ให้ แทนฟิลด์พื้นฐานของโดยที่ เป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน การพิสูจน์นี้จะใช้คุณสมบัติพื้นฐานบางประการที่ระบุไว้ในบทความ ได้แก่เซตเชิงขั้วระบบคู่และ ตัว ดำเนิน การเชิงเส้นต่อเนื่อง${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

เพื่อเริ่มต้นการพิสูจน์ เราจะทบทวนคำจำกัดความและผลลัพธ์ที่ตรวจสอบได้ง่ายบางประการ เมื่อมีโทโพโลยีแบบอ่อน-*แล้วปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ของเฮาส์ดอร์ฟ นี้จะถูกแทนด้วย ปริภูมิ เป็น ปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีที่สมบูรณ์เสมออย่างไรก็ตามอาจไม่ใช่ปริภูมิที่สมบูรณ์ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการพิสูจน์นี้จึงเกี่ยวข้องกับปริภูมิ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การพิสูจน์นี้จะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเซตย่อยของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สมบูรณ์จะเป็นเซตกระชับก็ต่อเมื่อ เป็นเซตปิดและมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ ที่สำคัญโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจาก เท่ากับ สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายโดยการแสดงให้เห็นว่า เมื่อกำหนดเน็ตใดๆในจะลู่เข้าสู่ในโทโพโลยีหนึ่งก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าสู่ในโทโพโลยีอื่นด้วย (ข้อสรุปนี้เป็นไปตามเพราะโทโพโลยีสองแบบจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีเน็ตลู่เข้าเหมือนกันทุกประการ) ${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$${\displaystyle f\in X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ระบบสามดวงเป็นระบบจับคู่แบบคู่แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่รับประกันว่าจะเป็นระบบคู่ก็ตาม ตลอดทั้งเอกสารนี้ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ชุดขั้วทั้งหมดจะพิจารณาโดยอ้างอิงจากระบบจับคู่ แบบมาตรฐาน${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

ให้ เป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในและให้: ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$เป็นขั้วตรงข้ามกับการจับคู่แบบแคนอนิก${\displaystyle U}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$เป็นขั้วคู่ของ${\displaystyle U}$เมื่อเทียบกับ;${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$เป็นขั้วของเมื่อเทียบกับระบบคู่แบบแคนอนิกโปรดทราบว่า${\displaystyle U}$${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}$${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}$

ข้อเท็จจริงที่เป็นที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับชุดขั้วคือ${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}$

1. จงแสดงว่าเป็นเซตย่อยปิดของให้และสมมติว่าเป็นเน็ตในที่ลู่เข้าสู่ในเพื่อสรุปว่าเพียงพอ (และจำเป็น) ที่จะแสดงว่าสำหรับทุกเนื่องจากในฟิลด์สเกลาร์และทุกค่าอยู่ในเซตย่อยปิด (ใน ) ดังนั้น ลิมิตของเน็ตนี้ก็ต้องอยู่ในเซตนี้ด้วย ดังนั้น${\displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$${\displaystyle X^{\#}:}$${\displaystyle f\in X^{\#}}$${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle f\in U^{\#},}$${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$${\displaystyle u\in U.}$${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle f_{i}(u)}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},}$${\displaystyle f(u)}$${\displaystyle |f(u)|\leq 1.}$
2. แสดงให้เห็นว่าและจากนั้นสรุปได้ว่าเป็นเซตย่อยปิดของทั้งและการรวมกันเป็นจริงเพราะฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทุกตัวเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) สำหรับการรวมแบบย้อนกลับให้ดังนั้นซึ่งระบุอย่างชัดเจนว่าฟังก์ชันเชิงเส้นมีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียงดังนั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง (นั่นคือ) และเป็นไปตามที่ต้องการ การใช้ (1) และข้อเท็จจริงที่ว่าจุดตัดเป็นเซตปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนข้ออ้างเกี่ยวกับการเป็นเซตปิดจึงเป็นไปตามนั้น${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}$${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}$${\displaystyle f\in U^{\#}}$${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\displaystyle f\in U^{\circ },}$${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle U^{\circ }}$
3. จงแสดงว่าเป็น เซตย่อย ที่มีขอบเขตสมบูรณ์ - ของโดยทฤษฎีบทไบโพลาร์โดยที่ เนื่องจากบริเวณใกล้เคียงเป็นเซตดูดซับของจึงต้องเป็นจริงเช่นเดียวกันสำหรับเซตจึงสามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งนี้หมายความว่าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขต - ของเนื่องจากแยกแยะจุดของเซตย่อยของ ได้ เซตย่อยของจะมีขอบเขต - ก็ต่อเมื่อมีขอบเขตสมบูรณ์ - เท่านั้น ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ก็มี ขอบเขตสมบูรณ์ - เช่นกัน${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }:}$${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle U^{\circ \circ };}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$
4. สรุปได้ว่าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตสมบูรณ์ของ ด้วยเช่นกัน จำไว้ว่าโทโพโลยีบน นั้นเหมือนกับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจากข้อเท็จจริงนี้ ร่วมกับ (3) และนิยามของ "มีขอบเขตสมบูรณ์" บ่งชี้ว่าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตสมบูรณ์ของ${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$${\displaystyle X^{\#}:}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$${\displaystyle X^{\#}.}$
5. สุดท้าย สรุปได้ว่าเป็นเซตย่อยที่กระชับ -compact ของเนื่องจากเป็นTVS ที่สมบูรณ์และเป็นเซตย่อยที่ปิด (โดย (2)) และมีขอบเขตโดยสมบูรณ์ (โดย (4)) ของจึงสรุปได้ว่าเป็นเซตกระชับ${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }:}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}$${\displaystyle U^{\circ }}$${\displaystyle \blacksquare }$

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีปริภูมิคู่ต่อเนื่องและเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด เนื่องจากเป็นย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในจึงเป็นเซตย่อยดูดซับของ ด้วย ดังนั้นสำหรับทุกจะมีจำนวนจริง อยู่เช่นนั้น ดังนั้นสมมติฐานของข้อเสนอข้างต้นจึงเป็นจริง และดังนั้นเซตจึงกระชับในทอพอโลยีแบบอ่อน-*การพิสูจน์ทฤษฎีบท Banach–Alaoglu จะเสร็จสมบูรณ์เมื่อแสดงให้เห็นว่า^{[หมายเหตุ 2 ]} โดยจำได้ว่าถูกกำหนดเป็น ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U.}$${\displaystyle U^{\#}}$${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}$${\displaystyle U^{\circ }}$$${\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}$$

พิสูจน์ว่า${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:}$ เนื่องจากข้อสรุปนั้นเทียบเท่ากับ ถ้าแล้วซึ่งระบุอย่างชัดเจนว่าฟังก์ชันเชิงเส้นนั้นมีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียงดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง (นั่นคือ) ตามที่ต้องการ ${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}$${\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.}$${\displaystyle f\in U^{\#}}$${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U;}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\displaystyle \blacksquare }$

ปริภูมิผลคูณ เป็นปริภูมิกระชับตามทฤษฎีบทของไทโคนอฟ (เนื่องจากลูกบอลปิดแต่ละลูกเป็นปริภูมิกระชับ แบบ เฮาส์ดอร์ฟ^{[หมายเหตุ 3 ]} ) เนื่องจากเซตย่อยปิดของปริภูมิกระชับเป็นปริภูมิกระชับ การพิสูจน์ข้อเสนอจะเสร็จสมบูรณ์เมื่อแสดงให้เห็นว่า เป็นเซตย่อยปิดของ ข้อความต่อไปนี้รับประกันข้อสรุปนี้: ${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$${\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}}$$${\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$$${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$

1. ${\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$
2. ${\displaystyle U^{\#}}$เป็นเซตย่อยปิดของพื้นที่ผลิตภัณฑ์${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}$

หลักฐานของ (1) :

ให้แทนการฉายภาพไปยังพิกัดที่^th ( ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ) เพื่อพิสูจน์ว่าเพียงพอ (และจำเป็น) ที่จะแสดงว่าสำหรับทุก ดังนั้น กำหนดและให้ เนื่องจากยังคงต้องแสดงว่า จำได้ว่าถูกกำหนดไว้ในข้อความของข้อเสนอว่าเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ที่สอดคล้องกับ(ดังนั้น ตัวอย่างเช่นจะเป็นตัวเลือกที่ถูกต้องสำหรับแต่ละ) ซึ่งหมายความว่า เนื่องจากเป็น ฟังก์ชัน เอกพันธุ์บวกที่สอดคล้องกับ${\displaystyle z\in X,}$${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$${\displaystyle z}$${\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}$${\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f\in U^{\#}.}$${\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}$${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.}$${\displaystyle r_{x}>0}$${\displaystyle x\in r_{x}U}$${\displaystyle r_{u}:=1}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}$$${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นไปตามที่ต้องการ ${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}$${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}$

หลักฐานของ (2) :

ปริภูมิคู่พีชคณิต เป็นเซตย่อยปิดของเสมอ(มีการพิสูจน์ไว้ในบทพิสูจน์ย่อยด้านล่างสำหรับผู้อ่านที่ไม่คุ้นเคยกับผลลัพธ์นี้) เซตนี้ เป็นเซตปิดในโทโพโลยีผลคูณบนเนื่องจากเป็นผลคูณของเซตย่อยปิดของ ดังนั้น จึงเป็นจุดตัดของเซตย่อยปิดสองเซตของซึ่งพิสูจน์ (2) ^{[หมายเหตุ 4 ]}${\displaystyle X^{\#}}$${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}$${\displaystyle \blacksquare }$