จำนวนคือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการนับ วัดและกำหนดป้ายกำกับตัวอย่างพื้นฐานที่สุดคือจำนวนธรรมชาติ ได้แก่ 1, 2, 3, 4 , 5 และอื่นๆ^{[ 1 ]}จำนวนแต่ละจำนวนสามารถแสดงได้ในภาษาพูดหรือภาษาเขียนด้วยคำบอกจำนวนหรือด้วยสัญลักษณ์เฉพาะที่เรียกว่าตัวเลขตัวอย่างเช่น "สิบเอ็ด" เป็นคำบอกจำนวน และ "11" เป็นตัวเลขที่สอดคล้องกัน เนื่องจากสามารถจดจำสัญลักษณ์ได้เพียงจำนวนจำกัด จึง มีการใช้ ระบบตัวเลขเพื่อแสดงจำนวนใดๆ ในรูปแบบที่เป็นระเบียบ การแสดงผลที่พบได้บ่อยที่สุดคือระบบตัวเลขฮินดู-อารบิกซึ่งเป็น ระบบ ทศนิยมที่สามารถแสดงจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ใดๆ โดยใช้การรวมกันของสัญลักษณ์ตัวเลขอารบิก สิบตัว ที่ เรียกว่า หลัก^{[ 2 ] [ a ]} ​​ตัวเลขสามารถใช้สำหรับการนับ (เช่นจำนวนนับของกลุ่มหรือเซต ) สำหรับการระบุ (เช่น หมายเลขโทรศัพท์) สำหรับการจัดลำดับ (เช่นหมายเลขซีเรียล ) และสำหรับรหัส (เช่นISBN ) อย่างไรก็ตาม ในการใช้งานทั่วไปตัวเลขไม่ได้ถูกแยกแยะอย่างชัดเจนจากจำนวนที่มันแทน

ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องจำนวนได้รับการขยายออกไปตลอดหลายศตวรรษเพื่อรวมถึงศูนย์ (0) ^{[ 3 ]}จำนวนลบเช่นลบหนึ่ง (−1) ^{[ 4 ]}จำนวนตรรกยะเช่นหนึ่งส่วนสอง จำนวนจริงเช่นรากที่สองของ 2และพาย ( π ) ^{[ 5 ]}และจำนวนเชิงซ้อน^{[ 6 ]}ซึ่งขยายจำนวนจริงด้วยรากที่สองของ−1 ( i ) และการรวมกันของจำนวนจริงโดยการบวกหรือลบพหุคูณของมัน^{[ 4 ]}การคำนวณด้วยจำนวนทำได้โดยใช้การดำเนินการทางเลขคณิต ซึ่งที่คุ้นเคยมากที่สุดคือการบวกการลบการคูณ การหารและการยกกำลังการศึกษาหรือการใช้งานเรียกว่าเลขคณิต ซึ่ง เป็นคำที่อาจหมายถึงทฤษฎีจำนวนการศึกษาคุณสมบัติของจำนวนด้วย ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)}$

การมองแนวคิดของศูนย์ในฐานะตัวเลขนั้นจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานในปรัชญา โดยระบุความว่างเปล่าด้วยค่า ในช่วงศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มพัฒนาระบบต่างๆ ที่ปัจจุบันเรียกว่าโครงสร้างพีชคณิตซึ่งมีคุณสมบัติบางอย่างของตัวเลข และอาจมองได้ว่าเป็นการขยายแนวคิด โครงสร้างพีชคณิตบางอย่างถูกอ้างถึงว่าเป็นตัวเลขอย่างชัดเจน (เช่นตัวเลขp -adic และตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ) ในขณะที่บางอย่างไม่ได้ถูกอ้างถึง แต่สิ่งนี้เป็นเรื่องของธรรมเนียมปฏิบัติมากกว่าความแตกต่างทางคณิตศาสตร์^{[ 7 ]}

มีการค้นพบกระดูกและสิ่งประดิษฐ์อื่นๆ ที่มีรอยสลักอยู่ ซึ่งหลายคนเชื่อว่าเป็นรอยขีดนับ [ ^{9 ] นัก}ประวัติศาสตร์บางคนเสนอว่ากระดูกเลบอมโบ (มีอายุประมาณ 43,000 ปี) และกระดูกอิชางโก (มีอายุประมาณ 22,000 ถึง 30,000 ปี) เป็นสิ่งประดิษฐ์ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด แต่การตีความนี้ยังเป็นที่ถกเถียงกัน อยู่ ^{[ 10 ] [ 11 ]}รอยขีดนับเหล่านี้อาจถูกใช้สำหรับการนับเวลาที่ผ่านไป เช่น จำนวนวัน รอบดวงจันทร์ หรือการบันทึกปริมาณเช่น จำนวนสัตว์^{[ 12 ]} ระบบการรับรู้ปริมาณที่คิดว่าเป็นพื้นฐานของการนับเลขนั้น มีร่วมกับสิ่งมีชีวิตชนิดอื่นๆ การกระจายทางวิวัฒนาการบ่งชี้ว่ามันน่าจะมีอยู่ก่อนการกำเนิดของภาษา^{[ 13 ] [ 10 ]}

ระบบนับไม่มีแนวคิดเรื่องค่าประจำหลัก (เช่นเดียวกับ ระบบเลข ฐานสิบ สมัยใหม่ ) ซึ่งจำกัดการแสดงจำนวนขนาดใหญ่ อย่างไรก็ตาม ระบบนับถือเป็นระบบตัวเลขนามธรรมประเภทแรก^{[ 14 ]}

ตัวเลขที่เก่าแก่ที่สุดที่ไม่คลุมเครือในบันทึกทางโบราณคดีคือ ระบบ ฐาน 60 (เลขฐานหกสิบ) ของเมโสโปเตเมีย ( ประมาณ 3400  ปีก่อนคริสตกาล) ^{[ 15 ]}ค่าประจำหลักปรากฏขึ้นในสหัสวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล^{[ 16 ]}ระบบฐาน 10 ที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักมีอายุย้อนไปถึง 3100 ปีก่อนคริสตกาลในอียิปต์^{[ 17 ]}แผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนที่มีอายุย้อนไปถึงช่วง 1900–1600 ปีก่อนคริสตกาลมีการประมาณค่าเส้นรอบวงของวงกลมเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลางไว้ที่= 3.125 ซึ่งอาจเป็นค่าประมาณของ π ที่เก่าแก่ที่สุด^{[ 18 ]}${\textstyle 3{\frac {1}{8}}}$

ควรแยกแยะตัวเลขออกจากสัญลักษณ์ตัวเลข ชาวอียิปต์เป็นผู้คิดค้นระบบตัวเลขเข้ารหัสเป็นครั้งแรก และชาวกรีกได้นำตัวเลขการนับของพวกเขามาใช้กับอักษรไอโอเนียนและดอริก^{[ 19 ]} (อย่างไรก็ตาม ในปี 300 ก่อนคริสต์ศักราชอาร์คิมิดีสได้สาธิตการใช้ระบบตัวเลขตำแหน่งเพื่อแสดงตัวเลขขนาดใหญ่มากในThe Sand Reckonerเป็น ครั้งแรก ^{[ 20 ]} ) ตัวเลขโรมัน ซึ่งเป็นระบบที่ใช้การรวมกันของตัวอักษรจากอักษรโรมัน ยังคงมีอิทธิพลในยุโรปจนกระทั่งการแพร่กระจายของระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับในช่วงปลายศตวรรษที่ 14 และระบบตัวเลขฮินดู-อาหรับยังคงเป็นระบบที่ใช้กันทั่วไปในการแสดงตัวเลขในโลกปัจจุบัน^{[ 21 ]}กุญแจสำคัญของประสิทธิภาพของระบบคือสัญลักษณ์สำหรับศูนย์ซึ่งได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย โบราณ ราวปี 500 หลังคริสต์ศักราช^{[ 21 ]}

การใช้ เลขศูนย์เป็นจำนวนเต็มครั้งแรกที่มีการบันทึกไว้เกิดขึ้นใน ค.ศ. 628 และปรากฏในBrāhmasphuṭasiddhāntaซึ่งเป็นผลงานหลักของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ Brahmaguptaเขาได้รับการยกย่องว่าเป็นคนแรกที่คิดค้นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของเลขศูนย์ Brahmagupta ถือว่า 0 เป็นจำนวนและได้กล่าวถึงการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับมัน รวมถึงการหารด้วยศูนย์เขาได้กำหนดกฎเกณฑ์การใช้เลขศูนย์กับจำนวนลบและจำนวนบวก เช่น "ศูนย์บวกกับจำนวนบวกจะได้จำนวนบวก และจำนวนลบบวกกับศูนย์จะได้จำนวนลบ" ในช่วงเวลานี้ (ศตวรรษที่ 7) แนวคิดนี้ได้แพร่ไปถึงกัมพูชาในรูปแบบของตัวเลขเขมร อย่างชัดเจน [ ^{22 ]}และเอกสารแสดงให้เห็นว่าแนวคิดนี้ได้แพร่กระจายไปยังประเทศจีนและโลกอิสลาม ในภายหลัง แนวคิดนี้เริ่มแพร่ไปถึงยุโรปผ่านแหล่งข้อมูลอิสลามราวปี ค.ศ. ^{1000 [ 23 ]}

มีการใช้เลขศูนย์ในรูปแบบอื่นก่อนสมัยพระพรหมคุปตะ แม้ว่าเอกสารจะไม่สมบูรณ์เท่าในพระพรหมสภูฏสิทธันตะ^{[ 24 ]}การใช้เลขศูนย์ในยุคแรกสุดนั้นเป็นเพียงตัวเลขแทนตำแหน่งในระบบค่าประจำหลักซึ่งแทนตัวเลขอื่นดังเช่นที่ชาวบาบิโลนทำ^{[ 25 ]}ตำราโบราณหลายเล่มใช้เลข 0 รวมถึงตำราของชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์ ชาวอียิปต์ใช้คำว่าnfrเพื่อแสดงยอดคงเหลือเป็นศูนย์ในระบบบัญชีคู่ตำราของอินเดียใช้คำภาษาสันสกฤตว่าShunyeหรือshunyaเพื่ออ้างถึงแนวคิดของความว่างเปล่า ในตำราคณิตศาสตร์ คำนี้มักหมายถึงเลขศูนย์^{[ 26 ]}ในทำนองเดียวกันพระปณินี (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) ใช้ตัวดำเนินการศูนย์ในAshtadhyayi [ ^{24 ] ซึ่ง}เป็นตัวอย่างแรกๆ ของไวยากรณ์พีชคณิตสำหรับภาษาสันสกฤต (ดูPingala ด้วย )

บันทึกแสดงให้เห็นว่าชาวกรีกโบราณดูเหมือนจะไม่แน่ใจเกี่ยวกับสถานะของ 0 ในฐานะตัวเลข พวกเขาถามตัวเองว่า "'ไม่มีอะไร' จะเป็นอะไรได้อย่างไร?" ซึ่งนำไปสู่ ข้อ โต้แย้งทางปรัชญา ที่น่าสนใจ และในยุคกลาง ข้อโต้แย้งทางศาสนาเกี่ยวกับธรรมชาติและการดำรงอยู่ของ 0 และสุญญากาศปริศนาของซีโนแห่งเอเลียขึ้นอยู่กับการตีความที่ไม่แน่นอนของ 0 บางส่วน^{[ 27 ]} (ชาวกรีกโบราณยังตั้งคำถามว่า  1เป็นตัวเลข หรือไม่ด้วยซ้ำ ^{[ 28 ]} )

ชาว ออลเมคตอนปลายในเม็กซิโกตอนกลางใต้เริ่มใช้สัญลักษณ์แทนเลขศูนย์ ซึ่งเป็นรูปเปลือก หอย ในโลกใหม่เมื่อราวปี 38 ก่อนคริสต์ศักราช^{[ 30 ]}ชาวมายาเป็นผู้พัฒนาเลขศูนย์ให้เป็นจำนวนนับ โดยใช้ในระบบตัวเลขและปฏิทินของชาวมายา [ ^{31 ] ชาว}มายาใช้ระบบตัวเลขฐาน 20โดยการรวมจุดจำนวนหนึ่ง (ฐาน 5) กับแท่งจำนวนหนึ่ง (ฐาน 4) ^{[ 29 ]}จอร์จ ไอ. ซานเชซในปี 1961 รายงานเกี่ยวกับลูกคิดฐาน 4 และฐาน 5 ^{[ 32 ] [ 33 ]}

เมื่อถึงปี ค.ศ. 130 ปโตเลมีได้รับอิทธิพลจากฮิปปาร์คัสและชาวบาบิโลน จึงใช้สัญลักษณ์แทนเลข 0 (วงกลมเล็กๆ ที่มีขีดยาวอยู่ด้านบน) ภายใน ระบบเลขฐาน หกสิบ ซึ่งโดยปกติ แล้วจะใช้ตัวเลขกรีกแบบ ตัวอักษร ^{[ 34 ]}เนื่องจากมีการใช้เพียงลำพัง ไม่ใช่แค่เป็นตัวแทนเลขศูนย์แบบเฮลเลนิสติก นี้ จึงเป็นการใช้เลขศูนย์ที่แท้จริงครั้งแรกที่มีการบันทึกไว้ในโลกยุคโบราณ ใน ต้นฉบับไบ แซนไทน์ ในภายหลังของ Syntaxis Mathematica ( Almagest ) ของเขาเลขศูนย์แบบเฮลเลนิสติกได้กลายร่างเป็นอักษรกรีกโอไมครอน^{[ 35 ]} (หรืออีกนัยหนึ่งคือ 70 ในไอโซปเซฟี^{[ 36 ]} )

เลขศูนย์ที่แท้จริงถูกใช้ในตารางควบคู่กับเลขโรมันตั้งแต่ปี 525 (การใช้งานครั้งแรกที่รู้จักโดยDionysius Exiguus ) แต่ใช้เป็นคำว่าnullaซึ่งหมายถึงไม่มีอะไรไม่ใช่เป็นสัญลักษณ์^{[ 37 ]}เมื่อการหารได้เศษเหลือเป็น 0 จะใช้คำ ว่า nihilซึ่งหมายถึงไม่มีอะไร เช่นกัน เลขศูนย์ในยุคกลางเหล่านี้ถูกใช้โดย นักคำนวณ ในยุคกลางในอนาคตทั้งหมด (เครื่องคำนวณของอีสเตอร์) ^{[ 38 ]}การใช้ตัวอักษรย่อ N เพียงครั้งเดียว ถูกใช้ในตารางเลขโรมันโดยBedeหรือเพื่อนร่วมงานประมาณปี 725 ซึ่งเป็นสัญลักษณ์เลขศูนย์ที่แท้จริง

แนวคิดเชิงนามธรรมของจำนวนลบได้รับการยอมรับตั้งแต่ช่วง 100–50 ปีก่อนคริสตกาลในประเทศจีนบททั้งเก้าเกี่ยวกับศิลปะทางคณิตศาสตร์มีวิธีการหาพื้นที่ของรูปทรงต่างๆ โดยใช้แท่งสีแดงแทนสัมประสิทธิ์บวก และสีดำแทนสัมประสิทธิ์ลบ^{[ 39 ]}การอ้างอิงครั้งแรกในงานเขียนของชาวตะวันตกเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 3 หลังคริสตกาลในประเทศกรีซดิโอแฟนตัสอ้างถึงสมการที่เทียบเท่ากับ4x + 20 = 0 (คำตอบเป็นลบ) ในArithmeticaโดยกล่าวว่าสมการดังกล่าวให้ผลลัพธ์ที่ไร้สาระ^{[ 40 ]}

ในช่วงทศวรรษที่ 600 มีการใช้จำนวนลบในอินเดียเพื่อแสดงถึงหนี้สิน การอ้างอิงก่อนหน้านี้ของไดโอแฟนตัสได้รับการกล่าวถึงอย่างชัดเจนยิ่งขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพราหมณคุปตะในBrāhmasphuṭasiddhāntaในปี 628 ซึ่งใช้จำนวนลบเพื่อสร้างสูตรกำลังสองรูป แบบทั่วไป ที่ยังคงใช้กันอยู่ในปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 12 ในอินเดียภัสการะได้ให้รากที่เป็นลบสำหรับสมการกำลังสอง แต่กล่าวว่า "ในกรณีนี้ไม่ควรนำค่าลบมาใช้ เพราะมันไม่เพียงพอ ผู้คนไม่เห็นด้วยกับรากที่เป็นลบ" ^{[ 41 ]}

โดยส่วนใหญ่แล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปต่อต้านแนวคิดเรื่องจำนวนลบจนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 17 ^{[ 41 ]}แม้ว่าฟิโบนาชชีจะอนุญาตให้ใช้คำตอบที่เป็นลบในปัญหาทางการเงิน ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นหนี้สิน (บทที่ 13 ของLiber Abaci , 1202) และต่อมาเป็นการสูญเสีย (ในFlos ) เรเน่ เดส์การ์ตเรียกจำนวนลบเหล่านี้ว่ารากเท็จ เนื่องจากปรากฏในพหุนามพีชคณิต แต่เขาก็พบวิธีที่จะสลับรากจริงและรากเท็จได้เช่นกัน^{[ 42 ]}ในขณะเดียวกัน ชาวจีนก็แสดงจำนวนลบโดยการลากเส้นทแยงมุมผ่านตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวขวาสุดของตัวเลขบวกที่สอดคล้องกัน^{[ 43 ]}นักทดลองชาวยุโรปยุคแรกๆ เกี่ยวกับจำนวนลบคือนิโคลัส ชูเกต์ในช่วงศตวรรษที่ 15 เขาใช้จำนวนลบเป็นเลขยกกำลัง^{[ 44 ]}แต่เรียกมันว่า "จำนวนไร้สาระ"

จนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 18 การเพิกเฉยต่อผลลัพธ์เชิงลบใดๆ ที่ได้จากสมการ โดยถือว่าผลลัพธ์เหล่านั้นไม่มีความหมาย ถือเป็นเรื่องปกติ

เป็นไปได้ว่าแนวคิดเรื่องจำนวนเศษส่วนมีมาตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ [ ^{41 ] ชาว}อียิปต์โบราณใช้ สัญลักษณ์ เศษส่วนของอียิปต์สำหรับจำนวนตรรกยะในตำราคณิตศาสตร์ เช่นปาปิรัสคณิตศาสตร์ Rhindและ ปาปิ รัสKahun ^{[ 46 ]}ปาปิรัส Rhind มีตัวอย่างการหาพื้นที่ของวงกลมจากเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งให้ค่าประมาณของ π เป็น≈ 3.16049.... ^{[ 18 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกและอินเดียในยุคคลาสสิกได้ศึกษาทฤษฎีจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาทฤษฎีจำนวน โดยทั่วไป ^[ 47 ^{] [ 41 ]}ตัวอย่างที่มีอิทธิพลอย่างมากคือElementsของยูคลิดซึ่งมีอายุราว 300 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 48 ] ในบรรดาตำรา ของ}อินเดีย ตำราที่เกี่ยวข้องมากที่สุดคือSthananga Sutraซึ่งครอบคลุมทฤษฎีจำนวนเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาคณิตศาสตร์โดยทั่วไปเช่นกัน^{[ 41 ]}${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}}$

แนวคิดเรื่องเศษส่วนทศนิยมมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการเขียนค่าตำแหน่งทศนิยม ทั้งสองดูเหมือนจะพัฒนาควบคู่กันไป ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่คัมภีร์ คณิตศาสตร์ของศาสนาเชน จะรวมการคำนวณค่าประมาณเศษส่วนทศนิยมของพายหรือรากที่สองของ 2 ไว้ ด้วย ในทำนองเดียวกัน ตำราคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนใช้เศษส่วนฐานหกสิบ (ฐาน 60) ^{[ 49 ]}

ชาวบาบิโลน ตั้งแต่ราว 1800 ปีก่อนคริสตกาล ได้แสดงให้เห็นถึงการประมาณค่าเชิงตัวเลขของปริมาณอตรรกยะ เช่น √2 บนแผ่นดินเหนียว ด้วยความแม่นยำเทียบเท่ากับทศนิยมหกตำแหน่ง ดังเช่นในแผ่นดินเหนียวYBC 7289 [ ^{50 ] ค่า}เหล่านี้ส่วนใหญ่ใช้สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติในเรขาคณิตและการวัดที่ดิน^{[ 51 ]}มีการประมาณค่าเชิงปฏิบัติของจำนวนอตรรกยะในShulba Sutras ของอินเดีย ซึ่งแต่งขึ้นระหว่าง 800 ถึง 500 ปีก่อนคริสตกาล^{[ 52 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะครั้งแรกมักจะถูกยกให้เป็นผลงานของพีทาโกรัสโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฮิปปา ซั สแห่ง พีทาโก รัส ซึ่งได้สร้างการพิสูจน์ (น่าจะเป็นทางเรขาคณิต) เกี่ยวกับความเป็นอตรรกยะของ รากที่สองของ 2 ^{[ 53 ]}เรื่องเล่ากล่าวว่าฮิปปาซัสค้นพบจำนวนอตรรกยะเมื่อพยายามแสดงรากที่สองของ 2 ในรูปเศษส่วน อย่างไรก็ตาม พีทาโกรัสเชื่อในความแน่นอนของตัวเลข เขาไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะหรือยอมรับมันได้ ดังนั้นตามตำนาน เขาจึงตัดสินประหารชีวิตฮิปปาซัสด้วยการจมน้ำ เพื่อขัดขวางการแพร่กระจายข่าวที่น่าตกใจนี้^{[ 54 ]}

ศตวรรษที่ 16 นำมาซึ่งการยอมรับอย่างเต็มรูปแบบของจำนวนเต็มลบและเศษส่วนในยุโรป ในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์โดยทั่วไปใช้เศษส่วนทศนิยมด้วยสัญลักษณ์สมัยใหม่ แนวคิดของจำนวนจริงได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 17 โดยเรเน่ เดส์การ์ต [ ^{55 ] ใน}ขณะที่ศึกษาดอกเบี้ยทบต้นในปี 1683 จาคอบ เบอร์นูลลีพบว่าเมื่อช่วงเวลาการทบต้นสั้นลงเรื่อยๆ อัตราการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง จะ ลู่เข้าสู่ฐาน 2.71828... ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญนี้ต่อมาได้รับการตั้งชื่อว่าจำนวนของออยเลอร์ ( e ) ^{[ 56 ]}จำนวนอตรรกยะเริ่มได้รับการศึกษาอย่างเป็นระบบในศตวรรษที่ 18 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ผู้พิสูจน์ว่าจำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่มีเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายไม่จำกัด และจำนวนของออยเลอร์ ( e ) เป็นจำนวนอตรรกยะ^{[ 57 ]}ความไม่สมเหตุสมผลของπได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2304 โดยโยฮันน์ แลมเบิร์ต^{[ 58 ]}

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 จำนวนจริงและจำนวนอตรรกยะจึงได้รับการกำหนดอย่างเข้มงวดด้วยผลงานของAugustin-Louis Cauchy , Charles Méray (1869), Karl Weierstrass (1872), Eduard Heine (1872), ^{[ 59 ]} Georg Cantor (1883), ^{[ 60 ]}และRichard Dedekind (1872) ^{[ 61 ]}

จำนวนอดิศัยคือค่าตัวเลขที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่ามันไม่ใช่จำนวนพีชคณิตและดังนั้นจึงไม่รวมจำนวนตรรกยะทั้งหมด^{[ 62 ]}การมีอยู่ของจำนวนอดิศัย^{[ 63 ]}ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยLiouville (1844, 1851) Hermiteพิสูจน์ในปี 1873 ว่าeเป็นจำนวนอดิศัย และLindemannพิสูจน์ในปี 1882 ว่า π เป็นจำนวนอดิศัย^{[ 64 ]}ในที่สุดCantorแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนจริง ทั้งหมด เป็นอนันต์นับไม่ได้แต่เซตของจำนวนพีชคณิต ทั้งหมด เป็นอนันต์นับได้ดังนั้นจึงมีจำนวนอดิศัยเป็นอนันต์นับไม่ได้^{[ 65 ]}

ในทางคณิตศาสตร์อนันต์ถือเป็นแนวคิด เชิงนามธรรม มากกว่าตัวเลข แทนที่จะเป็น "มากกว่าจำนวนใดๆ" อนันต์คือคุณสมบัติของการไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 66 ]}แนวคิดเรื่องอนันต์ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบปรากฏในยชุรเวทซึ่งเป็นคัมภีร์โบราณของอินเดีย ซึ่งกล่าวไว้ตอนหนึ่งว่า "ถ้า [ทั้งหมด] ถูกลบออกจาก [ทั้งหมด] ส่วนที่เหลือก็ยังคงเป็น [ทั้งหมด]" ^{[ 67 ]}อนันต์เป็นหัวข้อที่ได้รับความนิยมในการศึกษาปรัชญาในหมู่ นักคณิตศาสตร์ ชาวเชนราว 400 ปีก่อนคริสตกาล พวกเขาแยกแยะอนันต์ออกเป็นห้าประเภท ได้แก่ อนันต์ในทิศทางเดียวและสองทิศทาง อนันต์ในพื้นที่ อนันต์ทุกที่ และอนันต์ตลอดไป^{[ 68 ]}

อริสโตเติลได้กำหนดแนวคิดดั้งเดิมของตะวันตกเกี่ยวกับอนันต์ทางคณิตศาสตร์ เขาแยกแยะระหว่างอนันต์ที่แท้จริงและอนันต์ที่เป็นไปได้ซึ่งโดยทั่วไปแล้วมีความเห็นพ้องกันว่ามีเพียงอนันต์ที่เป็นไปได้เท่านั้นที่มีค่าที่แท้จริง^{[ 69 ]} หนังสือ วิทยาศาสตร์ใหม่สองเล่มของกาลิเลโอ กาลิเลอีได้กล่าวถึงแนวคิดเรื่องการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตอนันต์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์ขัดแย้งของกาลิเลโอ [ ^{70 ] ความ}ก้าวหน้าครั้งสำคัญถัดไปในทฤษฎีนี้เกิด ขึ้นโดย จอร์จ แคนเตอร์ในปี 1895 เขาได้ตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ใหม่ของเขา โดยแนะนำจำนวนอนันต์และกำหนดสมมติฐานความต่อเนื่อง [ ^{65 ] สัญลักษณ์}ซึ่งมักใช้แทนปริมาณอนันต์ ถูกนำมาใช้ในบริบททางคณิตศาสตร์เป็นครั้งแรกโดยจอห์น วอลลิสในปี 1655 ^{[ 71 ]}${\displaystyle {\text{∞}}}$

ในช่วงทศวรรษ 1960 อับราฮัม โรบินสันได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนอนันต์ขนาดใหญ่และจำนวนอนันต์ขนาดเล็กสามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำและนำไปใช้ในการพัฒนาสาขาการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน^{[ 72 ] [ 73 ]}ระบบจำนวนไฮเปอร์เรียลแสดงถึงวิธีการที่เข้มงวดในการจัดการกับแนวคิดเกี่ยวกับ จำนวน อนันต์และ จำนวน อนันต์ขนาดเล็กซึ่งนักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ และวิศวกรได้ใช้กันอย่างไม่เป็นทางการมาตั้งแต่การคิดค้นแคลคูลัสอนันต์ขนาดเล็กโดยนิวตันและไลบ์นิซ^{[ 74 ]}

เรขาคณิตสมัยใหม่ของอนันต์นั้นกำหนดโดยเรขาคณิตเชิงฉายซึ่งแนะนำ " จุดอุดมคติที่อนันต์ " หนึ่งจุดสำหรับแต่ละทิศทางเชิงพื้นที่ แต่ละตระกูลของเส้นขนานในทิศทางที่กำหนดจะถูกตั้งสมมติฐานให้ลู่เข้าสู่จุดอุดมคติที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของจุดหายไปในการวาดภาพทัศนียภาพ^{[ 75 ]}

การอ้างอิงถึงรากที่สองของจำนวนลบที่กล่าวถึงอย่างคร่าวๆ ครั้งแรกเกิดขึ้นในงานของนักคณิตศาสตร์และนักประดิษฐ์เฮรอนแห่งอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 1 หลังคริสต์ศักราชเมื่อเขาพิจารณาปริมาตรของพีระมิดตัดยอดที่ ไม่สามารถเป็นไปได้ ^{[ 76 ]}รากที่สองของจำนวนลบเริ่มมีความสำคัญมากขึ้นเมื่อในศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เช่นนิโคโล ฟอนทานา ทาร์ตาเกลียและเจโรลาโม คาร์ดาโน ค้นพบสูตรปิดสำหรับรากของพหุนามดีกรี 3 และ 4 ในไม่ช้าก็ตระหนักว่าสูตรเหล่านี้ แม้ว่าจะสนใจเฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนจริงก็ตาม บางครั้งก็จำเป็นต้องมีการจัดการรากที่สองของจำนวนลบ^{[ 77 ]}

สิ่งนี้ทำให้เกิดความไม่สบายใจเป็นสองเท่า เนื่องจากในเวลานั้นพวกเขายังไม่ถือว่าจำนวนลบมีพื้นฐานที่มั่นคง บางครั้งมีการกล่าวอ้างว่า เรเน่ เดส์การ์ตส์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "จินตนาการ" สำหรับปริมาณเหล่านี้ในปี 1637 โดยตั้งใจให้เป็นคำดูถูก^{[ 78 ]} (ดูจำนวนจินตนาการสำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับ "ความเป็นจริง" ของจำนวนเชิงซ้อน) แหล่งที่มาของความสับสนเพิ่มเติมคือสมการ

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

ดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ทางพีชคณิตอย่างไม่มีเหตุผล

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

ซึ่งใช้ได้กับจำนวนจริงบวกaและbและยังใช้ในการคำนวณจำนวนเชิงซ้อนโดยที่aหรือb ตัวหนึ่ง เป็นบวกและอีกตัวหนึ่งเป็นลบ การใช้เอกลักษณ์นี้อย่างไม่ถูกต้อง และเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

ในกรณีที่ทั้งaและbเป็นค่าลบ แม้แต่Euler ก็ยังประสบ ปัญหา^{[ 79 ]}ความยากลำบากนี้ในที่สุดก็ทำให้เขาต้องใช้สัญลักษณ์พิเศษiแทนเพื่อป้องกันความผิดพลาดนี้ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

ในศตวรรษที่ 18 มีผลงานของAbraham de MoivreและLeonhard Eulerสูตรของ De Moivre (1730) ระบุว่า: ^{[ 80 ]}

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

ในขณะที่สูตรการวิเคราะห์เชิงซ้อนของ ออยเลอร์ (1748) ให้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

กรณีพิเศษของสูตรนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ของออยเลอร์ :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งระหว่างตัวเลขพื้นฐานที่สุดในคณิตศาสตร์^{[ 81 ]}

การมีอยู่ของจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้รับการยอมรับอย่างสมบูรณ์จนกระทั่งCaspar Wesselอธิบายการตีความทางเรขาคณิตในปี 1799 Carl Friedrich Gaussค้นพบและเผยแพร่อีกครั้งในอีกหลายปีต่อมา และเป็นผลให้ทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อนได้รับการขยายอย่างมาก^{[ 82 ]}อย่างไรก็ตาม แนวคิดเกี่ยวกับการแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบกราฟิกได้ปรากฏขึ้นตั้งแต่ปี 1685 ใน^De algebra tractatusของWallis [ ^{83 ]}

ในปีเดียวกันนั้น เกาส์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต ที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปเป็นครั้งแรก โดยแสดงให้เห็นว่าพหุนามทุกตัวเหนือจำนวนเชิงซ้อนมีชุดคำตอบที่สมบูรณ์ในขอบเขตนั้น เกาส์ศึกษาจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบa + biโดยที่aและbเป็นจำนวนเต็ม (ปัจจุบันเรียกว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียน ) หรือจำนวนตรรกยะ^{[ 84 ]}กอทโธลด์ ไอเซนสไตน์นักศึกษาของเขาศึกษาประเภทa + bωโดยที่ωเป็นรากเชิงซ้อนของx ³ − 1 = 0 (ปัจจุบันเรียกว่าจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ ) คลาสอื่นๆ ดังกล่าว (เรียกว่าฟิลด์ไซโคลโทมิก ) ของจำนวนเชิงซ้อนได้มาจากรากของเอกภาพx ^k − 1 = 0สำหรับค่าk ที่สูงกว่า การสรุปทั่วไปนี้ส่วนใหญ่เป็นผลงานของเอิร์นสต์ คุมเมอร์ผู้ซึ่งคิดค้นจำนวนอุดมคติ ซึ่ง เฟลิกซ์ ไคลน์ได้แสดงออกมาในรูปของหน่วยทางเรขาคณิตในปี 1893

ในปี ค.ศ. 1850 วิกเตอร์ อเล็กซองเดอร์ ปุยเซอซ์ได้ก้าวไปอีกขั้นด้วยการแยกแยะความแตกต่างระหว่างขั้วและจุดแตกแขนง และนำเสนอแนวคิดเรื่องจุดเอกฐานสำคัญซึ่งในที่สุดก็นำไปสู่แนวคิดเรื่อง ระนาบเชิงซ้อน แบบ ขยาย

จำนวนเฉพาะอาจได้รับการศึกษามาตลอดประวัติศาสตร์ที่บันทึกไว้ พวกมันคือจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่ผลคูณของจำนวนธรรมชาติที่เล็กกว่าสองจำนวน มีการเสนอแนะว่ากระดูกอิชางโกประกอบด้วยรายการจำนวนเฉพาะระหว่าง 10 ถึง 20 ^{[ 85 ]}ปาปิรัสไรนด์แสดงรูปแบบต่างๆ ของจำนวนเฉพาะ แต่การศึกษาอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะได้รับการบันทึกไว้ครั้งแรกโดยชาวกรีกโบราณ ยูคลิดอุทิศหนังสือเล่มหนึ่งในElementsให้กับทฤษฎีของจำนวนเฉพาะ ในนั้นเขาพิสูจน์ความไม่สิ้นสุดของจำนวนเฉพาะและทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตและนำเสนออัลกอริทึมของยูคลิดสำหรับการหาตัวหารร่วมมากที่สุดของสองจำนวน^{[ 86 ]}

ในปี 240 ก่อนคริสต์ศักราชเอราโตสเธเนสใช้ตะแกรงของเอราโตสเธเนสเพื่อแยกจำนวนเฉพาะได้อย่างรวดเร็ว แต่การพัฒนาทฤษฎีจำนวนเฉพาะในยุโรปส่วนใหญ่เกิดขึ้นในยุคเรเนสซองส์และยุคต่อมา ประมาณปี 1000 หลังคริสต์ศักราชอิบนุ อัล-ฮัยธัมค้นพบทฤษฎีบทของวิลสัน อิบนุ อัล-บันนา อัล-มารากูชีพบวิธีเร่งความเร็วของตะแกรงของเอราโตสเธเนสโดยการทดสอบเฉพาะถึงรากที่สองของจำนวนเท่านั้น ฟิโบนาชชีได้เผยแพร่ผลงานทางคณิตศาสตร์ของอิสลามไปยังยุโรป และในปี 1202 เป็นคนแรกที่อธิบายวิธี การ หารแบบทดลอง^{[ 86 ]}

ในปี ค.ศ. 1796 Adrien-Marie Legendreได้ตั้งสมมติฐาน เกี่ยวกับ ทฤษฎีจำนวนเฉพาะซึ่งอธิบายถึง การกระจาย ตัวเชิงอะซิมโทติกของจำนวนเฉพาะ^{[ 87 ]}ผลลัพธ์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ ได้แก่ การพิสูจน์ของออยเลอร์ที่ว่าผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์^{[ 88 ]}และสมมติฐานของโกลด์บัคซึ่งกล่าวว่าจำนวนคู่ใดๆ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน^{[ 89 ]}สมมติฐานอีกประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะคือสมมติฐานของรีมันน์ ซึ่ง เบอร์นาร์ด รีมันน์ได้กำหนดขึ้นในปี ค.ศ. 1859 ^{[ 90 ]} ในที่สุด ทฤษฎีจำนวนเฉพาะก็ได้รับการพิสูจน์โดยJacques HadamardและCharles de la Vallée-Poussinในปี ค.ศ. 1896 ^{[ 87 ]}สมมติฐานของโกลด์บัคและรีมันน์ยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์หรือหักล้าง

ตัวเลขมีความสำคัญทางวัฒนธรรม สัญลักษณ์ และศาสนามาตลอดประวัติศาสตร์และในหลายวัฒนธรรม^{[ 12 ] [ 91 ] [ 92 ] [ 93 ]}ในกรีกโบราณสัญลักษณ์ของตัวเลขมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์กรีกกระตุ้นให้เกิดการศึกษาปัญหามากมายในทฤษฎีจำนวนซึ่งยังคงเป็นที่สนใจในปัจจุบัน^{[ 12 ]}ตามที่เพลโตกล่าว ไว้ ชาวพีทาโกเรียนได้กำหนดลักษณะเฉพาะและความหมายให้กับตัวเลขบางตัว และเชื่อว่า "สิ่งต่างๆ เองก็คือตัวเลข" ^{[ 94 ]}

นิทานพื้นบ้านในวัฒนธรรมต่างๆ แสดงให้เห็นถึงความชอบในตัวเลขที่เฉพาะเจาะจง โดยเลขสามและเจ็ดมีความสำคัญเป็นพิเศษในวัฒนธรรมยุโรป ในขณะที่เลขสี่และห้ามีความโดดเด่นมากกว่าในนิทานพื้นบ้านของจีน^{[ 95 ]}บางครั้งตัวเลขก็เกี่ยวข้องกับโชคลาภ: ในสังคมตะวันตกเลข 13ถือว่าโชคร้ายในขณะที่ในวัฒนธรรมจีนเลขแปดถือว่ามงคล^{[ 96 ]}

จำนวนสามารถจำแนกได้เป็นเซตเรียกว่าเซตจำนวนหรือระบบจำนวนเช่นจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริงระบบจำนวนหลักมีดังต่อไปนี้: ^{[ 97 ]}

ระบบตัวเลขหลัก

เครื่องหมาย	ชื่อ	ตัวอย่าง/คำอธิบาย
${\displaystyle \mathbb {N} }$	จำนวนธรรมชาติ	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... หรือ 1, 2, 3, 4, 5, ... ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$หรือบางครั้งก็ถูกนำมาใช้ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	จำนวนเต็ม	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	จำนวนตรรกยะ	⁠เอ/ขโดยที่aและbเป็นจำนวนเต็ม และbไม่เป็น 0
${\displaystyle \mathbb {R} }$	ตัวเลขจริง	ลิมิตของลำดับลู่เข้าของจำนวนตรรกยะ
${\displaystyle \mathbb {C} }$	จำนวนเชิงซ้อน	a + biโดยที่aและbเป็นจำนวนจริง และiเป็นรากที่สองอย่างเป็นทางการของ −1

แต่ละระบบจำนวนเหล่านี้ขยายระบบก่อนหน้า ดังนั้น ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะก็เป็นจำนวนจริงด้วย และจำนวนจริงทุกจำนวนก็เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย ห่วงโซ่การรวมเซต นี้ สามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้: ^{[ 97 ]}

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$.

จำนวนที่คุ้นเคยมากที่สุดคือจำนวนธรรมชาติ (บางครั้งเรียกว่าจำนวนเต็มหรือจำนวนนับ): 1, 2, 3 และอื่นๆ ตามธรรมเนียมแล้ว ลำดับของจำนวนธรรมชาติเริ่มต้นด้วย 1 (ชาวกรีกโบราณไม่ถือว่า 0 เป็นจำนวนด้วยซ้ำ) อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 19 นักทฤษฎีเซตและนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เริ่มรวม 0 ( จำนวนสมาชิกของเซตว่าง กล่าวคือ 0 สมาชิก ซึ่ง 0 เป็น จำนวนเชิงคาร์ดินัลที่เล็กที่สุด) เข้าไว้ในเซตของจำนวนธรรมชาติ^{[ 98 ] [ 99 ]}ปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์หลายคนใช้คำนี้เพื่ออธิบายทั้งเซตที่มี 0 หรือไม่มีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดคือNซึ่งเขียนว่า^{[ 97 ]}และบางครั้ง^{[ 100 ]}หรือ^{[ 101 ]}เมื่อจำเป็นต้องระบุว่าเซตควรเริ่มต้นด้วย 0 หรือ 1 ตามลำดับ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$

ใน ระบบเลข ฐาน 10ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบันสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ สัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติจะเขียนโดยใช้ตัวเลข สิบตัว ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 รากหรือฐานคือจำนวนตัวเลขที่ไม่ซ้ำกัน รวมทั้งศูนย์ ที่ระบบตัวเลขใช้ในการแทนจำนวน (สำหรับระบบเลขฐานสิบ รากคือ 10) ในระบบฐาน 10 นี้ ตัวเลขขวาสุดของจำนวนธรรมชาติจะมีค่าประจำหลักเป็น 1 และตัวเลขอื่นๆ ทุกตัวจะมีค่าประจำหลักเป็นสิบเท่าของค่าประจำหลักของตัวเลขทางขวา^{[ 102 ]}

ในทฤษฎีเซตซึ่งสามารถทำหน้าที่เป็นรากฐานเชิงสัจพจน์สำหรับคณิตศาสตร์สมัยใหม่^{[ 103 ]}จำนวนธรรมชาติสามารถแทนด้วยคลาสของเซตที่เทียบเท่ากันได้ ตัวอย่างเช่น จำนวน 3 สามารถแทนด้วยคลาสของเซตทั้งหมดที่มีสมาชิกสามตัวพอดี หรืออีกทางหนึ่ง ในเลขคณิตของ Peanoจำนวน 3 จะถูกแทนด้วยS ( S ( S (0))) โดยที่Sคือฟังก์ชัน "ผู้สืบทอด" (เช่น 3 เป็นผู้สืบทอดลำดับที่สามของ 0) ^{[ 104 ]} มี การแสดงแทนที่แตกต่างกันมากมายที่เป็นไปได้ สิ่งที่จำเป็นในการแทน 3 อย่างเป็นทางการก็คือการเขียนสัญลักษณ์หรือรูปแบบของสัญลักษณ์บางอย่างซ้ำกันสามครั้ง

จำนวนลบของจำนวนเต็มบวกถูกกำหนดให้เป็นจำนวนที่เมื่อบวกกับจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็น 0 จำนวนลบมักเขียนด้วยเครื่องหมายลบ (เครื่องหมายลบ ) ตัวอย่างเช่น จำนวนลบของ 7 เขียนเป็น −7 และ7 + (−7) = 0เมื่อเซตของจำนวนลบรวมกับเซตของจำนวนธรรมชาติ (รวมถึง 0) ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกกำหนดให้เป็นเซตของจำนวนเต็มZ ซึ่งเขียนอีกแบบว่าZ ^{[ 97 ]}ในที่นี้ตัวอักษร Z มาจากภาษาเยอรมันZahl ' จำนวน'เซตของจำนวนเต็มก่อให้เกิดวงแหวนที่มีการดำเนินการบวกและการคูณ^{[ 106 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$

จำนวนธรรมชาติเป็นเซตย่อยของจำนวนเต็ม เนื่องจากไม่มีมาตรฐานทั่วไปสำหรับการนับรวมหรือไม่รวมศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีศูนย์จึงมักเรียกว่าจำนวนเต็มบวกและจำนวนธรรมชาติที่มีศูนย์เรียกว่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยมีตัวเศษเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มบวก ตัวส่วนเป็นลบนั้นอนุญาตได้ แต่โดยทั่วไปจะหลีกเลี่ยง เนื่องจากจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นบวก^{[ 107 ]}เศษส่วนเขียนเป็นจำนวนเต็มสองจำนวน คือ ตัวเศษและตัวส่วน โดยมีเส้นแบ่งอยู่ระหว่างกัน เศษส่วน⁠ม/nเศษส่วนหมายถึงmส่วนของทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นnส่วนเท่าๆ กัน เศษส่วนสองจำนวนที่แตกต่างกันอาจสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะเดียวกันได้ เช่น⁠1/2และ​​2/4⁠เท่ากัน นั่นคือ: ^{[ 108 ]}

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

โดยทั่วไป^[ข]

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

ถ้าค่าสัมบูรณ์ของmมากกว่าn (ซึ่งควรจะเป็นบวก) ค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วนนั้นจะมากกว่า 1 และเรียกว่าเศษส่วนไม่แท้หรือเศษส่วนที่มีตัวส่วนมากกว่า^{[ 109 ]}เศษส่วนสามารถมากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับ 1 ^{[ 107 ]}และยังสามารถเป็นบวก ลบ หรือ 0 ได้อีกด้วย เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดรวมถึงจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 ได้ ตัวอย่างเช่น −7 สามารถเขียนได้ดังนี้  ⁠−7/1สัญลักษณ์สำหรับจำนวนตรรกยะคือQ (สำหรับผลหาร ) หรือเขียนว่า^{[ 97 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$

สัญลักษณ์สำหรับจำนวนจริงคือRหรือเขียนว่า^{[ 97 ]}ซึ่งรวมถึงจำนวนการวัดทั้งหมด จำนวนจริงทุกจำนวนสอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวนการจัดการกับจำนวนจริงลบเป็นไปตามกฎทั่วไปของเลขคณิต และการกำหนดความหมายทำได้โดยการเติมเครื่องหมายลบไว้ข้างหน้าตัวเลขบวก ที่สอดคล้องกัน เช่น −123.456 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ตัวเลขแต่ละตัวทางด้านขวาของจุดทศนิยมจะมีค่าประจำหลักเป็นหนึ่งในสิบของค่าประจำหลักของตัวเลขทางด้านซ้าย ตัวอย่างเช่น 123.456 หมายถึง⁠123456/1000หรือกล่าวเป็นคำพูดได้ว่า หนึ่งร้อย สองสิบ สามหน่วย สี่ส่วนสิบ ห้าส่วนร้อย และหกส่วนพัน จำนวนจริงสามารถแสดงได้ด้วยจำนวนหลักทศนิยมที่จำกัดก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนตรรกยะและส่วนที่เป็นเศษส่วนมีตัวส่วนที่มีตัวประกอบเฉพาะเป็น 2 หรือ 5 หรือทั้งสองอย่าง เพราะเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 10 ซึ่งเป็นฐานของระบบทศนิยม ดังนั้น ตัวอย่างเช่น หนึ่งส่วนสองคือ 0.5 หนึ่งส่วนห้าคือ 0.2 หนึ่งส่วนสิบคือ 0.1 และหนึ่งส่วนห้าสิบคือ 0.02

ถ้าส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนจริงมีลำดับของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเป็นไปตามรูปแบบวนซ้ำ ก็สามารถเขียนได้โดยใช้จุดไข่ปลาหรือสัญลักษณ์อื่นที่แสดงถึงรูปแบบที่ซ้ำกัน ทศนิยมดังกล่าวเรียกว่าทศนิยมซ้ำดังนั้น⁠3/11สามารถเขียนได้เป็น 0.272727... โดยมีจุดไข่ปลาเพื่อแสดงว่ารูปแบบยังคงดำเนินต่อไป เลข 27 ที่ซ้ำกันไปเรื่อยๆ ยังเขียนได้เป็น 0.27 [ ¹¹⁰ ] ^{ทศนิยม}ที่ซ้ำกันเหล่านี้ รวมถึงการซ้ำกันของเลขศูนย์ แสดง ^ถึงจำนวนตรรกยะอย่างแม่นยำ กล่าวคือ จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นจำนวนจริง แต่ไม่ใช่ว่าจำนวนจริงทุกจำนวนจะเป็นจำนวนตรรกยะ^{[ 111 ]}

สำหรับส่วนที่เป็นเศษส่วนที่มีทศนิยมซ้ำกันเป็นเลขเก้าติดต่อกัน สามารถแทนที่ได้โดยการเพิ่มค่าหลักสุดท้ายก่อนเลขเก้า ดังนั้น 3.7399999999... หรือ 3.73 9จึงเทียบเท่ากับ 3.74 ส่วนที่เป็นเศษส่วนที่มีเลขศูนย์ไม่จำกัดจำนวน สามารถเขียนใหม่ได้โดยการตัดเลขศูนย์ทางด้านขวาของหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวขวาสุดออก^{[ 112 ]}เช่นเดียวกับเศษส่วนเดียวกันที่สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งวิธี จำนวนจริงเดียวกันก็อาจมีการแสดงในรูปทศนิยมได้มากกว่าหนึ่งแบบ ตัวอย่างเช่น0.999... , 1.0, ^{[ 112 ]} 1.00, 1.000, ..., ทั้งหมดนี้แทนจำนวนธรรมชาติ 1

สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ การแสดงจำนวนเหล่านั้นในรูปทศนิยมจะต้องใช้ลำดับอนันต์ของตัวเลขที่แตกต่างกันทางด้านขวาของจุดทศนิยม จำนวนจริงเหล่านี้เรียกว่า^{จำนวนอตรรกยะ จำนวนจริงอตรรกยะที่มีชื่อเสียงคือ π [} 58 ] ซึ่งเป็น^{อัตราส่วนของ}เส้นรอบวงของวงกลมใดๆ ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางเมื่อเขียน pi เป็น

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

อย่างที่บางครั้งเป็นเช่นนั้น เครื่องหมายจุดไข่ปลาไม่ได้หมายความว่าทศนิยมจะซ้ำกัน (มันไม่ซ้ำกัน) แต่หมายความว่าไม่มีที่สิ้นสุด มีการพิสูจน์แล้วว่าπเป็นจำนวนอตรรกยะอีกจำนวนหนึ่งที่รู้จักกันดีและได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นจำนวนจริงอตรรกยะคือ

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

รากที่สองของ 2ซึ่งก็คือจำนวนจริงบวกที่ไม่ซ้ำกันซึ่งกำลังสองของมันเท่ากับ 2 ^{[ 113 ]}จำนวนทั้งสองนี้ได้รับการประมาณค่า (โดยคอมพิวเตอร์) เป็นจำนวน หลักล้านล้าน (1 ล้านล้าน = 10 ¹² = 1,000,000,000,000) ^{[ 114 ] [ 115 ]}

จำนวนจริง เกือบทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบที่ซ้ำกันและไม่มีตัวเลขทศนิยมที่สอดคล้องกัน สามารถประมาณค่าได้ด้วย ตัวเลข ทศนิยม เท่านั้น ซึ่ง แสดงถึงจำนวนจริงที่ปัดเศษหรือตัดทิ้ง โดย วาง จุดทศนิยมไว้ทางด้านขวาของหลักที่มีค่าประจำหลักเป็น 1 จำนวนที่ปัดเศษหรือตัดทิ้งใดๆ ก็ตามจะต้องเป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งมีจำนวนนับได้ เท่านั้น

โดยธรรมชาติแล้ว การวัดทุกอย่างเป็นการประมาณค่า และมักมีค่าความคลาดเคลื่อน เสมอ ดังนั้น 123.456 จึงถือเป็นค่าประมาณของจำนวนจริงใดๆ ในช่วง :

${\displaystyle \left[{\tfrac {12345{\mathit {55}}}{10000}},{\tfrac {12345{\mathit {65}}}{10000}}\right)}$

เมื่อปัดเศษเป็นทศนิยมสามตำแหน่ง หรือปัดเศษเป็นจำนวนจริงใดๆ ในช่วง:

${\displaystyle \left[{\tfrac {123456}{1000}},{\tfrac {123457}{1000}}\right)}$

เมื่อตัดทศนิยมหลังตำแหน่งที่สาม ตัวเลขที่บ่งชี้ความแม่นยำที่สูงกว่าค่าที่วัดได้จริง ควรถูกตัดออก ตัวเลขที่เหลืออยู่จึงเรียกว่าตัวเลข สำคัญ

ตัวอย่างเช่น การวัดด้วยไม้บรรทัดแทบจะไม่สามารถทำได้โดยปราศจากข้อผิดพลาดอย่างน้อย 0.001 เมตรหากวัดด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ 1.23 เมตรและ 4.56 เมตร การคูณจะให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ระหว่าง5.614591 ตารางเมตร^และ 5.603011 ตาราง^เมตรเนื่องจากแม้แต่ตัวเลขหลักที่สองหลังจุดทศนิยมก็ยังไม่ได้รับการรักษาไว้ ตัวเลขที่ตามมาจึงไม่มีความสำคัญดังนั้นผลลัพธ์จึงมักถูกปัดเศษเป็น5.61 ^{ตาราง}เมตร^{[ 117 ]}

จำนวนจริงมีคุณสมบัติที่สำคัญแต่ค่อนข้างซับซ้อนทางเทคนิคอย่างหนึ่ง เรียกว่าคุณสมบัติ ขอบเขตบนน้อยที่สุด

สามารถแสดงได้ว่าฟิลด์ที่มีลำดับสมบูรณ์ใด ๆ นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกับจำนวนจริง^{[ 118 ]}อย่างไรก็ตาม จำนวนจริงไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตเนื่องจากไม่มีคำตอบ (มักเรียกว่ารากที่สองของลบหนึ่ง ) ของสมการพีชคณิต^{[ 119 ]}${\displaystyle x^{2}+1=0}$

เมื่อพิจารณาในระดับนามธรรมที่สูงขึ้น จำนวนจริงสามารถขยายไปสู่จำนวนเชิงซ้อนได้ เซตคำตอบที่สมบูรณ์ของพหุนามดีกรีสองขึ้นไปสามารถรวมถึงรากที่สองของจำนวนลบได้ (ตัวอย่างเช่น[ ^{119 ] )}เพื่อความสะดวกในการแสดงสิ่งนี้รากที่สองของ −1 จะถูกแทนด้วยiซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่Leonhard Euler กำหนดไว้ เรียกว่าหน่วยจินตนาการ^{[ 120 ]}ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงประกอบด้วยค่าทั้งหมดในรูปแบบ: ${\displaystyle x^{2}+1=0}$

${\displaystyle \,a+bi}$

โดยที่aและbเป็นจำนวนจริง ด้วยเหตุนี้ จำนวนเชิงซ้อนจึงสอดคล้องกับจุดบนระนาบเชิงซ้อนซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติ จริง ในนิพจน์a + biจำนวนจริงaเรียกว่าส่วนจริงและbเรียกว่าส่วนจินตนาการ^{[ 120 ]}

ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเป็น 0 จำนวนนั้นเรียกว่าจำนวนจินตนาการหรือเรียกว่า จำนวน จินตนาการบริสุทธิ์^{[ 120 ]}ถ้าส่วนจินตนาการเป็น 0 จำนวนนั้นจะเป็นจำนวนจริง ดังนั้นจำนวนจริงจึงเป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ถ้าทั้งส่วนจริงและส่วนจินตนาการของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเต็ม จำนวนนั้นเรียกว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียน^[ 121 ^{]สัญลักษณ์ของ}จำนวนเชิงซ้อนคือCหรือ[ ^{97 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตยืนยันว่าจำนวนเชิงซ้อนก่อตัวเป็นฟิลด์ปิดทางพีชคณิตซึ่งหมายความว่าพหุนาม ทุกตัว ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะมีรากอยู่ในจำนวนเชิงซ้อน^{[ 122 ]}เช่นเดียวกับจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อนก่อตัวเป็นฟิลด์ที่สมบูรณ์ แต่ต่างจากจำนวนจริง ตรงที่มันไม่มีลำดับ^{[ 123 ]}กล่าวคือ ไม่มีความหมายที่สอดคล้องกันที่สามารถกำหนดให้กับการกล่าวว่าiมากกว่า 1 และไม่มีความหมายใด ๆ ในการกล่าวว่าiน้อยกว่า 1 ในทางเทคนิคแล้ว จำนวนเชิงซ้อนขาดลำดับทั้งหมดที่เข้ากันได้กับการดำเนินการของฟิลด์

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน มีประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ และถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ วิศวกรรม และวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ ได้แก่พลศาสตร์ของไหลทฤษฎีการควบคุม การ ประมวลผลสัญญาณทฤษฎีจำนวน และการแก้สมการเชิงอนุพันธ์^{[ 124 ]}จำนวนเชิงซ้อนดูเหมือนจะเป็นแง่มุมพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถกำหนดสูตรได้โดยใช้เฉพาะจำนวนจริง^{[ 125 ]}

จำนวนคู่คือจำนวนเต็มที่ "หารลงตัว" ด้วยสอง กล่าวคือหารด้วยสองได้โดยไม่มีเศษเหลือ ส่วน จำนวนคี่คือจำนวนเต็มที่ไม่ใช่จำนวนคู่^{[ 126 ]} (ปัจจุบันคำว่า "หารลงตัว" ที่ใช้กันมานานมักจะย่อเป็น " หารลงตัว ") คุณสมบัติของจำนวนเต็มนี้เรียกว่าพาริตี [ ^{127 ] จำนวน}คี่n ใดๆ สามารถสร้างได้โดยใช้สูตรn = 2 k + 1สำหรับจำนวนเต็มk ที่เหมาะสม เริ่มจากk = 0จำนวนคี่ที่ไม่เป็นลบชุดแรกคือ {1, 3, 5, 7, ...} จำนวนคู่m ใดๆ มีรูปแบบm = 2 kโดยที่kเป็นจำนวนเต็มในทำนองเดียวกัน จำนวนคู่ที่ไม่เป็นลบชุดแรกคือ {0, 2, 4, 6, ...} ผลคูณของจำนวนคู่กับจำนวนเต็มจะได้จำนวนคู่ ส่วนผลคูณของจำนวนคี่กับจำนวนคี่จะได้จำนวนคี่^{[ 126 ]}

จำนวนเฉพาะซึ่งมักย่อว่า จำนวน เฉพาะคือ จำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ซึ่งไม่ใช่ผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่เล็กกว่าสองจำนวน จำนวนเฉพาะกลุ่มแรกๆ ได้แก่ 2, 3, 5, 7 และ 11 ไม่มีสูตรง่ายๆ เหมือนกับจำนวนคี่และจำนวนคู่ที่จะสร้างจำนวนเฉพาะได้ กลุ่มพิเศษคือจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบ2 ⁿ − 1โดยที่nเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเฉพาะเหล่านี้ครองสถิติมากมายสำหรับจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่ค้นพบ^{[ 129 ]}

การศึกษาจำนวนเฉพาะนำไปสู่คำถามมากมาย ซึ่งมีเพียงบางส่วนเท่านั้นที่ได้รับคำตอบ การศึกษาคำถามเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีจำนวน [ ^{12 ] ข้อ}สันนิษฐานของโกลด์บัคเป็นตัวอย่างของคำถามที่ยังไม่ได้รับคำตอบ: "จำนวนคู่ทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวนหรือไม่" ^{[ 89 ]}คำถามหนึ่งที่ได้รับคำตอบแล้วคือ จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่าหนึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้นหรือไม่ ยกเว้นการเรียงลำดับใหม่ของจำนวนเฉพาะ ข้ออ้างที่ได้รับการพิสูจน์แล้วนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตการพิสูจน์ปรากฏอยู่ในElements ของยูคลิด^{[ 86 ]}

ในโลกยุคใหม่ จำนวนเฉพาะมีการใช้งานที่สำคัญหลายอย่าง รวมถึงการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะลาย เซ็น ดิจิทัลการสร้างเลขสุ่มเทียมการประมวลผลสัญญาณและการกรองข้อมูลสำหรับการประมวลผลภาพดิจิทัล [ ^{130 ] จำนวน}เฉพาะมีประโยชน์ในตารางแฮช^{[ 131 ]}และ รหัส ตรวจจับข้อผิดพลาด (เช่นที่ใช้ในISBNและISSN ) ^{[ 132 ]}

เซตย่อยจำนวนมากของจำนวนธรรมชาติเป็นหัวข้อของการศึกษาเฉพาะและได้รับการตั้งชื่อ โดยมักตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ศึกษาเซตเหล่านั้น ตัวอย่างของเซตจำนวนเต็มดังกล่าว ได้แก่^{จำนวน}เบอร์นูลลี [ ^{133 ]}จำนวนฟิโบนาชชีจำนวนลูคัส [ ^{134 ] และ}จำนวนสมบูรณ์[ ^{135 ] สำหรับ}ตัวอย่างเพิ่มเติม โปรดดูลำดับ จำนวนเต็ม

จำนวนพีชคณิตคือจำนวนที่เป็นคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะเรียกว่าจำนวนอตรรกยะจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิตเรียกว่าจำนวนอดิศัย^{[ 62 ]}จำนวนพีชคณิตที่เป็นคำตอบของ สมการ พหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนเต็มพีชคณิต^{[ 136 ]}

คาบคือจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถแสดงได้ในรูปอินทิกรัลของฟังก์ชันพีชคณิตบนโดเมน พีชคณิต คาบเป็นกลุ่มของจำนวนซึ่งรวมถึงจำนวนพีชคณิตและค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ที่รู้จักกันดีหลายตัว เช่นจำนวนπเซตของคาบก่อตัวเป็นวงแหวน ที่นับได้ และเชื่อมช่องว่างระหว่างจำนวนพีชคณิตและจำนวนอดิศัย^{[ 137 ] [ 138 ]}

ช่วงเวลาสามารถขยายได้โดยอนุญาตให้อินทิกรัลเป็นผลคูณของฟังก์ชันพีชคณิตและเลขชี้กำลังของฟังก์ชันพีชคณิต ซึ่งจะให้วงแหวนนับได้อีกวงหนึ่ง นั่นคือ ช่วงเวลาเลขชี้กำลังจำนวนeเช่นเดียวกับค่าคงที่ของออยเลอร์เป็นช่วงเวลาเลขชี้กำลัง^{[ 137 ] [ 139 ]}

ด้วยแรงบันดาลใจจากปัญหาคลาสสิกของการสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนจำนวนที่สร้างได้คือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการสามารถสร้างได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน โดยเริ่มจากส่วนที่กำหนดที่มีความยาวหนึ่งหน่วย ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด^{[ 140 ]}หัวข้อที่เกี่ยวข้องคือ จำนวน โอริกามิซึ่งเป็นจุดที่สร้างขึ้นโดยการพับกระดาษ^{[ 141 ]}

จำนวนที่คำนวณได้หรือที่รู้จักกันในชื่อจำนวนเวียนเกิดคือจำนวนจริงที่มีอัลกอริทึมซึ่งเมื่อป้อนจำนวนบวกnเป็นอินพุต จะสร้าง ตัวเลข n หลักแรก ของการแสดงทศนิยมของจำนวนที่คำนวณได้^{[ 142 ]}สามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันได้โดยใช้ฟังก์ชันเวียนเกิด μเครื่องจักรทัวริงหรือแคลคูลัส λ [ ^{143 ] จำนวน ที่คำนวณได้มีเสถียรภาพสำหรับการ ดำเนิน}การทางคณิตศาสตร์ทั่วไปทั้งหมด รวมถึงการคำนวณรากของพหุนามและด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดฟิลด์ปิดจริงที่ประกอบด้วยจำนวนพีชคณิต จริง [ ^{144 ]}

จำนวนที่คำนวณได้อาจมองได้ว่าเป็นจำนวนจริงที่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในคอมพิวเตอร์ กล่าวคือ จำนวนที่คำนวณได้จะถูกแสดงอย่างแม่นยำด้วยตัวเลขหลักแรกและโปรแกรมสำหรับคำนวณตัวเลขหลักถัดไป อย่างไรก็ตาม จำนวนที่คำนวณได้นั้นไม่ค่อยได้ใช้ในทางปฏิบัติ เหตุผลหนึ่งก็คือ ไม่มีอัลกอริทึมใดสำหรับการทดสอบความเท่ากันของจำนวนที่คำนวณได้สองจำนวน กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ ไม่มีอัลกอริทึมใดที่รับจำนวนที่คำนวณได้ใดๆ เป็นอินพุต และตัดสินได้ในทุกกรณีว่าจำนวนนั้นเท่ากับศูนย์หรือไม่

เซตของจำนวนที่คำนวณได้มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น จำนวนจริง เกือบทั้งหมดจึงคำนวณไม่ได้ อย่างไรก็ตาม การสร้างจำนวนจริงที่คำนวณไม่ได้ขึ้นมาอย่างชัดเจนนั้นเป็นเรื่องยากมาก

จำนวนp -adic อาจมีการขยายที่ยาวไม่สิ้นสุดทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม ในทำนองเดียวกับที่จำนวนจริงอาจมีการขยายที่ยาวไม่สิ้นสุดทางด้านขวา ระบบจำนวนที่ได้จะขึ้นอยู่กับฐานที่ใช้สำหรับตัวเลข: ฐานใดก็ได้เป็นไปได้ แต่ ฐาน จำนวนเฉพาะจะให้คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุด เซตของ จำนวน p -adic ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะ^{[ 145 ] [ 146 ]}แต่ไม่อยู่ในจำนวนเชิงซ้อน

องค์ประกอบของฟิลด์ฟังก์ชันพีชคณิตบนฟิลด์จำกัดและจำนวนพีชคณิตมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันหลายประการ (ดูการเปรียบเทียบฟิลด์ฟังก์ชัน ) ดังนั้น นักทฤษฎีจำนวนจึงมักมองว่าพวกมันเป็นจำนวน จำนวน p -adic มีบทบาทสำคัญในการเปรียบเทียบนี้

ระบบจำนวนมิติสูงอาจถูกสร้างขึ้นจากจำนวนจริงในลักษณะที่เป็นการวางนัยทั่วไปของการสร้างจำนวนเชิงซ้อน บางครั้งเรียกว่าจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์และไม่รวมอยู่ในเซตของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งรวมถึงควอเทอร์เนียนซึ่งแนะนำโดยเซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตันซึ่งการคูณไม่เป็นไปตามคุณสมบัติ การสลับ ที่^{[ 147 ]}อ็อกโทเนียนซึ่งการคูณไม่เป็นไปตามคุณสมบัติ การจัดกลุ่ม นอกเหนือจากไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่^{[ 148 ]}และเซเดเนียนซึ่งการคูณไม่เป็นไปตามคุณสมบัติทางเลือกไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการจัดกลุ่ม และไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่^{[ 149 ]}จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ประกอบด้วยหน่วยจริงหนึ่งหน่วยพร้อมกับหน่วยจินตนาการ ซึ่งnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียนโดยทั่วไปสามารถแสดงได้โดยใช้รูปแบบ: ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle 2^{n}-1}$

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

โดยที่สัมประสิทธิ์a , b , c , dเป็นจำนวนจริง และi , j , kเป็นหน่วยจินตนาการที่แตกต่างกัน 3 หน่วย^{[ 148 ]}

แต่ละระบบจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์เป็นเซตย่อยของระบบจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ถัดไปที่มีมิติสองเท่าซึ่งได้มาจากการสร้าง Cayley–Dickson [ ^{150 ] ตัวอย่าง}เช่น ควอเทอร์เนียน 4 มิติเป็นเซตย่อยของอ็อกโทเนียน 8 มิติซึ่งเป็นเซตย่อยของเซเดเนียน 16 มิติ ซึ่งเป็นเซตย่อยของ ไตรจินทาดู โอเนียน 32 มิติและ เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆอย่างไม่มีที่สิ้นสุดโดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ การรวมจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนจริงและเซตย่อยของพวกมัน สามารถแสดงเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้: ^{[ 150 ]}${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

อีกทางเลือกหนึ่ง โดยเริ่มจากจำนวนจริงซึ่งมีหน่วยเชิงซ้อนเป็นศูนย์ สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset {\mathcal {C}}_{n}}$

โดยมีมิติที่บรรจุอยู่^{[ 151 ]}${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

ควอเทอร์เนียนได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณการหมุนในสามมิติ ตัวอย่างเช่น มีการใช้ในระบบควบคุมสำหรับจรวดและเครื่องบิน รวมถึงหุ่นยนต์ การแสดงภาพด้วยคอมพิวเตอร์ การนำทาง และแอนิเมชัน^{[ 152 ]}อ็อกโทเนียนดูเหมือนจะมีความเชื่อมโยงทางทฤษฎีที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นกับฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสตริงทฤษฎีMและซูเปอร์กรา วิ ตี้^{[ 153 ]}

ในการจัดการกับเซต อนันต์ จำนวนธรรมชาติได้รับการขยายให้เป็นจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณ โดยจำนวนเชิง อันดับจะให้ลำดับของเซต ในขณะที่จำนวนเชิงปริมาณจะให้ขนาดของเซต สำหรับเซตจำกัด ทั้งจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณจะถูกระบุว่าเป็นจำนวนธรรมชาติ ในกรณีอนันต์ จำนวนเชิงอันดับจำนวนมากจะสอดคล้องกับจำนวนเชิงปริมาณเดียวกัน^{[ 154 ]}

จำนวนไฮเปอร์เรียลถูกใช้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานไฮเปอร์เรียลหรือจำนวนจริงแบบไม่มาตรฐาน (โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์ * R ) หมายถึงฟิลด์เรียงลำดับที่เป็นส่วนขยาย ที่เหมาะสม ของฟิลด์เรียงลำดับของจำนวนจริงRและเป็นไปตามหลักการถ่ายโอนหลักการนี้อนุญาต ให้ตีความ ข้อความลำดับที่หนึ่ง ที่เป็นจริงเกี่ยวกับ Rใหม่เป็นข้อความลำดับที่หนึ่งที่เป็นจริงเกี่ยวกับ^* R [ ^{155 ]}

จำนวนเหนือจริงและ จำนวนเหนือจริง ขยายจำนวนจริงโดยการเพิ่มจำนวนที่เล็กมากจนแทบไม่มีนัยสำคัญและจำนวนที่ใหญ่มากจนแทบไม่มีนัยสำคัญ แต่ยังคงเป็นฟิลด์อยู่^{[ 156 ] [ 157 ]}

• คอรี, ลีโอ (2015). ประวัติโดยย่อของตัวเลข . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-870259-7.
• แดนท์ซิก, โทเบียส (1930). ตัวเลข ภาษาของวิทยาศาสตร์; การสำรวจเชิงวิพากษ์ที่เขียนขึ้นสำหรับผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ที่มีวัฒนธรรม . นิวยอร์ก: บริษัท แมคมิลแลน.
• ฟรีดแมน, เอริช. "อะไรคือสิ่งที่พิเศษเกี่ยวกับตัวเลขนี้?" . มหาวิทยาลัยสเต็ตสัน. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 23 กุมภาพันธ์ 2018. สืบค้นเมื่อเมื่อวันที่ 23 กุมภาพันธ์ 2018 .
• กาโลวิช, สตีเวน (1989). บทนำสู่โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์ Harcourt Brace Javanovich. ISBN 0-15-543468-3.
• ฮัลมอส, พอล (1974) ทฤษฎีเซตไร้เดียงสา สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 0-387-90092-6.
• ไคลน์, มอร์ริส (1990). ความคิดทางคณิตศาสตร์จากยุคโบราณถึงยุคปัจจุบัน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-506135-2.
• Whitehead, Alfred North ; Russel, Bertrand (1910). Principia Mathematicaถึง *56 . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

Wikimedia Commons มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับNumbers

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข

ค้นหาคำว่า "number"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา: ตัวเลข

• Nechaev, VI (2001) [1994]. "จำนวน" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์ EMS .
• ทัลลันต์, โจนาธาน. "ตัวเลขมีอยู่จริงหรือไม่" . นัมเบอร์ฟิลล์ . เบรดี้ ฮาราน . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 8 มีนาคม 2016 . สืบค้นเมื่อ6 เมษายน 2013 .
• ในยุคของเรา: ตัวเลขติดลบบีบีซี เรดิโอ 4. 9 มีนาคม 2549.เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 31 พฤษภาคม 2565.
• โรบิน วิลสัน (7 พฤศจิกายน 2007). "4000 ปีแห่งตัวเลข" . วิทยาลัยเกรแชม . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 8 เมษายน 2022.
• Krulwich, Robert (22 กรกฎาคม 2011). "เลขโปรดของโลกคืออะไร?" . NPR . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 18 พฤษภาคม 2021 . สืบค้นเมื่อ17 กันยายน 2011 ." กอดกับ 9 คน จูบกับ 8 คน ขยิบตาให้ 7 คน" NPR 21 สิงหาคม 2011 เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 6 พฤศจิกายน 2018 เรียกดูเมื่อ17 กันยายน 2011
• สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์