ตัวอย่างของทรงหลายเหลี่ยม

ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าปกติ ( ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ) ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวขนาดเล็ก ( ทรงหลายเหลี่ยม เคปเลอร์-ปวงโซต์ ) ทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า ( ทรงตันอาร์คิมีเดียน ) ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมขนาดใหญ่ ( ทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวสม่ำเสมอ ) ทรงสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ( ทรงตันคาตาลัน ) ทรงหลายเหลี่ยมวงแหวน
คำนิยาม	ตัวอย่างสามมิติของรูปทรง หลายเหลี่ยมทั่วไป ในมิติใดๆ ก็ตาม
ลักษณะเฉพาะ	จำนวนหน้า, การจำแนกประเภทเชิงโทโพโลยีและลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ , ความเป็นคู่ , รูปทรงจุดยอด , พื้นที่ผิวและปริมาตร , เส้นต่างๆ เช่นเส้นจีโอเดสิกและเส้นทแยงมุม , ตัวแปรคง ที่ของเดห์น , กลุ่มสมมาตร

ในทางเรขาคณิตโพลีเฮดรอน ( พหูพจน์ : โพลีเฮดราหรือโพลีเฮดรอนส์ ; มาจากภาษากรีกπολύ (poly-) ' มากมาย'และἕδρον (-hedron) ' ฐาน, ที่นั่ง' ) คือรูปทรงสามมิติที่มีหน้า เป็นรูป หลายเหลี่ยมแบน ขอบตรงและมุมแหลมหรือจุดยอดคำว่า "โพลีเฮดรอน" อาจหมายถึงรูปทรงตัน หรือ พื้นผิวขอบเขตของมัน ก็ได้ คำว่าโพลีเฮดรอนตันและพื้นผิวโพลีเฮดรอนมักใช้เพื่อแยกแยะแนวคิดทั้งสอง^{[ 1 ]}นอกจากนี้ คำว่าโพลีเฮดรอนมักใช้เพื่ออ้างถึงโครงสร้าง ทั้งหมด ที่เกิดจากโพลีเฮดรอนตัน พื้นผิวโพลีเฮดรอน หน้า ขอบ และจุดยอดของมันโดยปริยาย

มีคำจำกัดความของทรงหลายเหลี่ยมอยู่หลายแบบ ซึ่งไม่ใช่ทุกแบบจะมีความหมายเหมือนกัน ไม่ว่าจะใช้คำจำกัดความใด ทรงหลายเหลี่ยมโดยทั่วไปแล้วจะถูกเข้าใจว่าเป็นรูปทรงทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมสองมิติและเป็นรูปทรงสามมิติที่เฉพาะเจาะจงของรูปทรงหลายเหลี่ยม (ซึ่งเป็นแนวคิดทั่วไปในมิติใดๆ ก็ตาม) ทรงหลายเหลี่ยมมีลักษณะทั่วไปหลายประการ ได้แก่ จำนวนหน้า การจำแนกทางโทโพโลยีโดยใช้ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ความ เป็นคู่รูปทรงของจุดยอด พื้นที่ผิวปริมาตรเส้นภายใน ค่าคง ที่ ของเดห์นและสมมาตรสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยมหมายความว่าลักษณะของทรงหลายเหลี่ยมจะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากการแปลง เช่นการหมุนและการ สะท้อน

ทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นกลุ่มของทรงหลายเหลี่ยมที่มีนิยามที่ชัดเจนและมีมาตรฐานที่เทียบเท่ากันหลายแบบ ทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปคือส่วนนูนที่หุ้มจุดยอดของมัน และส่วนนูนที่หุ้มเซตของจุดจำนวนจำกัดก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมเช่นกัน ทรงหลายเหลี่ยมนูนหลายตระกูลที่พบได้ทั่วไป เช่นลูกบาศก์และพีระมิดเป็นตัวอย่างที่คุ้นเคยของกลุ่มนี้

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมหลายประเภท รูปทรงหลายเหลี่ยม ที่เติมเต็มพื้นที่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถบรรจุรวมกันกับรูปทรงหลายเหลี่ยมชนิดเดียวกันหรือกับรูปทรงหลายเหลี่ยมชนิดอื่น ๆ ในพื้นที่สามมิติรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยืดหยุ่นได้คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถเปลี่ยนรูปร่างโดยรวมได้โดยยังคงรักษารูปร่างของหน้าตัดไว้ รูปทรงหลายเหลี่ยมในอุดมคติ คือรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนที่กำหนดใน พื้นที่ไฮเปอร์โบลิกสามมิติรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบแลตติสคือรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนที่สามารถสร้างได้ด้วยพิกัดจำนวนเต็ม รูปทรงหลาย เหลี่ยมแบบตั้งฉากคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ขอบทุกด้านตั้งฉากและขนานกับแกนทั้งสามของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ซ้ำกันสามารถใช้จุดศูนย์กลางร่วมกันได้ ซึ่งเรียกว่า รูปทรง หลายเหลี่ยมประกอบ รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถขยายไปสู่หน้าตัดจำนวนอนันต์ที่เรียกว่าอะเพโรเฮดราซึ่งพื้นที่พื้นฐานของมันคือพื้นที่ฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ที่ เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนและยังอนุญาตให้มีหน้าตัดและขอบโค้งได้ด้วย

ต้นกำเนิดของทรงหลายเหลี่ยมนั้นย้อนกลับไปถึงยุคโบราณพีระมิดสี่เหลี่ยมของอียิปต์โบราณเป็นที่รู้จักกันดีในเรื่องโครงสร้างรูปทรงพีระมิด โดยมีการศึกษาการคำนวณปริมาตร โดยเฉพาะปริมาตรของทรงตัดยอดในบันทึกคณิตศาสตร์มอสโกในสมัยกรีกโบราณมีการค้นพบทรงสิบสองเหลี่ยมของชาวเอตรัส กัน ที่ทำจากหินสบู่บนภูเขาโลฟฟาและทรงหลายเหลี่ยมแบบเพลโตก็ถูกค้นพบและศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณโดยเพลโตได้อธิบายความสัมพันธ์ของทรงหลายเหลี่ยมกับธรรมชาติ ในหนังสือ ทิเมอุสของเขาซึ่งต่อมาได้รับการศึกษาใน หนังสือเอเลเมน ทัลของยูคลิดในยุคเรเนสซองส์ ทรงหลายเหลี่ยมแบบวงแหวนถูกนำมาใช้ในการร่างภาพมุมมองแบบเปอร์สเปคทีฟ แบบจำลองโครงกระดูก และลักษณะของแบบจำลอง คลี่ เลอ อนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ ศึกษาลักษณะของทรงหลายเหลี่ยมและแก้ ปัญหา สะพานเจ็ดแห่งแห่งเคอนิกส์เบิร์กซึ่งเป็นพื้นฐานของสาขาวิชาโทโพโลยีโยฮันเนส เคปเลอร์ค้นพบทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ไม่นูนสองทรง ซึ่งต่อมาหลุยส์ ปวงโซต์ได้ขยายเพิ่มเติมโดยการเพิ่มทรงหลายเหลี่ยมอีกสองทรงเข้าไป เรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์ ทรง หลายเหลี่ยมก่อ ให้เกิดผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับแนวคิดของทรงหลายเหลี่ยม เช่นปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ต ทฤษฎีบทของส ไตน์นิทซ์ และการเรียงตัวของทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ทรงหลายเหลี่ยมถูกนำไปใช้ในหลายสาขา รวมถึงปรากฏในสิ่งมีชีวิต ธรรมชาติ และเรขาคณิตเชิงคำนวณสมัยใหม่

มีนิยามมาตรฐานหลายแบบสำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูนแต่ยกเว้นในบางกรณีพิเศษ นิยามเหล่านั้นก็ถือว่าเทียบเท่ากัน ดังนั้นแนวคิดเรื่องทรงหลายเหลี่ยมนูนจึงเป็นที่ยอมรับกัน ในทางตรงกันข้าม สำหรับนิยามของทรงหลายเหลี่ยมโดยทั่วไปนั้น ยังไม่มีข้อตกลงที่เป็นสากล ดังที่บรานโก กรูนบอมได้สังเกตไว้ว่า

บาปดั้งเดิมในทฤษฎีของรูปทรงหลายเหลี่ยมย้อนกลับไปถึงยุคของยูคลิด และผ่านเคปเลอร์ ปวงโซต์ โคชี และคนอื่นๆ อีกมากมาย ... ในแต่ละขั้นตอน ... ผู้เขียนล้มเหลวในการกำหนดว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมคืออะไร^{[ 2 ]}

คำจำกัดความที่ไม่เทียบเท่ากันของ "ทรงหลายเหลี่ยม" ได้รับการให้ไว้ในบริบทต่างๆ^{[ 3 ]}คำจำกัดความเหล่านี้บางส่วนไม่รวมรูปร่างที่มักถูกนับว่าเป็นทรงหลายเหลี่ยม (เช่นทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกันเอง ) หรือรวมรูปร่างที่มักไม่ถือว่าเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่ถูกต้อง (เช่น ทรงตันที่มีขอบเขตไม่ใช่แมนิโฟลด์ ) และถึงแม้ว่าคำจำกัดความเหล่านี้หลายข้อจะกำหนดอย่างชัดเจนว่าจำนวนหน้าของทรงหลายเหลี่ยมต้องมีจำนวนจำกัด แต่รูปร่างที่มีหน้าจำนวนอนันต์ เช่น ทรงหลายเหลี่ยมเฉียงก็ถูกเรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมเช่นกัน^{[ 4 ]} อย่างไรก็ตาม มีข้อตกลงทั่วไปว่าทรงหลายเหลี่ยมเป็นทรงตันหรือพื้นผิวที่สามารถอธิบายได้ด้วยจุดยอด (จุดมุม) ขอบ (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดบางคู่) หน้า ( รูปหลายเหลี่ยมสองมิติ ) และบางครั้งอาจกล่าวได้ว่ามี ปริมาตรภายในสามมิติที่เฉพาะเจาะจง เราสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างคำจำกัดความต่างๆ เหล่านี้ได้ตามว่าคำจำกัดความเหล่านั้นอธิบายรูปทรงหลาย เหลี่ยมว่าเป็นของแข็ง อธิบายว่าเป็นพื้นผิว หรืออธิบายในเชิงนามธรรมมากขึ้นโดยอิงจากเรขาคณิตของการเกิดเหตุการณ์^{[ 5 ]}

• นิยามทั่วไปและค่อนข้างเรียบง่ายของทรงหลายเหลี่ยมคือ ทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขตที่สามารถครอบคลุมได้ด้วยระนาบจำนวนจำกัด^{[ 6 ] [ 7 ]}หรือทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากการรวมกันของทรงหลายเหลี่ยมนูนจำนวนจำกัด^{[ 8 ]}การปรับปรุงนิยามนี้อย่างเป็นธรรมชาติจำเป็นต้องมีขอบเขต มีส่วนภายในที่เชื่อมต่อกัน และอาจมีขอบเขตที่เชื่อมต่อกันด้วย หน้าของทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถกำหนดได้ว่าเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของส่วนของขอบเขตภายในระนาบแต่ละระนาบที่ครอบคลุม และขอบและจุดยอดเป็นส่วนของเส้นตรงและจุดที่หน้ามาบรรจบกัน อย่างไรก็ตาม ทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดในลักษณะนี้ไม่รวมถึงทรงหลายเหลี่ยมดาวตัดกันเอง ซึ่งหน้าของมันอาจไม่เป็นรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาและขอบบางส่วนอาจเป็นของหน้ามากกว่าสองหน้า^{[ 9 ]}
• คำจำกัดความที่อิงตามแนวคิดของพื้นผิวขอบเขตแทนที่จะเป็นของแข็งก็พบได้ทั่วไปเช่นกัน^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่นO'Rourke (1993)นิยามรูปทรงหลายเหลี่ยมว่าเป็นการรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมนูนจำนวนจำกัด (หน้าของมัน) ที่จัดเรียงในอวกาศเพื่อให้จุดตัดของรูปหลายเหลี่ยมสองรูปใดๆ เป็นจุดยอดหรือขอบที่ใช้ร่วมกันหรือเซตว่างและการรวมกันของพวกมันเป็นแมนิโฟลด์หากส่วนระนาบของพื้นผิวดังกล่าวไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมนูน O'Rourke กำหนดให้ต้องแบ่งย่อยออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนขนาดเล็กกว่า โดยมีมุมไดเฮดรัลแบน ราบ ระหว่างกัน^{[ 11 ]}โดยทั่วไปแล้ว Grünbaum นิยามรูปทรงหลายเหลี่ยมอะคอปติกให้เป็นชุดของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายจำนวนจำกัดที่สร้างแมนิโฟลด์ฝังตัว โดยแต่ละจุดยอดอยู่ติดกับขอบอย่างน้อยสามขอบ และแต่ละสองหน้าตัดกันเฉพาะในจุดยอดและขอบที่ใช้ร่วมกันของแต่ละหน้าเท่านั้น^{[ 12 ]}โพลีเฮดราของครอมเวลล์ให้คำจำกัดความที่คล้ายกัน แต่ไม่มีข้อจำกัดว่าต้องมีขอบอย่างน้อยสามขอบต่อจุดยอด อีกครั้ง คำจำกัดความประเภทนี้ไม่ครอบคลุมโพลีเฮดราที่ตัดกันเอง^{[ 10 ]}แนวคิดที่คล้ายกันนี้เป็นพื้นฐานของคำจำกัดความเชิงโทโพโลยีของโพลีเฮดรา ในฐานะการแบ่งย่อยของแมนิโฟลด์เชิงโทโพโลยีออกเป็นดิสก์เชิงโทโพโลยี (หน้า) ซึ่งจุดตัดกันเป็นคู่ๆ จะต้องเป็นจุด (จุดยอด) ส่วนโค้งเชิงโทโพโลยี (ขอบ) หรือเซตว่าง อย่างไรก็ตาม มีโพลีเฮดราเชิงโทโพโลยี (แม้ว่าทุกหน้าจะเป็นรูปสามเหลี่ยม) ที่ไม่สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นโพลีเฮดราแบบอะคอปติก^{[ 13 ]}

• แนวทางสมัยใหม่แนวทางหนึ่งนั้นอิงตามทฤษฎีของทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วนโดยที่องค์ประกอบคือจุดยอด ขอบ และหน้าของทรงหลายเหลี่ยม องค์ประกอบที่เป็นจุดยอดหรือขอบจะมีค่าน้อยกว่าองค์ประกอบที่เป็นขอบหรือหน้า (ในลำดับบางส่วนนี้) เมื่อจุดยอดหรือขอบนั้นเป็นส่วนหนึ่งของขอบหรือหน้า นอกจากนี้ อาจมีองค์ประกอบด้านล่างพิเศษของลำดับบางส่วนนี้ (ซึ่งแทนเซตว่าง) และองค์ประกอบด้านบนที่แทนทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด หากส่วนของลำดับบางส่วนระหว่างองค์ประกอบที่ห่างกันสามระดับ (นั่นคือ ระหว่างแต่ละหน้ากับองค์ประกอบด้านล่าง และระหว่างองค์ประกอบด้านบนกับแต่ละจุดยอด) มีโครงสร้างเหมือนกับการแสดงเชิงนามธรรมของรูปหลายเหลี่ยม แล้วเซตที่มีลำดับบางส่วนเหล่านี้จะบรรจุข้อมูลเดียวกันกับทรงหลายเหลี่ยมเชิงโทโพโลยี อย่างไรก็ตาม ข้อกำหนดเหล่านี้มักจะผ่อนปรนลง โดยกำหนดให้ส่วนระหว่างองค์ประกอบที่ห่างกันสองระดับมีโครงสร้างเหมือนกับการแสดงเชิงนามธรรมของส่วนของเส้นตรงเท่านั้น^{[ 14 ]} (หมายความว่าแต่ละขอบประกอบด้วยจุดยอดสองจุดและเป็นของสองหน้า และแต่ละจุดยอดบนหน้าเป็นของขอบสองขอบของหน้านั้น) รูปทรงหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตที่กำหนดด้วยวิธีอื่น สามารถอธิบายในเชิงนามธรรมได้ด้วยวิธีนี้ แต่ก็เป็นไปได้ที่จะใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมเป็นพื้นฐานของการกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมโดยทั่วไปถือเป็นการแมปจากจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรมไปยังจุดทางเรขาคณิต โดยที่จุดของแต่ละหน้าอยู่บนระนาบเดียวกัน จากนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมทางเรขาคณิตสามารถกำหนดได้ว่าเป็นการสร้างขึ้นจากรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม^{[ 15 ]}การสร้างที่ละเว้นข้อกำหนดเรื่องระนาบของหน้า ที่กำหนดข้อกำหนดเพิ่มเติมของสมมาตร หรือที่แมปจุดยอดไปยังพื้นที่มิติที่สูงกว่าก็ได้รับการพิจารณาแล้วเช่นกัน^{[ 14 ]}แตกต่างจากคำจำกัดความที่อิงตามของแข็งและพื้นผิว วิธีนี้ใช้ได้ผลดีอย่างยิ่งสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว อย่างไรก็ตาม หากไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม นิยามนี้จะอนุญาตให้ เกิดรูปทรงหลายเหลี่ยม ที่เสื่อมสภาพหรือไม่สอดคล้องกับรูปทรงเดิม (เช่น การแมปจุดยอดทั้งหมดไปยังจุดเดียว) และคำถามเกี่ยวกับวิธีการจำกัดการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมเพื่อหลีกเลี่ยงความเสื่อมสภาพเหล่านี้ยังไม่ได้รับการแก้ไข

ในคำจำกัดความทั้งหมดนี้ รูปทรงหลายเหลี่ยมโดยทั่วไปจะเข้าใจว่าเป็นตัวอย่างสามมิติของรูปทรง หลายเหลี่ยมทั่วไป ในมิติใดๆ ก็ได้ ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมมีตัวสองมิติและไม่มีหน้า ในขณะที่รูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติมีตัวสี่มิติและชุด "เซลล์" สามมิติเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม วรรณกรรมบางส่วนเกี่ยวกับเรขาคณิตมิติสูงใช้คำว่า "รูปทรงหลายเหลี่ยม" ในความหมายอื่น: ไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติ แต่เป็นรูปทรงที่แตกต่างจากรูปทรงหลายเหลี่ยมในบางวิธี ตัวอย่างเช่น บางแหล่งข้อมูลกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนให้เป็นจุดตัดของครึ่งพื้นที่จำนวนจำกัดและรูปทรงหลายเหลี่ยมให้เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขต^{[ 16 ] [ 17 ]}ส่วนที่เหลือของบทความนี้จะพิจารณาเฉพาะรูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติเท่านั้น

โพลีเฮดราอาจถูกจัดประเภทและมักตั้งชื่อตามจำนวนหน้า ระบบการตั้งชื่อนี้อิงตามภาษากรีกคลาสสิก และรวมคำนำหน้าที่นับจำนวนหน้าเข้ากับคำต่อท้าย "เฮดรอน" ซึ่งหมายถึง "ฐาน" หรือ "ที่นั่ง" และอ้างถึงหน้า ตัวอย่างเช่นเตตระเฮดรอนเป็นโพลีเฮดรอนที่มีสี่หน้า เพนตาเฮดรอนเป็นโพลีเฮดรอนที่มีห้าหน้า เฮกซาเฮดรอนเป็นโพลีเฮดรอนที่มีหกหน้า เป็นต้น^{[ 18 ]}สำหรับรายการคำนำหน้าตัวเลขกรีกทั้งหมด โปรดดูคำนำหน้าตัวเลข § ตารางคำนำหน้าตัวเลขในภาษาอังกฤษในคอลัมน์สำหรับจำนวนนับกรีก บางครั้งมีการใช้ชื่อของเตตระเฮดรา เฮกซาเฮดรา ออกตาเฮดรา (ทรงหลายเหลี่ยมแปดด้าน) โดเดคาเฮดรา (ทรงหลายเหลี่ยมสิบสองด้าน) และอิโคซาเฮดรา (ทรงหลายเหลี่ยมยี่สิบด้าน) โดยไม่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมเพื่ออ้างถึงทรงหลายเหลี่ยมเพลโตนิค และบางครั้งก็ใช้เพื่ออ้างถึงทรงหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านที่กำหนดโดยทั่วไปโดยไม่มีการสมมติสมมาตรใดๆ^{[ 19 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมบางรูปมีด้านที่แตกต่างกันสองด้านบนพื้นผิว ตัวอย่างเช่น ด้านในและด้านนอกของแบบจำลองกระดาษรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนสามารถทาสีให้ต่างกันได้ (แม้ว่าสีด้านในจะถูกซ่อนไว้) รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้สามารถกำหนดทิศทางได้เช่นเดียวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนแต่ไม่มีจุดตัดกันเอง รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนแต่มีจุดตัดกันเองบางรูปสามารถทาสีได้ในลักษณะเดียวกัน แต่มีบางส่วนที่พลิกกลับด้าน ทำให้สีทั้งสองปรากฏอยู่ด้านนอกในตำแหน่งที่ต่างกัน รูปทรงเหล่านี้ยังคงถือว่าสามารถกำหนดทิศทางได้ อย่างไรก็ตาม สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดตัดกันเองและมีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย เช่น รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าครึ่งหกเหลี่ยมไม่สามารถทาสีสองด้านของแต่ละหน้าด้วยสีที่แตกต่างกันสองสีเพื่อให้หน้าที่อยู่ติดกันมีสีที่สอดคล้องกันได้ ในกรณีนี้ รูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นเรียกว่าไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าตัดกันเอง อาจไม่ชัดเจนว่าการที่หน้าที่อยู่ติดกันมีสีที่สอดคล้องกันหมายความว่าอย่างไร แต่สำหรับทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ ยังคงสามารถระบุได้ว่าสามารถกำหนดทิศทางได้หรือไม่ โดยพิจารณาจากกลุ่มเซลล์ เชิงโทโพโลยี ที่มีการเกิดร่วมกันระหว่างจุดยอด ขอบ และหน้า^{[ 20 ]}

ความแตกต่างที่ละเอียดอ่อนกว่าระหว่างพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมนั้นพิจารณาจากลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ซึ่งรวมจำนวนจุดยอดขอบและหน้าของทรงหลายเหลี่ยมเข้าเป็นตัวเลขเดียวที่กำหนดโดยสูตร ${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

สูตรเดียวกันนี้ยังใช้สำหรับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของพื้นผิวเชิงทอพอโลยีประเภทอื่นๆ ด้วย มันเป็นค่าคงที่ของพื้นผิว หมายความว่าเมื่อพื้นผิวเดียวถูกแบ่งย่อยออกเป็นจุดยอด ขอบ และหน้าในมากกว่าหนึ่งวิธี ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์จะเหมือนกันสำหรับการแบ่งย่อยเหล่านี้ สำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูน หรือโดยทั่วไปแล้วทรงหลายเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายใดๆ ที่มีพื้นผิวเป็นทรงกลมเชิงทอพอโลยี มันจะเท่ากับ 2 เสมอ สำหรับรูปทรงที่ซับซ้อนกว่า ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์จะสัมพันธ์กับจำนวน รู วงแหวน ด้ามจับ หรือฝาปิดขวางในพื้นผิว และจะมีค่าน้อยกว่า 2 ^{[ 21 ]} ทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นเลขคี่จะไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ รูปทรงที่กำหนดที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นเลขคู่ อาจกำหนดทิศทางได้หรือไม่ก็ได้ ตัวอย่างเช่นวงแหวน ที่มีรูเดียว และขวดไคลน์ต่างก็มีโดยอันแรกสามารถกำหนดทิศทางได้และอันหลังไม่สามารถกำหนดทิศทางได้^{[ 20 ]}${\displaystyle \chi =0}$

สำหรับการกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมหลายวิธี (แต่ไม่ใช่ทุกวิธี) พื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะต้องเป็นแมนิโฟลด์ซึ่งหมายความว่าขอบทุกด้านเป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตของหน้าสองหน้าพอดี (ไม่อนุญาตให้มีรูปร่างเช่นการรวมกันของลูกบาศก์สองลูกที่มาบรรจบกันเฉพาะตามขอบที่ใช้ร่วมกัน) และจุดยอดทุกจุดอยู่บนวงจรสลับกันของขอบและหน้าเพียงรอบเดียว (ไม่อนุญาตให้มีรูปร่างเช่นการรวมกันของลูกบาศก์สองลูกที่ใช้จุดยอดร่วมกันเพียงจุดเดียว) สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดในลักษณะเหล่านี้ การจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์บ่งชี้ว่าประเภททางโทโพโลยีของพื้นผิวถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการรวมกันของลักษณะเฉพาะของออยเลอร์และความสามารถในการกำหนดทิศทาง ตัวอย่างเช่น รูปทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปที่มีพื้นผิวเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้และมีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เท่ากับ 2 จะต้องเป็นทรงกลมทางโทโพโลยี^{[ 20 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมทอรอยด์คือทรงหลายเหลี่ยมที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0 หรือเทียบเท่ากับที่ มี จีนัสเท่ากับ 1 หรือมากกว่า ในทางโทโพโลยี พื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเป็น พื้นผิว ทอรัสที่มีรูหนึ่งรูหรือมากกว่าผ่านตรงกลาง^{[ 22 ]} ตัวอย่างที่โดดเด่นคือทรงหลายเหลี่ยม Szilassiซึ่งสร้างแผนที่ Heawood ในทางเรขาคณิต ทรงหลายเหลี่ยมที่มีสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยมปกติและมีจีนัสมากกว่าหนึ่งคือทรงหลายเหลี่ยม Leonardo ^{[ 23 ]}

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูป จะมีทรงหลายเหลี่ยมคู่หนึ่งที่มีคุณสมบัติดังกล่าว

• นำพื้นผิวมาวางแทนที่จุดยอดของรูปทรงเดิม และในทางกลับกัน และ
• จำนวนขอบเท่ากัน

รูปทรงคู่ของทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถหาได้จากกระบวนการผกผันเชิงขั้ว [ ^{24 ] รูป} ทรงหลายเหลี่ยมคู่มีอยู่เป็นคู่ และรูปทรงคู่ของรูปทรงคู่ก็คือรูปทรงหลายเหลี่ยมเดิมอีกครั้ง รูปทรงหลายเหลี่ยมบางรูปเป็นรูปทรงคู่ในตัวเอง หมายความว่ารูปทรงคู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นสมมาตรกับรูปทรงหลายเหลี่ยมเดิม^{[ 25 ]}

โพลีเฮดรานามธรรมยังมีคู่ตรงข้าม ซึ่งได้มาจากการกลับลำดับบางส่วนที่กำหนดโพลีเฮดราเพื่อให้ได้ คู่ตรง ข้ามหรือลำดับตรงข้าม^{[ 15 ]}โพลีเฮดราเหล่านี้มีลักษณะออยเลอร์และความสามารถในการวางแนวเหมือนกับโพลีเฮดราเริ่มต้น อย่างไรก็ตาม รูปแบบของความเป็นคู่ตรงข้ามนี้ไม่ได้อธิบายรูปร่างของโพลีเฮดราคู่ตรงข้าม แต่เป็นเพียงโครงสร้างเชิงการจัดเรียงเท่านั้น สำหรับคำจำกัดความบางอย่างของโพลีเฮดราเรขาคณิตที่ไม่นูน จะมีโพลีเฮดราที่มีคู่ตรงข้ามนามธรรมที่ไม่สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นโพลีเฮดราเรขาคณิตภายใต้คำจำกัดความเดียวกัน^{[ 12 ]}

สำหรับจุดยอดแต่ละจุด เราสามารถกำหนดรูปทรงจุดยอดซึ่งอธิบายโครงสร้างเฉพาะที่ของทรงหลายเหลี่ยมรอบจุดยอด คำจำกัดความที่แม่นยำอาจแตกต่างกันไป แต่รูปทรงจุดยอดสามารถคิดได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เปิดเผยเมื่อตัดผ่านทรงหลายเหลี่ยมและตัดจุดยอดออก^{[ 10 ]}สำหรับทรงหลายเหลี่ยมเพลโตและทรงหลายเหลี่ยมสมมาตรสูงอื่นๆ ระนาบตัดนี้อาจถูกเลือกให้ผ่านจุดกึ่งกลางของแต่ละขอบที่ติดกับจุดยอด^{[ 26 ]}แต่ทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ อาจไม่มีระนาบผ่านจุดเหล่านี้ สำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูน และโดยทั่วไปสำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในตำแหน่งนูน ระนาบตัดนี้สามารถเลือกได้เป็นระนาบใดๆ ที่แยกจุดยอดออกจากจุดยอดอื่นๆ^{[ 27 ]}เมื่อทรงหลายเหลี่ยมมีจุดศูนย์กลางสมมาตร เป็นเรื่องปกติที่จะเลือกระนาบนี้ให้ตั้งฉากกับเส้นที่ผ่านจุดยอดที่กำหนดและจุดศูนย์กลาง^{[ 28 ]}ด้วยตัวเลือกนี้ รูปร่างของรูปจุดยอดจะถูกกำหนดจนถึงการปรับขนาด เมื่อจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมไม่ได้อยู่ในตำแหน่งนูน จะไม่มีระนาบที่แยกจุดยอดแต่ละจุดออกจากส่วนที่เหลือเสมอไป ในกรณีนี้ มักจะใช้การตัดทรงหลายเหลี่ยมด้วยทรงกลมขนาดเล็กที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดแทน^{[ 29 ]}อีกครั้ง วิธีนี้จะสร้างรูปร่างของรูปจุดยอดที่ไม่เปลี่ยนแปลงจนถึงการปรับขนาด ตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้ทำให้ได้รูปจุดยอดที่มีโครงสร้างเชิงการจัดเรียงแบบเดียวกัน สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถนำไปใช้ได้ แต่รูปร่างทางเรขาคณิตอาจแตกต่างกัน

พื้นที่ผิวของทรงหลายเหลี่ยมคือผลรวมของพื้นที่ของหน้าต่างๆ สำหรับนิยามของทรงหลายเหลี่ยมที่พื้นที่ของหน้าถูกกำหนดไว้อย่างดี ระยะ ทางจี โอเดสิกส์ ระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมจะวัดความยาวของเส้นโค้งที่สั้นที่สุดที่เชื่อมต่อจุดสองจุดนั้น โดยยังคงอยู่ภายในพื้นผิว ตามทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของ Alexandrovทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยปริภูมิเมตริกของระยะทางจีโอเดสิกส์บนพื้นผิว อย่างไรก็ตาม ทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนอาจมีระยะทางพื้นผิวเท่ากัน หรือเท่ากับทรงหลายเหลี่ยมนูนบางรูป^{[ 30 ]}

เมื่อส่วนของเส้นตรงเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่ได้อยู่บนหน้าเดียวกัน จะเกิดเป็นเส้นทแยงมุมของทรงหลายเหลี่ยม^{[ 31 ]}ไม่ใช่ทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปจะมีเส้นทแยงมุม เช่น ในกลุ่มของพีระมิด^{[ 32 ]}ทรง หลาย เหลี่ยมเชินฮาร์ดมีเส้นทแยงมุมสามเส้น ซึ่งทั้งหมดอยู่นอกทรงหลายเหลี่ยม และทรงหลายเหลี่ยมซาสซาร์ไม่มีเส้นทแยงมุม (แต่จุดยอดแต่ละคู่จะเชื่อมต่อกันด้วยขอบ) ^{[ 33 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมมีปริมาณที่เกี่ยวข้องเรียกว่าปริมาตรซึ่งใช้วัดว่าทรงหลายเหลี่ยมนั้นครอบครองพื้นที่เท่าใด ทรงหลายเหลี่ยมในกลุ่มง่ายๆ อาจมีสูตรคำนวณปริมาตรที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น ปริมาตรของพีระมิด ปริซึม และทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถแสดงได้ง่ายๆ ในรูปของความยาวด้านหรือพิกัดอื่นๆ (ดูปริมาตร § สูตรคำนวณปริมาตรสำหรับรายการสูตรเหล่านี้จำนวนมาก)

ปริมาตรของทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนกว่าอาจไม่มีสูตรที่ง่าย ปริมาตรของทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวอาจคำนวณได้โดยการแบ่งทรงหลายเหลี่ยมออกเป็นชิ้นเล็กๆ (เช่น โดยการ แบ่ง เป็นรูปสามเหลี่ยม ) ตัวอย่างเช่นปริมาตรของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตสามารถคำนวณได้โดยการแบ่งออกเป็นพีระมิด ที่เท่ากันทุกประการ โดยแต่ละพีระมิดมีด้านใดด้านหนึ่งของทรงหลายเหลี่ยมเป็นฐานและจุดศูนย์กลางของทรงหลายเหลี่ยมเป็นจุดยอด

โดยทั่วไป จาก ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์สามารถอนุมานได้ว่าปริมาตรของทรงหลายเหลี่ยมจะกำหนดโดย โดย ผลรวมจะอยู่เหนือหน้าของทรงหลายเหลี่ยมเป็นจุดใดๆ บนหน้าเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับ และชี้ออกไปนอกทรงหลายเหลี่ยม และจุดของการคูณคือผลคูณดอท [ ^{34 ] ใน}มิติที่สูงขึ้น การคำนวณปริมาตรอาจเป็นเรื่องท้าทาย ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความยากลำบากในการระบุหน้าของทรงหลายเหลี่ยมนูนที่ระบุโดยจุดยอดเท่านั้น และมีอัลกอริทึม เฉพาะ เพื่อกำหนดปริมาตรในกรณีเหล่านี้^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle Q_{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N_{F}}$${\displaystyle F}$

ในสองมิติทฤษฎีบทโบไล-เกอร์เวียนกล่าวว่า รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแปลงเป็นรูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันได้ โดยการตัดมันออกเป็นชิ้นส่วนรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด แล้วนำมาจัดเรียงใหม่คำถามที่คล้ายกันสำหรับทรงหลายเหลี่ยมเป็นหัวข้อของปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ตแม็กซ์ เดห์นแก้ปัญหานี้โดยแสดงให้เห็นว่า ต่างจากในกรณีสองมิติ มีทรงหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตรเท่ากันที่ไม่สามารถตัดเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่เล็กกว่าแล้วนำมาประกอบใหม่ได้ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เดห์นค้นพบค่าอีกค่าหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับทรงหลายเหลี่ยม นั่นคือ ค่าคงที่ของเดห์น (Dehn invariant ) ซึ่งทรงหลายเหลี่ยมสองรูปจะสามารถตัดกันได้ก็ต่อเมื่อมีปริมาตรเท่ากันและค่าคงที่ของเดห์นเดียวกัน ต่อมาซิดเลอร์ได้พิสูจน์ว่านี่เป็นอุปสรรคเพียงอย่างเดียวในการตัดแบ่ง: ทรงหลายเหลี่ยมแบบยุคลิดสองรูปใดๆ ที่มีปริมาตรและค่าคงที่ของเดห์นเดียวกันสามารถตัดและประกอบใหม่ได้^{[ 36 ]}ค่าคงที่ของ Dehn ไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ ซึ่งกำหนดจากความยาวและมุมไดเฮดรัลของขอบของทรงหลายเหลี่ยม^{[ 37 ]}

ปัญหาอีกประการหนึ่งของฮิลเบิร์ตปัญหาที่สิบแปดของฮิลเบิร์ตเกี่ยวข้องกับ (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ปูพื้นที่ รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวทุกรูปจะต้องมีค่าคงที่เดห์นเป็นศูนย์^{[ 38 ]}ค่าคงที่เดห์นยังเชื่อมโยงกับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยืดหยุ่นได้ด้วยทฤษฎีบทเบลโลว์ที่แข็งแกร่ง ซึ่งระบุว่าค่าคงที่เดห์นของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยืดหยุ่นใดๆ ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมันโค้งงอ^{[ 39 ]}

หน้าของทรงหลายเหลี่ยมบางรูปสามารถคลี่ออกเป็นชุดของ รูปหลายเหลี่ยมที่เชื่อมต่อ ขอบ ซึ่งไม่ทับซ้อนกัน ในระนาบได้ ชุดดังกล่าวเรียกว่าตาข่ายของทรงหลายเหลี่ยมตาข่ายสามารถใช้สร้างแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมจากกระดาษหรือวัสดุที่ยืดหยุ่นอื่นๆ ได้^{[ 40 ]}

โพลีเฮดราที่ได้รับการศึกษามากที่สุดหลายรูปมีความสมมาตร สูง ลักษณะของมันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสะท้อนด้วยระนาบหรือหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดยอด ขอบ หรือหน้าตรงข้ามสองจุดในอวกาศ สมมาตรแต่ละแบบอาจเปลี่ยนตำแหน่งขององค์ประกอบที่กำหนด แต่เซตของจุดยอดทั้งหมด (เช่นเดียวกับหน้าและขอบ) จะไม่เปลี่ยนแปลง ชุดของสมมาตรของโพลีเฮดราเรียกว่ากลุ่มสมมาตร^{[ 41 ]}

องค์ประกอบทั้งหมด (จุดยอด หน้า และขอบ) ที่สามารถซ้อนทับกันได้ด้วยสมมาตร เรียกว่าก่อให้เกิดวงโคจรสมมาตรหากองค์ประกอบเหล่านี้อยู่ในวงโคจรเดียวกัน รูปทรงนั้นอาจถ่ายทอดได้บนวงโคจร โดยแต่ละองค์ประกอบจะเป็นไอโซเฮดรัล (หรือถ่ายทอดได้บนหน้า หมายความว่าการแปลงสมมาตรเกี่ยวข้องกับหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมในวงโคจร) ^{[ 42 ] [ a ]} ​​ไอโซทอกซัล (หรือถ่ายทอดได้บนขอบ ซึ่งเกี่ยวข้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมของขอบ) ^{[ 43 ]}และไอโซโกนัล (หรือถ่ายทอดได้บนจุดยอด ซึ่งเกี่ยวข้องกับจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม) ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์ที่หน้าทั้งหมดอยู่ในวงโคจรเดียวกัน และเกี่ยวข้องกับการหมุนและการสะท้อนในวงโคจร จะยังคงมีลักษณะเหมือนเดิม ดังนั้น ลูกบาศก์จึงถ่ายทอดได้บนหน้า ลูกบาศก์ยังมีสมมาตรอีกสองแบบด้วย^{[ 44 ]}

เมื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมมีสมมาตรดังกล่าวสามประการ รูปทรงนั้นจะเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ^{[ 44 ]}มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเก้าแบบ ได้แก่ ทรงหลาย เหลี่ยม เพลโต ห้าแบบ (ลูกบาศก์ทรงแปดเหลี่ยมทรงยี่สิบเหลี่ยม ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและทรงสิบ สองเหลี่ยม ซึ่งทั้งหมดมีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ) และรูปทรงหลายเหลี่ยม เค ปเลอร์-ปวงโซต์สี่ แบบ อย่างไรก็ตาม รูปทรงหลายเหลี่ยมบางรูปอาจไม่มีสมมาตรหนึ่งหรือสองอย่างดังกล่าว

• ทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติสมมาตรทั้งจุดยอดและขอบ เรียกว่า ทรง หลายเหลี่ยมกึ่ง ปกติ (quasiregular ) กล่าว คือ มีหน้าปกติ และทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมันมีคุณสมบัติสมมาตรทั้งหน้าและขอบ
• ทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและจุดยอดไม่สมมาตรกับขอบ เรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ [ ^{b ] ซึ่ง}รวมถึงปริซึมและแอนติปริซึมทรงหลายเหลี่ยมคู่ของทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติสมมาตรกับหน้า และจุดยอดทุกจุดเป็นจุดยอดปกติ
• ทรงหลายเหลี่ยมเอกรูป (Uniform Polyhedron) ที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและ จุดยอดสมมาตรกันเรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมเอกรูป กลุ่มนี้รวมถึงทรงหลายเหลี่ยมปกติ ทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ และทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ นิยามนี้สามารถใช้ได้กับทั้งทรงหลายเหลี่ยมนูนและทรงหลายเหลี่ยมดาว ทรงหลายเหลี่ยมคู่ (Dual) ของทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปนั้นมีหน้าสมมาตรกันและมีจุดยอดปกติ แต่ไม่จำเป็นต้องสมมาตรกันเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว ทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปและทรงหลายเหลี่ยมคู่ของมันจะถูกจำแนกตามระดับความสมมาตร และว่ามันเป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนหรือไม่
• ทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติ สมมาตรทั้งหน้าและจุดยอด (แต่ไม่จำเป็นต้องสมมาตรทั้งขอบ) เรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมชั้นสูงทรงหลายเหลี่ยมปกติก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมชั้นสูงเช่นกัน พวกมันเป็นทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปที่เป็นชั้นสูงเพียงชนิดเดียว ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของทรงหลายเหลี่ยมชั้นสูงก็เป็นทรงหลายเหลี่ยมชั้นสูงเช่นกัน

ทรงหลายเหลี่ยมบางชนิดไม่มีสมมาตรแบบสะท้อนดังนั้นจึงมีรูปทรงเอนันติโอเมอร์สองรูปแบบ ซึ่งเป็นการสะท้อนซึ่งกันและกัน ตัวอย่างเช่น ทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมแบบเฉียงและทรงสิบสองเหลี่ยมเก้าเหลี่ยมแบบเฉียงในกรณีนี้ ทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า ทรงหลายเหลี่ยม ไครัล

กลุ่มจุดของโพลีเฮดราหมายถึงกลุ่มทางคณิตศาสตร์ที่มีการดำเนินการสมมาตรเพื่อให้ลักษณะของโพลีเฮดรายังคงรักษาไว้ในขณะที่แปลงในพื้นที่สามมิติ การแปลงที่ระบุไว้ในที่นี้รวมถึงการหมุนรอบแกน การสะท้อนผ่านระนาบ การผกผันผ่านจุดศูนย์กลาง และการรวมกันของทั้งสามนี้^{[ 45 ]}

กลุ่มโพลีเฮดรัลเป็นกลุ่มสมมาตรที่ได้มาจากทรงหลายเหลี่ยมเพลโตสามทรง ได้แก่ ทรงสี่หน้า ทรงแปดหน้า และทรงยี่สิบหน้า ทั้งสามทรงนี้มีกลุ่มจุดที่เรียกว่าสมมาตรทรงสี่หน้าสมมาตรทรงแปดหน้าและสมมาตรทรงยี่สิบหน้าตามลำดับ แต่ละกลุ่มจะเน้นที่กลุ่มการหมุนของโพลีเฮดรัล ซึ่งเรียกว่ากลุ่มโพลีเฮดรัลไครัลในขณะที่สมมาตรการสะท้อนเพิ่มเติมเรียกว่ากลุ่มโพลีเฮดรัลแบบเต็มกลุ่มจุดหนึ่งคือสมมาตรไพริโทเฮดรัลซึ่งรวมถึงการหมุนของสมมาตรทรงสี่หน้า และยังมีระนาบสมมาตรการสะท้อนสามระนาบและโรเตอร์รีเฟลกชัน บางส่วน โดยรวมแล้ว กลุ่มโพลีเฮดรัลที่กล่าวถึงจะสรุปได้ดังนี้: ^{[ 46 ]}

• สมมาตรทรงสี่หน้าไครัลคือกลุ่มการหมุนสำหรับทรงสี่หน้าปกติ และมีลำดับที่สิบสอง${\displaystyle \mathrm {T} }$
• สมมาตรทรงสี่หน้าสมบูรณ์ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรสำหรับทรงสี่หน้าปกติ และมีลำดับที่ยี่สิบสี่${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$
• สมมาตรแบบไพริโทเฮดรัลคือสมมาตรของรูปทรงไพริโทเฮดรัลและมีลำดับที่ยี่สิบสี่${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {h} }}$
• สมมาตรทรงแปดเหลี่ยมไครัลคือกลุ่มการหมุนของทั้งลูกบาศก์และทรงแปดเหลี่ยมปกติ และมีลำดับที่ยี่สิบสี่${\displaystyle \mathrm {O} }$
• สมมาตรทรงแปดเหลี่ยมสมบูรณ์ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรของทั้งลูกบาศก์และทรงแปดเหลี่ยมปกติ และมีลำดับที่สี่สิบแปด${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$
• สมมาตรไอโคซาเฮดรอลไครัลคือกลุ่มการหมุนของทั้งไอโคซาเฮดรอลปกติและโดเดคาเฮดรอลปกติ และมีลำดับที่หกสิบ${\displaystyle \mathrm {I} }$
• สมมาตรไอโคซาเฮดรอลสมบูรณ์คือกลุ่มสมมาตรของทั้งไอโคซาเฮดรอลปกติและโดเดคาเฮดรอลปกติ และมีลำดับที่หนึ่งร้อยยี่สิบ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

กลุ่มจุดในสามมิติอาจช่วยรักษาลักษณะของทรงหลายเหลี่ยมไว้ได้ด้วยการหมุนเวียนรอบแกน กลุ่มจุดเหล่านี้มีอยู่สามประเภท:

• สมมาตรแบบพีระมิด ช่วยให้สามารถหมุนแกนที่ผ่านจุดยอดและฐานได้ รวมถึงการสะท้อนสัมพันธ์กับระนาบตั้งฉากที่ผ่านเส้นแบ่งครึ่งฐาน สมมาตรกลุ่มจุดนี้สามารถพบได้ในพีระมิด^{[ 47 ]}โดมและโรทันดา${\displaystyle C_{n\คณิตศาสตร์ {v} }}$
• สมมาตรปริซึม คล้ายกับสมมาตรพีระมิด แต่มีการแปลงเพิ่มเติมโดยการสะท้อนข้ามระนาบแนวนอน^{[ 47 ]}สิ่งนี้สามารถทำได้จากตระกูลปริซึมและไบพีระมิด คู่ ^{[ 47 ]}${\displaystyle D_{n\คณิตศาสตร์ {h} }}$
• สมมาตรแอนติปริซึม ซึ่งรักษาสมมาตรไว้โดยการหมุนครึ่งล่างและสะท้อนข้ามระนาบแนวนอน^{[ 47 ]}ตัวอย่างสามารถพบได้ในแอนติปริซึม${\displaystyle D_{n\คณิตศาสตร์ {v} }}$

กลุ่มจุดประกอบด้วยการหมุนรอบแกนสมมาตรและการสะท้อนบนระนาบแนวนอน ในกรณีของกลุ่มสมมาตรจะรักษาสมมาตรไว้โดยการหมุนเต็มรอบเท่านั้น ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วย[ ^{48 ] รูป}ทรงหลายเหลี่ยมอาจมีการหมุนเพื่อรักษาสมมาตรเท่านั้น และกลุ่มสมมาตรอาจถือได้ว่าเป็นกลุ่มวัฏจักร^{[ 49 ]} รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีการหมุนสะท้อนและการหมุนโดยกลุ่มวัฏจักร คือกลุ่มจุด^{[ 50 ]}${\displaystyle C_{n\คณิตศาสตร์ {h} }}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle C_{s}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$

จากซ้ายบนไปขวาล่าง: พีระมิดหกเหลี่ยม ( ปริซึมทรงหลาย เหลี่ยม ), ทรงสี่หน้าตัด ( ทรงตันอาร์คิมีเดียน ), ทรงยี่สิบหน้าไตรอาคิส ( ทรง ตันคาตาลัน ) และปริซึมสามเหลี่ยมเสริมสามส่วน ( ทรงตัน จอห์นสันและทรงเดลตาเฮดรอน ) รูปทรงเหล่านี้ทั้งหมดเป็นทรงหลายเหลี่ยมแบบนูน

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นโพลีเฮดราแบบนูนได้รับการกำหนดไว้อย่างดี โดยมีคำจำกัดความมาตรฐานที่เทียบเท่ากันหลายประการ มักจะถูกกำหนดให้เป็นจุดตัดที่มีขอบเขตของครึ่งพื้นที่ จำนวนจำกัด ^{[ 16 ] [ 17 ]}หรือเป็นเปลือกนูนของจุดจำนวนจำกัด^{[ 51 ]}ซึ่งในทั้งสองกรณีจะจำกัดเฉพาะจุดตัดหรือเปลือกที่มีปริมาตรไม่เป็นศูนย์

ประเภทของทรงหลายเหลี่ยมนูน ได้แก่ ดังต่อไปนี้:

• ตระกูลปริซึมออยด์ ซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนระนาบขนานสองระนาบ และหน้าของรูปทรงเหล่านี้มักจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสามเหลี่ยม^{[ 52 ]}ตัวอย่างของปริซึมออยด์ ได้แก่พีระมิดลิ่มทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานปริซึมแอนติปริซึมโดมและทรงกรวยตัดยอด
• ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตคือทรงหลายเหลี่ยมโบราณ 5 ทรง ได้แก่ทรงสี่หน้าทรงแปด หน้า ทรงยี่สิบหน้า ทรงลูกบาศก์และทรงสิบ สองหน้า ซึ่ง เพลโตได้อธิบายไว้ในหนังสือTimaeus [ ^{53 ] ทรง}หลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียนคือทรงหลายเหลี่ยม 13 ทรง ซึ่งหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและจุดยอดสมมาตรกัน^{[ c ]}ทรงหลายเหลี่ยมคู่ของทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้คือทรงหลายเหลี่ยมคาตาลัน^{[ 55 ]}
• ทรงตันจอห์นสันเป็นกลุ่มของทรงหลายเหลี่ยมนูน 92 ทรง ซึ่งหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ยกเว้นทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอได้แก่ ทรงตันเพลโตและทรงตันอาร์คิมีเดียน รวมทั้งตระกูลปริซึมและแอนติปริซึมอนันต์^{[ 56 ]}ซึ่งรวมถึงเดลตาเฮดรานูนอย่างเคร่งครัดซึ่งหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 57 ]}
• ซิมเมโทรเฮดรอนคือตระกูลของทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีสมมาตรสูงจำนวนอนันต์ ซึ่งคิดค้นโดยเครก เอส. แคปแลนและจอร์จ ดับเบิลยู. ฮาร์ทโดยมีหน้ารูปหลายเหลี่ยมปกติบนแกนสมมาตร และมีช่องว่างบนส่วนนูนที่เติมเต็มด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มสมมาตรสามมิติของทรงสี่หน้า ทรงแปดหน้า และทรงยี่สิบหน้า^{[ 58 ]}
• ทรงตัน จอห์นสันที่เกือบจะเป็นรูปทรงนูนคือทรงหลายเหลี่ยมนูนอย่างเคร่งครัดซึ่งหน้าของมันเกือบจะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่บางส่วนหรือทั้งหมดของมันไม่ปกติอย่างแม่นยำ ดังนั้นจึงไม่ตรงตามคำจำกัดความของทรงตันจอห์นสัน ซึ่งเป็นทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ แม้ว่า "มักจะสามารถสร้างขึ้นทางกายภาพได้โดยไม่สังเกตเห็นความคลาดเคลื่อน" ระหว่างหน้าปกติและหน้าไม่ปกติ^{[ 58 ]}
• ทรงหลายเหลี่ยมโกลด์เบิร์กเป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีหน้าเป็นรูปหกเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม อธิบายโดยโกลด์เบิร์ก (1937)โดยได้มาจากทรงแปดเหลี่ยมปกติ ทรงสี่เหลี่ยมปกติ และทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ^{[ 59 ] [ 60 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถแบ่งออกเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ รูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานคือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีหน้าปกติซึ่งไม่สามารถสร้างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปขึ้นไปได้โดยการตัดด้วยระนาบ^{[ 61 ]}ตรงกันข้ามกับรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ รูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานสามารถนิยามได้อีกแบบหนึ่งว่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการต่อรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่นปริซึมสามเหลี่ยมเสริม สามอันเป็น รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบ เนื่องจากสามารถสร้างได้โดยการต่อ พีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านเท่าสามอัน เข้ากับหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของปริซึมสามเหลี่ยมพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสและปริซึมสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐาน^{[ 62 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนบางรูปมีทรงกลมตรงกลาง ซึ่งเป็นทรง กลมที่สัมผัสกับขอบแต่ละด้าน โดยมีรัศมีอยู่ระหว่างทรงกลมภายในและทรงกลมล้อมรอบสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมเหล่านี้อยู่ทุกด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปมีความสมมูล เชิงคอมบินาทอริกกับรูปทรงหลายเหลี่ยม มาตรฐานซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีทรงกลมตรงกลางซึ่งจุดศูนย์กลางตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของจุดสัมผัสกับขอบ รูปทรงของรูปทรงหลายเหลี่ยมมาตรฐาน (แต่ไม่ใช่ขนาดหรือตำแหน่ง) ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยโครงสร้างเชิงคอมบินาทอริกของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด^{[ 63 ]}

กราฟ Herschelเป็นกราฟระนาบและเชื่อมต่อกันสามจุดซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีบทของ Steinitz ^{[ 64 ]}ส่งผลให้เป็นทรง เก้าเหลี่ยมนูน ที่มีหน้าสี่เหลี่ยมเก้าหน้า^{[ 65 ]}

โดยการละทิ้งโครงสร้างหน้า โพลีเฮดรอนใดๆ ก็ตามจะก่อให้เกิดกราฟที่เรียกว่าโครงร่างของโพลีเฮดรอน ซึ่งมีจุดยอดและขอบที่สอดคล้องกัน รูปทรงดังกล่าวมีประวัติอันยาวนาน: เลโอนาร์โด ดา วินชี ได้คิดค้นแบบจำลองโครงร่างของทรงตันปกติ ซึ่งเขาวาดขึ้นสำหรับ หนังสือ Divina ProportioneของPacioliและ โพลีเฮดรอนโครง ร่างเส้นลวด ที่คล้ายกัน ปรากฏใน ภาพพิมพ์ StarsของMC Escher [ ^{66 ] จุดเด่น} ประการหนึ่งของแนวทางนี้คือทฤษฎีบทของ Steinitzซึ่งให้ลักษณะเฉพาะของโครงร่างของโพลีเฮดรอนนูนโดยใช้ทฤษฎีกราฟล้วนๆ กล่าวคือ โครงร่างของโพลีเฮดรอนนูนทุกอันเป็นกราฟระนาบที่มีการเชื่อมต่อแบบสามมิติและกราฟดังกล่าวทุกอันเป็นโครงร่างของโพลีเฮดรอนนูนบางอัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ กราฟเหล่านี้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกันซึ่งสามารถวาดลงบนระนาบได้โดยไม่มีขอบตัดกัน และยังคงเชื่อมต่อกันหลังจากลบจุดยอดสองจุดใดๆ ออกไป^{[ 67 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนที่โดดเด่น ได้แก่รูปทรงหลาย เหลี่ยม รูปดาว รูปทรงหลายเหลี่ยม รูปดาวปกติ หรือ ที่รู้จัก กัน ในชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยม เคปเลอร์-ปวงโซต์สามารถสร้างได้โดยการ ขยายหน้า (ภายในระนาบ) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติ การขยายหน้าคือกระบวนการขยายหน้า (ภายในระนาบ) เพื่อให้หน้าเหล่านั้นมาบรรจบกัน การตัดหน้าคือกระบวนการลบส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพื่อสร้างหน้าใหม่ (หรือเหลี่ยม) โดยไม่สร้างจุดยอดใหม่^{[ 68 ] [ 69 ]}ด้านของทรงหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มุมเป็นจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยม และไม่ใช่หน้า^[ 68 ^]ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับเส้นทแยงมุม ( เส้นทแยงมุมของหน้าหรือเส้นทแยงมุมของพื้นที่ ) การแตกเป็นรูปทรงดาวและการ ^แตกเป็นด้านเป็นกระบวนการผกผันหรือแบบกลับกัน: คู่ของการแตกเป็นรูปทรงดาวบางอย่างคือการแตกเป็นด้านของคู่ของทรงหลายเหลี่ยมดั้งเดิม^{[ 70 ]}ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ทรงหลายเหลี่ยม Chazelle ^{[ 71 ]}และทรงหลายเหลี่ยมแบบวงแหวน^{[ 72 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมที่เติมเต็มพื้นที่คือทรงหลายเหลี่ยมที่สามารถบรรจุรวมกันกับสำเนาของตัวเองเพื่อเติมเต็มพื้นที่ได้อย่างสมบูรณ์ การบรรจุแบบแน่นหรือการเติมเต็มพื้นที่ดังกล่าว มักเรียกว่าการปูพื้นที่ของพื้นที่หรือรังผึ้งซึ่งรวมถึงพาราเลโลเฮดรา (หรือทรงหลายเหลี่ยมเฟเดอรอฟ) ซึ่งแต่ละทรงสร้างการปูพื้นที่โดยใช้สำเนาของตัวเองที่เลื่อนโดยไม่หมุน^{[ 73 ]}เพลซิโอเฮดราซึ่งกำหนดเป็นเซลล์โวโรนอย ของ เซตเดโลนสมมาตรและ ทิตระเฮ ดราฮิลล์ ซึ่งเป็น ตระกูลของทิตระเฮดราที่เติมเต็มพื้นที่ พาราเลโลเฮดราและเพลซิโอเฮดราเป็นตัวอย่างของสเตอริโอเฮดราซึ่งปูพื้นที่แบบไอโซเฮดราล^{[ 74 ]} ทรงหลายเหลี่ยมที่เติมเต็มพื้นที่ทุกทรงจะต้องมีค่าคงที่เดห์นเท่ากับศูนย์^{[ 75 ]}

รังผึ้งบางรังประกอบด้วยรูปทรงหลายเหลี่ยมมากกว่าหนึ่งชนิด เช่นการเรียงตัวของทรงแปดเหลี่ยมและทรงสี่เหลี่ยมและทรงแปดเหลี่ยมและทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยม^{[ 76 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมของสเตฟเฟน และทรง หลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง ของบริการ์ด

โพลีเฮดรอนบางชนิดสามารถเปลี่ยนรูปร่างโดยรวมได้ ในขณะที่ยังคงรักษารูปร่างของหน้าไว้เหมือนเดิม โดยการเปลี่ยนมุมของขอบ โพลีเฮดรอนที่สามารถทำเช่นนี้ได้เรียกว่าโพลีเฮดรอนแบบยืดหยุ่น ตามทฤษฎีความแข็งแกร่งของ Cauchyโพลีเฮดรอนแบบยืดหยุ่นจะต้องไม่เป็นรูปทรงนูน ปริมาตรของโพลีเฮดรอนแบบยืดหยุ่นจะต้องคงที่ในขณะที่มันโค้งงอ ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีเบลโลว์^{[ 77 ]}ตัวอย่างสามอย่าง ได้แก่โพลีเฮดรอนของ Steffen [ ^{78 ]}ออกตาเฮดรอนของ Bricard ^{[ 79 ]}และ โพลีเฮดร อน^ของ Kokotsakis ^{[ 80 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถกำหนดได้ใน ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามมิติในลักษณะเดียวกับในปริภูมิยูคลิด โดยเป็นรูปทรงนูนของเซตจุดจำกัด อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ยังสามารถพิจารณาจุดอุดมคติและจุดภายในปริภูมิ ได้อีกด้วย รูปทรงหลายเหลี่ยมอุดมคติเป็นรูปทรงนูนของเซตจุดอุดมคติจำกัด^{[ 81 ]}หน้าของมันคือรูปหลายเหลี่ยมอุดมคติ แต่ขอบของมันถูกกำหนดโดยเส้นไฮเปอร์โบลิกทั้งหมดแทนที่จะเป็นส่วนของเส้นตรง และจุดยอดของมัน (จุดอุดมคติซึ่งเป็นรูปทรงนูน) จะไม่อยู่ภายในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดทั้งหมดมีพิกัดเป็นจำนวนเต็มเรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแลตติสหรือรูปทรง หลายเหลี่ยมอินทิกรั ล พหุ นามเออร์ฮาร์ตของรูปทรงหลายเหลี่ยมแลตติสจะนับจำนวนจุดที่มี พิกัด เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ในสำเนาที่ปรับขนาดของรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยเป็นฟังก์ชันของตัวประกอบการปรับขนาด การศึกษาพหุนามเหล่านี้อยู่ที่จุดตัดของ คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียงและพีชคณิตเชิงสลับ [ ^{82 ] ตัวอย่าง}หนึ่งคือรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ารีฟ^{[ 83 ]}

มีความเท่าเทียมกันอย่างกว้างขวางระหว่างโพลีเฮดราแบบแลตติสและวาไรตี้พีชคณิต บางอย่าง ที่เรียกว่าวาไรตี้ทอริก [ ^{84 ] สแตนลีย์}ใช้สิ่งนี้เพื่อพิสูจน์สมการเดห์น-ซอมเมอร์วิลล์สำหรับโพลีโทปซิมพลิเชียล^{[ 85 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบคือรูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปขึ้นไปที่ใช้จุดศูนย์กลางร่วมกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบแบบสมมาตร มักจะมีจุดยอดเดียวกันกับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่รู้จักกันดีอื่นๆ และมักจะเกิดจากการเรียงตัวแบบดาว (stellation) บางรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบแสดงอยู่ในรายการแบบจำลองรูปทรงหลายเหลี่ยมของเวนนิงเกอร์ (Wenninger polyhedron models )

โซโนเฮดรอนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สมมาตรภายใต้การหมุน 180° โซโนเฮดรอนยังสามารถกำหนดลักษณะเป็นผลรวมของมินคอฟสกีของส่วนของเส้นตรง และรวมถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เติมเต็มพื้นที่ที่สำคัญหลายรูป^{[ 86 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมตั้งฉากเนื่องจากขอบทั้งหมดของทรงหลายเหลี่ยมนั้นขนานกับแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน^{[ 87 ]}ซึ่งหมายความว่าหน้าทั้งหมดจะมาบรรจบกันเป็นมุมฉากแต่เงื่อนไขนี้อ่อนกว่า: ทรงยี่สิบหน้าของเจสเซนมีหน้ามาบรรจบกันเป็นมุมฉาก แต่ไม่มีขอบที่ขนานกับแกน^{[ 88 ]}นอกเหนือจากทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากแล้ว ทรงหลายเหลี่ยมตั้งฉากจะไม่นูน พวกมันเป็นอนาล็อกสามมิติของรูปหลายเหลี่ยมตั้งฉากสองมิติ หรือที่รู้จักกันในชื่อรูปหลายเหลี่ยมเส้นตรงทรงหลายเหลี่ยมตั้งฉากถูกใช้ในเรขาคณิตเชิงคำนวณซึ่งโครงสร้างที่ถูกจำกัดของพวกมันทำให้เกิดความก้าวหน้าในปัญหาที่แก้ไม่ได้สำหรับทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ตัวอย่างเช่น การคลี่พื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมออกเป็นตาข่ายรูปหลายเหลี่ยม^{[ 89 ]}โพลีคิวบ์เป็นกรณีพิเศษของโพลีเฮดราเชิงตั้งฉากที่สามารถแยกย่อยเป็นลูกบาศก์ที่เหมือนกันได้ และเป็นอนาล็อกสามมิติของโพลีโอมีโนระนาบ^{[ 90 ]}

ชื่อ 'ทรงหลายเหลี่ยม' ถูกนำมาใช้เรียกวัตถุหลากหลายชนิดที่มีคุณสมบัติทางโครงสร้างคล้ายกับทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิม

พื้นผิวทรงหลายเหลี่ยมแบบคลาสสิกมีจำนวนหน้าจำกัด โดยเชื่อมต่อกันเป็นคู่ๆ ตามขอบ ส่วนทรงหลายเหลี่ยมอะเพโรเฮดราเป็นวัตถุประเภทเดียวกันที่มีจำนวนหน้าไม่จำกัด ตัวอย่างของทรงหลายเหลี่ยมอะเพโรเฮดรา ได้แก่:

• การปูพื้นหรือการเรียงต่อกันของระนาบ และ
• โครงสร้างคล้ายฟองน้ำที่เรียกว่าทรงหลายเหลี่ยมเฉียงอนันต์

มีวัตถุที่เรียกว่าโพลีเฮดราเชิงซ้อน ซึ่งพื้นที่พื้นฐานเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน แทนที่จะเป็นปริภูมิยุคลิดจริง คำจำกัดความที่แม่นยำมีอยู่เฉพาะสำหรับโพลีเฮดราเชิงซ้อนปกติ ซึ่งกลุ่มสมมาตรเป็นกลุ่มสะท้อนเชิงซ้อน โพลีเฮดราเชิงซ้อนมีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ใกล้ชิดกับการกำหนดค่ามากกว่าโพลีเฮดราจริง^{[ 91 ]}

ในบางสาขาวิชา รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถมีหน้าและขอบโค้งได้ หน้าโค้งสามารถทำให้ มีหน้า ทแยงมุมที่มีพื้นที่เป็นบวกได้

• เมื่อพื้นผิวของทรงกลมถูกแบ่งด้วยส่วนโค้งขนาดใหญ่ จำนวนจำกัด (เทียบเท่ากับระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม) ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า ทรงหลาย เหลี่ยมทรงกลม ทรงหลายเหลี่ยมนูนหลายรูปที่มีสมมาตรในระดับหนึ่ง (ตัวอย่างเช่น ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งหมด) สามารถฉายลงบนพื้นผิวของทรงกลมศูนย์กลางร่วมเพื่อสร้างทรงหลายเหลี่ยมทรงกลมได้ อย่างไรก็ตาม กระบวนการย้อนกลับไม่สามารถทำได้เสมอไป ทรงหลายเหลี่ยมทรงกลมบางรูป (เช่นโฮโซเฮดรา ) ไม่มีรูปทรงแบนราบที่เทียบเคียงได้^{[ 92 ]}
• หากอนุญาตให้พื้นผิวเป็นทั้งเว้าและนูน พื้นผิวที่อยู่ติดกันอาจมาบรรจบกันได้โดยไม่มีช่องว่าง รูปทรงหลายเหลี่ยมโค้งเหล่านี้บางส่วนสามารถเรียงตัวกันเพื่อเติมเต็มพื้นที่ได้ สองประเภทที่สำคัญคือฟองในฟองและโฟม เช่นฟองWeaire-Phelan ^{[ 93 ]}และรูปทรงที่ใช้ในสถาปัตยกรรม^{[ 94 ]}

ตั้งแต่ช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เป็นต้นมา มีการค้นพบว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ต่างๆ มีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกับทรงหลายเหลี่ยมแบบดั้งเดิม แทนที่จะจำกัดความหมายของคำว่า "ทรงหลายเหลี่ยม" ไว้เฉพาะรูปทรงหลายเหลี่ยมสามมิติเท่านั้น คำนี้จึงถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายโครงสร้างประเภทต่างๆ ที่เกี่ยวข้องแต่แตกต่างกันออกไป

รูปทรงหลายเหลี่ยมถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิเชิงเส้นจริง (หรือปริภูมิยุคลิด ) ที่มีมิติn ใดๆ ที่มีด้านเรียบ หรืออาจนิยามได้ว่าเป็นจุดตัดของครึ่งปริภูมิจำนวนจำกัด ต่างจากรูปทรงหลายเหลี่ยมทั่วไป รูปทรงหลายเหลี่ยมอาจมีขอบเขตหรือไม่มีขอบเขตก็ได้ ในความหมายนี้รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขตเรียกว่าโพลีโทป^{[ 16 ] [ 17 ]}

ในเชิงวิเคราะห์ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดังกล่าวจะแสดงออกมาเป็นเซตคำตอบสำหรับระบบอสมการเชิงเส้น การกำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยมในลักษณะนี้ให้มุมมองทางเรขาคณิตสำหรับปัญหาใน การ เขียนโปรแกรมเชิงเส้น^{[ 95 ]}

รูปทรงหลายเหลี่ยมปรากฏในรูปแบบสถาปัตยกรรม ยุคแรก เช่น ลูกบาศก์และทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยพีระมิดอียิปต์ สี่ด้านที่เก่าแก่ที่สุด มีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 27 ก่อนคริสต์ศักราช [ ^{96 ] ปา}ปิรัสคณิตศาสตร์มอสโกจากประมาณปี 1800–1650 ก่อนคริสต์ศักราช มีการศึกษาเป็นลายลักษณ์อักษรในยุคแรกเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมและปริมาตรของรูปทรงเหล่านั้น (โดยเฉพาะปริมาตรของทรงตัดยอด ) ^{[ 97 ]}คณิตศาสตร์ของจักรวรรดิบาบิโลนโบราณในช่วงเวลาเดียวกันกับปาปิรัสมอสโก ยังรวมถึงการคำนวณปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (และของ ทรงกระบอกที่ไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยม) และการคำนวณความสูงของรูปทรงดังกล่าวที่จำเป็นเพื่อให้ได้ปริมาตรที่กำหนด^{[ 98 ]}

ชาวเอตรัสกันมีความรู้เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอย่างน้อยบางส่วนมาก่อนชาวกรีก ดังที่เห็นได้จากการค้นพบรูปทรงสิบสองเหลี่ยมของชาวเอตรัสกัน ที่ทำจากหินสบู่บนภูเขาโลฟฟาหน้าของรูปทรงนี้มีลวดลายที่แตกต่างกัน ซึ่งนักวิชาการบางคนเสนอแนะว่าอาจใช้เป็นลูกเต๋าสำหรับเล่นเกม^{[ 99 ]}

รูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตที่กำหนดให้กับธาตุต่างๆ   (ภาพวาดจากหนังสือHarmonices Mundi ของเคปเลอร์ )

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณค้นพบและศึกษาโพลีเฮดราปกติแบบนูนซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักกันในชื่อทรงหลายเหลี่ยมเพลโตคำอธิบายที่เป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกอยู่ในหนังสือTimaeusของเพลโต (ประมาณ 360 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเชื่อมโยงโพลีเฮดราสี่แบบกับธาตุทั้งสี่และแบบที่ห้ากับรูปร่างโดยรวมของจักรวาล การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของโพลีเฮดราทั้งห้าแบบนี้ถูกเขียนขึ้นในเวลาต่อมาไม่นานในหนังสือElementsของยูคลิดผู้วิจารณ์ยุคแรกๆ ของยูคลิด (อาจจะเป็นเจมินัส ) เขียนว่าการระบุว่ารูปทรงเหล่านี้เป็นของเพลโตนั้นไม่ถูกต้องพีทาโกรัสรู้จักทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ทรงลูกบาศก์ และทรงสิบสองเหลี่ยม และเธียเตตุส (ประมาณ 417 ปีก่อนคริสตกาล) ค้นพบอีกสองแบบ คือทรงแปดเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยม [ ^{100 ] ต่อ}มาอาร์คิมิดีสได้ขยายการศึกษาของเขาไปยัง โพลี เฮดราแบบนูนสม่ำเสมอซึ่งปัจจุบันใช้ชื่อของเขา งานดั้งเดิมของเขาสูญหายไป และทรงหลายเหลี่ยมของเขาสืบทอดมาถึงเราผ่านทางปัปปัส^{[ 101 ]}

ลูกเต๋าทรงลูกบาศก์และลูกเต๋า 14 ด้านที่มีรูปร่างเป็นทรงแปดเหลี่ยมตัดในประเทศจีนมีอายุย้อนไปถึงสมัยยุคสงครามระหว่างรัฐ^{[ 102 ]}

ในปี ค.ศ. 236 หลิวฮุยได้อธิบายการแบ่งลูกบาศก์ออกเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ( ออร์โธสคีม ) และรูปทรงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง โดยใช้การประกอบกันของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้เป็นพื้นฐานในการคำนวณปริมาตรของดินที่จะต้องเคลื่อนย้ายระหว่างการขุดทางวิศวกรรม^{[ 103 ]}

หลังจากสิ้นสุดยุคคลาสสิก นักวิชาการในอารยธรรมอิสลามยังคงพัฒนาความรู้ของกรีกต่อไป (ดูคณิตศาสตร์ในอิสลามยุคกลาง ) ^{[ 104 ]}นักวิชาการในศตวรรษที่ 9 ชื่อThabit ibn Qurraได้รวมการคำนวณปริมาตรไว้ในการศึกษาของเขา^{[ 105 ]}และเขียนผลงานเกี่ยวกับทรงลูกบาศก์แปดเหลี่ยมจากนั้นในศตวรรษที่ 10 Abu'l Wafaได้อธิบายทรงหลายเหลี่ยมทรงกลมแบบนูนปกติและกึ่งปกติ^{[ 106 ]}

Doppio ritrattoซึ่งเชื่อกันว่าเป็นผลงานของ Jacopo de' Barbariแสดงให้เห็น Luca Pacioliและนักเรียนกำลังศึกษาแก้วรูปทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์แปดเหลี่ยมที่บรรจุน้ำครึ่งหนึ่ง ^{[ 107 ]}

รูปทรงเรขาคณิตแบบโครงร่าง (โดยเฉพาะรูปทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์แปดเหลี่ยม ) ที่เลโอนาร์โด ดา วิน ชี วาดขึ้น เพื่อประกอบหนังสือของลูกา ปาซิโอลี

เช่นเดียวกับด้านอื่นๆ ของความคิดแบบกรีกที่ได้รับการรักษาและพัฒนาโดยนักวิชาการอิสลาม ความสนใจของชาวตะวันตกในรูปทรงหลายเหลี่ยมได้ฟื้นคืนชีพขึ้นในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ของอิตาลี ศิลปินสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบโครงร่าง โดยวาดภาพจากของจริงเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาเรื่องทัศนียภาพ^{[ 108 ]}รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบวงแหวนที่ทำจากไม้และใช้สำหรับรองรับหมวก กลายเป็นแบบฝึกหัดทั่วไปในการวาดภาพทัศนียภาพ และถูกวาดใน แผง งานฝังไม้ในยุคนั้นเป็นสัญลักษณ์ของเรขาคณิต^{[ 109 ]} Piero della Francescaเขียนเกี่ยวกับการสร้างมุมมองทัศนียภาพของรูปทรงหลายเหลี่ยม และค้นพบรูปทรงเรขาคณิตของอาร์คิมีเดียนหลายรูป^Leonardo da Vinciวาดแบบจำลองโครงร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมหลายรูปสำหรับหนังสือของLuca Pacioli [ ^{110 ]}โดยมีข้อความส่วนใหญ่ลอกเลียนแบบมาจาก della Francesca ^{[ 111 ]}โครงร่างรูปทรงหลายเหลี่ยมปรากฏในงานของAlbrecht Dürer ^{[ 112 ]}

ผลงานหลายชิ้นจากช่วงเวลานี้ได้สำรวจรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวและรูปแบบอื่นๆ ที่พัฒนามาจากรูปทรงพื้นฐานของเพลโต แผ่นหินอ่อนบนพื้นของมหาวิหารเซนต์มาร์คเมืองเวนิส ซึ่งออกแบบโดยเปาโล อูเชลโลแสดงภาพทรงสิบสองเหลี่ยมดาว^{[ 113 ]}เมื่อยุคเรเนสซองส์แพร่กระจายออกไปนอกอิตาลี ศิลปินรุ่นหลัง เช่นเวนเซล จามนิทเซอร์ดือเรอร์ และคนอื่นๆ ก็ได้วาดภาพรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีความซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งหลายรูปทรงก็เป็นรูปทรงใหม่ๆ ในภาพพิมพ์แกะสลักที่เต็มไปด้วยจินตนาการ^{[ 108 ]}โยฮันเนส เคปเลอร์ (1571–1630) ใช้ รูป หลายเหลี่ยมดาวซึ่งโดยทั่วไปคือรูปดาวห้าแฉกเพื่อสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมดาว รูปทรงเหล่านี้บางส่วนอาจถูกค้นพบก่อนยุคของเคปเลอร์ แต่เขาเป็นคนแรกที่ตระหนักว่ารูปทรงเหล่านี้สามารถถือได้ว่าเป็น "รูปทรงปกติ" หากเราลบข้อจำกัดที่ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจะต้องเป็นรูปทรงนูนออกไป^{[ 114 ]}

ในช่วงเวลาเดียวกันสูตรโพลีเฮดรัลของออยเลอร์ซึ่งเป็นสมการเชิงเส้นที่เชื่อมโยงจำนวนจุดยอด ขอบ และหน้าของโพลีเฮดรัล ได้ถูกกล่าวถึงสำหรับทรงหลายเหลี่ยมเพลโตในปี พ.ศ. 2480 ในต้นฉบับที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์โดยฟรานเชสโก มาอูโรลิโก^{[ 115 ]}

เรเน่ เดส์การ์ตเขียนหนังสือDe solidorum elementis ในราวปี ค.ศ. 1630 โดยศึกษาเกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยมนูนในฐานะแนวคิดทั่วไป ไม่จำกัดเฉพาะทรงหลายเหลี่ยมเพลโตและการพัฒนาต่อยอดจากทรงหลายเหลี่ยมเหล่านั้น งานเขียนชิ้นนี้สูญหายไป และไม่ได้รับการค้นพบอีกจนกระทั่งศตวรรษที่ 19 หนึ่งในผลงานที่สำคัญคือทฤษฎีบทของเดส์การ์ตเกี่ยวกับข้อบกพร่องเชิงมุมรวมซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสูตรทรงหลายเหลี่ยมของออยเลอร์^{[ 116 ]}เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ผู้ซึ่งเป็นที่มาของชื่อสูตรนี้ ได้นำเสนอสูตรนี้ในปี ค.ศ. 1758 สำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูนโดยทั่วไป แม้ว่าการพิสูจน์จะไม่ถูกต้องก็ตาม^{[ 117 ]}งานของออยเลอร์ (รวมถึงวิธีแก้ปริศนาสะพานเจ็ดแห่งแห่งเคอนิกส์เบิร์ก ก่อนหน้านี้ของเขา ) กลายเป็นรากฐานของสาขาใหม่ของโทโพโลยี^{[ 118 ]}แนวคิดหลักของสาขานี้ รวมถึงการสรุปทั่วไปของสูตรทรงหลายเหลี่ยม ได้รับการพัฒนาในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยHenri Poincaré , Enrico Betti , Bernhard Riemannและคนอื่นๆ^{[ 119 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 หลุยส์ ปวงโซต์ได้ขยายงานของเคปเลอร์ และค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวปกติอีกสองรูปที่เหลือ ไม่นานหลังจากนั้นออกัสติน-หลุยส์ โคชีได้พิสูจน์ว่ารายการของปวงโซต์สมบูรณ์ โดยอยู่ภายใต้สมมติฐานที่ไม่ได้ระบุไว้ว่าลำดับของจุดยอดและขอบของด้านรูปหลายเหลี่ยมแต่ละด้านไม่สามารถมีการซ้ำกันได้ (สมมติฐานที่เคยพิจารณาแต่ถูกปฏิเสธในงานก่อนหน้านี้ของ AFL Meister) ^{[ 120 ]} รูปทรง เหล่านี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์และชื่อที่ใช้กันทั่วไปนั้นตั้งโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ [ ^{121 ] ใน}ขณะเดียวกัน การค้นพบมิติที่สูงขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ทำให้ลุดวิก ชลาฟลีในปี 1853 นำไปสู่แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยมมิติสูง^{[ 122 ]}นอกจากนี้ ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักผลึกศาสตร์ชาวรัสเซียเอฟกราฟ เฟโดรอฟได้จัดประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมขนาน ซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่ปูพื้นที่โดยการเลื่อน^{[ 123 ]}

คณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 เริ่มต้นด้วยปัญหาของฮิลเบิร์ตซึ่งหนึ่งในนั้นคือปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยมและการแบ่งส่วน ของทรงหลายเหลี่ยม ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขอย่างรวดเร็วโดย แม็กซ์ เดห์นนักศึกษาของฮิลเบิร์ตโดยแนะนำตัวแปรคงที่ของเดห์นสำหรับทรงหลายเหลี่ยม^{[ 124 ]}ทฤษฎีบทของสไตน์นิทซ์ซึ่งตีพิมพ์โดยเอิร์นส์ สไตน์นิทซ์ในปี 1992 ได้อธิบายลักษณะของกราฟของทรงหลายเหลี่ยมนูน โดยนำแนวคิดสมัยใหม่จากทฤษฎีกราฟและ คณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียงมาใช้ในการศึกษาทรงหลายเหลี่ยม^{[ 125 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์อาจสร้างขึ้นจากทรงหลายเหลี่ยมเพลโตโดยกระบวนการที่เรียกว่าสเตลเลชันสเตลเลชันส่วนใหญ่ไม่ปกติ การศึกษาสเตลเลชันของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตได้รับการผลักดันอย่างมากโดยHSM Coxeterและคนอื่นๆ ในปี 1938 ด้วยบทความที่มีชื่อเสียงในปัจจุบันเรื่องThe Fifty-Nine Icosahedra [ ^{126 ] การ}วิเคราะห์ของ Coxeter บ่งชี้ถึงการฟื้นคืนความสนใจในเรขาคณิต Coxeter เองได้ทำการนับจำนวนทรงหลายเหลี่ยมดาวสม่ำเสมอเป็นครั้งแรก พิจารณาการปูระนาบเป็นทรงหลายเหลี่ยม ค้นพบทรงหลายเหลี่ยมเฉียงปกติและพัฒนาทฤษฎีของทรงหลายเหลี่ยมเชิงซ้อนที่ Shephard ค้นพบเป็นครั้งแรกในปี 1952 ตลอดจนมีส่วนร่วมพื้นฐานในหลายๆ ด้านของเรขาคณิต^{[ 127 ]}

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 ทั้งBranko GrünbaumและImre Lakatosชี้ให้เห็นถึงแนวโน้มในหมู่นักคณิตศาสตร์ที่จะกำหนด "รูปทรงหลายเหลี่ยม" ในรูปแบบที่แตกต่างกันและบางครั้งก็ไม่เข้ากัน เพื่อให้เหมาะสมกับความต้องการในขณะนั้น^{[ 3 ] [ 2 ]}ในชุดบทความ Grünbaum ได้ขยายคำจำกัดความที่ยอมรับกันของรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ใหม่ๆ จำนวนมาก ในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 แนวคิดเหล่านี้ได้รวมเข้ากับงานอื่นๆ เกี่ยวกับคอมเพล็กซ์เหตุการณ์ เพื่อสร้างแนวคิดสมัยใหม่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงนามธรรม (ในฐานะรูปทรงหลายเหลี่ยม 3 มิติเชิงนามธรรม) ซึ่งนำเสนอโดย McMullen และ Schulte อย่างชัดเจน^{[ 128 ]}

เรดิโอลาเรียนCircogonia icosahedra

แผนที่ไดแม็กซิออนสร้างขึ้นจากโครงข่ายของทรงยี่สิบหน้าปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมถูกค้นพบในหลายสาขาวิทยาศาสตร์ รูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตปรากฏในสิ่งมีชีวิต เช่นBraarudosphaera bigelowiiมีโครงสร้างทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ^{[ 129 ]} Ernst Haeckel ได้อธิบายถึง เรดิโอลาเรียนหลายชนิดซึ่งเปลือกบางชนิดมีรูปร่างคล้ายรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ^{[ 130 ]}เปลือกโปรตีนด้านนอกของไวรัส หลายชนิด ก่อตัวเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างเช่นHIVถูกห่อหุ้มด้วยทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติ เช่นเดียวกับส่วนหัวของไมโอไวรัสทั่วไป^{[ 131 ] [ 132 ]}ทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติอาจปรากฏในการประยุกต์ใช้ในด้านการทำแผนที่เมื่อR. Buckminster Fullerใช้โครงข่ายของมันในโครงการของเขาที่รู้จักกันในชื่อ^{แผนที่} Dymaxionและรู้สึกผิดหวังที่พบว่า ขนาด ของกรีนแลนด์เล็กกว่าอเมริกาใต้^[ 133 ^]

รูปทรงหลายเหลี่ยมปรากฏให้เห็นบ่อยครั้งในเรขาคณิตเชิงคำนวณ สมัยใหม่ กราฟิกคอมพิวเตอร์และการออกแบบทางเรขาคณิตโดยมีหัวข้อต่างๆ เช่น การสร้างพื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือตาข่ายพื้นผิวขึ้นใหม่จากจุดข้อมูลที่กระจัดกระจาย^{[ 134 ]} เส้นทาง จีโอเดสิกบนพื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยม^{[ 135 ]}การมองเห็นและการส่องสว่างในฉากรูปทรงหลายเหลี่ยม^{[ 136 ]}โพลีคิวบ์และรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนอื่นๆ ที่มีด้านขนานกับแกน^{[ 137 ]}รูปแบบอัลกอริทึมของทฤษฎีบทของสไตน์นิทซ์^{[ 138 ]}และปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับการมีอยู่ของตาข่ายรูปทรงหลายเหลี่ยมสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน^{[ 139 ]}

• แอสโซ ซิอาเฮดรอน (Associahedron)คือรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่แต่ละจุดยอดสอดคล้องกับวิธีการใส่เครื่องหมายวงเล็บเปิดและปิดอย่างถูกต้อง
• ไดเฮดรอน (Dihedron)คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีสองหน้า
• ทรงหลายเหลี่ยมแบบฉายภาพเท่ากันคือการฉายภาพตั้งฉากของทรงหลายเหลี่ยมลงบนระนาบในทิศทางที่ไม่ขนานกับหน้าของทรงหลายเหลี่ยมนั้น จะได้เป็นรูปหลายเหลี่ยม
• ความซับซ้อนของการขยายคือจำนวนด้านที่น้อยที่สุดในบรรดาโพลีโทปนูนที่มีโพลีโทปนูนอีกอันหนึ่งเป็นส่วนฉาย
• โฮลีเฮดรอน (Holyhedron ) แต่ละหน้าของทรงหลายเหลี่ยมนี้มีรูรูปหลายเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรู และขอบของหน้าแต่ละหน้าจะไม่ใช้จุดร่วมกันบนขอบของหน้านั้น
• รายชื่อหนังสือเกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งรวมถึงหนังสือเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลอง การศึกษา และประวัติศาสตร์ของทรงหลายเหลี่ยม
• โพลีโทปแบบโมโนสแตติกคือ โพลีโทปที่ตั้งอยู่บนหน้าด้านเดียวเท่านั้น
• ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์คือสูตรที่เชื่อมโยงความโค้งของพื้นผิวกับโทโพโลยีพื้นฐานของพื้นผิวนั้น
• จำนวนทรงหลายเหลี่ยม (Polyhedral number)คือคำที่ใช้เรียกจำนวนรูปทรงเรขาคณิตในมิติต่างๆ
• ทฤษฎีอิเล็กตรอนคู่โครงร่างทรงหลายเหลี่ยม
• ปริภูมิทรงหลายเหลี่ยม ปริภูมิเมตริกบางประเภท
• สัญลักษณ์ทรงหลายเหลี่ยมแสดงถึงรูปทรงเรขาคณิตโดยประมาณของอะตอมที่ประสานรอบอะตอมกลางในเคมีเชิงโคออร์ดิเนชัน
• ภูมิประเทศรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ พื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกับทุกเส้นที่ขนานกับเส้นใดเส้นหนึ่งในเซตที่เชื่อมต่อกันหรือเซตว่าง
• แบบจำลองโพลีโทป (Polytope model)คือกรอบทางคณิตศาสตร์สำหรับโปรแกรมที่ดำเนินการจำนวนมาก
• คุณสมบัติของรูเพิร์ตคือ คุณสมบัติที่ทรงหลายเหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากันหรือใหญ่กว่า และขนาดเท่ากัน สามารถลอดผ่านรูได้
• Stella (ซอฟต์แวร์)เป็นซอฟต์แวร์กราฟิกคอมพิวเตอร์ที่สร้างแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยม

ค้นหาคำว่า "polyhedron"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยม

Wikisourceภาษาอังกฤษมีข้อความต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกับบทความนี้:

ทรงหลายเหลี่ยม

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ทรงหลายเหลี่ยม" , MathWorld
• หน้าเว็บเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม
• วิธีแก้ปัญหาแบบเอกรูปสำหรับทรงหลายเหลี่ยมเอกรูป โดย ดร. ซวี ฮาร์เอลเก็บถาวรเมื่อ 27 พฤศจิกายน 2015 ที่Wayback Machine
• สมมาตร ผลึก และทรงหลายเหลี่ยม

• รูปทรงหลายเหลี่ยมในโลกเสมือนจริง – สารานุกรมรูปทรงหลายเหลี่ยม
• แบบจำลองเรขาคณิตอิเล็กทรอนิกส์ – ประกอบด้วยแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติพิเศษซึ่งได้รับการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ
• แบบจำลองทรงหลายเหลี่ยม – ทรงหลายเหลี่ยมเสมือนจริง
• แบบจำลองกระดาษของทรงหลายเหลี่ยมแบบสม่ำเสมอ (และแบบอื่นๆ)

• แหล่ง รวมรูปทรงหลายเหลี่ยมมากมาย – ชุดเครื่องมือเชิงโต้ตอบและฟรีสำหรับสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมในภาษา Java ประกอบด้วยรูปทรงคลี่ ระนาบตัด รูปทรงคู่ รูปทรงตัดยอด และรูปทรงดาวของรูปทรงหลายเหลี่ยมมากกว่า 300 รูปทรง
• Hyperspace Star Polytope Slicer – Explorer เป็นแอปเพล็ต Java ที่มีตัวเลือกการแสดงผล 3 มิติหลากหลายรูปแบบ
• openSCAD – ซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับโปรแกรมเมอร์ ใช้งานได้บนหลายแพลตฟอร์ม รูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นเพียงหนึ่งในสิ่งที่คุณสามารถสร้างแบบจำลองได้คู่มือผู้ใช้ openSCADก็มีให้ดาวน์โหลดเช่นกัน
• OpenVolumeMesh – ไลบรารี C++ แบบโอเพนซอร์สที่ใช้งานได้บนหลายแพลตฟอร์ม สำหรับจัดการกับรูปทรงเรขาคณิตแบบหลายเหลี่ยม พัฒนาโดยกลุ่มวิจัยด้านคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ มหาวิทยาลัย RWTH Aachen
• Polyhedronisme ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 เมษายน 2012 ในWayback Machine – เครื่องมือบนเว็บสำหรับสร้างแบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมโดยใช้สัญกรณ์ทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์ แบบจำลองสามารถส่งออกเป็นภาพ PNG 2 มิติ หรือเป็นไฟล์ OBJ หรือ VRML2 3 มิติได้

• แบบจำลองกระดาษของทรงหลายเหลี่ยมแบบจำลองอิสระของทรงหลายเหลี่ยม
• คำแนะนำง่ายๆ สำหรับการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมจากกระดาษกว่า 30 แบบ
• ทรงหลายเหลี่ยมที่สานด้วยแถบกระดาษ – แบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยไม่ใช้กาว