คณิตศาสตร์เป็นสาขาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเชิงนามธรรม เช่น ตัวเลข รูปทรงเรขาคณิต เซต ฟังก์ชัน และความน่าจะเป็น โดยใช้เหตุผลเชิงตรรกะและการพิสูจน์เพื่อศึกษาและสร้างคุณสมบัติของสิ่งเหล่านั้น ซึ่งมักแสดงออกมาในรูปของทฤษฎีบท สูตร และสมการ คณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองและแก้ปัญหาในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม เทคโนโลยี เศรษฐศาสตร์ และชีวิตประจำวัน

คณิตศาสตร์มีหลายสาขา ได้แก่ทฤษฎีจำนวน (การศึกษาจำนวนเต็มและคุณสมบัติของจำนวนเต็ม) พีชคณิต (การศึกษาการดำเนินการและโครงสร้างที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการเหล่านั้น) เรขาคณิต (การศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงและปริภูมิที่บรรจุรูปทรงเหล่านั้น) การวิเคราะห์ (การศึกษาเกี่ยวกับการประมาณค่าการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง) และทฤษฎีเซต (ซึ่งปัจจุบันใช้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด)

คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการอธิบายและการจัดการวัตถุเชิงนามธรรมซึ่งอาจเป็นนามธรรมจากธรรมชาติหรือสิ่งที่เป็นนามธรรมล้วนๆ ที่กำหนดให้มีคุณสมบัติบางอย่างที่เรียกว่าสัจพจน์คณิตศาสตร์ใช้เหตุผล บริสุทธิ์ เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของวัตถุผ่านการพิสูจน์ซึ่งประกอบด้วยการประยุกต์ใช้กฎการอนุมาน ตามลำดับ กับผลลัพธ์ที่ได้กำหนดไว้แล้ว ผลลัพธ์เหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบทซึ่งรวมถึงทฤษฎีบท สัจพจน์ และในกรณีของนามธรรมจากธรรมชาติ คุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างที่ถือว่าเป็นจุดเริ่มต้นที่แท้จริงของทฤษฎีที่กำลังพิจารณาอยู่^{[ 3 ]}

คณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติวิศวกรรมศาสตร์การแพทย์การเงินวิทยาการคอมพิวเตอร์และสังคมศาสตร์ แม้ว่าคณิตศาสตร์จะถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์เชิงประจักษ์ แต่ผลลัพธ์ของมันได้รับการพิสูจน์โดยการอนุมานมากกว่าการทดลอง ความสัมพันธ์ระหว่างความจริงทางคณิตศาสตร์ ตรรกะ และความเป็นจริงเป็นหัวข้อของการถกเถียงทางปรัชญาบางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่นทฤษฎีเกมได้รับการพัฒนาโดยมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการประยุกต์ใช้ และมักถูกจัดกลุ่มไว้ภายใต้คณิตศาสตร์ ประยุกต์ สาขา อื่นๆ ได้รับการพัฒนาโดยอิสระจากการประยุกต์ใช้ใดๆ แต่ก็มักพบการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในภายหลัง^{[ 4 ] [ 5 ]}

บันทึกทางคณิตศาสตร์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรปรากฏขึ้นครั้งแรกในอียิปต์โบราณและเมโสโปเตเมียแต่แนวคิดของการพิสูจน์และความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง เริ่มต้นในคณิตศาสตร์กรีกโบราณซึ่งเป็นตัวอย่างในElementsของยูคลิด [ ^{6 ] คณิตศาสตร์}ถูกแบ่งออกเป็นเรขาคณิตและเลขคณิตเป็นหลักจนกระทั่งศตวรรษที่ 16 และ 17 เมื่อพีชคณิต^{[ a ]} ​​และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์พัฒนาไปสู่สาขาใหม่ นับตั้งแต่นั้นมา ปฏิสัมพันธ์ระหว่างนวัตกรรมทางคณิตศาสตร์และการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ได้นำไปสู่การเพิ่มขึ้นที่สัมพันธ์กันในการพัฒนาทั้งสองอย่าง^{[ 7 ]}ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 วิกฤตการณ์พื้นฐานของคณิตศาสตร์นำไปสู่การใช้ระบบวิธีเชิงสัจพจน์ [ ^{8 ]}ซึ่งเป็นสัญญาณของการเพิ่มขึ้นอย่างมากของจำนวนสาขาคณิตศาสตร์และสาขาการประยุกต์ใช้การจัดประเภทวิชาคณิตศาสตร์ ในปัจจุบัน ระบุสาขาคณิตศาสตร์ระดับแรกมากกว่าหกสิบ^{สาขา[ 9 ] [ 10 ]}

ก่อนยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา คณิตศาสตร์ถูกแบ่งออกเป็นสองสาขาหลัก ได้แก่เลขคณิตซึ่งเกี่ยวกับการศึกษาและการจัดการตัวเลข และเรขาคณิตซึ่งเกี่ยวกับการศึกษารูปทรง^{[ 11 ]}วิทยาศาสตร์เทียมบางประเภทเช่นเลขศาสตร์และโหราศาสตร์ในเวลานั้นยังไม่สามารถแยกแยะออกจากคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน^{[ 12 ]}

นับตั้งแต่ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา สองสาขาหลักก็กลายเป็นสาขาที่โดดเด่นมากขึ้นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ แบบใหม่ นำไปสู่พีชคณิตสมัยใหม่ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วเริ่มต้นจากการศึกษาและการจัดการนิพจน์พีชคณิตแคลคูลัสซึ่งประกอบด้วยสองสาขาย่อยคือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงอินทิกรัลมีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิต แต่ได้พัฒนาไปสู่การศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งจำลองความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลงไปตามที่แสดงโดยตัวแปร การแบ่งออกเป็นสี่สาขาหลัก ได้แก่ เลขคณิต เรขาคณิต พีชคณิต และแคลคูลัส^{[ 13 ]}ยังคงอยู่จนถึงปลายศตวรรษที่ 19 สาขาอื่นๆ ที่นักคณิตศาสตร์เคยศึกษามาก่อน เช่นกลศาสตร์ท้องฟ้าและกลศาสตร์ของแข็งปัจจุบันถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของฟิสิกส์^{[ 14 ]}วิชา คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียงได้รับการศึกษามาเป็นเวลานานในประวัติศาสตร์ที่บันทึกไว้ แต่ก็ไม่ได้กลายเป็นสาขาแยกต่างหากของคณิตศาสตร์จนกระทั่งศตวรรษที่ 17 ^{[ 15 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 วิกฤตการณ์พื้นฐานในคณิตศาสตร์และการใช้ระบบวิธีเชิงสัจพจน์นำไปสู่การเกิดขึ้นอย่างมากมายของสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ^{[ 16 ] [ 8 ]}การจัดประเภทวิชาคณิตศาสตร์ปี 2020 ประกอบด้วย สาขาระดับแรกไม่น้อยกว่าหกสิบสาม สาขา ^{[ 10 ]}บางสาขาเหล่านี้สอดคล้องกับการแบ่งประเภทแบบเก่า เช่นเดียวกับทฤษฎีจำนวน (ชื่อสมัยใหม่ของเลขคณิตขั้นสูง ) และเรขาคณิต สาขาระดับแรกอื่นๆ อีกหลายสาขามีคำว่า "เรขาคณิต" อยู่ในชื่อ หรือโดยทั่วไปถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิต พีชคณิตและแคลคูลัสไม่ได้ปรากฏเป็นสาขาระดับแรก แต่ถูกแบ่งออกเป็นหลายสาขาระดับแรก สาขาระดับแรกอื่นๆ เกิดขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 20 หรือไม่เคยถูกพิจารณาว่าเป็นคณิตศาสตร์มาก่อน เช่นตรรกศาสตร์ทาง^{คณิตศาสตร์}และพื้นฐาน [ ^{9 ]}

ทฤษฎีจำนวนพัฒนามาจากการจัดการตัวเลขกล่าวคือจำนวนธรรมชาติ และต่อมาขยายไปสู่จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่าเลขคณิต แต่ปัจจุบันคำนี้ส่วนใหญ่ใช้สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลข [ ^{17 ] การ}ศึกษาเกี่ยวกับตัวเลขอาจย้อนกลับไปถึงสมัยบาบิโลน โบราณ และอาจรวมถึงจีนด้วย แต่พัฒนาเป็นสาขาวิชาเฉพาะในสมัยกรีกโบราณนักทฤษฎีจำนวนยุคแรกที่โดดเด่นสองคนคือยูคลิดและดิโอแฟนตัสแห่งอเล็กซานเดรีย [ ^{18 ] การ}ศึกษาทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ในรูปแบบนามธรรมส่วนใหญ่ได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์และเลออนฮาร์ด ออยเลอร์สาขาวิชานี้ประสบความสำเร็จอย่างเต็มที่ด้วยผลงานของเอเดรียน-มารี เลอฌองเดรและคาร์ล ฟรีดริช เกาส์^{[ 19 ]}${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$

ปัญหาตัวเลขที่ระบุได้ง่ายหลายข้อมีวิธีแก้ปัญหาที่ต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อน ซึ่งมักมาจากคณิตศาสตร์หลายแขนง ตัวอย่างที่โดดเด่นคือทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ข้อสันนิษฐานนี้ถูกกล่าวถึงในปี 1637 โดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ แต่ได้รับการพิสูจน์ในปี 1994 โดยแอนดรูว์ ไวลส์ซึ่งใช้เครื่องมือต่างๆ รวมถึงทฤษฎีโครงร่างจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีหมวดหมู่และพีชคณิตเชิงโฮโม โล ยี^{[ 20 ]}อีกตัวอย่างหนึ่งคือข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน ข้อสันนิษฐาน นี้ ถูกกล่าวถึงในปี 1742 โดยคริสเตียน โกลด์บัคแต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์แม้จะมีความพยายามอย่างมาก^{[ 21 ]}

ทฤษฎีจำนวนประกอบด้วยสาขาย่อยหลายสาขา ได้แก่ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตเรขาคณิตของจำนวน (เน้นวิธีการ) การวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์และทฤษฎีการอดิศัย (เน้นปัญหา) ^{[ 9 ]}

เรขาคณิตเป็นหนึ่งในสาขาที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ เริ่มต้นด้วยสูตรเชิงประจักษ์เกี่ยวกับรูปทรง เช่นเส้นมุมและวงกลมซึ่งพัฒนาขึ้นส่วนใหญ่เพื่อตอบสนองความต้องการด้านการสำรวจและสถาปัตยกรรมแต่ต่อมาได้แตกแขนงออกเป็นสาขาย่อยอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 22 ]}

นวัตกรรมที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการที่ชาวกรีกโบราณนำแนวคิดเรื่องการพิสูจน์ มาใช้ ซึ่งกำหนดให้ทุกข้อความต้องได้รับการพิสูจน์ ตัวอย่างเช่น การตรวจสอบโดย การวัด ว่าความยาวสองค่าเท่ากัน นั้นไม่เพียงพอต้องพิสูจน์ความเท่ากันนั้นผ่านการให้เหตุผลจากผลลัพธ์ที่ยอมรับกันก่อนหน้านี้ ( ทฤษฎีบท ) และข้อความพื้นฐานบางประการ ข้อความพื้นฐานเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์เพราะเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง ( สมมติฐาน ) หรือเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของเรื่องที่ศึกษา ( สัจพจน์ ) หลักการนี้ซึ่งเป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด ได้รับการอธิบายอย่างละเอียดเป็นครั้งแรกในเรขาคณิต และได้รับการจัดระบบโดยยูคลิดราว 300 ปีก่อนคริสตกาลในหนังสือElements ของ เขา^{[ 23 ] [ 24 ]}

เรขาคณิตแบบยุคลิดที่เกิดขึ้นคือการศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงและการจัดเรียงที่สร้างขึ้นจากเส้นระนาบและวงกลมในระนาบยุคลิด ( เรขาคณิตระนาบ ) และปริภูมิ ยุคลิดสามมิติ^{[ b ] [ 22 ]}

เรขาคณิตแบบยุคลิดได้รับการพัฒนาโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงวิธีการหรือขอบเขตจนกระทั่งศตวรรษที่ 17 เมื่อเรเน่ เดส์การ์ตส์ได้นำเสนอสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าพิกัดคาร์ทีเซียน ซึ่งถือเป็นการ เปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์ครั้งสำคัญแทนที่จะกำหนดจำนวนจริงเป็นความยาวของส่วนของเส้นตรง (ดูเส้นจำนวน ) มันทำให้สามารถแสดงจุดโดยใช้พิกัดซึ่งเป็นตัวเลขได้ ดังนั้นพีชคณิต (และต่อมาแคลคูลัส) จึงสามารถใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้ เรขาคณิตถูกแบ่งออกเป็นสองสาขาย่อยใหม่ ได้แก่เรขาคณิตสังเคราะห์ซึ่งใช้วิธีการทางเรขาคณิตล้วนๆ และเรขาคณิตวิเคราะห์ซึ่งใช้พิกัดอย่างเป็นระบบ^{[ 25 ]}

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ช่วยให้สามารถศึกษาเส้นโค้งที่ไม่เกี่ยวข้องกับวงกลมและเส้นตรงได้ เส้นโค้งดังกล่าวสามารถกำหนดได้ว่าเป็นกราฟของฟังก์ชันซึ่งการศึกษาดังกล่าวได้นำไปสู่เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้ว่าเป็นสมการโดยปริยายซึ่งมักจะ เป็นสมการพหุนาม (ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ) เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ยังทำให้สามารถพิจารณาปริภูมิยุคลิดที่มีมิติมากกว่าสามมิติได้อีกด้วย^{[ 22 ]}

ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ค้นพบเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดซึ่งไม่เป็นไปตามสัจพจน์เส้นขนานการค้นพบนี้ถูกมองว่าเป็นการร่วมกับความขัดแย้งของรัสเซลล์ในการเปิดเผยวิกฤตพื้นฐานของคณิตศาสตร์แง่มุมของวิกฤตนี้ได้รับการแก้ไขโดยการจัดระบบวิธีการเชิงสัจพจน์ และการยอมรับว่าความจริงของสัจพจน์ที่เลือกไม่ใช่ปัญหาทางคณิตศาสตร์^{[ 26 ] [ 8 ]}ในทางกลับกัน วิธีการเชิงสัจพจน์ช่วยให้สามารถศึกษาเรขาคณิตต่างๆ ที่ได้มาจากการเปลี่ยนสัจพจน์หรือโดยการพิจารณาคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้ ^การแปลงเฉพาะของพื้นที่ [ ^{27 ]}

สาขาย่อยของเรขาคณิตในปัจจุบันได้แก่: ^{[ 9 ]}

• เรขาคณิตเชิงฉาย (Projective geometry ) ซึ่งริเริ่มโดย Girard Desarguesในศตวรรษที่ 16 เป็นการต่อยอดเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยการเพิ่มจุดที่ระยะอนันต์ซึ่ง เป็นจุดตัด ของเส้นขนานวิธีนี้ช่วยลดความซับซ้อนของเรขาคณิตแบบคลาสสิกในหลายด้านโดยการรวมวิธีการจัดการเส้นตัดและเส้นขนานเข้าด้วยกัน
• เรขาคณิตเชิงอัฟฟินคือการศึกษาคุณสมบัติที่สัมพันธ์กับความขนานและไม่ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความยาว
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือการศึกษาเส้นโค้ง พื้นผิว และรูปแบบทั่วไปของเส้นโค้ง พื้นผิว และรูปแบบเหล่านั้น ซึ่งกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้
• ทฤษฎีแมนิโฟลด์คือการศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงที่ไม่จำเป็นต้องฝังตัวอยู่ในปริภูมิที่ใหญ่กว่า
• เรขาคณิตแบบรีมันน์คือการศึกษาคุณสมบัติของระยะทางในปริภูมิโค้ง
• เรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือการศึกษาเส้นโค้ง พื้นผิว และรูปแบบทั่วไปของเส้นโค้ง พื้นผิว และรูปแบบต่างๆ เหล่านั้น ซึ่งกำหนดโดยใช้พหุนาม
• โทโพโลยีคือ การศึกษาคุณสมบัติที่คงอยู่ภายใต้ การเปลี่ยนแปลงรูปทรงอย่าง ต่อ เนื่อง
  • โทโพโลยีเชิงพีชคณิตคือ การประยุกต์ใช้วิธีการทางพีชคณิตในโทโพโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี
• เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องคือการศึกษาการจัดเรียงแบบจำกัดในทางเรขาคณิต
• เรขาคณิตนูนคือการศึกษาเซตแบบนูนซึ่งมีความสำคัญจากการประยุกต์ใช้ในการหาค่าเหมาะสมที่สุด
• เรขาคณิตเชิงซ้อนคือ เรขาคณิตที่ได้จากการแทนที่จำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อน

พีชคณิตคือศิลปะแห่งการจัดการสมการและสูตรดิโอแฟนตัส (ศตวรรษที่ 3) และอัล-ควาริซมี (ศตวรรษที่ 9) เป็นผู้บุกเบิกหลักสองคนของพีชคณิต^{[ 29 ] [ 30 ]}ดิโอแฟนตัสแก้สมการบางสมการที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติที่ไม่ทราบค่าโดยการอนุมานความสัมพันธ์ใหม่จนกระทั่งเขาได้คำตอบ^{[ 31 ]}อัล-ควาริซมีแนะนำวิธีการที่เป็นระบบสำหรับการแปลงสมการ เช่น การย้ายพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่ง^{[ 32 ]}คำว่าพีชคณิตมาจากคำภาษาอาหรับ ว่า อัล-จาบรฺซึ่งหมายถึง 'การรวมส่วนที่แตกหักเข้าด้วยกัน' ซึ่งเขาใช้ในการตั้งชื่อวิธีการหนึ่งในชื่อตำราหลักของเขา^{[ 33 ] [ 34 ]}

พีชคณิตกลายเป็นสาขาเฉพาะทางอย่างแท้จริงก็ต่อเมื่อฟร็องซัวส์ วิเอต (1540–1603) ได้นำตัวแปรมาใช้แทนจำนวนที่ไม่ทราบค่าหรือไม่ระบุ^{[ 35 ]}ตัวแปรช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถอธิบายการดำเนินการที่ต้องทำกับจำนวนที่แสดงโดยใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ได้^{[ 36 ]}

จนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 19 พีชคณิตส่วนใหญ่ประกอบด้วยการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้น (ปัจจุบันคือพีชคณิตเชิงเส้น ) และสมการพหุนามในตัวแปร เดียว ซึ่งเรียกว่าสมการพีชคณิต (คำนี้ยังคงใช้กันอยู่ แม้ว่าอาจจะกำกวมก็ตาม) ในช่วงศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มใช้ตัวแปรเพื่อแทนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่ตัวเลข (เช่นเมทริกซ์ จำนวนเต็มมอดูลาร์และการแปลงทางเรขาคณิต ) ซึ่งการขยายความทั่วไปของการดำเนินการทางเลขคณิตมักจะใช้ได้^{[ 37 ]}แนวคิดของโครงสร้างพีชคณิตกล่าวถึงเรื่องนี้ โดยประกอบด้วยเซตที่มีองค์ประกอบที่ไม่ระบุ การดำเนินการที่กระทำกับองค์ประกอบของเซต และกฎที่การดำเนินการเหล่านี้ต้องปฏิบัติตาม ดังนั้นขอบเขตของพีชคณิตจึงขยายไปรวมถึงการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตด้วย วัตถุของพีชคณิตนี้เรียกว่าพีชคณิตสมัยใหม่หรือพีชคณิตนามธรรมตามที่ได้รับการกำหนดโดยอิทธิพลและผลงานของEmmy Noether [ ^{38 ] และ} ได้รับความนิยมจาก หนังสือ Moderne AlgebraของVan der Waerden

โครงสร้างพีชคณิตบางประเภทมีคุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และมักเป็นพื้นฐานในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ การศึกษาโครงสร้างเหล่านี้กลายเป็นส่วนอิสระของพีชคณิต และรวมถึง: ^{[ 9 ]}

• ทฤษฎีกลุ่ม
• ทฤษฎีสนาม
• ปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งการศึกษาโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับพีชคณิตเชิงเส้น
• ทฤษฎีวงแหวน
• พีชคณิตเชิงสลับที่ ซึ่งเป็นการศึกษาเกี่ยวกับวงแหวนเชิงสลับที่ รวมถึงการศึกษาเกี่ยวกับพหุนามและเป็นพื้นฐานสำคัญของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
• พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี
• พีชคณิตลีและทฤษฎีกลุ่มลี
• พีชคณิตบูลีนซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาโครงสร้างเชิงตรรกะของคอมพิวเตอร์

การศึกษาประเภทของโครงสร้างพีชคณิตในฐานะวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นจุดประสงค์ของพีชคณิตสากลและทฤษฎีหมวดหมู่^{[ 39 ]}ทฤษฎีหมวดหมู่ใช้ได้กับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ทุกประเภท (ไม่ใช่เฉพาะโครงสร้างพีชคณิตเท่านั้น) ในตอนแรก ทฤษฎีนี้ถูกนำมาใช้ร่วมกับพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีเพื่อให้สามารถศึกษาพีชคณิตของวัตถุที่ไม่ใช่พีชคณิต เช่นปริภูมิเชิงทอพอโลยี ได้ ขอบเขตการประยุกต์ใช้เฉพาะนี้เรียกว่าทอพอโลยีเชิงพีชคณิต^{[ 40 ]}

แคลคูลัส ซึ่งเดิมเรียกว่าแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ได้รับการนำเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 อย่างอิสระและพร้อมกัน คือนิวตันและไลบ์นิซ [ ^{41 ] โดย}พื้นฐานแล้วคือการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่ขึ้นอยู่ต่อกันอย่างต่อเนื่อง แคลคูลัสได้รับการขยายในศตวรรษที่ 18 โดยออยเลอร์ด้วยการนำเสนอแนวคิดของฟังก์ชันและผลลัพธ์อื่นๆ อีกมากมาย^{[ 42 ]}ปัจจุบัน "แคลคูลัส" ส่วนใหญ่หมายถึงส่วนพื้นฐานของทฤษฎีนี้ และ "การวิเคราะห์" มักใช้สำหรับส่วนขั้นสูง^{[ 43 ]}

การวิเคราะห์ยังแบ่งย่อยออกเป็นการวิเคราะห์เชิงจริงซึ่งตัวแปรแทนจำนวนจริงและการวิเคราะห์เชิงซ้อนซึ่งตัวแปรแทนจำนวนเชิงซ้อนการวิเคราะห์ประกอบด้วยสาขาย่อยหลายสาขาที่ใช้ร่วมกันกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึง: ^{[ 9 ]}

• แคลคูลัสหลายตัวแปร
• การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันซึ่งตัวแปรแทนหน้าที่ที่แตกต่างกัน
• การอินทิเกรตทฤษฎีการวัดและทฤษฎีศักยภาพล้วนมีความสัมพันธ์อย่างแน่นแฟ้นกับทฤษฎีความน่าจะเป็นบนเส้นต่อเนื่อง
• สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• การวิเคราะห์เชิงตัวเลขส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการคำนวณหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเชิงอนุพันธ์ย่อย ซึ่งพบได้ในหลายการประยุกต์ใช้

โดยทั่วไปแล้ว คณิตศาสตร์เชิงดิสครีตคือการศึกษา วัตถุทางคณิตศาสตร์ ที่นับได้ แต่ละ รายการ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มทั้งหมด^{[ 44 ]}เนื่องจากวัตถุที่ศึกษาในที่นี้เป็นแบบดิสครีต วิธีการของแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงไม่สามารถนำมาใช้ได้โดยตรง^{[ c ]}อัลกอริทึมโดยเฉพาะอย่างยิ่งการนำไปใช้และความซับซ้อนในการคำนวณมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต^{[ ​​45 ]}

ทฤษฎีบทสี่สีและการจัดเรียงทรงกลมที่เหมาะสมที่สุดเป็นปัญหาสำคัญสองประการของคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตที่ได้รับการแก้ไขในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 ^{[ 46 ]}ปัญหาP เทียบกับ NPซึ่งยังคงเปิดอยู่จนถึงทุกวันนี้ก็มีความสำคัญต่อคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตเช่นกัน เนื่องจากวิธีแก้ปัญหานี้อาจส่งผลกระทบต่อปัญหาที่ยากต่อการคำนวณ จำนวนมาก ^{[ 47 ]}

คณิตศาสตร์ดิสครีตประกอบด้วย: ^{[ 9 ]}

• คณิตศาสตร์เชิงการจัด เรียง (Combinatorics)คือศิลปะแห่งการนับจำนวนวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับข้อจำกัดที่กำหนดให้ เดิมทีวัตถุเหล่านี้คือสมาชิกหรือเซตย่อยของเซต ที่กำหนดให้ แต่ปัจจุบันได้ขยายไปสู่วัตถุต่างๆ มากมาย ซึ่งสร้างความเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต ตัวอย่างเช่น เรขาคณิตเชิงดิสครีตประกอบด้วยการนับจำนวนการจัดเรียงของรูปทรงเรขาคณิต
• ทฤษฎีกราฟและไฮเปอร์กราฟ
• ทฤษฎีการเข้ารหัสรวมถึงรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดและส่วนหนึ่งของวิทยาการเข้ารหัสลับ
• ทฤษฎีแมทรอยด์
• เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง
• การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง
• ทฤษฎีเกม (แม้ว่า จะมีการศึกษา เกมแบบต่อเนื่องด้วยแต่เกมทั่วไปส่วนใหญ่ เช่นหมากรุกและโป๊กเกอร์เป็นเกมแบบไม่ต่อเนื่อง)
• การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบไม่ต่อเนื่องรวมถึงการหาค่าเหมาะสมที่สุดเชิงการจัดเรียง การ เขียนโปรแกรมจำนวนเต็มและการเขียนโปรแกรมแบบมีข้อจำกัด

ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเซตเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์มาตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 19 ^{[ 48 ] [ 49 ]}ก่อนหน้านี้ เซตไม่ได้ถูกพิจารณาว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์แม้ว่าจะใช้สำหรับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่ก็เป็นส่วนหนึ่งของปรัชญาและไม่ได้ถูกศึกษาโดยเฉพาะโดยนักคณิตศาสตร์^{[ 50 ]}

ก่อนที่แคนเตอร์จะศึกษาเรื่องเซตอนันต์นักคณิตศาสตร์ไม่เต็มใจที่จะพิจารณา ชุดข้อมูล อนันต์ที่แท้จริงและถือว่าอนันต์เป็นผลมาจากการนับ ที่ไม่สิ้นสุด งานของแคนเตอร์ทำให้เหล่านักคณิตศาสตร์ไม่พอใจ ไม่เพียงแต่เพราะการพิจารณาเซตอนันต์ที่แท้จริง^{[ 51 ]}แต่ยังเพราะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้หมายถึงขนาดของอนันต์ที่แตกต่างกัน ตามข้อโต้แย้งแนวทแยงของแคนเตอร์ซึ่งนำไปสู่ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับทฤษฎีเซตของแคนเตอร์ [ ^{52 ] ใน} ช่วงเวลาเดียวกันนั้น สาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้สรุปว่าคำจำกัดความเชิงสัญชาตญาณก่อนหน้านี้ของวัตถุทางคณิตศาสตร์พื้นฐานนั้นไม่เพียงพอ สำหรับการรับรองความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์^{[ 53 ]}

สิ่งนี้กลายเป็นวิกฤตพื้นฐานของคณิตศาสตร์^{[ 54 ]}ในที่สุดปัญหานี้ก็ได้รับการแก้ไขในคณิตศาสตร์กระแสหลักโดยการจัดระบบวิธีการเชิงสัจพจน์ภายในทฤษฎีเซตที่เป็นทางการกล่าวโดยคร่าวๆ วัตถุทางคณิตศาสตร์แต่ละอย่างถูกกำหนดโดยเซตของวัตถุที่คล้ายคลึงกันทั้งหมดและคุณสมบัติที่วัตถุเหล่านี้ต้องมี^{[ 16 ]}ตัวอย่างเช่น ในเลขคณิตของ Peanoจำนวนธรรมชาติถูกกำหนดโดย "ศูนย์เป็นจำนวน" "จำนวนแต่ละจำนวนมีผู้สืบทอดที่ไม่ซ้ำกัน" "จำนวนแต่ละจำนวนยกเว้นศูนย์มีผู้มาก่อนที่ไม่ซ้ำกัน" และกฎการให้เหตุผลบางประการ^{[ 55 ]}นามธรรมทางคณิตศาสตร์ จากความเป็นจริง นี้ปรากฏอยู่ในปรัชญาสมัยใหม่ของรูปแบบนิยมซึ่งก่อตั้งโดยDavid Hilbertประมาณปี 1910 ^{[ 56 ]}

“ธรรมชาติ” ของวัตถุที่กำหนดในลักษณะนี้เป็นปัญหาเชิงปรัชญาที่นักคณิตศาสตร์ปล่อยให้นักปรัชญาพิจารณา แม้ว่านักคณิตศาสตร์หลายคนจะมีมุมมองเกี่ยวกับธรรมชาตินี้ และใช้มุมมองของพวกเขา—บางครั้งเรียกว่า “สัญชาตญาณ”—เพื่อชี้นำการศึกษาและการพิสูจน์ของพวกเขา แนวทางนี้อนุญาตให้พิจารณา “ตรรกะ” (นั่นคือ ชุดของกฎการอนุมานที่อนุญาต) ทฤษฎีบท การพิสูจน์ ฯลฯ เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ และพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้น ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลกล่าวโดยคร่าวๆ ว่า ในทุกระบบที่เป็นทางการ ที่ สอดคล้องกัน ซึ่งประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ จะมีทฤษฎีบทที่เป็นจริง (นั่นคือพิสูจน์ได้ในระบบที่แข็งแกร่งกว่า) แต่พิสูจน์ไม่ได้ภายในระบบ^{[ 57 ]}แนวทางนี้เกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์ถูกท้าทายในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 โดยนักคณิตศาสตร์ที่นำโดยบราวเวอร์ซึ่งส่งเสริมตรรกะเชิงสัญชาตญาณ (ซึ่งขาดกฎของสิ่งที่ไม่รวมอยู่ตรงกลาง อย่างชัดเจน ) ^{[ 58 ] [ 59 ]}

ปัญหาและการถกเถียงเหล่านี้ทำให้ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ขยายตัวอย่างกว้างขวาง โดยมีสาขาย่อยต่างๆ เช่นทฤษฎีแบบจำลอง (การสร้างแบบจำลองทฤษฎีตรรกศาสตร์บางอย่างภายในทฤษฎีอื่นๆ) ทฤษฎีการพิสูจน์ทฤษฎีประเภททฤษฎีความสามารถ ในการคำนวณ และทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ [ ^{9 ] แม้ว่า}แง่มุมเหล่านี้ของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์จะถูกนำเสนอมาก่อนการเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์แต่การใช้งานในการออกแบบคอมไพเลอร์การตรวจสอบอย่างเป็นทางการการวิเคราะห์โปรแกรมผู้ช่วยการพิสูจน์และแง่มุมอื่นๆ ของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ก็มีส่วนช่วยในการขยายตัวของทฤษฎีตรรกศาสตร์เหล่านี้^{[ 60 ]}

คณิตศาสตร์เชิงคำนวณคือการศึกษาปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีขนาดใหญ่เกินกว่าความสามารถเชิงตัวเลขของมนุษย์^{[ 61 ] [ 62 ]}ส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์เชิงตัวเลขซึ่งเป็นการศึกษาวิธีการแก้ปัญหาในการวิเคราะห์โดยใช้การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีการประมาณค่าการวิเคราะห์เชิงตัวเลขโดยทั่วไปรวมถึงการศึกษาการประมาณค่าและการแบ่งส่วนย่อยโดยเน้นเป็นพิเศษที่ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ [ ^{63 ] การ}วิเคราะห์เชิงตัวเลข และโดยทั่วไปแล้ว การคำนวณทางวิทยาศาสตร์ ยังศึกษาหัวข้อที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎี เมทริกซ์เชิง อัลกอริทึม และทฤษฎีกราฟสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ ได้แก่พีชคณิตคอมพิวเตอร์และ การคำนวณ เชิงสัญลักษณ์^{[ 9 ]}

คำว่าmathematicsมาจากคำภาษากรีกโบราณmáthēma ( μάθημα ) ซึ่งหมายถึง' สิ่งที่เรียนรู้ ความรู้ คณิตศาสตร์'และคำที่มาจากmathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ) ซึ่งหมายถึง' วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์'คำนี้ได้เข้ามาในภาษาอังกฤษใน ช่วง ปลายยุคกลางผ่านทางภาษาฝรั่งเศสและภาษาละติน^{[ 64 ]}

ตามธรรมเนียมแล้ว หนึ่งในสองสำนักคิดหลักในลัทธิพีทาโกเรียนเรียกว่าmathēmatikoi (μαθηματικοί) ซึ่งในสมัยนั้นหมายถึง "ผู้เรียน" มากกว่า "นักคณิตศาสตร์" ในความหมายสมัยใหม่ ชาวพีทาโกเรียนน่าจะเป็นกลุ่มแรกที่จำกัดการใช้คำนี้ไว้เฉพาะการศึกษาเลขคณิตและเรขาคณิตเท่านั้น เมื่อถึงสมัยของอริสโตเติล (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) ความหมายนี้ก็ได้รับการยอมรับอย่างสมบูรณ์^{[ 65 ]}

ในภาษาละตินและภาษาอังกฤษ จนกระทั่งราวปี ค.ศ. 1700 คำว่าmathematicsมักหมายถึง " โหราศาสตร์ " (หรือบางครั้ง " ดาราศาสตร์ ") มากกว่า "คณิตศาสตร์" ความหมายค่อยๆ เปลี่ยนไปเป็นความหมายในปัจจุบันตั้งแต่ราวปี ค.ศ. 1500 ถึง ค.ศ. 1800 การเปลี่ยนแปลงนี้ส่งผลให้เกิดการแปลผิดหลายครั้ง ตัวอย่างเช่น คำเตือนของ นักบุญออกัสตินที่ว่าคริสเตียนควรระวังmathematiciซึ่งหมายถึง "นักโหราศาสตร์" บางครั้งถูกแปลผิดเป็นการประณามนักคณิตศาสตร์^{[ 66 ]}

รูป พหูพจน์ที่ปรากฏในภาษาอังกฤษมีที่มาจากคำนามพหูพจน์เพศกลาง ภาษาละติน mathematica ( Cicero ) ซึ่งอิงตามคำนามพหูพจน์ภาษากรีกta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) และมีความหมายโดยประมาณว่า "ทุกสิ่งที่เป็นคณิตศาสตร์" แม้ว่าจะเป็นไปได้ว่าภาษาอังกฤษยืมเฉพาะคำคุณศัพท์mathematic(al)และสร้างคำนามmathematicsขึ้นใหม่ตามแบบแผนของphysicsและmetaphysicsซึ่งสืบทอดมาจากภาษากรีก^{[ 67 ]}ในภาษาอังกฤษ คำนาม^mathematicsใช้กริยาเอกพจน์ มักจะย่อเป็นmaths ^{[ 68 ]}หรือในอเมริกาเหนือmath [ ^{69 ]}

นอกจากจะรู้วิธีนับวัตถุทางกายภาพแล้ว ผู้คน ในยุคก่อนประวัติศาสตร์อาจรู้วิธีนับปริมาณนามธรรม เช่น เวลา—วัน ฤดูกาล หรือปี^{[ 70 ] [ 71 ]}

หลักฐานทางโบราณคดีชี้ให้เห็นว่าระบบการนับของอียิปต์โบราณมีต้นกำเนิดมาจากแอฟริกาใต้ทะเลทรายซาฮารา^{[ 72 ]}นอกจากนี้ รูปแบบเรขาคณิตแบบแฟรกทัลซึ่งแพร่หลายในวัฒนธรรมแอฟริกาใต้ทะเลทรายซาฮารา ยังพบได้ในสถาปัตยกรรมอียิปต์และสัญลักษณ์ทางจักรวาลวิทยา^{[ 73 ]}กระดูกอิชางโกตามที่นักวิชาการอเล็กซานเดอร์ มาร์แช็ค กล่าว อาจมีอิทธิพลต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ในอียิปต์ในภายหลัง เนื่องจากเช่นเดียวกับรายการบางรายการบนกระดูกอิชางโก เลขคณิตของอียิปต์ก็ใช้การคูณด้วย 2 เช่นกัน อย่างไรก็ตาม เรื่องนี้ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่^{[ 74 ]}โครงสร้างหินขนาดใหญ่ที่ตั้งอยู่ในนาบตา พลายาอียิปต์ตอนบน มีลักษณะเด่นคือดาราศาสตร์การจัดเรียงปฏิทินที่สอดคล้องกับการขึ้นของดาวซิริอุสและสนับสนุนการปรับเทียบปฏิทินประจำปีสำหรับน้ำท่วมแม่น้ำไนล์ประจำปี^{[ 75 ]} ชาว นูเบียโบราณได้สร้างระบบกฎทางเรขาคณิตซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับนาฬิกาแดด รุ่นแรก ชาวนูเบียยังใช้ วิธีการ ตรีโกณมิติที่เทียบได้กับชาวอียิปต์^{[ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ]}

หลักฐานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ไม่ปรากฏจนกระทั่งประมาณ 3000 ปี  ก่อนคริสตกาลเมื่อชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์เริ่มใช้เลขคณิต พีชคณิต และเรขาคณิตสำหรับการเก็บภาษีและการคำนวณทางการเงินอื่นๆ สำหรับการก่อสร้าง และสำหรับดาราศาสตร์^{[ 80 ]}ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดจากเมโสโปเตเมียและอียิปต์มีอายุตั้งแต่ 2000 ถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 81 ]}ตำราในยุคแรกๆ หลายเล่มกล่าวถึงสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนดังนั้นโดยอนุมานแล้วทฤษฎีบทพีทาโกเรียนดูเหมือนจะเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่และแพร่หลายที่สุดรองจากเลขคณิตและเรขาคณิตขั้นพื้นฐาน ในคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนนั้นเองที่เลขคณิตขั้นพื้นฐาน ( การบวกการลบการคูณและการหาร ) ปรากฏขึ้นครั้งแรกในบันทึกทางโบราณคดี ชาวบาบิโลนยังมีระบบค่าประจำหลักและใช้ ระบบตัวเลขฐาน หกสิบซึ่งยังคงใช้กันอยู่ในปัจจุบันสำหรับการวัดมุมและเวลา^{[ 82 ]}

ในช่วงศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชคณิตศาสตร์ของกรีกเริ่มปรากฏขึ้นเป็นสาขาวิชาที่แตกต่าง และชาวกรีกโบราณ บางคน เช่นชาวพีทาโกเรียนดูเหมือนจะถือว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีคุณค่าในตัวเอง^{[ 83 ]}ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราชยูคลิดได้จัดระเบียบความรู้ทางคณิตศาสตร์โดยใช้สมมติฐานและหลักการพื้นฐาน ซึ่งพัฒนาไปสู่วิธีการเชิงสัจพจน์ที่ใช้ในคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ซึ่งประกอบด้วยคำจำกัดความ สัจพจน์ ทฤษฎีบท และการพิสูจน์^{[ 84 ]}หนังสือของเขาElementsครอบคลุมเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวน และได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นตำราเรียนที่ประสบความสำเร็จและมีอิทธิพลมากที่สุดตลอดกาล^{[ 85 ]}นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอีกคนหนึ่งในสมัยโบราณคืออาร์คิมิดีสแห่งซีราคิวส์ ( ประมาณ 287  – ประมาณ 212 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ^{[ 86 ]}เขาได้พัฒนาวิธีการคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงเรขาคณิตที่เกิดจากการหมุนรอบแกนรวมถึงการใช้วิธีการหาค่าโดยประมาณเพื่อคำนวณพื้นที่ใต้ส่วนโค้งของพาราโบลาด้วยการรวมอนุกรมอนันต์ในลักษณะที่ชวนให้นึกถึงแคลคูลัสสมัยใหม่^{[ 87 ]}ความสำเร็จที่โดดเด่นอื่นๆ ของคณิตศาสตร์กรีก ได้แก่ภาคตัดกรวย ( อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กาศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ^{[ 88 ]}ตรีโกณมิติ ( ฮิปปาร์คัสแห่งนิเซียศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช) ^{[ 89 ]}และจุดเริ่มต้นของพีชคณิตก่อนสมัยใหม่ (ดิโอแฟนตัส ศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราช) ^{[ 90 ]}

ระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกและกฎสำหรับการใช้การดำเนินการ ซึ่งใช้กันทั่วโลกในปัจจุบัน ได้พัฒนาขึ้นในช่วงสหัสวรรษแรกของคริสต์ศักราชในอินเดียและถูกส่งต่อไปยังโลกตะวันตกผ่านทางคณิตศาสตร์อิสลาม [ ^{91 ] การ}พัฒนาที่โดดเด่นอื่นๆ ของคณิตศาสตร์อินเดีย ได้แก่ นิยามและการประมาณค่าไซน์และโคไซน์ สมัยใหม่ และรูปแบบแรกเริ่มของอนุกรมอนันต์^{[ 92 ] [ 93 ]}

ในยุคทองของอิสลามโดยเฉพาะอย่างยิ่งในช่วงศตวรรษที่ 9 และ 10 คณิตศาสตร์ได้เห็นนวัตกรรมที่สำคัญมากมายที่ต่อยอดมาจากคณิตศาสตร์ของกรีก ความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดของคณิตศาสตร์อิสลามคือการพัฒนาพีชคณิตความสำเร็จอื่นๆ ในยุคอิสลาม ได้แก่ ความก้าวหน้าในตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการเพิ่มจุดทศนิยมลงในระบบตัวเลขอาหรับ^{[ 94 ]}นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนในยุคนี้เป็นชาวเปอร์เซีย เช่นอัล-ควาริซมี โอมาร์ คัยยัมและชาราฟ อัล-ดิน อัล-ตูซี [ ^{95 ] ตำรา}คณิตศาสตร์ของกรีกและอาหรับได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในช่วงยุคกลางและเผยแพร่ในยุโรป^{[ 96 ]}

ในช่วงต้นยุคสมัยใหม่คณิตศาสตร์เริ่มพัฒนาอย่างรวดเร็วในยุโรปตะวันตกด้วยนวัตกรรมที่ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์ เช่น การนำตัวแปรและสัญลักษณ์มาใช้โดยฟรองซัวส์ วิเอต (ค.ศ. 1540–1603) การนำลอการิทึม มาใช้ โดยจอห์น เนเปียร์ในปี ค.ศ. 1614 ซึ่งช่วยลดความซับซ้อนของการคำนวณเชิงตัวเลขอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านดาราศาสตร์และการเดินเรือการนำพิกัดมาใช้โดยเรเน่ เดส์การ์ต (ค.ศ. 1596–1650) เพื่อลดเรขาคณิตให้เหลือเพียงพีชคณิต และการพัฒนาแคลคูลัสโดยไอแซค นิวตัน (ค.ศ. 1643–1727) และก็อตฟรีด ไลบ์นิซ (ค.ศ. 1646–1716) เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–1783) นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นที่สุดในศตวรรษที่ 18 ได้รวบรวมนวัตกรรมเหล่านี้เข้าไว้ในชุดความรู้เดียวกันด้วยคำศัพท์ที่เป็นมาตรฐาน และทำให้สมบูรณ์ด้วยการค้นพบและการพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนมาก

บางทีนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นที่สุดในศตวรรษที่ 19 อาจเป็นคาร์ล เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้ซึ่งมีส่วนร่วมมากมายในสาขาต่างๆ เช่น พีชคณิต การวิเคราะห์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทฤษฎีเมทริกซ์ทฤษฎีจำนวน และสถิติ^{[ 97 ]}ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 เคิร์ต เกอเดลได้เปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์โดยการตีพิมพ์ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเขา ซึ่งแสดงให้เห็นบางส่วนว่าระบบสัจพจน์ที่ สอดคล้องกันใดๆ—หากมีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะอธิบายเลขคณิต—จะมีข้อเสนอที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้^{[ 57 ]}

คณิตศาสตร์ได้รับการขยายขอบเขตออกไปอย่างมากนับตั้งแต่นั้นมา และมีการปฏิสัมพันธ์ที่ก่อให้เกิดประโยชน์ระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ซึ่งเป็นประโยชน์ต่อทั้งสองฝ่าย การค้นพบทางคณิตศาสตร์ยังคงเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องจนถึงทุกวันนี้ ตามที่ Mikhail B. Sevryuk กล่าวไว้ในวารสาร Bulletin of the American Mathematical Society ฉบับเดือนมกราคม พ.ศ. 2549 ว่า "จำนวนบทความและหนังสือที่รวมอยู่ใน ฐานข้อมูล Mathematical Reviews (MR) ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2483 (ปีแรกของการดำเนินงานของ MR) ปัจจุบันมีมากกว่า 1.9 ล้านรายการ และมีการเพิ่มรายการลงในฐานข้อมูลมากกว่า 75,000 รายการในแต่ละปี งานส่วนใหญ่ในฐานข้อมูลนี้ประกอบด้วยทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ใหม่และการพิสูจน์" ^{[ 98 ]}

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมเพื่อแสดงแนวคิดและคุณสมบัติ ที่ซับซ้อน ในรูปแบบที่กระชับ ชัดเจน และแม่นยำ สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยสัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับแสดงการดำเนินการตัวเลขที่ไม่ระบุความสัมพันธ์และวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ จากนั้นจึงประกอบเข้าด้วยกันเป็นนิพจน์และสูตร^{[ 99 ]}กล่าวโดยละเอียด ตัวเลขและวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ จะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ที่เรียกว่าตัวแปร ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็น ตัวอักษร ละตินหรือกรีกและมักจะมีตัวห้อยการดำเนินการและความสัมพันธ์โดยทั่วไปจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์หรืออักษรภาพเฉพาะ[ 100 ^{]เช่น+} ( บวก ) , × (การคูณ ), ( อินทิกรัล ), = ( เท่ากับ ) และ< ( น้อยกว่า ) ^{[ 101 ]}สัญลักษณ์ทั้งหมดเหล่านี้โดยทั่วไปจะถูกจัดกลุ่มตามกฎเฉพาะเพื่อสร้างนิพจน์และสูตร^{[ 102 ]}โดยปกติแล้ว สำนวนและสูตรจะไม่ปรากฏอยู่โดดๆ แต่จะรวมอยู่ในประโยคของภาษาปัจจุบัน โดยที่สำนวนทำหน้าที่เป็นวลีคำนามและสูตรทำหน้าที่เป็นอนุ ประโยค${\textstyle \int }$

คณิตศาสตร์ได้พัฒนาคำศัพท์ที่หลากหลายครอบคลุมสาขาต่างๆ ที่ศึกษาคุณสมบัติของวัตถุเชิงนามธรรมและอุดมคติต่างๆ และวิธีการที่วัตถุเหล่านั้นมีปฏิสัมพันธ์กัน คณิตศาสตร์มีพื้นฐานมาจากคำจำกัดความ ที่เข้มงวด ซึ่งเป็นรากฐานมาตรฐานสำหรับการสื่อสาร สัจพจน์หรือสมมติฐานคือข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ถือว่าเป็นจริงโดยไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ หากข้อความทางคณิตศาสตร์ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ (หรือหักล้าง) จะเรียกว่าข้อสันนิษฐานผ่านชุดของข้อโต้แย้งที่เข้มงวดโดยใช้เหตุผลแบบนิรนัยข้อความที่ ได้รับการ พิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงจะกลายเป็นทฤษฎีบท ทฤษฎีบทเฉพาะที่ใช้เป็นหลักในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นเรียกว่าบทตั้งตัวอย่างที่ได้รับการพิสูจน์แล้วซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการค้นพบทั่วไปเรียกว่าบทสรุป^{[ 103 ]}

คำศัพท์ทางเทคนิคจำนวนมากที่ใช้ในคณิตศาสตร์เป็นคำศัพท์ใหม่เช่นพหุนามและโฮมีโอเมอร์ฟิซึม [ ^{104 ] คำ}ศัพท์ทางเทคนิคอื่นๆ เป็นคำในภาษาทั่วไปที่ใช้ในความหมายที่ถูกต้องซึ่งอาจแตกต่างจากความหมายทั่วไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ในคณิตศาสตร์ " หรือ " หมายถึง "หนึ่ง อีกอย่าง หรือทั้งสอง" ในขณะที่ในภาษาทั่วไป คำนี้อาจกำกวมหรือหมายถึง "หนึ่งหรืออีกอย่าง แต่ไม่ใช่ทั้งสอง" (ในคณิตศาสตร์ คำหลังนี้เรียกว่า " exclusive or ") สุดท้าย คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์หลายคำเป็นคำทั่วไปที่ใช้ในความหมายที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง^{[ 105 ]}สิ่งนี้อาจนำไปสู่ประโยคที่เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องและเป็นจริง แต่ดูเหมือนไร้สาระสำหรับคนที่ไม่มีพื้นฐานที่จำเป็น ตัวอย่างเช่น "ทุกโมดูลอิสระเป็นแบบแบน " และ " ฟิลด์ เป็น วงแหวนเสมอ"

คณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในวิทยาศาสตร์ ส่วนใหญ่ เพื่อสร้าง แบบจำลอง ปรากฏการณ์ ซึ่งทำให้สามารถทำนายได้จากกฎการทดลอง^{[ 106 ]}ความเป็นอิสระของความจริงทางคณิตศาสตร์จากการทดลองใดๆ หมายความว่าความแม่นยำของการทำนายดังกล่าวขึ้นอยู่กับความเพียงพอของแบบจำลองเท่านั้น^{[ 107 ]}การทำนายที่ไม่แม่นยำ แทนที่จะเกิดจากแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้อง บ่งบอกถึงความจำเป็นในการเปลี่ยนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้^{[ 108 ]}ตัวอย่างเช่นการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวพุธสามารถอธิบายได้ก็ต่อเมื่อทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ ปรากฏขึ้น ซึ่งเข้ามาแทนที่กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ดีกว่า^{[ 109 ]}

ยังคงมี การถกเถียง ทางปรัชญาว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์หรือไม่ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์มักถูกจัดกลุ่มร่วมกับนักวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์มีหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับวิทยาศาสตร์กายภาพ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์กายภาพ คณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดซึ่งหมายความว่าในคณิตศาสตร์ หากผลลัพธ์หรือทฤษฎีใดผิด ก็สามารถพิสูจน์ได้โดยการยกตัวอย่างค้าน ในทำนองเดียวกันกับในวิทยาศาสตร์ทฤษฎีและผลลัพธ์ (ทฤษฎีบท) มักได้มาจากการทดลอง^{[ 110 ]}ในคณิตศาสตร์ การทดลองอาจประกอบด้วยการคำนวณบนตัวอย่างที่เลือก หรือการศึกษาภาพหรือการแสดงแทนอื่นๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (มักเป็นการแสดงแทนในใจโดยไม่มีการสนับสนุนทางกายภาพ) ตัวอย่างเช่น เมื่อถูกถามว่าเขาได้ทฤษฎีบทของเขามาได้อย่างไร เกาส์เคยตอบว่า "durch planmässiges Tattonieren" (ผ่านการทดลองอย่างเป็นระบบ) ^{[ 111 ]}อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนเน้นย้ำว่าคณิตศาสตร์แตกต่างจากแนวคิดสมัยใหม่ของวิทยาศาสตร์ตรงที่ไม่พึ่งพาหลักฐานเชิงประจักษ์^{[ 112 ] [ 113 ] [ 114 ] [ 115 ]}

ไอแซค นิวตัน (ซ้าย) และก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซร่วมกันพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

จนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 19 ยังไม่มีการแบ่งแยกที่ชัดเจนระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์อย่างที่เข้าใจกันในปัจจุบัน^{[ 116 ]}การแบ่งแยกระหว่างการพัฒนาคณิตศาสตร์เพื่อตัวมันเองหรือเพื่อการประยุกต์ใช้ค่อนข้างคลุมเครือ: จำนวนธรรมชาติและเลขคณิตถูกนำมาใช้เพื่อความต้องการในการนับ และเรขาคณิตได้รับแรงบันดาลใจจากการสำรวจ สถาปัตยกรรม และดาราศาสตร์ แต่ทั้งสองวิชาก็ยืนหยัดได้ด้วยตัวเองอย่างรวดเร็ว ต่อมาไอแซค นิวตันใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ส่วนหนึ่งเพื่อช่วยอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์และกฎแรงโน้มถ่วงของเขา ยิ่งไปกว่านั้น ตั้งแต่สมัยโบราณ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ก็เป็นนักวิทยาศาสตร์ และนักวิทยาศาสตร์หลายคนก็เป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย^{[ 117 ]}อย่างไรก็ตาม ประเพณีตะวันตกของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สืบย้อนรากเหง้าไปถึงกรีกโบราณ^{[ 118 ]}ตัวอย่างเช่นปัญหาการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ซึ่งย้อนกลับไปถึง ยุคของยูคลิดใน 300 ปีก่อนคริสตกาล ไม่มีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติก่อนที่จะนำมาใช้ในระบบการเข้ารหัส RSA ซึ่งปัจจุบันใช้กัน ^{อย่าง}แพร่หลายเพื่อความปลอดภัยของเครือข่ายคอมพิวเตอร์^[ 119 ^]

ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์อย่างKarl WeierstrassและRichard Dedekindมุ่งเน้นการวิจัยของพวกเขาไปที่ปัญหาภายในมากขึ้น นั่นคือคณิตศาสตร์บริสุทธิ์^{[ 116 ] [ 120} ] ซึ่งนำไปสู่การแบ่งคณิตศาสตร์ออกเป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยคณิตศาสตร์ประยุกต์ มักถูกมองว่ามีคุณค่าน้อยกว่าในหมู่นักคณิตศาสตร์ ^{บริสุทธิ์}อย่างไรก็ตาม เส้นแบ่งระหว่างทั้งสองมักจะไม่ชัดเจน^{[ 121 ]}

ผลพวงจากสงครามโลกครั้งที่สองนำไปสู่การพัฒนาคณิตศาสตร์ประยุกต์อย่างรวดเร็วในสหรัฐอเมริกาและที่อื่นๆ^{[ 122 ] [ 123 ]}ทฤษฎีหลายอย่างที่พัฒนาขึ้นเพื่อการประยุกต์ใช้นั้นพบว่าน่าสนใจจากมุมมองของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และผลลัพธ์หลายอย่างของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็แสดงให้เห็นว่ามีการประยุกต์ใช้นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ ในทางกลับกัน การศึกษาการประยุกต์ใช้เหล่านี้อาจให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่ๆ เกี่ยวกับ "ทฤษฎีบริสุทธิ์" ^{[ 124 ] [ 125 ]}

ตัวอย่างของกรณีแรกคือทฤษฎีการแจกแจง ซึ่ง Laurent Schwartzนำเสนอเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณที่ทำในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งกลายเป็นเครื่องมือสำคัญของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (บริสุทธิ์) ในทันที^{[ 126 ]}ตัวอย่างของกรณีที่สองคือความสามารถในการตัดสินของทฤษฎีลำดับที่หนึ่งของจำนวนจริง ซึ่งเป็นปัญหาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ Alfred Tarskiพิสูจน์ว่าเป็นจริง ด้วยอัลกอริทึมที่ไม่สามารถนำไปใช้ได้ จริง เนื่องจากความซับซ้อนในการคำนวณที่สูงเกินไป^{[ 127 ]}เพื่อให้ได้อัลกอริทึมที่สามารถนำไปใช้ได้และสามารถแก้ระบบสมการและอสมการพหุนามGeorge Collinsได้นำเสนอการแยกส่วนพีชคณิตทรงกระบอกซึ่งกลายเป็นเครื่องมือพื้นฐานในเรขาคณิตพีชคณิตจริง^{[ 128 ]}

ในปัจจุบัน ความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์นั้นเป็นเรื่องเป้าหมายการวิจัยส่วนบุคคลของนักคณิตศาสตร์มากกว่าการแบ่งคณิตศาสตร์ออกเป็นสาขากว้างๆ^{[ 129 ] [ 130 ]}การจำแนกประเภทวิชาคณิตศาสตร์มีส่วนสำหรับ "คณิตศาสตร์ประยุกต์ทั่วไป" แต่ไม่ได้กล่าวถึง "คณิตศาสตร์บริสุทธิ์" ^{[ 9 ]}อย่างไรก็ตาม คำเหล่านี้ยังคงใช้ในชื่อของบาง ภาควิชา ในมหาวิทยาลัยเช่นคณะคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

ประสิทธิภาพอันเหนือเหตุผลของคณิตศาสตร์เป็นปรากฏการณ์ที่นักฟิสิกส์Eugene Wignerตั้ง ชื่อและอธิบายอย่างชัดเจนเป็นครั้งแรก ^{[ 5 ]}นั่นคือความจริงที่ว่าทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายทฤษฎี (แม้แต่ทฤษฎีที่ "บริสุทธิ์ที่สุด") ก็มีการประยุกต์ใช้นอกเหนือจากวัตถุประสงค์เริ่มต้น การประยุกต์ใช้เหล่านี้อาจอยู่นอกเหนือขอบเขตของคณิตศาสตร์เริ่มต้นโดยสิ้นเชิง และอาจเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ทางกายภาพที่ไม่เป็นที่รู้จักโดยสิ้นเชิงเมื่อมีการนำทฤษฎีทางคณิตศาสตร์มาใช้^{[ 131 ]}ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คาดคิดสามารถพบได้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์

ตัวอย่างที่โดดเด่นคือการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งถูกค้นพบเมื่อกว่า 2,000 ปีก่อนที่จะมีการใช้งานทั่วไปสำหรับการสื่อสารทางอินเทอร์เน็ตที่ปลอดภัย^{ผ่านระบบการเข้ารหัส RSA [ 132} ]ตัวอย่างทางประวัติศาสตร์^{ที่สอง}คือทฤษฎีวงรีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณศึกษาวงรีในฐานะภาคตัดกรวย (นั่นคือ จุดตัดของกรวยกับระนาบ) เกือบ 2,000 ปีต่อมาโยฮันเนส เคปเลอร์ค้นพบว่าวิถีโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรี^{[ 133 ]}

ในศตวรรษที่ 19 การพัฒนาภายในของเรขาคณิต (คณิตศาสตร์บริสุทธิ์) นำไปสู่การกำหนดและศึกษาเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด พื้นที่ที่มีมิติสูงกว่าสาม และแมนิโฟลด์ในเวลานั้น แนวคิดเหล่านี้ดูเหมือนจะแยกขาดจากความเป็นจริงทางกายภาพโดยสิ้นเชิง แต่ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพที่ใช้แนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเป็นปริภูมิที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่มีมิติสี่ และปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นแมนิโฟลด์ (โค้ง) ที่มีมิติสี่^{[ 134 ] [ 135 ]}

ลักษณะเด่นประการหนึ่งของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์คือเมื่อคณิตศาสตร์เป็นตัวขับเคลื่อนการวิจัยในฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น การค้นพบโพซิตรอนและแบริออน ในทั้งสองกรณี สมการของทฤษฎีมีคำตอบที่ยังไม่สามารถอธิบายได้ ซึ่งนำไปสู่การคาดเดาถึงการมีอยู่ของอนุภาค ที่ไม่รู้จัก และการค้นหาอนุภาคเหล่านี้ ในทั้งสองกรณี อนุภาคเหล่านี้ถูกค้นพบในอีกไม่กี่ปีต่อมาโดยการทดลองเฉพาะ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}${\displaystyle \Omega ^{-}.}$

คณิตศาสตร์และฟิสิกส์ต่างมีอิทธิพลต่อกันและกันตลอดประวัติศาสตร์สมัยใหม่ ฟิสิกส์สมัยใหม่ใช้คณิตศาสตร์อย่างมากมาย^{[ 139 ]}และยังถือเป็นแรงจูงใจของการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญอีกด้วย^{[ 140 ]}

การคำนวณมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์ในหลายแง่มุม^{[ 141 ]}วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีถือว่ามีลักษณะเป็นคณิตศาสตร์^{[ 142 ]}เทคโนโลยีการสื่อสารใช้สาขาคณิตศาสตร์ที่อาจเก่าแก่มาก (เช่น เลขคณิต) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวกับความปลอดภัยในการส่งข้อมูล ในการเข้ารหัสและทฤษฎีการเข้ารหัสคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตมีประโยชน์ในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เช่นทฤษฎีความซับซ้อนทฤษฎีสารสนเทศและทฤษฎีกราฟ^{[ 143 ]}ในปี 1998 ข้อสันนิษฐานของเคปเลอร์เกี่ยวกับการจัดเรียงทรงกลมดูเหมือนจะได้รับการพิสูจน์บางส่วนโดยคอมพิวเตอร์^{[ 144 ]}

สาขาวิชาสถิติเป็นการประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการรวบรวมและประมวลผลข้อมูลตัวอย่าง โดยใช้ขั้นตอนตามวิธีการทางคณิตศาสตร์ เช่น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีความน่าจะเป็น นักสถิติสร้างข้อมูลด้วยการสุ่มตัวอย่างหรือการทดลองแบบ สุ่ม ^{[ 146 ]}

ทฤษฎีทางสถิติศึกษาปัญหาการตัดสินใจเช่น การลดความเสี่ยง ( การสูญเสียที่คาดหวัง ) ของการกระทำทางสถิติ เช่น การใช้ขั้นตอนในตัวอย่างเช่นการประมาณค่าพารามิเตอร์การทดสอบสมมติฐานและการเลือกสิ่งที่ดีที่สุดในสาขาสถิติทางคณิตศาสตร์ แบบดั้งเดิมเหล่านี้ ปัญหาการตัดสินใจทางสถิติจะถูกกำหนดโดยการลดฟังก์ชันเป้าหมายเช่น การสูญเสียที่คาดหวังหรือต้นทุนภายใต้ข้อจำกัดเฉพาะ ตัวอย่างเช่น การออกแบบแบบสำรวจมักเกี่ยวข้องกับการลดต้นทุนของการประมาณค่าเฉลี่ยประชากรด้วยระดับความเชื่อมั่นที่กำหนด^{[ 147 ]}เนื่องจากการใช้การเพิ่มประสิทธิภาพทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสถิติจึงทับซ้อนกับวิทยาศาสตร์การตัดสินใจ อื่นๆ เช่นการวิจัยเชิงปฏิบัติการทฤษฎีการควบคุมและเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์^{[ 148 ]}

ชีววิทยาใช้ความน่าจะเป็นอย่างกว้างขวางในสาขาต่างๆ เช่น นิเวศวิทยาหรือประสาทชีววิทยา [ ^{149 ] การ อภิปรายเรื่องความน่าจะเป็นส่วนใหญ่จะ เน้น}ไปที่แนวคิดเรื่องความเหมาะสมเชิงวิวัฒนาการ [ ^{149 ] นิเวศวิทยา}ใช้แบบจำลองอย่างมากในการจำลองพลวัตของประชากร [ ^{149 ] [ 150 ]}ศึกษาระบบนิเวศ เช่น แบบจำลองผู้ล่า-เหยื่อ วัดการแพร่กระจายของมลพิษ^{[ 151 ]}หรือประเมินการเปลี่ยนแปลงสภาพภูมิอากาศ^{[ 152 ]}พลวัตของประชากรสามารถสร้างแบบจำลองได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์แบบคู่ เช่น สมการลอตก้า-โวลเทอร์รา^{[ 153 ]}

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติจะดำเนินการกับข้อมูลจากการทดลองทางคลินิกเพื่อพิจารณาว่าการรักษาแบบใหม่ได้ผลหรือไม่^{[ 154 ]}ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 20 เคมีได้ใช้การคำนวณเพื่อสร้างแบบจำลองโมเลกุลในสามมิติ^{[ 155 ]}

ธรณีวิทยาโครงสร้างและภูมิอากาศวิทยาใช้แบบจำลองความน่าจะเป็นเพื่อทำนายความเสี่ยงของภัยพิบัติทางธรรมชาติ^{[ 156 ]}ในทำนองเดียวกันอุตุนิยมวิทยาสมุทรศาสตร์และวิทยาดาวเคราะห์ก็ใช้คณิตศาสตร์เช่นกันเนื่องจากมีการใช้แบบจำลองอย่างมาก^{[ 157 ] [ 158 ] [ 159 ]}

สาขาคณิตศาสตร์ ที่ใช้ในสังคมศาสตร์ ได้แก่ ความน่าจะเป็น/สถิติ และสมการเชิงอนุพันธ์ มีการใช้ในสาขาภาษาศาสตร์เศรษฐศาสตร์สังคมวิทยา^{[ 160 ]}และจิตวิทยา^{[ 161 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ข้อสมมติฐานพื้นฐานของเศรษฐศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์คือเรื่องของบุคคลผู้มีเหตุผล – Homo economicus ( แปลตรงตัวว่า' มนุษย์เศรษฐกิจ' ) ^{[ 162 ]}ในแบบจำลองนี้ บุคคลแต่ละคนจะแสวงหาผลประโยชน์ส่วนตน ให้สูงสุด ^{[ 162 ]}และมักจะเลือกสิ่งที่ดีที่สุดโดยใช้ข้อมูลที่สมบูรณ์แบบ [ ^{163 ]}มุมมองเชิงอะตอมของเศรษฐศาสตร์นี้ทำให้สามารถนำความคิดมาแปลงเป็นคณิตศาสตร์ได้ค่อนข้างง่าย เนื่องจากการคำนวณของแต่ละบุคคล^จะถูกแปลงเป็นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เช่นนี้ทำให้สามารถตรวจสอบกลไกทางเศรษฐกิจได้ บางคนปฏิเสธหรือวิพากษ์วิจารณ์แนวคิดของHomo economicusนักเศรษฐศาสตร์ตั้งข้อสังเกตว่าคนจริงๆ มีข้อมูลจำกัด เลือกได้ไม่ดี และใส่ใจในเรื่องความยุติธรรมและความเห็นแก่ผู้อื่น ไม่ใช่แค่ผลประโยชน์ส่วนตัว^{[ 164 ]}

หากปราศจากการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การจะก้าวข้ามการสังเกตทางสถิติหรือการคาดเดาที่ไม่สามารถทดสอบได้นั้นเป็นเรื่องยาก การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ช่วยให้นักเศรษฐศาสตร์สามารถสร้างกรอบโครงสร้างเพื่อทดสอบสมมติฐานและวิเคราะห์ปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนได้ แบบจำลองให้ความชัดเจนและความแม่นยำ ทำให้สามารถแปลแนวคิดเชิงทฤษฎีเป็นการคาดการณ์เชิงปริมาณที่สามารถทดสอบกับข้อมูลในโลกแห่งความเป็นจริงได้^{[ 165 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 มีการพัฒนาเพื่อแสดงการเคลื่อนไหวทางประวัติศาสตร์ในรูปแบบสูตร ในปี 1922 นิโคไล คอนดราติเยฟ ได้ ค้นพบ วัฏจักรคอนดราติเยฟที่มีความยาวประมาณ 50 ปีซึ่งอธิบายถึงช่วงของการเติบโตหรือวิกฤตเศรษฐกิจ^{[ 166 ]} ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ได้ขยายการวิเคราะห์ของ พวกเขาไปสู่ภูมิรัฐศาสตร์^{[ 167 ]}ปีเตอร์ ตูร์ชินได้พัฒนาcliodynamicsในช่วงทศวรรษ 1990 ^{[ 168 ]}

การนำคณิตศาสตร์มาใช้ในสังคมศาสตร์นั้นมีความเสี่ยง ในหนังสือที่ถกเถียงกันเรื่องFashionable Nonsense (1997) SokalและBricmontได้ประณามการใช้ศัพท์ทางวิทยาศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องหรือไม่เหมาะสม โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์ ในสังคมศาสตร์^{[ 169 ]}การศึกษาระบบที่ซับซ้อน (วิวัฒนาการของการว่างงาน ทุนทางธุรกิจ วิวัฒนาการทางประชากรศาสตร์ของประชากร ฯลฯ) ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การเลือกเกณฑ์การนับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการว่างงาน หรือแบบจำลอง อาจก่อให้เกิดข้อโต้แย้งได้^{[ 170 ] [ 171 ]}

ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และความเป็นจริงทางวัตถุได้นำไปสู่การถกเถียงทางปรัชญามาตั้งแต่สมัยของพีทาโกรัส เป็นอย่างน้อย นักปรัชญาโบราณอย่างเพลโตได้โต้แย้งว่านามธรรมที่สะท้อนความเป็นจริงทางวัตถุนั้นมีความเป็นจริงในตัวของมันเองซึ่งดำรงอยู่นอกเหนือห้วงเวลาและอวกาศ ด้วยเหตุนี้ มุมมองทางปรัชญาที่ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์นั้นมีอยู่จริงในตัวของมันเองในเชิงนามธรรมจึงมักถูกเรียกว่าลัทธิเพลโตโดยไม่คำนึงถึงความคิดเห็นทางปรัชญาที่เป็นไปได้ของพวกเขา นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่โดยทั่วไปอาจถือได้ว่าเป็นนักปรัชญาเพลโต เนื่องจากพวกเขาคิดและพูดถึงวัตถุที่พวกเขาศึกษาว่าเป็นวัตถุจริง^{[ 172 ]}

อาร์มานด์ โบเรลสรุปมุมมองเกี่ยวกับความเป็นจริงของคณิตศาสตร์ดังนี้ และได้ยกคำพูดของGH Hardy , Charles Hermite , Henri PoincaréและAlbert Einsteinมาสนับสนุนมุมมองของเขา^{[ 136 ]}

บางสิ่งจะกลายเป็นสิ่งที่เป็นรูปธรรม (ตรงข้ามกับ "อัตวิสัย") ทันทีที่เรามั่นใจว่าสิ่งนั้นมีอยู่ในความคิดของผู้อื่นในรูปแบบเดียวกับที่มีอยู่ในความคิดของเรา และเราสามารถคิดและอภิปรายเกี่ยวกับสิ่งนั้นร่วมกันได้^{[ 173 ]}เนื่องจากภาษาของคณิตศาสตร์มีความแม่นยำมาก จึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการกำหนดแนวคิดที่มีฉันทามติเช่นนั้น ในความคิดของฉัน นั่นก็เพียงพอแล้วที่จะทำให้เรารู้สึกถึงการมีอยู่ที่เป็นรูปธรรม ความเป็นจริงของคณิตศาสตร์ ...

อย่างไรก็ตาม ลัทธิเพลโตและมุมมองร่วมสมัยเกี่ยวกับนามธรรมไม่ได้อธิบายถึงประสิทธิภาพอันไร้เหตุผลของคณิตศาสตร์ (เนื่องจากลัทธิเพลโตถือว่าคณิตศาสตร์มีอยู่โดยอิสระ แต่ไม่ได้อธิบายว่าเหตุใดจึงสอดคล้องกับความเป็นจริง) ^{[ 174 ]}

ไม่มีฉันทามติทั่วไปเกี่ยวกับนิยามของคณิตศาสตร์หรือสถานะทางญาณวิทยา ของมัน กล่าวคือ สถานที่ของมันภายในองค์ความรู้ นักคณิตศาสตร์มืออาชีพจำนวนมากไม่สนใจนิยามของคณิตศาสตร์ หรือถือว่ามันไม่สามารถนิยามได้ แม้แต่ฉันทามติก็ยังไม่มีว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์ บางคนก็แค่พูดว่า "คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ" ^{[ 175 ] [ 176 ]}แนวทางทั่วไปคือการนิยามคณิตศาสตร์โดยวัตถุของการศึกษา^{[ 177 ] [ 178 ] [ 179 ] [ 180 ]}

อริสโตเติลนิยามคณิตศาสตร์ว่า "วิทยาศาสตร์แห่งปริมาณ" และนิยามนี้ยังคงใช้กันอยู่จนถึงศตวรรษที่ 18 อย่างไรก็ตาม อริสโตเติลยังตั้งข้อสังเกตว่า การมุ่งเน้นเฉพาะปริมาณเพียงอย่างเดียวอาจไม่สามารถแยกคณิตศาสตร์ออกจากวิทยาศาสตร์อื่นๆ เช่น ฟิสิกส์ได้ ในมุมมองของเขา การนามธรรมและการศึกษาปริมาณในฐานะคุณสมบัติที่ "แยกออกจากกันได้ในความคิด" จากตัวอย่างจริงต่างหากที่ทำให้คณิตศาสตร์แตกต่างออกไป^{[ 181 ]}ในศตวรรษที่ 19 เมื่อนักคณิตศาสตร์เริ่มศึกษาหัวข้อต่างๆ เช่น เซตอนันต์ ซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับความเป็นจริงทางกายภาพ จึงมีการกำหนดนิยามใหม่ๆ มากมาย^{[ 182 ]}ด้วยจำนวนสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ จำนวนมากที่ปรากฏขึ้นตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 20 การนิยามคณิตศาสตร์โดยใช้สิ่งที่ศึกษาจึงยากขึ้นเรื่อยๆ^{[ 183 ]}ตัวอย่างเช่น แทนที่จะให้นิยามซอนเดอร์ส แมค เลนในหนังสือคณิตศาสตร์ รูปแบบ และหน้าที่ ได้สรุปพื้นฐานของคณิตศาสตร์หลายสาขา โดยเน้นถึงความเชื่อมโยงกัน และกล่าวว่า: ^{[ 184 ]}

การพัฒนาของคณิตศาสตร์ก่อให้เกิดเครือข่ายที่เชื่อมโยงกันอย่างแน่นหนาของกฎเกณฑ์ แนวคิด และระบบที่เป็นทางการ โหนดของเครือข่ายนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกระบวนการที่เป็นประโยชน์ในกิจกรรมของมนุษย์และกับคำถามที่เกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์ การเปลี่ยนผ่านจากกิจกรรมไปสู่ระบบคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการนั้นได้รับการชี้นำโดยความเข้าใจและแนวคิดทั่วไปที่หลากหลาย

แนวทางอื่นในการนิยามคณิตศาสตร์คือการใช้วิธีการของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น สาขาวิชาหนึ่งมักจะถูกจัดว่าเป็นคณิตศาสตร์ทันทีที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ ซึ่งเป็นข้อความที่ความถูกต้องขึ้นอยู่กับการพิสูจน์ กล่าวคือ การอนุมานเชิงตรรกะล้วนๆ^{[ d ] [ 185 ]}

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ต้องอาศัยความเข้มงวดซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความต้องไม่คลุมเครืออย่างแน่นอน และการพิสูจน์ต้องสามารถลดทอนลงเหลือเพียงลำดับของการประยุกต์ใช้กฎการอนุมาน [ ^{e ] โดย}ไม่ต้องใช้หลักฐานเชิงประจักษ์และสัญชาตญาณ [ ^{f ] [ 186 ]}การให้เหตุผลที่เข้มงวดไม่ได้จำเพาะเจาะจงกับคณิตศาสตร์ แต่ในคณิตศาสตร์ มาตรฐานความเข้มงวดนั้นสูงกว่าที่อื่นมาก แม้ว่าคณิตศาสตร์จะ^{กระชับ}แต่การพิสูจน์ที่เข้มงวดอาจต้องใช้หลายร้อยหน้าในการแสดง เช่น ทฤษฎีบท Feit–Thompson ที่มีความยาว 255 หน้า[ g ^{]การเกิด}ขึ้นของการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยทำให้ความยาวของการพิสูจน์ขยายออกไปได้อีก^{[ h ] [ 187 ]}ผลลัพธ์ของแนวโน้มนี้คือปรัชญาของ การพิสูจน์ แบบกึ่งเชิงประจักษ์ที่ไม่สามารถถือได้ว่าไม่มีข้อผิดพลาด แต่มีความน่าจะเป็นติดอยู่ด้วย^{[ 8 ]}

แนวคิดเรื่องความเข้มงวดในคณิตศาสตร์มีมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ ซึ่งสังคมของพวกเขาสนับสนุนการใช้เหตุผลเชิงตรรกะแบบนิรนัย อย่างไรก็ตาม แนวทางที่เข้มงวดนี้มีแนวโน้มที่จะขัดขวางการสำรวจแนวทางใหม่ๆ เช่น จำนวนอตรรกยะและแนวคิดเรื่องอนันต์ วิธีการแสดงการพิสูจน์ที่เข้มงวดได้รับการพัฒนาในศตวรรษที่ 16 ผ่านการใช้สัญลักษณ์ ในศตวรรษที่ 18 การเปลี่ยนแปลงทางสังคมทำให้เหล่านักคณิตศาสตร์หาเลี้ยงชีพด้วยการสอน ซึ่งนำไปสู่การคิดอย่างรอบคอบมากขึ้นเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ สิ่งนี้ทำให้เกิดแนวทางที่เข้มงวดมากขึ้น ในขณะที่เปลี่ยนจากวิธีการทางเรขาคณิตไปสู่การพิสูจน์ทางพีชคณิตและจากนั้นเป็นการพิสูจน์ทางเลขคณิต^{[ 8 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ปรากฏว่าคำจำกัดความของแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ไม่แม่นยำเพียงพอที่จะหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง (เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดและฟังก์ชันไวเออร์สตรัส ) และข้อขัดแย้ง (ความขัดแย้งของรัสเซลล์) ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยการรวมสัจพจน์เข้ากับ กฎการอนุมาน แบบพิสูจน์ได้ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ การนำวิธีการสัจพจน์กลับมาใช้ใหม่ซึ่งริเริ่มโดยชาวกรีกโบราณ^{[ 8 ]}ส่งผลให้ "ความเข้มงวด" ไม่ใช่แนวคิดที่เกี่ยวข้องในคณิตศาสตร์อีกต่อไป เนื่องจากบทพิสูจน์นั้นถูกต้องหรือผิดพลาด และ "บทพิสูจน์ที่เข้มงวด" เป็นเพียงคำซ้ำซ้อนแนวคิดพิเศษของความเข้มงวดจะเข้ามามีบทบาทในแง่มุมทางสังคมของบทพิสูจน์ ซึ่งอาจถูกหักล้างได้อย่างชัดเจนโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ หลังจากที่บทพิสูจน์ได้รับการยอมรับมาหลายปีหรือหลายทศวรรษแล้ว ก็สามารถถือได้ว่ามีความน่าเชื่อถือ^{[ 188 ]}

อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่อง "ความเข้มงวด" อาจยังคงมีประโยชน์สำหรับการสอนผู้เริ่มต้นเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์^{[ 189 ]}

คณิตศาสตร์มีความสามารถที่โดดเด่นในการข้ามพรมแดนทางวัฒนธรรมและช่วงเวลาต่างๆ ในฐานะกิจกรรมของมนุษย์การปฏิบัติคณิตศาสตร์มีด้านสังคม ซึ่งรวมถึงการศึกษาอาชีพการยอมรับการเผยแพร่และอื่นๆ ในด้านการศึกษา คณิตศาสตร์เป็นส่วนสำคัญของหลักสูตรและเป็นองค์ประกอบสำคัญของสาขาวิชาSTEM อาชีพ ที่ โดดเด่นสำหรับนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ ได้แก่ ครูหรืออาจารย์คณิตศาสตร์ นักสถิติ นัก คณิตศาสตร์ประกันภัยนักวิเคราะห์การเงินนักเศรษฐศาสตร์นักบัญชีผู้ค้าสินค้าโภคภัณฑ์^หรือที่ ปรึกษา ด้านคอมพิวเตอร์ [ ^{190 ]}

หลักฐานทางโบราณคดีแสดงให้เห็นว่าการสอนคณิตศาสตร์เกิดขึ้นตั้งแต่ช่วงสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราชในบาบิโลเนียโบราณ^{[ 191 ]}มีการค้นพบหลักฐานที่เทียบเคียงได้เกี่ยวกับการฝึกอบรมคณิตศาสตร์โดยผู้เขียนในตะวันออกใกล้โบราณและต่อมาในโลกกรีก-โรมันเริ่มต้นประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช^{[ 192 ]}ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักคือปาปิรัส Rhindซึ่งมีอายุราว1650 ปี ก่อน คริสต์ศักราชในอียิปต์^{[ 193 ]}เนื่องจากการขาดแคลนหนังสือ การสอนคณิตศาสตร์ในอินเดียโบราณจึงถูกถ่ายทอดโดยใช้ประเพณีการท่องจำ แบบปากเปล่า ตั้งแต่สมัยพระเวท ( ประมาณ 1500  – ประมาณ 500 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ^{[ 194 ]}ในจีนสมัยราชวงศ์ถัง(ค.ศ. 618–907) มีการนำหลักสูตรคณิตศาสตร์มาใช้ในการสอบราชการเพื่อเข้าร่วมระบบราชการของรัฐ^{[ 195 ]}

หลังยุคมืดการศึกษาคณิตศาสตร์ในยุโรปได้รับการจัดหาโดยโรงเรียนทางศาสนาซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของQuadriviumการสอนอย่างเป็นทางการในด้านการสอนเริ่มขึ้นใน โรงเรียน ของคณะเยสุอิตในศตวรรษที่ 16 และ 17 หลักสูตรคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ยังคงอยู่ในระดับพื้นฐานและเชิงปฏิบัติจนกระทั่งศตวรรษที่ 19 เมื่อเริ่มเฟื่องฟูในฝรั่งเศสและเยอรมนี วารสารที่เก่าแก่ที่สุดที่กล่าวถึงการสอนคณิตศาสตร์คือL'Enseignement Mathématiqueซึ่งเริ่มตีพิมพ์ในปี 1899 ^{[ 196 ]}ความก้าวหน้าของตะวันตกในด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีทำให้เกิดการจัดตั้งระบบการศึกษาแบบรวมศูนย์ในหลายประเทศ โดยมีคณิตศาสตร์เป็นองค์ประกอบหลัก—ในตอนแรกเพื่อการประยุกต์ใช้ทางทหาร^{[ 197 ]}แม้ว่าเนื้อหาของหลักสูตรจะแตกต่างกันไป แต่ในปัจจุบันเกือบทุกประเทศสอนคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียนเป็นระยะเวลามาก^{[ 198 ]}

ในระหว่างเรียน ความสามารถทางคณิตศาสตร์และความคาดหวังเชิงบวกมีความสัมพันธ์อย่างมากกับความสนใจในอาชีพในสาขานี้ ปัจจัยภายนอก เช่น แรงจูงใจจากคำติชมของครู ผู้ปกครอง และกลุ่มเพื่อน สามารถส่งผลต่อระดับความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ได้^{[ 199 ]}นักเรียนบางคนที่เรียนคณิตศาสตร์อาจเกิดความกังวลหรือความกลัวเกี่ยวกับผลการเรียนในวิชานี้ ซึ่งเรียกว่าความวิตกกังวลทางคณิตศาสตร์และถือเป็นความผิดปกติที่ส่งผลกระทบต่อผลการเรียนมากที่สุด ความวิตกกังวลทางคณิตศาสตร์สามารถเกิดขึ้นได้จากหลายปัจจัย เช่น ทัศนคติของผู้ปกครองและครู แบบแผนทางสังคม และลักษณะส่วนบุคคล การช่วยเหลือเพื่อบรรเทาความวิตกกังวลสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนแปลงวิธีการสอน การมีปฏิสัมพันธ์กับผู้ปกครองและครู และการบำบัดที่เหมาะสมกับแต่ละบุคคล^{[ 200 ]}

ความถูกต้องของทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับความเข้มงวดของการพิสูจน์เท่านั้น ซึ่งในทางทฤษฎีแล้วสามารถทำได้โดยอัตโนมัติด้วยโปรแกรมคอมพิวเตอร์นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีที่ว่างสำหรับความคิดสร้างสรรค์ในงานทางคณิตศาสตร์ ตรงกันข้าม ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญหลายอย่าง (ทฤษฎีบท) เป็นวิธีแก้ปัญหาที่นักคณิตศาสตร์คนอื่นไม่สามารถแก้ได้ และการคิดค้นวิธีการแก้ปัญหาอาจเป็นวิธีพื้นฐานในกระบวนการแก้ปัญหา^{[ 201 ] [ 202 ]}ตัวอย่างที่ชัดเจนคือทฤษฎีบทของ Apery : Roger Aperyให้เพียงแนวคิดสำหรับการพิสูจน์ และการพิสูจน์อย่างเป็นทางการนั้นได้รับการให้ในอีกหลายเดือนต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์อีกสามคน^{[ 203 ]}

ความคิดสร้างสรรค์และความเข้มงวดไม่ใช่เพียงแง่มุมทางจิตวิทยาของกิจกรรมของนักคณิตศาสตร์เท่านั้น นักคณิตศาสตร์บางคนอาจมองกิจกรรมของตนเป็นเกม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นการแก้ปริศนา[ ^{204 ] แง่}มุมของกิจกรรมทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับการเน้นย้ำในคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง

นักคณิตศาสตร์สามารถค้นพบ คุณค่า ทางสุนทรียภาพในคณิตศาสตร์ได้ เช่นเดียวกับความงาม คุณค่าทางสุนทรียภาพ นั้นยากที่จะนิยาม แต่โดยทั่วไปมักเกี่ยวข้องกับความสง่างามซึ่งประกอบด้วยคุณสมบัติต่างๆ เช่นความเรียบง่ายความสมมาตรความสมบูรณ์ และความเป็นทั่วไป GH Hardy ในA Mathematician's Apologyได้แสดงความเชื่อว่าการพิจารณาทางสุนทรียภาพนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์การศึกษาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ได้ เขายังระบุเกณฑ์อื่นๆ เช่น ความสำคัญ ความไม่คาดคิด และความหลีกเลี่ยงไม่ได้ ซึ่งมีส่วนช่วยให้เกิดสุนทรียภาพทางคณิตศาสตร์^{[ 205 ]} Paul Erdősได้แสดงความรู้สึกนี้อย่างเสียดสีมากขึ้นโดยพูดถึง "The Book" ซึ่งเป็นชุดรวบรวมบทพิสูจน์ที่สวยงามที่สุดจากพระเจ้า หนังสือProofs from THE BOOK ในปี 1998 ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจาก Erdős เป็นชุดรวบรวมข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ที่กระชับและเปิดเผยเป็นพิเศษ ตัวอย่างของผลลัพธ์ที่สง่างามเป็นพิเศษ ได้แก่ บทพิสูจน์ของยูคลิดที่ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ และการแปลงฟูริเยร์แบบเร็วสำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก^{[ 206 ]}

บางคนรู้สึกว่าการพิจารณาคณิตศาสตร์ว่าเป็นวิทยาศาสตร์นั้นเป็นการลดทอนคุณค่าทางศิลปะและประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ในศิลปศาสตร์ ดั้งเดิมทั้ง เจ็ด แขนง ^{[ 207 ]}วิธีหนึ่งที่ความแตกต่างของมุมมองนี้ปรากฏให้เห็นคือการถกเถียงเชิงปรัชญาว่าผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์นั้นถูกสร้างขึ้น (เช่นเดียวกับศิลปะ) หรือถูกค้นพบ (เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์) ^{[ 136 ]}ความนิยมของคณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิงเป็นอีกสัญญาณหนึ่งของความสุขที่หลายคนพบในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์

โน้ตที่ฟังดูเข้ากันได้ดีสำหรับหูของชาวตะวันตกคือโน้ตที่มีความถี่ พื้นฐาน ของการสั่นสะเทือนอยู่ในอัตราส่วนที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น อ็อกเทฟจะเพิ่มความถี่เป็นสองเท่า และคู่ห้าสมบูรณ์จะเพิ่มความถี่เป็นทวีคูณ^{[ 208 ] [ 209 ]}${\textstyle {\frac {3}{2}}}$

มนุษย์และสัตว์บางชนิดพบว่ารูปแบบสมมาตรมีความสวยงามมากกว่า^{[ 210 ]}ในทางคณิตศาสตร์ สมมาตรของวัตถุจะก่อตัวเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มสมมาตร^{[ 211 ]}ตัวอย่างเช่น กลุ่มที่อยู่เบื้องหลังสมมาตรแบบกระจกเงาคือกลุ่มวัฏจักรขององค์ประกอบสองตัวการทดสอบรอร์ชาคเป็นรูปทรงที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามสมมาตรนี้^{[ 212 ]}เช่นเดียวกับ รูปร่าง ของผีเสื้อและสัตว์โดยทั่วไป (อย่างน้อยก็บนพื้นผิว) ^{[ 213 ]}คลื่นบนผิวน้ำทะเลมีสมมาตรการเลื่อน: การเคลื่อนมุมมองไปตามระยะห่างระหว่างยอดคลื่นจะไม่เปลี่ยนมุมมองของทะเล^{[ 214 ]}แฟรกทัลมี ความ คล้ายคลึงกันในตัวเอง^{[ 215 ] [ 216 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

คณิตศาสตร์ที่เป็นที่นิยมคือการนำเสนอคณิตศาสตร์โดยไม่ใช้ศัพท์เทคนิค^{[ 217 ]}การนำเสนอคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยาก เนื่องจากประชาชนทั่วไปมักมีความวิตกกังวลเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และวัตถุทางคณิตศาสตร์ก็ค่อนข้างเป็นนามธรรม^{[ 218 ]}อย่างไรก็ตาม การเขียนคณิตศาสตร์ที่เป็นที่นิยมสามารถเอาชนะสิ่งนี้ได้โดยการใช้แอปพลิเคชันหรือความเชื่อมโยงทางวัฒนธรรม^{[ 219 ]}ถึงกระนั้น คณิตศาสตร์ก็ไม่ค่อยเป็นหัวข้อของการเผยแพร่ในสื่อสิ่งพิมพ์หรือสื่อโทรทัศน์

รางวัลอันทรงเกียรติที่สุดในสาขาคณิตศาสตร์คือเหรียญฟิลด์ส^[ 220 ^{] [ 221 ] ซึ่ง}ก่อตั้งโดยจอห์น ชาร์ลส์ ฟิลด์ส ชาวแคนาดา ในปี 1936 และมอบให้ทุกๆ สี่ปี (ยกเว้นช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง ) แก่บุคคลมากถึงสี่คน^{[ 222 ] [ 223 ]}ถือเป็นรางวัลทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากับรางวัลโนเบล^{[ 223 ]}

รางวัลทางคณิตศาสตร์อันทรงเกียรติอื่นๆ ได้แก่: ^{[ 224 ]}

• รางวัลอาเบลก่อตั้งขึ้นในปี 2545 ^{[ 225 ]}และมอบรางวัลครั้งแรกในปี 2546 ^{[ 226 ]}
• เหรียญเชิร์นสำหรับความสำเร็จตลอดชีวิต เริ่มใช้ในปี 2552 ^{[ 227 ]}และมอบครั้งแรกในปี 2553 ^{[ 228 ]}
• รางวัลAMS Leroy P. Steeleซึ่งมอบให้ตั้งแต่ปี 1970 ^{[ 229 ]}
• รางวัลWolf Prize สาขาคณิตศาสตร์สำหรับความสำเร็จตลอดชีวิต^{[ 230 ]}จัดตั้งขึ้นในปี พ.ศ. 2521 ^{[ 231 ]}

รายชื่อปัญหาเปิด 23 ข้อที่มีชื่อเสียง เรียกว่า " ปัญหาของฮิลเบิร์ต " ได้รับการรวบรวมในปี ค.ศ. 1900 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เดวิด ฮิลเบิร์ต^{[ 232 ]}รายชื่อนี้ได้รับความนิยมอย่างมากในหมู่นักคณิตศาสตร์^{[ 233 ]}และอย่างน้อยสิบสามข้อ (ขึ้นอยู่กับการตีความบางข้อ) ได้รับการแก้ไขแล้ว^{[ 232 ]}

รายชื่อปัญหาสำคัญเจ็ดข้อชุดใหม่ ซึ่งมีชื่อว่า " ปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ " ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2000 มีเพียงปัญหาเดียวเท่านั้น คือสมมติฐานของรีมันน์ที่ซ้ำซ้อนกับปัญหาของฮิลเบิร์ต การแก้ปัญหาใดๆ ก็ตามในจำนวนนี้จะได้รับรางวัล 1 ล้านดอลลาร์^{[ 234 ]}จนถึงปัจจุบัน มีเพียงปัญหาเดียวเท่านั้น คือสมมติฐานของปวงกาเรที่ได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียกริกอรี เพเรลแมน^{[ 235 ]}