การเปลี่ยนแปลงของสถานะควอนตัมตามเวลาสามารถอธิบายได้ด้วยสมการชโรดิงเกอร์: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t).}$$ ที่นี่${\displaystyle H}$หมายถึงแฮมิลโทเนียนซึ่งเป็นปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งสอดคล้องกับพลังงานรวมของระบบ และ${\displaystyle \hbar }$คือค่าคงที่ของพลังค์ ที่ลดลง ค่าคงที่${\displaystyle i\hbar }$หลักการ นี้ถูกนำมาใช้เพื่อให้แฮมิลโทเนียนลดรูปเป็นแฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิกในกรณีที่ระบบควอนตัมสามารถประมาณได้ด้วยระบบคลาสสิก ความสามารถในการประมาณดังกล่าวในขอบเขตที่กำหนดเรียกว่าหลักการสอดคล้องกัน

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือ $${\displaystyle \psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0).}$$ ผู้ดำเนินการ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ตัวดำเนินการนี้รู้จักกันในชื่อตัวดำเนินการวิวัฒนาการตามเวลา และมีคุณสมบัติที่สำคัญคือเป็นตัวดำเนินการเอกภาพ (unitary operator ) วิวัฒนาการตามเวลานี้เป็นแบบกำหนดได้ (deterministic)ในแง่ที่ว่า เมื่อกำหนดสถานะควอนตัมเริ่มต้นแล้ว${\displaystyle \psi (0)}$– มันสามารถทำนายสถานะควอนตัมได้อย่างแม่นยำ${\displaystyle \psi (t)}$จะเกิดขึ้นในเวลาต่อมา^{[ 22 ]}

ฟังก์ชันคลื่นบางฟังก์ชันสร้างการกระจายความน่าจะเป็นที่ไม่ขึ้นกับเวลา เช่นสถานะไอเกนของแฮมิลโทเนียน^{[ 7 ] : 133–137}ระบบหลายระบบที่ได้รับการจัดการแบบไดนามิกในกลศาสตร์คลาสสิกนั้นถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นแบบ "สถิต" ดังกล่าว ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนตัวเดียวในอะตอมที่ไม่ถูกกระตุ้นนั้น ในกลศาสตร์คลาสสิกจะถูกมองว่าเป็นอนุภาคที่เคลื่อนที่ในวิถีโค้งเป็นวงกลมรอบนิวเคลียสของอะตอมในขณะที่ในกลศาสตร์ควอนตัม อิเล็กตรอนจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นแบบสถิตที่ล้อมรอบนิวเคลียส ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนสำหรับอะตอมไฮโดรเจนที่ไม่ถูกกระตุ้นนั้นเป็นฟังก์ชันสมมาตรทรงกลมที่เรียกว่าออร์บิทัลs ( รูปที่ 1 )

วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ของสมการชโรดิงเกอร์เป็นที่รู้จักสำหรับแฮมิลโทเนียนแบบจำลองที่ค่อนข้างง่ายเพียงไม่กี่ตัวเท่านั้นรวมถึงควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิล เลเตอร์ อนุภาคในกล่องไดไฮโดรเจนแคตไอออนและอะตอมไฮโดรเจนแม้แต่อะตอมฮีเลียม ซึ่งมีอิเล็กตรอนเพียงสองตัว ก็ ยังไม่สามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ได้อย่างสมบูรณ์ โดย ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

อย่างไรก็ตาม มีเทคนิคในการหาคำตอบโดยประมาณ วิธีหนึ่งที่เรียกว่าทฤษฎีการรบกวนใช้ผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์สำหรับแบบจำลองกลศาสตร์ควอนตัมแบบง่ายเพื่อสร้างผลลัพธ์สำหรับแบบจำลองที่เกี่ยวข้องแต่ซับซ้อนกว่าโดย (เช่น) การเพิ่มพลังงานศักย์ที่อ่อนแอ[ 7 ^{] : 793วิธีการ}ประมาณอีกวิธีหนึ่งใช้กับระบบที่กลศาสตร์ควอนตัมสร้างความเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากพฤติกรรมแบบคลาสสิก ความเบี่ยงเบนเหล่านี้สามารถคำนวณได้จากการเคลื่อนที่แบบคลาสสิก^{[ 7 ] : 849}

ผลที่ตามมาประการหนึ่งของรูปแบบควอนตัมพื้นฐานคือหลักการความไม่แน่นอน ในรูปแบบที่คุ้นเคยที่สุด หลักการนี้ระบุว่าไม่มีการเตรียมอนุภาคควอนตัมใดที่สามารถบ่งชี้ถึงการทำนายที่แม่นยำพร้อมกันได้ทั้งสำหรับการวัดตำแหน่งและการวัดโมเมนตัม^{[ 26 ] [ 27 ]}ทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมเป็นสิ่งที่สังเกตได้ หมายความว่าพวกมันถูกแทนด้วยตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียน ตัวดำเนินการตำแหน่ง${\displaystyle {\hat {X}}}$และตัวดำเนินการโมเมนตัม${\displaystyle {\hat {P}}}$ไม่สลับที่กัน แต่เป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับที่กันตามหลักการ : $${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar .}$$ เมื่อกำหนดสถานะควอนตัมแล้ว กฎของบอร์นช่วยให้เราสามารถคำนวณค่าคาดหวังสำหรับทั้งสองอย่างได้${\displaystyle X}$และ${\displaystyle P}$และยิ่งไปกว่านั้นสำหรับกำลังของพวกมัน การกำหนดความไม่แน่นอนสำหรับสิ่งที่สังเกตได้ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเราจะได้ $${\displaystyle \sigma _{X}={\textstyle {\sqrt {\left\langle X^{2}\right\rangle -\left\langle X\right\rangle ^{2}}}},}$$ และเช่นเดียวกันสำหรับโมเมนตัม: $${\displaystyle \sigma _{P}={\sqrt {\left\langle P^{2}\right\rangle -\left\langle P\right\rangle ^{2}}}.}$$ หลักการความไม่แน่นอนระบุว่า $${\displaystyle \sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$ โดยหลักการแล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใดๆ ก็สามารถทำให้มีค่าน้อยลงได้ตามอำเภอใจ แต่ไม่สามารถทำให้มีค่าน้อยลงได้ทั้งสองค่าพร้อมกัน^{[ 28 ]}อสมการนี้สามารถขยายไปสู่คู่ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองได้ตามอำเภอใจ${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$ตัวสลับการทำงานของตัวดำเนินการทั้งสองนี้คือ $${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$$ และนี่เป็นค่าขอบล่างของผลคูณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\tfrac {1}{2}}\left|{\bigl \langle }[A,B]{\bigr \rangle }\right|.}$$

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกคือ ตัวดำเนินการตำแหน่งและตัวดำเนินการโมเมนตัมเป็นการแปลงฟูริเยร์ซึ่งกันและกัน ดังนั้นคำอธิบายของวัตถุตามโมเมนตัมจึงเป็นการแปลงฟูริเยร์ของคำอธิบายตามตำแหน่งของมัน ข้อเท็จจริงที่ว่าการพึ่งพาในโมเมนตัมเป็นการแปลงฟูริเยร์ของการพึ่งพาในตำแหน่งหมายความว่าตัวดำเนินการโมเมนตัมนั้นเทียบเท่ากัน (จนถึง...)${\displaystyle i/\hbar }$ตัวประกอบ) ในการหาอนุพันธ์ตามตำแหน่ง เนื่องจากในการวิเคราะห์ฟูริเยร์การหาอนุพันธ์สอดคล้องกับการคูณในปริภูมิคู่ขนานนี่คือเหตุผลที่ในสมการควอนตัมในปริภูมิตำแหน่ง โมเมนตัม${\displaystyle p_{i}}$ถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการชโรดิงเกอร์แบบไม่สัมพัทธภาพในปริภูมิตำแหน่งเทอมกำลังสองของโมเมนตัมจะถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการลาปลาเซียนคูณด้วย${\displaystyle -\hbar ^{2}}$[ ^{26 ]​}

เมื่อพิจารณาระบบควอนตัมสองระบบที่แตกต่างกันร่วมกัน ปริภูมิฮิลเบิร์ตของระบบที่รวมกันจะเป็นผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ตของส่วนประกอบทั้งสอง ตัวอย่างเช่น ให้AและBเป็นระบบควอนตัมสองระบบ โดยมีปริภูมิฮิลเบิร์ตดังนี้${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$และ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ตามลำดับ ปริภูมิฮิลเบิร์ตของระบบประกอบจึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.}$$ ถ้าสถานะของระบบแรกเป็นเวกเตอร์${\displaystyle \psi _{A}}$และสถานะสำหรับระบบที่สองคือ${\displaystyle \psi _{B}}$ดังนั้นสถานะของระบบผสมจึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle \psi _{A}\otimes \psi _{B}.}$$ ไม่ใช่ทุกรัฐในปริภูมิฮิลเบิร์ตร่วม${\displaystyle {\mathcal {H}}_{AB}}$สามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากหลักการซ้อนทับบ่งชี้ว่าการรวมเชิงเส้นของ "สถานะที่แยกได้" หรือ "สถานะผลคูณ" เหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้า${\displaystyle \psi _{A}}$และ${\displaystyle \phi _{A}}$ทั้งสองสถานะนี้เป็นไปได้สำหรับระบบ${\displaystyle A}$และเช่นเดียวกัน${\displaystyle \psi _{B}}$และ${\displaystyle \phi _{B}}$ทั้งสองสถานะนี้เป็นไปได้สำหรับระบบ${\displaystyle B}$, แล้ว $${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)}$$ เป็นสถานะร่วมที่ถูกต้องซึ่งไม่สามารถแยกออกจากกันได้ สถานะที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้เรียกว่าสถานะพันกัน^{[ 29 ] [ 30 ]}

หากสถานะของระบบประกอบมีการพันกัน จะไม่สามารถอธิบายระบบส่วนประกอบAหรือระบบBด้วยเวกเตอร์สถานะได้ แทนที่จะใช้เมทริกซ์ความหนาแน่นแบบลดรูป เราสามารถกำหนดเมทริกซ์ความหนาแน่นแบบลดรูปเพื่ออธิบายสถิติที่ได้จากการวัดบนระบบส่วนประกอบแต่ละระบบเพียงอย่างเดียว อย่างไรก็ตาม วิธีนี้จะทำให้ข้อมูลสูญหายไป การรู้เมทริกซ์ความหนาแน่นแบบลดรูปของแต่ละระบบไม่เพียงพอที่จะสร้างสถานะของระบบประกอบขึ้นมาใหม่ได้^{[ 29 ] [ 30 ]}เช่นเดียวกับที่เมทริกซ์ความหนาแน่นระบุสถานะของระบบย่อยของระบบที่ใหญ่กว่า ในทำนองเดียวกันการวัดค่าตัวดำเนินการเชิงบวก (POVMs) จะอธิบายผลกระทบต่อระบบย่อยจากการวัดที่ดำเนินการบนระบบที่ใหญ่กว่า POVMs ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีสารสนเทศควอนตัม^{[ 29 ] [ 31 ]}

ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น การพันกันเป็นคุณลักษณะสำคัญของแบบจำลองกระบวนการวัดซึ่งอุปกรณ์จะพันกันกับระบบที่กำลังวัด ระบบที่โต้ตอบกับสิ่งแวดล้อมที่มันอาศัยอยู่โดยทั่วไปจะพันกันกับสิ่งแวดล้อมนั้น ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการเสื่อมสภาพควอนตัมนี่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมในทางปฏิบัติ ผลกระทบควอนตัมจึงสังเกตได้ยากในระบบที่ใหญ่กว่าระดับจุลภาค^{[ 32 ]}

มีสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากันหลายสูตรสำหรับกลศาสตร์ควอนตัม หนึ่งในสูตรที่เก่าแก่ที่สุดและพบได้บ่อยที่สุดคือ " ทฤษฎีการแปลง " ที่เสนอโดยพอล ดิแรกซึ่งรวมและขยายสูตรสองสูตรแรกสุดของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่กลศาสตร์เมทริกซ์ (คิดค้นโดยเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ) และกลศาสตร์คลื่น (คิดค้นโดยเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ ) ^{[ 33 ]}สูตรทางเลือกของกลศาสตร์ควอนตัมคือสูตรปริพันธ์เส้นทางของเฟย์นแมนซึ่งแอมพลิจูดทางกลศาสตร์ควอนตัมถือเป็นผลรวมของเส้นทางคลาสสิกและไม่คลาสสิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย นี่คือคู่ขนานทางกลศาสตร์ควอนตัมของหลักการการกระทำในกลศาสตร์คลาสสิก^{[ 34 ]}

แฮมิลตันเนียน${\displaystyle H}$เป็นที่รู้จักในฐานะตัวสร้างวิวัฒนาการของเวลา เนื่องจากมันกำหนดตัวดำเนินการวิวัฒนาการของเวลาแบบเอกภาพ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$สำหรับแต่ละค่าของ${\displaystyle t}$จากความสัมพันธ์ระหว่างนี้${\displaystyle U(t)}$และ${\displaystyle H}$ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าสิ่งที่สังเกตได้ใดๆ${\displaystyle A}$ที่เดินทางไปทำงานกับ${\displaystyle H}$จะได้รับการอนุรักษ์ : ค่าคาดหวังจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา^{[ 7 ] : 471}ข้อความนี้เป็นการสรุปทั่วไปทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนใดๆ${\displaystyle A}$สามารถสร้างตระกูลของตัวดำเนินการเอกภาพที่กำหนดพารามิเตอร์ด้วยตัวแปรได้${\displaystyle t}$ภายใต้การวิวัฒนาการที่เกิดขึ้นโดย${\displaystyle A}$สิ่งที่สังเกตได้${\displaystyle B}$ที่เดินทางไปทำงานกับ${\displaystyle A}$จะได้รับการอนุรักษ์ไว้ นอกจากนี้ หาก${\displaystyle B}$ได้รับการอนุรักษ์โดยวิวัฒนาการภายใต้${\displaystyle A}$, แล้ว${\displaystyle A}$ได้รับการอนุรักษ์ไว้ภายใต้วิวัฒนาการที่เกิดขึ้นโดย${\displaystyle B}$นี่หมายถึงเวอร์ชันควอนตัมของผลลัพธ์ที่เอ็มมี เนอเธอร์ พิสูจน์ไว้ ในกลศาสตร์คลาสสิก ( ลากรางจ์ ) กล่าวคือ สำหรับสมมาตรที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ทุกแบบของแฮมิลโทเนียน จะมีกฎ การอนุรักษ์ที่สอดคล้องกันอยู่เสมอ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบควอนตัมที่มีระดับความเป็นอิสระเชิงตำแหน่งคืออนุภาคอิสระในมิติเชิงพื้นที่เดียว อนุภาคอิสระคืออนุภาคที่ไม่ได้รับอิทธิพลจากภายนอก ดังนั้นแฮมิลโทเนียนของมันจึงประกอบด้วยพลังงานจลน์เพียงอย่างเดียว: $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}P^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}.}$$ คำตอบทั่วไปของสมการชโรดิงเกอร์มีดังนี้ $${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}\mathrm {d} k,}$$ ซึ่งเป็นการซ้อนทับกันของคลื่นระนาบ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด${\displaystyle e^{i(kx-{\frac {\hbar k^{2}}{2m}}t)}}$ซึ่งเป็นสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมที่มีโมเมนตัม${\displaystyle p=\hbar k}$สัมประสิทธิ์ของการซ้อนทับคือ${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)}$ซึ่งก็คือการแปลงฟูริเยร์ของสถานะควอนตัมเริ่มต้น${\displaystyle \psi (x,0)}$.

เป็นไปไม่ได้ที่คำตอบจะเป็นสถานะไอเกนโมเมนตัมเดียว หรือสถานะไอเกนตำแหน่งเดียว เนื่องจากสถานะเหล่านี้ไม่ใช่สถานะควอนตัมที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้^{[หมายเหตุ 1 ]}แต่เราสามารถพิจารณาแพ็กเก็ตคลื่น เกาส์เซียนได้ : $${\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi a}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}}$$ ซึ่งมีการแปลงฟูริเยร์ และด้วยเหตุนี้จึงมีการกระจายโมเมนตัม $${\displaystyle {\hat {\psi }}(k,0)={\sqrt[{4}]{\frac {a}{\pi }}}e^{-{\frac {ak^{2}}{2}}}.}$$ เราเห็นสิ่งนั้นขณะที่เราสร้าง${\displaystyle a}$ยิ่งส่วนต่างของตำแหน่งแคบลงเท่าไหร่ ส่วนต่างของโมเมนตัมก็จะยิ่งแคบลงเท่านั้น ในทางกลับกัน โดยการทำให้${\displaystyle a}$ยิ่งค่ามากขึ้นเท่าไหร่ การกระจายตัวของโมเมนตัมก็จะยิ่งแคบลง แต่การกระจายตัวของตำแหน่งก็จะยิ่งกว้างขึ้น นี่คือตัวอย่างของหลักการความไม่แน่นอน

เมื่อเราปล่อยให้แพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนวิวัฒนาการไปตามเวลา เราจะเห็นว่าศูนย์กลางของมันเคลื่อนที่ผ่านอวกาศด้วยความเร็วคงที่ (เหมือนอนุภาคคลาสสิกที่ไม่มีแรงกระทำต่อมัน) อย่างไรก็ตาม แพ็กเก็ตคลื่นจะกระจายออกไปเมื่อเวลาผ่านไป ซึ่งหมายความว่าตำแหน่งจะมีความไม่แน่นอนมากขึ้นเรื่อยๆ แต่ความไม่แน่นอนในโมเมนตัมยังคงที่^{[ 35 ]}

อนุภาคในกล่องพลังงานศักย์หนึ่งมิติเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดทางคณิตศาสตร์ซึ่งข้อจำกัดนำไปสู่การกำหนดระดับพลังงาน กล่องนี้ถูกกำหนดให้มีพลังงานศักย์เป็นศูนย์ทุกที่ภายในบริเวณที่กำหนด และดังนั้นจึงมีพลังงานศักย์เป็นอนันต์ทุกที่ภายนอกบริเวณนั้น^{[ 26 ] : 77–78}สำหรับกรณีหนึ่งมิติใน${\displaystyle x}$ในทิศทางดังกล่าว สมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .}$$

โดยที่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดย $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}}$$สมการก่อนหน้านี้ชวนให้นึกถึงสมการพลังงานจลน์แบบคลาสสิก $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,}$$ กับรัฐ${\displaystyle \psi }$ในกรณีนี้คือพลังงาน${\displaystyle E}$สอดคล้องกับพลังงานจลน์ของอนุภาค

คำตอบทั่วไปของสมการชโรดิงเกอร์สำหรับอนุภาคในกล่องคือ $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$$ หรือจากสูตรของออยเลอร์ $${\displaystyle \psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).\!}$$

ผนังศักย์อนันต์ของกล่องเป็นตัวกำหนดค่าของ${\displaystyle C,D,}$และ${\displaystyle k}$ที่${\displaystyle x=0}$และ${\displaystyle x=L}$ที่ไหน${\displaystyle \psi }$ต้องเป็นศูนย์ ดังนั้น ที่${\displaystyle x=0}$, $${\displaystyle \psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D}$$ และ${\displaystyle D=0}$. ที่${\displaystyle x=L}$, $${\displaystyle \psi (L)=0=C\sin(kL),}$$ ซึ่ง${\displaystyle C}$จะต้องไม่เป็นศูนย์ เพราะจะขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า${\displaystyle \psi }$มีค่ามาตรฐานเท่ากับ 1 ดังนั้น เนื่องจาก${\displaystyle \sin(kL)=0}$,${\displaystyle kL}$ต้องเป็นจำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของ${\displaystyle \pi }$, $${\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .}$$

ข้อจำกัดนี้เกี่ยวกับ${\displaystyle k}$บ่งบอกถึงข้อจำกัดของระดับพลังงาน ส่งผลให้ $${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

บ่อศักย์จำกัดเป็นการขยายความของปัญหาบ่อศักย์อนันต์ไปยังบ่อศักย์ที่มีความลึกจำกัด ปัญหาบ่อศักย์จำกัดมีความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์มากกว่าปัญหาอนุภาคในกล่องอนันต์ เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นไม่ได้ถูกตรึงไว้ที่ศูนย์ที่ผนังของบ่อ แต่ฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่า เนื่องจากมีค่าไม่เป็นศูนย์ในบริเวณนอกบ่อ ปัญหาที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือปัญหาของกำแพงศักย์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเป็นแบบจำลองสำหรับ ปรากฏการณ์ การทะลุผ่านควอนตัมที่มีบทบาทสำคัญในประสิทธิภาพของเทคโนโลยีสมัยใหม่ เช่นหน่วยความจำแฟลชและกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงทันเนล ลิ่ ง

เช่นเดียวกับในกรณีคลาสสิก ศักยภาพสำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกควอนตัมจะได้รับจาก^{[ 7 ] : 234}$${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$$

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการแก้สมการชโรดิงเกอร์โดยตรง ซึ่งไม่ใช่เรื่องง่าย หรือโดยการใช้วิธี "บันได" ที่ดูสง่างามกว่า ซึ่งเสนอโดยพอล ดิแรก สถานะเฉพาะ ( eigenstates ) กำหนดโดย $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$$$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$$ โดยที่H คือพหุนามเฮอร์ไมต์$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),}$$ และระดับพลังงานที่สอดคล้องกันคือ $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$$

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นถึงการแบ่ง ส่วนพลังงานสำหรับสถานะผูกพัน

เครื่องมือวัดการแทรกสอดแบบ Mach –Zehnder (MZI) แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของการซ้อนทับและการแทรกสอดด้วยพีชคณิตเชิงเส้นในมิติ 2 แทนที่จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ อาจมองได้ว่าเป็นเวอร์ชันที่ง่ายขึ้นของการทดลองช่องคู่ แต่ก็มีความน่าสนใจในตัวของมันเอง เช่น ในเครื่องลบควอนตัมแบบเลือกช้า เครื่อง ทดสอบระเบิด Elitzur –Vaidmanและในการศึกษาการพัวพันควอนตัม^{[ 36 ] [ 37 ]}

เราสามารถจำลองการเคลื่อนที่ของโฟตอนผ่านอินเตอร์เฟอโรเมตรได้โดยพิจารณาว่า ณ แต่ละจุด โฟตอนสามารถอยู่ในสถานะซ้อนทับกันได้เพียงสองเส้นทางเท่านั้น คือ เส้นทาง "ล่าง" ซึ่งเริ่มต้นจากด้านซ้าย ผ่านตัวแยกแสงทั้งสองตัวตรงไปสิ้นสุดที่ด้านบน และเส้นทาง "บน" ซึ่งเริ่มต้นจากด้านล่าง ผ่านตัวแยกแสงทั้งสองตัวตรงไปสิ้นสุดที่ด้านขวา ดังนั้น สถานะควอนตัมของโฟตอนจึงเป็นเวกเตอร์${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} ^{2}}$นั่นคือการซ้อนทับของเส้นทาง "ล่าง"${\displaystyle \psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$และเส้นทาง "เบื้องบน"${\displaystyle \psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$นั่นคือ${\displaystyle \psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}}$สำหรับความซับซ้อน${\displaystyle \alpha ,\beta }$เพื่อที่จะเคารพสมมติฐานที่ว่า${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$เราต้องการให้${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$.

ตัวแยกแสงทั้งสองตัวถูกจำลองเป็นเมทริกซ์เอกภาพ${\displaystyle B={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}}$ซึ่งหมายความว่าเมื่อโฟตอนกระทบกับตัวแยกแสง มันจะยังคงอยู่ในเส้นทางเดิมด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$หรือสะท้อนไปยังเส้นทางอื่นด้วยความน่าจะเป็นของแอมพลิจูดเท่ากับ${\displaystyle i/{\sqrt {2}}}$ตัวปรับเฟสที่แขนส่วนบนถูกจำลองเป็นเมทริกซ์เอกภาพ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\Delta \Phi }\end{pmatrix}}}$ซึ่งหมายความว่าหากโฟตอนอยู่บนเส้นทาง "ด้านบน" มันจะได้รับเฟสสัมพัทธ์เท่ากับ${\displaystyle \Delta \Phi }$และมันจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากมันอยู่ในเส้นทางด้านล่าง

โฟตอนที่เข้าสู่เครื่องวัดการรบกวนจากทางด้านซ้ายจะถูกประมวลผลโดยตัวแยกแสง${\displaystyle B}$ตัวเปลี่ยนเฟส${\displaystyle P}$และตัวแยกแสงอีกตัวหนึ่ง${\displaystyle B}$และสุดท้ายก็ไปอยู่ในรัฐนั้น $${\displaystyle BPB\psi _{l}=ie^{i\Delta \Phi /2}{\begin{pmatrix}-\sin(\Delta \Phi /2)\\\cos(\Delta \Phi /2)\end{pmatrix}},}$$ และความน่าจะเป็นที่จะตรวจพบที่ด้านขวาหรือด้านบนนั้นกำหนดโดยค่าต่อไปนี้ตามลำดับ $${\displaystyle p(u)=|\langle \psi _{u},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}},}$$$${\displaystyle p(l)=|\langle \psi _{l},BPB\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}.}$$ ดังนั้น จึงสามารถใช้เครื่องมือวัดการแทรกสอดแบบ Mach–Zehnder เพื่อประมาณการการเปลี่ยนแปลงเฟสโดยการประมาณค่าความน่าจะเป็นเหล่านี้ได้

เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะพิจารณาว่าอะไรจะเกิดขึ้นหากโฟตอนอยู่ในเส้นทาง "ล่าง" หรือ "บน" ระหว่างตัวแยกแสงอย่างแน่นอน ซึ่งสามารถทำได้โดยการปิดกั้นเส้นทางใดเส้นทางหนึ่ง หรือเทียบเท่ากับการถอดตัวแยกแสงตัวแรกออก (และป้อนโฟตอนจากด้านซ้ายหรือด้านล่างตามต้องการ) ในทั้งสองกรณี จะไม่มีการรบกวนระหว่างเส้นทางอีกต่อไป และความน่าจะเป็นจะกำหนดโดย${\displaystyle p(u)=p(l)=1/2}$โดยไม่ขึ้นอยู่กับเฟส${\displaystyle \Delta \Phi }$จากสิ่งนี้เราสามารถสรุปได้ว่าโฟตอนไม่ได้เลือกเส้นทางใดเส้นทางหนึ่งหลังจากตัวแยกแสงตัวแรก แต่กลับอยู่ในสถานะซ้อนทับควอนตัมที่แท้จริงของเส้นทางทั้งสอง^{[ 38 ]}

กฎของกลศาสตร์ควอนตัมยืนยันว่าปริภูมิสถานะของระบบคือปริภูมิฮิลเบิร์ต และสิ่งที่สังเกตได้ของระบบคือตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนที่กระทำกับเวกเตอร์ในปริภูมินั้น – แม้ว่ากฎเหล่านั้นจะไม่ได้บอกเราว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตใดหรือตัวดำเนินการใด สิ่งเหล่านี้สามารถเลือกได้อย่างเหมาะสมเพื่อให้ได้คำอธิบายเชิงปริมาณของระบบควอนตัม ซึ่งเป็นขั้นตอนที่จำเป็นในการทำนายทางฟิสิกส์ แนวทางสำคัญในการเลือกเหล่านี้คือหลักการความสอดคล้องซึ่งเป็นหลักการเชิงอนุมานที่ระบุว่าการทำนายของกลศาสตร์ควอนตัมจะลดลงเหลือการทำนายของกลศาสตร์คลาสสิกในระบอบของจำนวนควอนตัมขนาด ใหญ่ ^{[ 41 ]}เรายังสามารถเริ่มต้นจากแบบจำลองคลาสสิกที่กำหนดไว้ของระบบเฉพาะ และจากนั้นลองเดาแบบจำลองควอนตัมพื้นฐานที่จะทำให้เกิดแบบจำลองคลาสสิกในขีดจำกัดความสอดคล้อง วิธีการนี้เรียกว่าการหาปริมาณ^{[ 42 ] : 299 [ 43 ]}

เมื่อกลศาสตร์ควอนตัมได้รับการกำหนดสูตรขึ้นครั้งแรก มันถูกนำไปใช้กับแบบจำลองที่มีขีดจำกัดการสอดคล้อง เป็นกลศาสตร์คลาสสิกที่ ไม่สัมพัทธภาพตัวอย่างเช่น แบบจำลองของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมที่เป็น ที่รู้จักกันดีนั้น ใช้การแสดงออกที่ไม่สัมพัทธภาพอย่างชัดเจนสำหรับพลังงานจลน์ของตัวสั่น และจึงเป็นเวอร์ชันควอนตัมของตัวสั่นฮาร์มอนิกคลาสสิก^{[ 7 ] : 234}

ความซับซ้อนเกิดขึ้นกับระบบที่วุ่นวายซึ่งไม่มีเลขควอนตัมที่ดี และ การศึกษา ความวุ่นวายควอนตัมจะศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคำอธิบายแบบคลาสสิกและแบบควอนตัมในระบบเหล่านี้^{[ 42 ] : 353}

การสูญเสียความสอดคล้องของควอนตัมเป็นกลไกที่ระบบควอนตัมสูญเสียความสอดคล้องและด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถแสดงผลกระทบแบบควอนตัมทั่วไปได้หลายอย่าง เช่นการซ้อนทับของควอนตัมกลายเป็นเพียงการผสมความน่าจะเป็น และการพัวพันของควอนตัมกลายเป็นเพียงความสัมพันธ์แบบคลาสสิก^{[ 7 ] : 687–730}ความสอดคล้องของควอนตัมโดยทั่วไปจะไม่ปรากฏให้เห็นในระดับมหภาค แม้ว่าที่อุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์พฤติกรรมควอนตัมอาจปรากฏให้เห็นในระดับมหภาคได้^{[หมายเหตุ 3 ]}

คุณสมบัติระดับมหภาคหลายประการของระบบคลาสสิกเป็นผลโดยตรงจากพฤติกรรมควอนตัมของส่วนประกอบต่างๆ ตัวอย่างเช่น ความเสถียรของสสารจำนวนมาก (ซึ่งประกอบด้วยอะตอมและโมเลกุลที่จะยุบตัวลงอย่างรวดเร็วภายใต้แรงไฟฟ้าเพียงอย่างเดียว) ความแข็งแกร่งของของแข็ง และคุณสมบัติทางกล ความร้อน เคมี แสง และแม่เหล็กของสสาร ล้วนเป็นผลมาจากการปฏิสัมพันธ์ของประจุไฟฟ้าภายใต้กฎของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 44 ]}

ความพยายามในช่วงแรกในการผสานกลศาสตร์ควอนตัมเข้ากับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเกี่ยวข้องกับการแทนที่สมการชโรดิงเกอร์ด้วยสมการโคแวเรียนต์ เช่นสมการไคลน์-กอร์ดอนหรือสมการดิแรกแม้ว่าทฤษฎีเหล่านี้จะประสบความสำเร็จในการอธิบายผลการทดลองหลายอย่าง แต่ก็มีข้อบกพร่องบางประการที่เกิดจากการละเลยการสร้างและการทำลายอนุภาคแบบสัมพัทธภาพ ทฤษฎีควอนตัมแบบสัมพัทธภาพอย่างสมบูรณ์ต้องอาศัยการพัฒนาทฤษฎีสนามควอนตัม ซึ่งใช้การควอนตัมกับสนาม (แทนที่จะเป็นชุดอนุภาคคงที่) ทฤษฎีสนามควอนตัมที่สมบูรณ์ทฤษฎีแรกคือค วอนตั มอิเล็กโทรไดนามิกส์ซึ่งให้คำอธิบายแบบควอนตัมอย่างสมบูรณ์ของปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์เป็น หนึ่งในทฤษฎีทางฟิสิกส์ที่แม่นยำที่สุดเท่าที่เคยคิดค้นมาร่วมกับ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 45 ] [ 46 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีสนามควอนตัมแบบเต็มรูปแบบมักไม่จำเป็นสำหรับการอธิบายระบบไฟฟ้าพลศาสตร์ วิธีที่ง่ายกว่า ซึ่งใช้มาตั้งแต่เริ่มแรกของกลศาสตร์ควอนตัม คือการพิจารณา อนุภาค ที่มีประจุเป็นวัตถุทางกลศาสตร์ควอนตัมที่ถูกกระทำโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้า แบบคลาสสิก ตัวอย่างเช่น แบบจำลองควอนตัมพื้นฐานของอะตอมไฮโดรเจนอธิบายสนามไฟฟ้าของอะตอมไฮโดรเจนโดยใช้แบบจำลองคลาสสิก${\displaystyle \textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)}$ศักยภาพคูลอมบ์ [ ^{7 ] : 285ใน} ทำนอง เดียวกัน ในการทดลอง Stern–Gerlachอนุภาคที่มีประจุจะถูกจำลองเป็นระบบควอนตัม ในขณะที่สนามแม่เหล็กพื้นหลังจะถูกอธิบายแบบคลาสสิก^{[ 42 ] : 26}แนวทาง "กึ่งคลาสสิก" นี้จะล้มเหลวหากความผันผวนควอนตัมในสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามีบทบาทสำคัญ เช่น ในการปล่อยโฟตอนโดยอนุภาคที่มีประจุ

ทฤษฎี สนามควอนตัมสำหรับแรงนิวเคลียร์ที่แรงและแรงนิวเคลียร์ที่อ่อนได้รับการพัฒนาขึ้นเช่นกัน ทฤษฎีสนามควอนตัมของแรงนิวเคลียร์ที่แรงเรียก ว่า ควอนตัมโครโมไดนามิกส์และอธิบายปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคย่อยนิวเคลียร์ เช่นควาร์กและกลูออนแรงนิวเคลียร์ที่อ่อนและแรงแม่เหล็กไฟฟ้าได้รับการรวมเข้าด้วยกันในรูปแบบควอนตัมเป็นทฤษฎีสนามควอนตัมเดียว (ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีอิเล็กโทรวีค ) โดยนักฟิสิกส์Abdus Salam , Sheldon GlashowและSteven Weinberg ^{[ 47 ]}

แม้ว่าการคาดการณ์ของทั้งทฤษฎีควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะได้รับการสนับสนุนจากหลักฐานเชิงประจักษ์ ที่เข้มงวดและซ้ำแล้วซ้ำ เล่า แต่รูปแบบนามธรรมของทั้งสองทฤษฎีกลับขัดแย้งกัน และพิสูจน์แล้วว่ายากมากที่จะรวมเข้าเป็นแบบจำลองที่สอดคล้องกันและเป็นหนึ่งเดียว แรงโน้มถ่วงนั้นไม่สำคัญในหลายสาขาของฟิสิกส์อนุภาค ดังนั้นการรวมกันระหว่างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและกลศาสตร์ควอนตัมจึงไม่ใช่ปัญหาเร่งด่วนในแอปพลิเคชันเฉพาะเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม การขาดทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัม ที่ถูกต้อง เป็นประเด็นสำคัญในจักรวาลวิทยาเชิงฟิสิกส์และการค้นหา " ทฤษฎีแห่งทุกสิ่ง " (TOE) ที่สง่างามโดยนักฟิสิกส์ ด้วยเหตุนี้ การแก้ไขความไม่สอดคล้องกันระหว่างทั้งสองทฤษฎีจึงเป็นเป้าหมายหลักของฟิสิกส์ในศตวรรษที่ 20 และ 21 TOE นี้จะไม่เพียงแต่รวมแบบจำลองของฟิสิกส์อนุภาคย่อยเท่านั้น แต่ยังจะอนุมานแรงพื้นฐานทั้งสี่ของธรรมชาติจากแรงหรือปรากฏการณ์เดียวอีกด้วย^{[ 48 ]}

ข้อเสนอหนึ่งในการทำเช่นนั้นคือทฤษฎีสตริงซึ่งตั้งสมมติฐานว่าอนุภาคจุดในฟิสิกส์อนุภาคถูกแทนที่ด้วยวัตถุหนึ่งมิติ ที่เรียกว่า สตริงทฤษฎีสตริงอธิบายว่าสตริงเหล่านี้แพร่กระจายผ่านอวกาศและมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร ในระดับระยะทางที่ใหญ่กว่าระดับของสตริง สตริงจะมีลักษณะเหมือนอนุภาคธรรมดา โดยมีมวลประจุและคุณสมบัติอื่นๆ ที่กำหนดโดย สถานะ การสั่นของสตริง ในทฤษฎีสตริง หนึ่งในสถานะการสั่นหลายสถานะของสตริงจะสอดคล้องกับกราวิตอน ซึ่ง เป็นอนุภาคกลศาสตร์ควอนตัมที่นำพาแรงโน้มถ่วง^{[ 49 ] [ 50 ]}

ทฤษฎีที่เป็นที่นิยมอีกทฤษฎีหนึ่งคือทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมแบบวงวน (LQG) ซึ่งอธิบายคุณสมบัติควอนตัมของแรงโน้มถ่วงและจึงเป็นทฤษฎีของปริภูมิเวลาควอนตัม LQG เป็นความพยายามที่จะผสานและปรับใช้กลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐานและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมาตรฐาน ทฤษฎีนี้อธิบายอวกาศว่าเป็นผ้าทอละเอียดมากที่ประกอบด้วยวงวนจำกัดที่เรียกว่าเครือข่ายส ปิน วิวัฒนาการของเครือข่ายสปินเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าโฟมสปินขนาดความยาวลักษณะเฉพาะของโฟมสปินคือความยาวพลังค์ประมาณ 1.616×10 ⁻³⁵เมตร ดังนั้นความยาวที่สั้นกว่าความยาวพลังค์จึงไม่มีความหมายทางกายภาพใน LQG ^{[ 51 ]}