle \ln x}$ลอการิทึมจริง ซึ่งสามารถใช้กำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ต้องการได้

จำนวนเชิงซ้อนนั้น ต่างจากจำนวนจริง ตรงที่โดยทั่วไปแล้วจะไม่สอดคล้องกับเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมที่ไม่เปลี่ยนแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาอย่างง่ายๆ ว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียว ดูความล้มเหลวของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อนจะไม่สอดคล้องกับ $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$ ตามนิยามของการยกกำลังเชิงซ้อนที่ให้ไว้ในที่นี้ ทั้งสองข้างของสมการมีค่าหลายค่า และค่าทางด้านซ้ายเป็นส่วนหนึ่งของค่าทางด้านขวา

อนุกรมที่กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติจริงsinและcosรวมถึงฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกsinhและcoshนั้น สามารถนำไปใช้กับอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนได้โดยไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิกอื่นๆ เช่นtan นั้นสิ่งต่างๆ จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากอนุกรมที่กำหนดนั้นไม่ลู่เข้าสำหรับค่าเชิงซ้อนทั้งหมด ดังนั้นจึงต้องกำหนดฟังก์ชันเหล่านั้นในรูปของไซน์ โคไซน์ และเลขชี้กำลัง หรือเทียบเท่ากันโดยใช้วิธีการต่อยอดเชิงวิเคราะห์

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกของจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันเหล่านั้นที่ประเมินค่าบนจำนวนจริง โดยใช้สูตรการบวกมุม สำหรับz = x + iy ,

$${\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {y}+i\cos {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {y}-i\sin {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \tan {z}={\frac {\tan {x}+i\tanh {y}}{1-i\tan {x}\tanh {y}}}}$$

$${\displaystyle \cot {z}=-{\frac {1+i\cot {x}\coth {y}}{\cot {x}-i\coth {y}}}}$$

$${\displaystyle \sinh {z}=\sinh {x}\cos {y}+i\cosh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \cosh {z}=\cosh {x}\cos {y}+i\sinh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \tanh {z}={\frac {\tanh {x}+i\tan {y}}{1+i\tanh {x}\tan {y}}}}$$

$${\displaystyle \coth {z}={\frac {1-i\coth {x}\cot {y}}{\coth {x}-i\cot {y}}}}$$

ในกรณีที่นิพจน์เหล่านี้ไม่ได้นิยามไว้อย่างชัดเจน เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกมีค่าเป็นอนันต์ หรือมีการหารด้วยศูนย์ นิพจน์เหล่านั้นก็ยังคงถูกต้องในฐานะลิมิต

ฟังก์ชัน${\displaystyle f:\mathbb {C} }$→${\displaystyle \mathbb {C} }$เรียกว่าโฮโลมอร์ฟิกหรืออนุพันธ์เชิงซ้อนที่จุดหนึ่ง${\displaystyle z_{0}}$หากเป็นขีดจำกัด

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

มีอยู่ (ในกรณีนี้จะใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle f'(z_{0})}$). นี่เป็นการจำลองนิยามของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จริง ยกเว้นว่าปริมาณทั้งหมดเป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยคร่าวๆ แล้วคืออิสระในการเข้าถึง${\displaystyle z_{0}}$ในทิศทางที่แตกต่างกันนั้น จำเป็นต้องมีเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าการเป็นอนุพันธ์ (จริง) มาก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

สามารถหาอนุพันธ์ได้ในฐานะฟังก์ชัน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จริงจะเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เชิงซ้อนก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ซึ่งบางครั้งอาจย่อว่า

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

การวิเคราะห์เชิงซ้อนแสดงให้เห็นคุณลักษณะบางอย่างที่ไม่ปรากฏในการวิเคราะห์เชิงจริง ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทเอกลักษณ์กล่าวว่า ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสองฟังก์ชันfและg สอดคล้องกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทั้งสองสอดคล้องกันบน เซตย่อยเปิดขนาดเล็กใดๆของ เซตนั้น${\displaystyle \mathbb {C} }$ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกคือฟังก์ชันที่สามารถเขียนได้ในระดับท้องถิ่นเป็นf ( z )/( z − z0 n ^โดยมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกf เป็นตัวกำหนด ยังคงมีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ส่วนฟังก์ชันอื่นๆ มีจุดเอกฐานที่สำคัญเช่นsin(1/ z )ที่z = 0

ดังที่กล่าวมาข้างต้น สมการพหุนามที่ไม่คงที่ใดๆ (ในสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน) จะมีคำตอบอยู่ใน${\displaystyle \mathbb {C} }$ยิ่งไปกว่านั้นหลักการเดียวกันนี้ก็เป็นจริงเช่นกันหากสมการมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ รากของสมการดังกล่าวเรียกว่าจำนวนพีชคณิตซึ่งเป็นหัวข้อหลักในการศึกษาทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเมื่อเปรียบเทียบกับ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$การปิดเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ซึ่งรวมถึงจำนวนพีชคณิตทั้งหมดด้วย${\displaystyle \mathbb {C} }$มีข้อดีคือเข้าใจได้ง่ายในเชิงเรขาคณิต ด้วยวิธีนี้ วิธีการทางพีชคณิตสามารถนำมาใช้ศึกษาคำถามทางเรขาคณิต และในทางกลับกัน ด้วยวิธีการทางพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้กลไกของทฤษฎีฟิลด์กับฟิลด์จำนวนที่มีรากของเอกภาพสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าไม่สามารถสร้างรูปเก้าเหลี่ยม ด้านเท่า โดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัดได้ซึ่งเป็นปัญหาทางเรขาคณิตล้วนๆ

อีกตัวอย่างหนึ่งคือจำนวนเต็มเกาส์เซียนนั่นคือจำนวนในรูปแบบx² + iy²โดยที่xและyเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถใช้ในการจำแนกประเภทผลรวมของกำลังสองได้

ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ศึกษาจำนวน ซึ่งมักจะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ โดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเหล่านั้นสามารถมองได้ว่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งสามารถใช้วิธีการวิเคราะห์ได้ โดยการเข้ารหัสข้อมูลทางทฤษฎีจำนวนลงในฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ζ( s )เกี่ยวข้องกับการกระจายของจำนวนเฉพาะ

ในสาขาประยุกต์ จำนวนเชิงซ้อนมักถูกใช้ในการคำนวณอินทิกรัลไม่เหมาะสมที่ มีค่าเป็นจำนวนจริงบางประเภท โดยใช้ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ ดูวิธีการอินทิกรัลตามเส้นโค้งได้ที่ นี่

ในสมการเชิงอนุพันธ์มักจะต้องหาค่ารากเชิงซ้อนr ทั้งหมด ของสมการลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นหรือระบบสมการก่อน แล้วจึงพยายามแก้ระบบสมการในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบf ( t ) = e ^( ^rt ) เช่นเดียวกัน ในสมการเชิงผลต่าง จะใช้ ค่ารากเชิงซ้อนr ของสมการลักษณะ ^{เฉพาะ} ของระบบสมการเชิงผลต่าง เพื่อพยายามแก้ระบบสม การในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบf ( t ) = rt

เนื่องจาก${\displaystyle \mathbb {C} }$เนื่องจากเมทริกซ์ เชิงซ้อนปิดเชิงพีชคณิต เมทริกซ์จัตุรัส เชิงซ้อนที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ จะมี ค่าไอเกนอย่างน้อยหนึ่งค่า (เชิงซ้อน) ในทางตรงกันข้าม เมทริกซ์จริงไม่จำเป็นต้องมีค่าไอเกนเป็นจำนวนจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์การหมุน (สำหรับการหมุนระนาบด้วยมุมที่ไม่ใช่ 0° หรือ 180°) จะไม่กำหนดทิศทางใดๆ ไว้ ดังนั้นจึงไม่มี ค่าไอเกนเป็น จำนวนจริงการมีอยู่ของค่าไอเกน (เชิงซ้อน) และการแยกส่วนประกอบไอเกน ที่ตามมา เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณกำลังของเมทริกซ์และ เลขชี้กำลัง ของเมทริกซ์

จำนวนเชิงซ้อนมักเป็นการขยายแนวคิดที่คิดค้นขึ้นในจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น เมทริก ซ์สัง ยุค และเมทริกซ์ สลับตำแหน่ง เป็นการขยาย แนวคิดของ เมทริกซ์ สลับตำแหน่ง เมทริกซ์เฮอร์ มิเชีย น เป็นการขยายแนวคิด ของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์เอกภาพเป็นการขยายแนวคิด ของเมทริกซ์ตั้งฉาก

สนาม${\displaystyle \mathbb {C} }$มีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้:

• ประการแรก มันมีลักษณะเฉพาะคือ 0 ซึ่งหมายความว่า1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0สำหรับจำนวนพจน์ใดๆ (ซึ่งทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง)
• ประการที่สอง ระดับการก้าวข้ามขีดจำกัดของมัน${\displaystyle \mathbb {Q} }$สนามหลักของ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$คือจำนวนสมาชิกของความต่อเนื่อง
• ประการที่สาม มันเป็นโครงสร้างปิดเชิงพีชคณิต (ดูด้านบน)

สามารถแสดงได้ว่าฟิลด์ใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้จะสมสัณฐาน (ในฐานะฟิลด์) กับฟิลด์นั้น${\displaystyle \mathbb {C} .}$ตัวอย่างเช่นการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$จำนวนp -adicยังตรงตามคุณสมบัติทั้งสามนี้ด้วย ดังนั้นฟิลด์ทั้งสองนี้จึงสมมาตรกัน (ในฐานะฟิลด์ แต่ไม่ใช่ในฐานะฟิลด์เชิงทอพอโลยี) ^{[ 76 ]}นอกจากนี้${\displaystyle \mathbb {C} }$มีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิกกับฟิลด์ของอนุกรมปุยเซอซ์ เชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม การระบุไอโซมอร์ฟิซึมนั้นต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของการกำหนดลักษณะทางพีชคณิตนี้คือ${\displaystyle \mathbb {C} }$ประกอบด้วยฟิลด์ย่อยที่เหมาะสมจำนวนมากซึ่งมีลักษณะสมมาตรกับ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

ลักษณะที่กล่าวมาข้างต้นของ${\displaystyle \mathbb {C} }$อธิบายเฉพาะแง่มุมทางพีชคณิตของ${\displaystyle \mathbb {C} .}$กล่าวคือ คุณสมบัติของความใกล้เคียงและความต่อเนื่องซึ่งมีความสำคัญในสาขาต่างๆ เช่นการวิเคราะห์และโทโพโลยีไม่ได้ถูกกล่าวถึง คำอธิบายต่อไปนี้เกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {C} }$เนื่องจากฟิลด์เชิงทอพอโลยี (กล่าวคือ ฟิลด์ที่มีทอพอโลยีซึ่งช่วยให้สามารถพิจารณาแนวคิดเรื่องการล convergence ได้) จึงคำนึงถึงคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีด้วย${\displaystyle \mathbb {C} }$ประกอบด้วยเซตย่อยP (กล่าวคือ เซตของจำนวนจริงบวก) ที่มีสมาชิกไม่เป็นศูนย์ซึ่งตรงตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้:

• Pมีคุณสมบัติปิดภายใต้การบวก การคูณ และการหาตัวผกผัน
• ถ้าxและyเป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของP แล้ว x − y หรือ y − x จะอยู่ในP
• ถ้าSเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของPแล้วS + P = x + Pสำหรับx บางตัว ใน${\displaystyle \mathbb {C} .}$

นอกจากนี้,${\displaystyle \mathbb {C} }$มีออโตมอร์ฟิซึมผกผัน ที่ไม่ธรรมดา x ↦ x * (กล่าวคือ การสังยุคเชิงซ้อน) โดยที่x x *อยู่ในPสำหรับx ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ใน${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ฟิลด์F ใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ สามารถกำหนดโทโพโลยีได้โดยการใช้เซตB ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P }เป็นฐานโดยที่xครอบคลุมฟิลด์ และpครอบคลุมPด้วยโทโพโลยีนี้Fจะเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะ ฟิลด์ โทโพโลยีกับ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ฟิลด์โทโพโลยีแบบกระชับ เฉพาะที่ ที่เชื่อมต่อ กัน เพียงอย่างเดียวคือ${\displaystyle \mathbb {R} }$และ${\displaystyle \mathbb {C} .}$นี่เป็นการให้ลักษณะเฉพาะอีกแบบหนึ่งของ${\displaystyle \mathbb {C} }$ในฐานะฟิลด์เชิงทอพอโลยี เพราะว่า${\displaystyle \mathbb {C} }$สามารถแยกแยะได้จาก${\displaystyle \mathbb {R} }$เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นเชื่อมต่อกันในขณะที่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่เชื่อมต่อกัน^{[ 77 ]}

ระบบตัวเลข

	จำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$	ตัวเลขจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$	จำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$	ควอเทอร์เนียน${\displaystyle \mathbb {H} }$	อ็อกโทเนียน${\displaystyle \mathbb {O} }$	การประชุม${\displaystyle \mathbb {S} }$
สมบูรณ์	เลขที่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่
มิติในฐานะ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ปริภูมิเวกเตอร์	[ไม่เกี่ยวข้อง]	1	2	4	8	16
สั่งซื้อ	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่	เลขที่	เลขที่
การคูณสลับที่ได้(${\displaystyle xy=yx}$)	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่	เลขที่
การคูณแบบสลับที่(${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$)	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่
พีชคณิตการหารแบบบรรทัดฐาน(เหนือ${\displaystyle \mathbb {R} }$)	[ไม่เกี่ยวข้อง]	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่

กระบวนการขยายขอบเขต${\displaystyle \mathbb {R} }$ของจริงถึง${\displaystyle \mathbb {C} }$เป็นตัวอย่างหนึ่งของการสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสันการนำการสร้างนี้ไปใช้ซ้ำๆ กับ${\displaystyle \mathbb {C} }$จากนั้นจึงให้ผลลัพธ์เป็นควอเทอร์เนียน อ็ อกโทเนียน [ ^{78 ] เซ}เดเนียนและไตรจินทาดูโอเนียนการสร้างนี้กลับกลายเป็นการลดคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของระบบจำนวนที่เกี่ยวข้อง

ไม่เหมือนกับของจริง${\displaystyle \mathbb {C} }$ไม่ใช่ฟิลด์เรียงลำดับกล่าวคือ ไม่สามารถกำหนดความสัมพันธ์z < z ที่เข้ากันได้กับการบวกและการคูณได้ อันที่จริง ในฟิลด์เรียงลำดับใดๆ กำลังสองของสมาชิกใดๆ จะต้องเป็นบวกเสมอ ดังนั้นi ² = −1จึงขัดขวางการมีอยู่ของการเรียงลำดับบน${\displaystyle \mathbb {C} .}$^{[ 79 ]}ผ่านจาก${\displaystyle \mathbb {C} }$ไปยังควอเทอร์เนียน${\displaystyle \mathbb {H} }$สูญเสียคุณสมบัติการสลับที่ ในขณะที่อ็อกโทเนียน (นอกจากจะไม่เป็นคุณสมบัติการสลับที่แล้ว) ยังไม่เป็นคุณสมบัติการจัดกลุ่มด้วย จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน และอ็อกโทเนียน ล้วนเป็นพีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานเหนือ${\displaystyle \mathbb {R} }$ตามทฤษฎีของฮูร์วิตซ์พวกมันเป็นเพียงกลุ่มเดียวที่ มีโครงสร้างนี้ เซเดเนียนซึ่งเป็นขั้นตอนถัดไปในการสร้างแบบเคย์ลีย์-ดิกสัน ไม่มีโครงสร้างนี้

โครงสร้าง Cayley–Dickson มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแสดงแทนแบบปกติของ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ถูกมองว่าเป็น${\displaystyle \mathbb {R} }$- พีชคณิต (an)${\displaystyle \mathbb {R} }$-ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการคูณ) โดยสัมพันธ์กับฐาน(1, i )ซึ่งหมายความว่าดังต่อไปนี้:${\displaystyle \mathbb {R} }$แผนที่เชิงเส้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อนw ที่กำหนดไว้ สามารถแทนด้วย เมทริกซ์ 2 × 2 ได้ (เมื่อเลือกฐานแล้ว) เมื่อเทียบกับฐาน(1, i )เมทริกซ์นี้คือ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ นั่นคือ รูปแบบที่กล่าวถึงในหัวข้อเกี่ยวกับการแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเมทริกซ์ข้างต้น แม้ว่านี่จะเป็นการแสดงจำนวนเชิงซ้อนในเชิงเส้นก็ตาม${\displaystyle \mathbb {C} }$ในเมทริกซ์จริงขนาด 2 × 2 นั้น มันไม่ใช่เมทริกซ์เดียว เมทริกซ์ใดๆ ก็ได้เช่นกัน $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$ มีคุณสมบัติที่ว่ากำลังสองของมันคือค่าลบของเมทริกซ์เอกลักษณ์^: J² = −Iดังนั้น $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ นอกจากนี้ ยังมีความสมมาตรกับสนามอีกด้วย${\displaystyle \mathbb {C} ,}$และให้โครงสร้างที่ซับซ้อนทางเลือกอื่นบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$แนวคิดนี้ได้รับ การสรุปโดยทั่วไปด้วยแนวคิดของโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้น

จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ยังสามารถสรุปได้โดยทั่วไปอีกด้วย${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$และ${\displaystyle \mathbb {O} .}$ตัวอย่างเช่น แนวคิดนี้ประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนซึ่งเป็นองค์ประกอบของริง${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$(ตรงข้ามกับ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$สำหรับจำนวนเชิงซ้อน) ในวงแหวนนี้ สมการa² = 1 ^มีสี่คำตอบ

สนาม${\displaystyle \mathbb {R} }$คือการเสร็จสิ้น${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ขอบเขตของจำนวนตรรกยะโดยสัมพันธ์กับเมตริกค่าสัมบูรณ์ ตามปกติ ตัวเลือกเมตริก อื่นๆ บน${\displaystyle \mathbb {Q} }$นำไปสู่ทุ่งนา${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ของจำนวนp -adic (สำหรับจำนวนเฉพาะp ใดๆ ) ซึ่งจึงคล้ายคลึงกับ${\displaystyle \mathbb {R} }$ไม่มีวิธีอื่นใดที่ซับซ้อนในการทำให้สำเร็จ${\displaystyle \mathbb {Q} }$กว่า${\displaystyle \mathbb {R} }$และ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$โดยทฤษฎีบทของออสโตรฟสกีการปิดเชิง พีชคณิต${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ของ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ยังคงมีมาตรฐานอยู่ แต่ (ต่างจาก)${\displaystyle \mathbb {C} }$) ยังไม่สมบูรณ์ในส่วนนี้ การทำให้เสร็จสมบูรณ์${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ของ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ปรากฏว่ามันเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิต โดยการเปรียบเทียบ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน p -adic

ทุ่งนา${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$และส่วนขยายฟิลด์จำกัดของพวกมัน รวมถึง${\displaystyle \mathbb {C} ,}$เรียกว่าฟิลด์ท้องถิ่น