อ่าน 21 นาที
ปรัชญาคณิตศาสตร์
ปรัชญาคณิตศาสตร์ เป็นสาขาหนึ่งของ ปรัชญา ที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของ คณิตศาสตร์ และความสัมพันธ์กับสาขาอื่นๆ ของปรัชญา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ญาณวิทยา และ อภิปรัชญา...
ปรัชญาคณิตศาสตร์
ปรัชญาคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์กับสาขาอื่นๆ ของปรัชญา โดยเฉพาะอย่างยิ่งญาณวิทยาและอภิปรัชญาคำถามสำคัญที่ถูกตั้งขึ้นได้แก่ วัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมอย่างแท้จริงหรือเป็นรูปธรรมในบางแง่มุม และความสัมพันธ์ของวัตถุดังกล่าวกับความเป็นจริงทางกายภาพเป็นอย่างไร[ 1 ]
หัวข้อหลักที่กล่าวถึงในปรัชญาคณิตศาสตร์ ได้แก่:
- ความเป็นจริง : คำถามคือคณิตศาสตร์เป็นผลผลิตล้วนๆ ของจิตใจมนุษย์หรือไม่ หรือว่ามันมีความเป็นจริงในตัวของมันเอง
- ตรรกะและความแม่นยำ
- ความสัมพันธ์กับความเป็นจริงทางกายภาพ
- ความสัมพันธ์กับวิทยาศาสตร์
- ความสัมพันธ์กับแอปพลิเคชัน
- ความจริงทางคณิตศาสตร์
- ธรรมชาติในฐานะกิจกรรมของมนุษย์( วิทยาศาสตร์ ศิลปะเกมหรือทั้งหมดรวมกัน)
หัวข้อหลัก
ความเป็นจริง
ความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์และความเป็นจริงทางวัตถุได้นำไปสู่การถกเถียงทางปรัชญามาตั้งแต่สมัยของพีทาโกรัส เป็นอย่างน้อย นักปรัชญาโบราณอย่างเพลโตได้โต้แย้งว่านามธรรมที่สะท้อนความเป็นจริงทางวัตถุนั้นมีความเป็นจริงในตัวของมันเองซึ่งดำรงอยู่นอกเหนือพื้นที่และเวลา ด้วยเหตุนี้ มุมมองทางปรัชญาที่ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์มีอยู่จริงในตัวของมันเองในเชิงนามธรรมจึงมักถูกเรียกว่าลัทธิเพลโตโดยไม่คำนึงถึงความคิดเห็นทางปรัชญาที่เป็นไปได้ของพวกเขา นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่โดยทั่วไปอาจถือได้ว่าเป็นนักปรัชญาเพลโต เนื่องจากพวกเขาคิดและพูดถึงวัตถุที่พวกเขาศึกษาว่าเป็นวัตถุจริง[ 2 ]
อาร์มานด์ โบเรลสรุปมุมมองเกี่ยวกับความเป็นจริงของคณิตศาสตร์ดังนี้ และได้ยกคำพูดของGH Hardy , Charles Hermite , Henri PoincaréและAlbert Einsteinมาสนับสนุนมุมมองของเขา[ 3 ]
บางสิ่งจะกลายเป็นสิ่งที่เป็นรูปธรรม (ตรงข้ามกับ "อัตวิสัย") ทันทีที่เรามั่นใจว่าสิ่งนั้นมีอยู่ในความคิดของผู้อื่นในรูปแบบเดียวกับที่มีอยู่ในความคิดของเรา และเราสามารถคิดและอภิปรายเกี่ยวกับสิ่งนั้นร่วมกันได้[ 4 ]เนื่องจากภาษาของคณิตศาสตร์มีความแม่นยำมาก จึงเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการกำหนดแนวคิดที่มีฉันทามติเช่นนั้น ในความคิดของฉัน นั่นก็เพียงพอแล้วที่จะทำให้เรารู้สึกถึงการดำรงอยู่ที่เป็นรูปธรรม ความเป็นจริงของคณิตศาสตร์ ...
อย่างไรก็ตาม ลัทธิเพลโตและมุมมองร่วมสมัยเกี่ยวกับนามธรรมไม่ได้อธิบายถึงประสิทธิภาพอันไร้เหตุผลของคณิตศาสตร์ (เนื่องจากลัทธิเพลโตถือว่าคณิตศาสตร์มีอยู่โดยอิสระ แต่ไม่ได้อธิบายว่าเหตุใดจึงสอดคล้องกับความเป็นจริง) [ 5 ]
ตรรกะและความแม่นยำ
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ต้องอาศัยความเข้มงวดซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความต้องไม่คลุมเครืออย่างแน่นอน และการพิสูจน์ต้องสามารถลดทอนลงเหลือเพียงลำดับของการประยุกต์ใช้ตรรกะหรือกฎการอนุมาน [ a ]โดยไม่ต้องใช้หลักฐานเชิงประจักษ์และสัญชาตญาณ[ b ] [ 6 ]
กฎเกณฑ์ของการให้เหตุผลอย่างเข้มงวดนั้นได้รับการวางรากฐานโดยนักปรัชญากรีกโบราณภายใต้ชื่อตรรกศาสตร์ตรรกศาสตร์ไม่ได้จำเพาะเจาะจงเฉพาะคณิตศาสตร์ แต่ในคณิตศาสตร์ มาตรฐานความเข้มงวดนั้นสูงกว่าในสาขาอื่นๆ มาก
เป็นเวลาหลายศตวรรษที่ตรรกศาสตร์ แม้ว่าจะใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ก็เป็นของปรัชญาและไม่ได้ถูกศึกษาโดยเฉพาะโดยนักคณิตศาสตร์[ 7 ]ประมาณปลายศตวรรษที่ 19 ความขัดแย้ง หลายประการ ทำให้รากฐานทางตรรกศาสตร์ของคณิตศาสตร์เป็นที่น่าสงสัย และส่งผลให้ความถูกต้องของคณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นที่น่าสงสัย สิ่งนี้เรียกว่าวิกฤตรากฐานของคณิตศาสตร์ความขัดแย้งบางประการเหล่านี้ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่ดูเหมือนจะขัดแย้งกับสัญชาตญาณทั่วไป เช่น ความเป็นไปได้ในการสร้างเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด ที่ถูกต้อง ซึ่งสมมติฐานเส้นขนานผิดฟังก์ชันไวเออร์สตรัสที่ต่อเนื่องแต่ไม่ สามารถหาอนุพันธ์ได้ ทุกที่ และการศึกษาของเกออร์ก แคนเตอร์เกี่ยวกับเซตอนันต์ ซึ่งนำไปสู่การพิจารณาขนาดของอนันต์หลายขนาด (จำนวน เชิงคาร์ดินัลอนันต์) ที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้น คือ ความขัดแย้งของรัสเซลแสดงให้เห็นว่าวลี "เซตของเซตทั้งหมด" นั้นขัดแย้งในตัวเอง
มีการเสนอวิธีการหลายวิธีเพื่อแก้ปัญหาโดยการเปลี่ยนกรอบตรรกะ เช่น คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์และตรรกะเชิงสัญชาตญาณ โดยคร่าวๆ วิธีแรกประกอบด้วยการกำหนดให้ทฤษฎีบทการมีอยู่ทุกข้อต้องมีตัวอย่างที่ชัดเจน และวิธีที่สองตัด กฎการยกเว้นตรงกลางและการกำจัดการปฏิเสธซ้ำซ้อนออกจากการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์
ตรรกศาสตร์เหล่านี้มีกฎการอนุมานน้อยกว่าตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก ในทางกลับกัน ตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกเป็นตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งซึ่งหมายความว่าตัวบ่งปริมาณไม่สามารถนำไปใช้กับเซตอนันต์ได้ ตัวอย่างเช่น ประโยคที่ว่า "ทุกเซตของจำนวนธรรมชาติมีสมาชิกที่เล็กที่สุด" นั้นไม่มีความหมายในรูปแบบใดๆ ของตรรกศาสตร์แบบคลาสสิก นี่จึงนำไปสู่การแนะนำตรรกศาสตร์อันดับสูงซึ่งปัจจุบันใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์
ปัญหาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ได้รับการแก้ไขในที่สุดด้วยการเกิดขึ้นของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ในฐานะสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ ในกรอบนี้ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือตรรกศาสตร์ประกอบด้วยภาษาที่เป็นทางการซึ่งกำหนดข้อความยืนยันที่ถูกต้องชุดของข้อความยืนยันพื้นฐานที่เรียกว่าสัจพจน์และชุดของกฎการอนุมานที่อนุญาตให้สร้างข้อความยืนยันใหม่จากข้อความยืนยันที่ทราบแล้วหนึ่งข้อหรือหลายข้อทฤษฎีบทของทฤษฎีดังกล่าวเป็นได้ทั้งสัจพจน์หรือข้อความยืนยันที่สามารถได้มาจากทฤษฎีบทที่ทราบมาก่อนโดยการประยุกต์ใช้กฎการอนุมานทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelพร้อมด้วยสัจพจน์ของการเลือกซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าZFCเป็นตรรกศาสตร์ลำดับสูงที่คณิตศาสตร์ทั้งหมดได้รับการกล่าวถึงใหม่ มันถูกใช้โดยปริยายในตำราคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่ไม่ได้ระบุอย่างชัดเจนว่าตำราเหล่านั้นอิงอยู่บนพื้นฐานใด ยิ่งไปกว่านั้น พื้นฐานอื่นๆ ที่เสนอสามารถจำลองและศึกษาได้ภายใน ZFC
ผลที่ตามมาคือ "ความเข้มงวด" ไม่ใช่แนวคิดที่เกี่ยวข้องอีกต่อไปในทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากบทพิสูจน์นั้นถูกต้องหรือผิดพลาดเท่านั้น และ "บทพิสูจน์ที่เข้มงวด" เป็นเพียงคำซ้ำซ้อนแนวคิดพิเศษของความเข้มงวดจะเข้ามามีบทบาทในแง่มุมทางสังคมของบทพิสูจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บทพิสูจน์มักจะไม่ถูกเขียนอย่างละเอียดครบถ้วน และบางขั้นตอนของบทพิสูจน์โดยทั่วไปถือว่าเป็นเรื่องง่าย ไม่สำคัญหรือตรงไปตรงมาจึงปล่อยให้ผู้อ่านเป็นผู้พิจารณาเอง เนื่องจากข้อผิดพลาดของบทพิสูจน์ส่วนใหญ่เกิดขึ้นในขั้นตอนที่ถูกข้ามไปเหล่านี้ บทพิสูจน์ใหม่จึงต้องได้รับการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญคนอื่นๆ ในสาขานั้น และจะถือว่าเชื่อถือได้ก็ต่อเมื่อได้รับการยอมรับจากชุมชนของผู้เชี่ยวชาญแล้ว ซึ่งอาจต้องใช้เวลาหลายปี[ 8 ]
นอกจากนี้ แนวคิดเรื่อง "ความเข้มงวด" อาจยังคงมีประโยชน์สำหรับการสอนผู้เริ่มต้นเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์[ 9 ]
ความสัมพันธ์กับวิทยาศาสตร์
คณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในวิทยาศาสตร์ ส่วนใหญ่ เพื่อสร้าง แบบจำลอง ปรากฏการณ์ ซึ่งทำให้สามารถทำนายได้จากกฎการทดลอง[ 10 ]ความเป็นอิสระของความจริงทางคณิตศาสตร์จากการทดลองใดๆ หมายความว่าความแม่นยำของการทำนายดังกล่าวขึ้นอยู่กับความเพียงพอของแบบจำลองเท่านั้น[ 11 ]การทำนายที่ไม่แม่นยำ แทนที่จะเกิดจากแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้อง บ่งบอกถึงความจำเป็นในการเปลี่ยนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้[ 12 ]ตัวอย่างเช่นการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวพุธสามารถอธิบายได้ก็ต่อเมื่อ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ ปรากฏขึ้น ซึ่งเข้ามาแทนที่กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ดีกว่า[ 13 ]
ยังคงมีการถกเถียงทางปรัชญาว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์หรือไม่ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์มักถูกจัดกลุ่มร่วมกับนักวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์มีหลายอย่างที่คล้ายคลึงกับวิทยาศาสตร์กายภาพ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์กายภาพ คณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ได้ว่าผิดซึ่งหมายความว่าในคณิตศาสตร์ หากผลลัพธ์หรือทฤษฎีใดผิด ก็สามารถพิสูจน์ได้โดยการยกตัวอย่างค้าน ในทำนองเดียวกันกับในวิทยาศาสตร์ทฤษฎีและผลลัพธ์ (ทฤษฎีบท) มักได้มาจากการทดลอง[ 14 ]ในคณิตศาสตร์ การทดลองอาจประกอบด้วยการคำนวณจากตัวอย่างที่เลือก หรือการศึกษาภาพหรือการแสดงแทนอื่นๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (มักเป็นการแสดงแทนในใจโดยไม่มีการสนับสนุนทางกายภาพ) ตัวอย่างเช่น เมื่อถูกถามว่าเขาได้ทฤษฎีบทของเขามาได้อย่างไร เกาส์เคยตอบว่า "durch planmässiges Tattonieren" (ผ่านการทดลองอย่างเป็นระบบ) [ 15 ]อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนเน้นย้ำว่าคณิตศาสตร์แตกต่างจากแนวคิดสมัยใหม่ของวิทยาศาสตร์ตรงที่ไม่พึ่งพาหลักฐานเชิงประจักษ์[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]
ประสิทธิภาพที่ไม่สมเหตุสมผล
ประสิทธิภาพอันเหนือเหตุผลของคณิตศาสตร์เป็นปรากฏการณ์ที่นักฟิสิกส์Eugene Wignerตั้ง ชื่อและอธิบายอย่างชัดเจนเป็นครั้งแรก [ 20 ]นั่นคือข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายทฤษฎี (แม้แต่ทฤษฎีที่ "บริสุทธิ์ที่สุด") ก็มีการประยุกต์ใช้นอกเหนือจากวัตถุประสงค์เริ่มต้น การประยุกต์ใช้เหล่านี้อาจอยู่นอกเหนือขอบเขตของคณิตศาสตร์เริ่มต้นโดยสิ้นเชิง และอาจเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ทางกายภาพที่ไม่เป็นที่รู้จักโดยสิ้นเชิงเมื่อมีการนำทฤษฎีทางคณิตศาสตร์มาใช้[ 21 ]ตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คาดคิดสามารถพบได้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์
ตัวอย่างที่โดดเด่นคือการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งถูกค้นพบเมื่อกว่า 2,000 ปีก่อนที่จะมีการใช้งานทั่วไปสำหรับ การสื่อสาร ทางอินเทอร์เน็ต ที่ปลอดภัย ผ่านระบบการเข้ารหัส RSA [ 22 ]ตัวอย่างทางประวัติศาสตร์ที่สองคือทฤษฎีวงรีนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณศึกษาวงรีในฐานะภาคตัดกรวย (นั่นคือ จุดตัดของกรวยกับระนาบ) เกือบ 2,000 ปีต่อมาโยฮันเนส เคปเลอร์ค้นพบว่าวิถีโคจรของดาวเคราะห์เป็นวงรี[ 23 ]
ในศตวรรษที่ 19 การพัฒนาภายในของเรขาคณิต (คณิตศาสตร์บริสุทธิ์) นำไปสู่การกำหนดและศึกษาเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด พื้นที่ที่มีมิติสูงกว่าสาม และแมนิโฟลด์ในเวลานั้น แนวคิดเหล่านี้ดูเหมือนจะแยกขาดจากความเป็นจริงทางกายภาพโดยสิ้นเชิง แต่ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพที่ใช้แนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเป็นปริภูมิที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่มีมิติสี่ และปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นแมนิโฟลด์ (โค้ง) ที่มีมิติสี่[ 24 ] [ 25 ]
ลักษณะเด่นประการหนึ่งของปฏิสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์คือเมื่อคณิตศาสตร์เป็นตัวขับเคลื่อนการวิจัยในฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น การค้นพบโพซิตรอนและแบริออน ในทั้งสองกรณี สมการของทฤษฎีมีคำตอบที่ยังไม่สามารถอธิบายได้ ซึ่งนำไปสู่การคาดเดาถึงการมีอยู่ของอนุภาค ที่ไม่รู้จัก และการค้นหาอนุภาคเหล่านี้ ในทั้งสองกรณี อนุภาคเหล่านี้ถูกค้นพบในอีกไม่กี่ปีต่อมาโดยการทดลองเฉพาะ[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]
ประวัติศาสตร์
ที่มาของคณิตศาสตร์เกิดจากการโต้แย้งและความขัดแย้ง การกำเนิดของคณิตศาสตร์เกิดขึ้นโดยบังเอิญหรือเกิดจากความจำเป็นในระหว่างการพัฒนาวิชาที่คล้ายคลึงกัน เช่น ฟิสิกส์ ยังคงเป็นประเด็นถกเถียง[ 29 ] [ 30 ]
ประเด็นสำคัญที่ถกเถียงกันมาอย่างยาวนานในปรัชญาคณิตศาสตร์คือความสัมพันธ์ระหว่างตรรกศาสตร์และคณิตศาสตร์ในรากฐานร่วมกัน แม้ว่านักปรัชญาในศตวรรษที่ 20 จะยังคงตั้งคำถามที่กล่าวถึงในตอนต้นของบทความนี้ แต่ปรัชญาคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 นั้นมีลักษณะเด่นคือความสนใจในตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมทฤษฎีเซต (ทั้งทฤษฎีเซตแบบง่ายและทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ) และประเด็นพื้นฐานเป็น หลัก
เป็นปริศนาที่ลึกซึ้งที่ว่า ในด้านหนึ่ง ความจริงทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะมีความแน่นอนอย่างไม่อาจปฏิเสธได้ แต่ในอีกด้านหนึ่ง แหล่งที่มาของ "ความจริง" เหล่านั้นกลับยังคงคลุมเครือ การศึกษาค้นคว้าในประเด็นนี้เรียกว่าโครงการพื้นฐานของคณิตศาสตร์
ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นักปรัชญาคณิตศาสตร์เริ่มแบ่งแยกออกเป็นสำนักคิดต่างๆ เกี่ยวกับคำถามเหล่านี้ โดยแบ่งแยกอย่างกว้างๆ ตามภาพลักษณ์ของญาณวิทยาและภววิทยา ทางคณิตศาสตร์ สามสำนักคิด ได้แก่สำนักคิดรูปนิยม (Formalism ) สำนักคิดสัญชาตญาณ นิยม (Intuitionism ) และ สำนัก คิดตรรกะนิยม (Logicism ) เกิดขึ้นในช่วงเวลานั้น ส่วนหนึ่งเป็นการตอบสนองต่อความกังวลที่แพร่หลายมากขึ้นว่าคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่าง ยิ่ง การวิเคราะห์ไม่ได้เป็นไปตามมาตรฐานของความแน่นอนและความเข้มงวดที่เคยเป็นที่ยอมรับกัน แต่ละสำนักคิดได้กล่าวถึงประเด็นต่างๆ ที่เกิดขึ้นในเวลานั้น โดยพยายามแก้ไขปัญหาหรืออ้างว่าคณิตศาสตร์ไม่สมควรได้รับสถานะเป็นความรู้ที่น่าเชื่อถือที่สุดของเรา
พัฒนาการที่น่าประหลาดใจและขัดแย้งกับสามัญสำนึกในตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมและทฤษฎีเซตในช่วงต้น ศตวรรษที่ 20 นำไปสู่คำถามใหม่ ๆ เกี่ยวกับสิ่งที่เรียกกันตามประเพณีว่ารากฐานของคณิตศาสตร์เมื่อศตวรรษดำเนินไป จุดสนใจเริ่มต้นได้ขยายไปสู่การสำรวจอย่างเปิดกว้างเกี่ยวกับสัจพจน์พื้นฐานของคณิตศาสตร์ วิธีการเชิงสัจพจน์ได้รับการยอมรับมาตั้งแต่สมัยยูคลิดราว 300 ปีก่อนคริสตกาลว่าเป็นพื้นฐานตามธรรมชาติของคณิตศาสตร์ แนวคิดของสัจพจน์ข้อเสนอและการพิสูจน์รวมถึงแนวคิดที่ว่าข้อเสนอนั้นเป็นจริงสำหรับวัตถุทางคณิตศาสตร์ได้รับการกำหนดเป็นทางการ ทำให้สามารถจัดการได้ในเชิงคณิตศาสตร์ สัจพจน์ของZermelo–Fraenkelสำหรับทฤษฎีเซตได้รับการกำหนดขึ้น ซึ่งเป็นกรอบแนวคิดที่ใช้ในการตีความวาทกรรมทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก ในคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับในฟิสิกส์ แนวคิดใหม่ ๆ ที่ไม่คาดคิดได้เกิดขึ้น และการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญกำลังจะเกิดขึ้น ด้วยการกำหนดหมายเลขของ Gödelข้อเสนอต่างๆ สามารถตีความได้ว่าอ้างอิงถึงตัวมันเองหรือข้อเสนออื่นๆ ทำให้สามารถสอบสวนความสอดคล้องของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ได้ การวิจารณ์เชิงสะท้อนนี้ซึ่งทฤษฎีที่กำลังตรวจสอบ "กลายเป็นวัตถุของการศึกษาทางคณิตศาสตร์" ทำให้Hilbertเรียกการศึกษาดังกล่าวว่าเมตาคณิตศาสตร์หรือทฤษฎีการพิสูจน์[ 31 ]
ในช่วงกลางศตวรรษ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ใหม่ถูกสร้างขึ้นโดยSamuel EilenbergและSaunders Mac Laneซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีหมวดหมู่และกลายเป็นคู่แข่งใหม่สำหรับภาษาธรรมชาติของการคิดทางคณิตศาสตร์[ 32 ] อย่างไรก็ตาม เมื่อ ศตวรรษที่ 20 ดำเนินไป ความคิดเห็นทางปรัชญาก็แตกต่างกันออกไปเกี่ยวกับความถูกต้องของคำถามเกี่ยวกับรากฐานที่ถูกยกขึ้นในช่วงต้นศตวรรษHilary Putnamสรุปมุมมองทั่วไปเกี่ยวกับสถานการณ์ในช่วงหนึ่งในสามสุดท้ายของศตวรรษโดยกล่าวว่า:
เมื่อปรัชญาค้นพบสิ่งผิดปกติในวิทยาศาสตร์ บางครั้งวิทยาศาสตร์ก็ต้องเปลี่ยนแปลง— เช่นปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์ หรือ การโจมตีของเบิร์กลีย์ ต่อ อนันต์เล็กที่ แท้จริง —แต่บ่อยครั้งที่ปรัชญาต่างหากที่ต้องเปลี่ยนแปลง ฉันไม่คิดว่าความยากลำบากที่ปรัชญาพบในคณิตศาสตร์คลาสสิกในปัจจุบันเป็นความยากลำบากที่แท้จริง และฉันคิดว่าการตีความทางปรัชญาของคณิตศาสตร์ที่เราได้รับเสนออยู่ทุกหนทุกแห่งนั้นผิด และ "การตีความทางปรัชญา" คือสิ่งที่คณิตศาสตร์ไม่ต้องการ[ 33 ] : 169–170
ปรัชญาคณิตศาสตร์ในปัจจุบันดำเนินไปตามแนวทางการศึกษาที่แตกต่างกันหลายแนวทาง โดยนักปรัชญาคณิตศาสตร์ นักตรรกศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ และมีสำนักคิดมากมายในเรื่องนี้ สำนักคิดเหล่านี้จะได้รับการกล่าวถึงแยกกันในหัวข้อถัดไป พร้อมทั้งอธิบายข้อสมมติฐานของแต่ละสำนักคิดด้วย
สำนักคิดร่วมสมัย
สำนักคิดร่วมสมัยในปรัชญาคณิตศาสตร์ ได้แก่ สำนักคิดเชิงศิลปะ สำนักคิดเพลโต สำนักคิดคณิตศาสตร์ สำนักคิดตรรกะ สำนักคิดรูปนิยม สำนักคิดธรรมเนียม สำนักคิดสัญชาตญาณ สำนักคิดสร้างสรรค์ สำนักคิดจำกัด สำนักคิดโครงสร้างนิยม ทฤษฎีจิตที่ฝังอยู่ในร่างกาย (สัจนิยมแบบอริสโตเติล จิตวิทยาเชิงประจักษ์ ประสบการณ์นิยม) สำนักคิดนิยาย สำนักคิดสร้างสรรค์ทางสังคม และสำนักคิดนอกกรอบ
อย่างไรก็ตาม แนวคิดเหล่านี้หลายสำนักสามารถเข้ากันได้ ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในปัจจุบันต่างก็เป็นทั้งเพลโตนิสต์และฟอร์มาลิสต์ ให้ความสำคัญอย่างมากกับสุนทรียศาสตร์และถือว่าควรเลือกสัจพจน์ตามผลลัพธ์ที่ได้ ไม่ใช่ตามความสอดคล้องกับสัญชาตญาณของมนุษย์เกี่ยวกับความเป็นจริง (ลัทธิธรรมเนียมปฏิบัติ) [ 26 ]
ศิลปะ
มุมมองที่อ้างว่าคณิตศาสตร์เป็นการผสมผสานเชิงสุนทรียภาพของสมมติฐาน และยังอ้างว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะ อีกด้วย นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง ชาวอังกฤษ GH Hardyกล่าวเช่นนั้นสำหรับ Hardy ในหนังสือA Mathematician's Apology ของเขา นิยามของคณิตศาสตร์นั้นคล้ายกับการผสมผสานเชิงสุนทรียภาพของแนวคิดมากกว่า[ 34 ]
ปรัชญาเพลโต
ปรัชญาคณิตศาสตร์แบบเพลโตนิยมเป็นรูปแบบหนึ่งของสัจนิยมที่เสนอว่าสิ่งต่างๆ ในคณิตศาสตร์นั้นเป็นนามธรรม ไม่มี คุณสมบัติ เชิงพื้นที่ เวลาหรือเหตุและผล และเป็นนิรันดร์ไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งมักมีการกล่าวอ้างว่าเป็นมุมมองที่คนส่วนใหญ่มีต่อตัวเลข
คณิตศาสตร์
สมมติฐานจักรวาลทางคณิตศาสตร์ (หรือลัทธิคณิตศาสตร์ ) ของMax Tegmarkก้าวไปไกลกว่าลัทธิเพลโต โดยยืนยันว่าไม่เพียงแต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดเท่านั้นที่มีอยู่จริง แต่สิ่งอื่นใดก็ไม่มีอยู่จริงเช่นกัน ข้อสมมติเพียงข้อเดียวของ Tegmark คือโครงสร้างทั้งหมดที่มีอยู่ทางคณิตศาสตร์ก็มีอยู่จริงทางกายภาพด้วยกล่าวคือ ในแง่ที่ว่า "ใน [โลก] เหล่านั้นที่ซับซ้อนพอที่จะมีโครงสร้างย่อยที่ตระหนักรู้ในตนเอง [พวกมัน] จะรับรู้ตนเองในเชิงอัตวิสัยว่ามีอยู่จริงในโลก 'จริง' ทางกายภาพ" [ 35 ] [ 36 ]
ตรรกะนิยม
ลัทธิตรรกะนิยมคือวิทยานิพนธ์ที่ว่าคณิตศาสตร์สามารถลดทอนลงเหลือตรรกะได้ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเพียงส่วนหนึ่งของตรรกะเท่านั้น[ 37 ] : 41นักตรรกะนิยมถือว่าคณิตศาสตร์สามารถรู้ได้โดยอาศัยความรู้ก่อนประสบการณ์แต่เสนอแนะว่าความรู้ทางคณิตศาสตร์ของเราเป็นเพียงส่วนหนึ่งของความรู้ทางตรรกะโดยทั่วไป และด้วยเหตุนี้จึงเป็นความรู้เชิงวิเคราะห์ไม่จำเป็นต้องใช้ความสามารถพิเศษใดๆ ของสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ ในมุมมองนี้ตรรกะเป็นรากฐานที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ และข้อความทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นความจริงเชิงตรรกะที่ จำเป็น
Rudolf Carnap (1931) นำเสนอวิทยานิพนธ์ตรรกะในสองส่วน: [ 37 ]
- แนวคิดทางคณิตศาสตร์สามารถอนุมานได้จากแนวคิดทางตรรกศาสตร์ผ่านนิยามที่ชัดเจน
- ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์เชิงตรรกะโดยอาศัยการหักล้างเชิงตรรกะล้วนๆ
ก็อตต์ลอบ เฟรเกอเป็นผู้ก่อตั้งลัทธิตรรกศาสตร์ ในหนังสือสำคัญของเขาDie Grundgesetze der Arithmetik ( กฎพื้นฐานของเลขคณิต ) เขาได้สร้างเลขคณิต ขึ้น จากระบบตรรกะที่มีหลักการทั่วไปในการทำความเข้าใจ ซึ่งเขาเรียกว่า " กฎพื้นฐานที่ 5 " (สำหรับแนวคิดFและGการขยายของFเท่ากับการขยายของGก็ต่อเมื่อสำหรับวัตถุaทั้งหมดFaเท่ากับGa ) ซึ่งเป็นหลักการที่เขายอมรับได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของตรรกะ
โครงสร้างของเฟรเกนั้นมีข้อบกพร่องเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ค้นพบว่ากฎพื้นฐานข้อที่ 5 นั้นไม่สอดคล้องกัน (นี่คือปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์ ) เฟรเกจึงละทิ้งโครงการตรรกศาสตร์ของเขาไปในไม่ช้า แต่รัสเซลล์และไวท์เฮด ได้สานต่อ พวกเขาอธิบายปรากฏการณ์ขัดแย้งนี้ว่าเป็นผลมาจาก "วงจรวนซ้ำที่เลวร้าย" และสร้างสิ่งที่พวกเขาเรียกว่าทฤษฎีประเภทแบบแตกแขนงขึ้นมาเพื่อจัดการกับมัน ในระบบนี้ ในที่สุดพวกเขาก็สามารถสร้างคณิตศาสตร์สมัยใหม่ขึ้นมาได้มากมาย แต่ในรูปแบบที่เปลี่ยนแปลงไปและซับซ้อนเกินไป (ตัวอย่างเช่น มีจำนวนธรรมชาติที่แตกต่างกันในแต่ละประเภท และมีประเภทมากมายนับไม่ถ้วน) พวกเขายังต้องประนีประนอมหลายอย่างเพื่อพัฒนาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ เช่น " สัจพจน์ของการลดทอนได้ " แม้แต่รัสเซลล์เองก็ยังกล่าวว่าสัจพจน์นี้ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์อย่างแท้จริง
นักตรรกศาสตร์สมัยใหม่ (เช่นบ็อบ เฮล , คริสปิน ไรท์และอาจรวมถึงคนอื่นๆ) ได้หันกลับมาใช้แนวทางที่ใกล้เคียงกับของเฟรเกมากขึ้น พวกเขาละทิ้งกฎพื้นฐานข้อที่ 5 และหันมาใช้หลักการเชิงนามธรรม เช่นหลักการของฮิว จ์ (จำนวนวัตถุที่อยู่ภายใต้แนวคิดFเท่ากับจำนวนวัตถุที่อยู่ภายใต้แนวคิดGก็ต่อเมื่อส่วนขยายของFและส่วนขยายของGสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ ) เฟรเกต้องการกฎพื้นฐานข้อที่ 5 เพื่อให้สามารถให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของจำนวนได้ แต่คุณสมบัติทั้งหมดของจำนวนสามารถอนุมานได้จากหลักการของฮิวจ์ ซึ่งนั่นคงไม่เพียงพอสำหรับเฟรเก เพราะ (เพื่อถอดความคำพูดของเขา) มันไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ที่ว่าเลข 3 คือจูเลียส ซีซาร์ นอกจากนี้ หลักการที่อ่อนลงหลายอย่างที่พวกเขาต้องนำมาใช้แทนกฎพื้นฐานข้อที่ 5 ดูเหมือนจะไม่เป็นเชิงวิเคราะห์อย่างชัดเจนอีกต่อไป และดังนั้นจึงไม่เป็นเชิงตรรกะอย่างแท้จริง
รูปแบบนิยม
ลัทธิรูปนิยมถือว่าข้อความทางคณิตศาสตร์อาจถูกมองว่าเป็นข้อความเกี่ยวกับผลลัพธ์ของกฎการจัดการสตริงบางอย่าง ตัวอย่างเช่น ใน "เกม" ของเรขาคณิตแบบยุคลิด (ซึ่งถูกมองว่าประกอบด้วยสตริงบางอย่างที่เรียกว่า "สัจพจน์" และ "กฎการอนุมาน" บางอย่างเพื่อสร้างสตริงใหม่จากสตริงที่กำหนดให้) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริง (นั่นคือ เราสามารถสร้างสตริงที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้) ตามลัทธิรูปนิยม ความจริงทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เกี่ยวกับตัวเลข เซต สามเหลี่ยม และสิ่งอื่น ๆ ทำนองนั้น อันที่จริงแล้ว มันไม่ได้ "เกี่ยวกับ" อะไรเลย
รูปแบบอีกแบบหนึ่งของลัทธิรูปนิยมเรียกว่าลัทธิการหักล้าง[ 38 ]ในลัทธิการหักล้าง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ใช่ความจริงสัมบูรณ์ แต่เป็นความจริงเชิงสัมพัทธ์ หากเป็นไปตามการหักล้างจากสัจพจน์ที่เหมาะสม ถือว่าเป็นความจริงเช่นเดียวกันสำหรับข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมด
ลัทธิรูปนิยมไม่ได้หมายความว่าคณิตศาสตร์เป็นเพียงเกมเชิงสัญลักษณ์ที่ไร้ความหมายเสมอไป โดยปกติแล้วมักหวังว่าจะมีวิธีการตีความบางอย่างที่ทำให้กฎของเกมนั้นใช้ได้ (ลองเปรียบเทียบจุดยืนนี้กับลัทธิโครงสร้างนิยม ) แต่ลัทธิรูปนิยมก็อนุญาตให้นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานอยู่สามารถทำงานของตนต่อไปได้ และปล่อยให้ปัญหาเหล่านั้นเป็นหน้าที่ของนักปรัชญาหรือนักวิทยาศาสตร์ นักรูปนิยมหลายคนจะกล่าวว่าในทางปฏิบัติ ระบบสัจพจน์ที่จะศึกษาจะถูกเสนอแนะโดยความต้องการของวิทยาศาสตร์หรือสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์
ผู้สนับสนุนแนวคิดรูปแบบนิยมในยุคแรกๆ ที่สำคัญคือเดวิด ฮิลเบิร์ต ซึ่ง โปรแกรมของเขามีจุดประสงค์เพื่อสร้าง ระบบสัจพจน์ ที่สมบูรณ์และสอดคล้องกันสำหรับคณิตศาสตร์ทั้งหมด[ 39 ]ฮิลเบิร์ตตั้งเป้าที่จะแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องกันของระบบคณิตศาสตร์จากสมมติฐานที่ว่า "เลขคณิตจำกัด" (ระบบย่อยของเลขคณิต ปกติของ จำนวนเต็มบวกซึ่งเลือกมาเพราะไม่มีข้อโต้แย้งทางปรัชญา) มีความสอดคล้องกัน เป้าหมายของฮิลเบิร์ตในการสร้างระบบคณิตศาสตร์ที่ทั้งสมบูรณ์และสอดคล้องกันนั้นถูกบั่นทอนอย่างร้ายแรงโดยทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองของเกอเดลซึ่งระบุว่าระบบสัจพจน์ที่สอดคล้องกันซึ่งแสดงออกได้เพียงพอไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องกันของตนเองได้ เนื่องจากระบบสัจพจน์ดังกล่าวจะต้องมีเลขคณิตจำกัดเป็นระบบย่อย ทฤษฎีบทของเกอเดลจึงหมายความว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องกันของระบบเมื่อเทียบกับสิ่งนั้น (เนื่องจากมันจะพิสูจน์ความสอดคล้องกันของตนเอง ซึ่งเกอเดลได้แสดงให้เห็นแล้วว่าเป็นไปไม่ได้) ดังนั้น เพื่อแสดงให้เห็นว่าระบบสัจพจน์ ใดๆ ในคณิตศาสตร์นั้นมีความสอดคล้องกันอย่างแท้จริง จำเป็นต้องสมมติความสอดคล้องกันของระบบคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ก่อน ซึ่งในแง่หนึ่งนั้นแข็งแกร่งกว่าระบบที่จะพิสูจน์ว่ามีความสอดคล้องกัน
เดิมทีฮิลเบิร์ตเป็นนักตรรกศาสตร์แบบนิรนัย แต่ดังที่เห็นได้จากข้างต้น เขาพิจารณาว่าวิธีการทางอภิคณิตศาสตร์บางอย่างให้ผลลัพธ์ที่มีความหมายในตัวเอง และเป็นนักสัจนิยมในส่วนที่เกี่ยวกับเลขคณิตจำกัด ต่อมาเขาเชื่อว่าไม่มีคณิตศาสตร์อื่นใดที่มีความหมาย ไม่ว่าจะเป็นการตีความแบบใดก็ตาม
นักคณิตศาสตร์ แนวรูปนิยมคนอื่นๆ เช่นรูดอล์ฟ คาร์แนป , อัลเฟรด ทาร์สกีและฮัสเคล เคอร์รีมองว่าคณิตศาสตร์คือการศึกษาเกี่ยวกับระบบสัจพจน์เชิงรูปธรรมนักตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ ศึกษา เกี่ยวกับระบบเชิงรูปธรรม แต่ก็มักจะเป็นนักสัจนิยมพอๆ กับที่เป็นนักรูปนิยม
นักตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมค่อนข้างเปิดกว้างและยินดีรับแนวทางใหม่ๆ ในด้านตรรกศาสตร์ ระบบจำนวนที่ไม่เป็นมาตรฐาน ทฤษฎีเซตใหม่ๆ เป็นต้น ยิ่งเราศึกษาเกมมากเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในตัวอย่างทั้งสามนี้ แรงจูงใจมาจากข้อกังวลทางคณิตศาสตร์หรือปรัชญาที่มีอยู่แล้ว "เกม" เหล่านั้นมักไม่ใช่เกมที่สุ่มขึ้นมา
ข้อวิจารณ์หลักของลัทธิรูปนิยมคือ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจนั้นอยู่ห่างไกลจากเกมการจัดการสตริงที่กล่าวถึงข้างต้นมาก ดังนั้น ลัทธิรูปนิยมจึงไม่ได้กล่าวถึงคำถามที่ว่าควรศึกษาระบบสัจพจน์ใด เพราะจากมุมมองของลัทธิรูปนิยมแล้ว ไม่มีระบบใดมีความหมายมากกว่าระบบอื่น
เมื่อไม่นานมานี้ นักคณิตศาสตร์แนวรูปนิยมบางคน ได้เสนอว่า ความรู้ทางคณิตศาสตร์ เชิงรูปธรรมทั้งหมดของเราควรได้รับการเข้ารหัสอย่างเป็นระบบใน รูปแบบ ที่คอมพิวเตอร์อ่านได้เพื่ออำนวยความสะดวกในการตรวจสอบพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยอัตโนมัติ และการใช้การพิสูจน์ทฤษฎีบทแบบโต้ตอบในการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์และซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ เนื่องจากมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์แนวคิดนี้จึงได้รับการสนับสนุนจากนักคณิตศาสตร์แนวสัญชาตญาณนิยมและแนวสร้างสรรค์นิยมในประเพณี "ความสามารถในการคำนวณ" ด้วยเช่นกัน
ธรรมเนียมปฏิบัติ
อองรี ปวงกาเรนักคณิตศาสตร์ ชาวฝรั่งเศสเป็นหนึ่งในบุคคลแรกๆ ที่นำเสนอ ทัศนะ แบบธรรมเนียมปฏิบัติ การที่ปวงกาเรใช้เรขาคณิตนอกยุคลิดในงานของเขาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ทำให้เขามั่นใจว่าเรขาคณิตยุคลิดไม่ควรถูกมองว่าเป็น ความจริงโดย ปริยายเขาเห็นว่าสัจพจน์ในเรขาคณิตควรถูกเลือกจากผลลัพธ์ที่มันสร้างขึ้น ไม่ใช่จากความสอดคล้องที่ปรากฏกับสัญชาตญาณของมนุษย์เกี่ยวกับโลกทางกายภาพ
สัญชาตญาณนิยม
ในทางคณิตศาสตร์ ลัทธิสัญชาตญาณนิยมเป็นโครงการปฏิรูปวิธีการที่มีคติพจน์ว่า "ไม่มีความจริงทางคณิตศาสตร์ใดที่ปราศจากประสบการณ์" ( LEJ Brouwer ) จากจุดเริ่มต้นนี้ นักสัญชาตญาณนิยมพยายามที่จะสร้างสิ่งที่พวกเขาคิดว่าเป็นส่วนที่แก้ไขได้ของคณิตศาสตร์ขึ้นใหม่ให้สอดคล้องกับแนวคิดของคานท์เกี่ยวกับความเป็นอยู่ การเปลี่ยนแปลง สัญชาตญาณ และความรู้ บราวเวอร์ ผู้ก่อตั้งขบวนการนี้ เชื่อว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจาก รูปแบบ ก่อนประสบการณ์ของเจตจำนงที่แจ้งให้ทราบถึงการรับรู้ของวัตถุเชิงประจักษ์[ 40 ]
บุคคลสำคัญที่อยู่เบื้องหลังลัทธิสัญชาตญาณนิยมคือเลอเจ บราวเวอร์ผู้ปฏิเสธประโยชน์ของตรรกะที่เป็นทางการทุกรูปแบบสำหรับคณิตศาสตร์อาเรนด์ เฮย์ติง ลูกศิษย์ของเขา ได้เสนอตรรกะแบบสัญชาตญาณนิยมซึ่งแตกต่างจากตรรกะแบบอริสโตเติล คลาสสิก ตรรกะนี้ไม่มีกฎของสิ่งที่ไม่รวมอยู่ตรงกลางและด้วยเหตุนี้จึงไม่เห็นด้วยกับการพิสูจน์โดยการขัดแย้ง นอกจากนี้ สัจพจน์ของการเลือกก็ถูกปฏิเสธในทฤษฎีเซตแบบสัญชาตญาณนิยมส่วนใหญ่ แม้ว่าในบางเวอร์ชันจะยอมรับก็ตาม
ในลัทธิสัญชาตญาณนิยม คำว่า "การสร้างอย่างชัดเจน" นั้นไม่มีการนิยามไว้อย่างแน่ชัด และนั่นนำไปสู่การวิพากษ์วิจารณ์ มีความพยายามที่จะใช้แนวคิดของเครื่องจักรทัวริงหรือฟังก์ชันที่คำนวณได้เพื่อเติมเต็มช่องว่างนี้ นำไปสู่ข้ออ้างที่ว่าเฉพาะคำถามเกี่ยวกับพฤติกรรมของอัลกอริทึม แบบจำกัดเท่านั้น ที่มีความหมายและควรได้รับการศึกษาในทางคณิตศาสตร์ สิ่งนี้ได้นำไปสู่การศึกษาจำนวนที่คำนวณได้ซึ่งริเริ่มโดยอลัน ทัวริงดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่แนวทางนี้ในทางคณิตศาสตร์บางครั้งจึงเกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เชิง ทฤษฎี
ลัทธิสร้างสรรค์นิยม
เช่นเดียวกับลัทธิสัญชาตญาณนิยม ลัทธิโครงสร้างนิยมเกี่ยวข้องกับหลักการควบคุมที่ว่าเฉพาะเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ที่สามารถสร้างขึ้นได้อย่างชัดเจนในความหมายบางอย่างเท่านั้นที่จะได้รับการยอมรับในวาทกรรมทางคณิตศาสตร์ ในมุมมองนี้ คณิตศาสตร์เป็นการฝึกฝนสัญชาตญาณของมนุษย์ ไม่ใช่เกมที่เล่นกับสัญลักษณ์ที่ไร้ความหมาย แต่เป็นเรื่องของเอนทิตีที่เราสามารถสร้างขึ้นได้โดยตรงผ่านกิจกรรมทางจิต นอกจากนี้ ผู้ที่ยึดมั่นในสำนักคิดเหล่านี้บางคนปฏิเสธการพิสูจน์ที่ไม่ใช่เชิงโครงสร้าง เช่น การใช้การพิสูจน์โดยการขัดแย้งเมื่อแสดงการมีอยู่ของวัตถุหรือเมื่อพยายามสร้างความจริงของข้อเสนอใด ๆ งานที่สำคัญทำโดยErrett Bishopซึ่งสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์เชิงจริง ในรูป แบบ การ วิเคราะห์เชิงโครงสร้างในหนังสือ Foundations of Constructive Analysis ปี 1967 ของเขา [ 41 ]
ความจำกัด
ลัทธิจำกัด (Finitism)เป็นรูปแบบสุดขั้วของลัทธิโครงสร้างนิยม (Constructivism)ซึ่งกล่าวว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์จะไม่มีอยู่จริง เว้นแต่จะสามารถสร้างขึ้นจากจำนวนธรรมชาติ ได้ ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด ในหนังสือ Philosophy of Set Theoryของแมรี ไทล์ส เธอ ได้จำแนกผู้ที่ยอมรับ วัตถุ ที่นับได้เป็นอนันต์ว่าเป็นนักลัทธิจำกัดแบบคลาสสิก (Classical finitist) และผู้ที่ปฏิเสธแม้กระทั่งวัตถุที่นับได้เป็นอนันต์ว่าเป็นนักลัทธิจำกัดแบบเคร่งครัด (Strick finitist)
ผู้สนับสนุนแนวคิดเรื่องความจำกัดที่มีชื่อเสียงที่สุดคือLeopold Kronecker [ 42 ] ซึ่งกล่าว ว่า :
พระเจ้าทรงสร้างจำนวนตามธรรมชาติ ส่วนที่เหลือล้วนเป็นฝีมือของมนุษย์
ลัทธิอนันตินิยมสุดขั้วเป็นลัทธิอนันตินิยมในรูปแบบที่รุนแรงยิ่งกว่า ซึ่งไม่เพียงแต่ปฏิเสธอนันต์เท่านั้น แต่ยังปฏิเสธปริมาณจำกัดที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้จริงด้วยทรัพยากรที่มีอยู่ ลัทธิอนันตินิยมอีกรูปแบบหนึ่งคือเลขคณิตยุคลิด ซึ่งเป็นระบบที่พัฒนาโดยJohn Penn Mayberryในหนังสือของเขา เรื่อง The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets [ 43 ]ระบบของ Mayberry ได้รับแรงบันดาลใจจากอริสโตเติลโดยทั่วไป และแม้ว่าเขาจะปฏิเสธบทบาทของลัทธิปฏิบัติการหรือความเป็นไปได้ในรากฐานของคณิตศาสตร์อย่างแข็งขัน แต่เขาก็ได้ข้อสรุปที่คล้ายคลึงกัน เช่น การยกกำลังเกินไม่ใช่ฟังก์ชันจำกัดที่ถูกต้อง
โครงสร้างนิยม
โครงสร้างนิยมเป็นแนวคิดที่เชื่อว่าทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อธิบายโครงสร้าง และวัตถุทางคณิตศาสตร์นั้นถูกนิยามอย่างครบถ้วนโดยตำแหน่ง ของมัน ในโครงสร้างดังกล่าว ดังนั้นจึงไม่มีคุณสมบัติภายในใดๆตัวอย่างเช่น แนวคิดนี้จะกล่าวว่า สิ่งที่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับเลข 1 ก็คือมันเป็นจำนวนเต็มตัวแรกหลังจาก 0 ในทำนองเดียวกัน จำนวนเต็มอื่นๆ ทั้งหมดก็ถูกนิยามโดยตำแหน่งของมันในโครงสร้าง นั่นคือเส้นจำนวนตัวอย่างอื่นๆ ของวัตถุทางคณิตศาสตร์อาจรวมถึงเส้นและระนาบในเรขาคณิต หรือองค์ประกอบและการดำเนินการในพีชคณิตนามธรรม
โครงสร้างนิยมเป็น มุมมอง ที่สมจริงทางญาณวิทยา ในแง่ที่ว่าข้อความทางคณิตศาสตร์มีค่าความจริงที่เป็นปรนัย อย่างไรก็ตาม ข้ออ้างหลักของโครงสร้างนิยมนั้นเกี่ยวข้องกับประเภทของสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ไม่ใช่เกี่ยวกับประเภทของการดำรงอยู่ของวัตถุหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือไม่ใช่เกี่ยวกับภววิทยา ของวัตถุหรือโครงสร้างเหล่านั้น ) ประเภทของการดำรงอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ย่อมขึ้นอยู่กับโครงสร้างที่วัตถุเหล่านั้นฝังอยู่ โครงสร้างนิยมประเภทย่อยต่างๆ จึงมีข้ออ้างทางภววิทยาที่แตกต่างกันในเรื่องนี้[ 44 ]
ลัทธิ โครงสร้าง นิยมแบบ ante rem (“ก่อนสิ่งนั้น”) มีหลักปรัชญาที่คล้ายคลึงกับลัทธิเพลโตโดยถือว่าโครงสร้างมีอยู่จริงแต่เป็นนามธรรมและไม่มีตัวตน ด้วยเหตุนี้ ลัทธินี้จึงเผชิญกับปัญหาทางญาณวิทยามาตรฐานในการอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างนามธรรมดังกล่าวกับนักคณิตศาสตร์ที่เป็นมนุษย์จริงๆ
แนวคิด โครงสร้าง นิยมแบบ in re ("ในสิ่งนั้น") เทียบเท่ากับแนวคิดสัจนิยมแบบอริสโตเติลโครงสร้างต่างๆ ถือว่ามีอยู่จริงตราบใดที่ระบบที่เป็นรูปธรรมบางระบบเป็นตัวอย่างของมัน ซึ่งก่อให้เกิดปัญหาตามปกติที่ว่า โครงสร้างที่ถูกต้องตามกฎหมายบางอย่างอาจไม่มีอยู่จริงโดยบังเอิญ และโลกทางกายภาพที่มีขอบเขตจำกัดอาจไม่ "ใหญ่" พอที่จะรองรับโครงสร้างที่ถูกต้องตามกฎหมายบางอย่างได้
โครงสร้างนิยมแบบ โพสต์เรม ("หลังจากสิ่งนั้น") ต่อต้านสัจนิยมเกี่ยวกับโครงสร้างในลักษณะที่คล้ายคลึงกับนามนิยมเช่นเดียวกับนามนิยม แนวทาง โพสต์เรมปฏิเสธการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์นามธรรมที่มีคุณสมบัติอื่นนอกเหนือจากตำแหน่งของมันในโครงสร้างเชิงสัมพันธ์ ตามทัศนะนี้ระบบ ทางคณิตศาสตร์ มีอยู่จริงและมีลักษณะโครงสร้างร่วมกัน หากสิ่งใดเป็นจริงสำหรับโครงสร้างหนึ่ง สิ่งนั้นจะเป็นจริงสำหรับทุกระบบที่แสดงตัวอย่างของโครงสร้างนั้น อย่างไรก็ตาม การพูดถึงโครงสร้างที่ "มีร่วมกัน" ระหว่างระบบนั้นเป็นเพียงเครื่องมือเท่านั้น ในความเป็นจริงแล้ว โครงสร้างเหล่านั้นไม่มีอยู่จริงอย่างอิสระ
ทฤษฎีจิตที่ฝังอยู่ในร่างกาย
ทฤษฎี จิตที่ฝังอยู่ในร่างกายกล่าวว่า ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นผลผลิตตามธรรมชาติของกลไกการรับรู้ของมนุษย์ ซึ่งอยู่ในจักรวาลทางกายภาพของเรา ตัวอย่างเช่น แนวคิดเชิงนามธรรมของตัวเลขเกิดขึ้นจากประสบการณ์การนับวัตถุที่แยกจากกัน (ซึ่งต้องอาศัยประสาทสัมผัสของมนุษย์ เช่น การมองเห็นเพื่อตรวจจับวัตถุ การสัมผัส และการส่งสัญญาณจากสมอง) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นสากลและไม่มีอยู่จริงในความหมายอื่นใดนอกจากในสมองของมนุษย์ มนุษย์สร้างคณิตศาสตร์ขึ้นมา แต่ไม่ได้ค้นพบคณิตศาสตร์
กระบวนการทางปัญญาในการค้นหารูปแบบและแยกแยะวัตถุต่างๆ ก็อยู่ภายใต้ขอบเขตของประสาทวิทยาศาสตร์ เช่นกัน หากพิจารณาว่าคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับโลกธรรมชาติ (เช่น จากแนวคิดสัจนิยมหรือระดับหนึ่งของสัจนิยม ตรงข้ามกับแนวคิดอัตตานิยม บริสุทธิ์ )
แม้ว่าความเกี่ยวข้องกับความเป็นจริงของมันนั้นได้รับการยอมรับว่าเป็นค่าประมาณที่น่าเชื่อถือ (นอกจากนี้ยังมีการเสนอแนะว่าวิวัฒนาการของการรับรู้ ร่างกาย และประสาทสัมผัสอาจมีความจำเป็นต่อการอยู่รอด) แต่ก็ไม่จำเป็นต้องถูกต้องแม่นยำถึงระดับความเป็นจริงอย่างสมบูรณ์ (และยังคงมีข้อบกพร่อง เช่นภาพลวงตาข้อสมมติฐาน (ดังนั้นจึงเป็นรากฐานและหลักการพื้นฐานที่มนุษย์สร้างขึ้นมาในคณิตศาสตร์) การสรุปทั่วไป การหลอกลวง และภาพหลอน ) ด้วยเหตุนี้ จึงอาจทำให้เกิดคำถามเกี่ยวกับวิธีการทางวิทยาศาสตร์ สมัยใหม่ ว่าเข้ากันได้กับคณิตศาสตร์ทั่วไปหรือไม่ เพราะถึงแม้จะค่อนข้างน่าเชื่อถือ แต่ก็ยังถูกจำกัดด้วยสิ่งที่สามารถวัดได้ด้วยประสบการณ์ซึ่งอาจไม่น่าเชื่อถือเท่าที่เคยคิดไว้ (ดูเพิ่มเติม: แนวคิดที่ 'ขัดกับสัญชาตญาณ' เช่นความไม่เป็นท้องถิ่นของควอนตัมและการกระทำจากระยะไกล )
อีกประเด็นหนึ่งคือระบบตัวเลข หนึ่ง อาจไม่เหมาะสมกับการแก้ปัญหาเสมอไป หัวข้อต่างๆ เช่นจำนวนเชิงซ้อนหรือจำนวนจินตนาการจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะในสัจพจน์ที่ใช้กันทั่วไปในคณิตศาสตร์ มิเช่นนั้นจะไม่สามารถเข้าใจได้อย่างเพียงพอ
อีกทางเลือกหนึ่ง โปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์อาจใช้เลขฐานสิบหก เนื่องจากเป็นการแสดงค่า ที่เข้ารหัสแบบไบนารีที่ "เป็นมิตรกับมนุษย์" มากกว่าเลขฐานสิบ (สะดวกสำหรับการนับเพราะมนุษย์มีสิบนิ้ว) หลักการหรือกฎตรรกะเบื้องหลังคณิตศาสตร์ก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเช่นกัน (เช่น การคิดค้นและการปรับใช้เลขศูนย์ )
เนื่องจากการรับรู้จากสมองของมนุษย์นั้นอาจเต็มไปด้วยภาพลวงตา ข้อสันนิษฐาน การ หลอกลวง ภาพหลอน (ที่ถูกชักนำ) ข้อผิดพลาดทางปัญญา หรือข้อสันนิษฐานในบริบททั่วไป จึงอาจตั้งคำถามได้ว่าการรับรู้เหล่านั้นถูกต้องหรือบ่งชี้ถึงความจริงอย่างแท้จริงหรือไม่ (ดูเพิ่มเติม: ปรัชญาแห่งการดำรงอยู่ ) และธรรมชาติของประสบการณ์นิยมเองในความสัมพันธ์กับจักรวาล และว่ามันเป็นอิสระจากประสาทสัมผัสและจักรวาลหรือไม่
จิตใจมนุษย์ไม่มีสิทธิ์พิเศษใดๆ ต่อความเป็นจริงหรือแนวทางการเข้าถึงความเป็นจริงที่สร้างขึ้นจากคณิตศาสตร์ หากโครงสร้างต่างๆ เช่นเอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นจริงแล้ว โครงสร้างเหล่านั้นก็จะเป็นจริงในฐานะแผนที่ของจิตใจและ การรับรู้ของมนุษย์ด้วย
นักทฤษฎีจิตที่ฝังอยู่ในร่างกายจึงอธิบายถึงประสิทธิภาพของคณิตศาสตร์ว่า คณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นโดยสมองเพื่อให้มีประสิทธิภาพในจักรวาลนี้
หนังสือที่เข้าถึงง่ายที่สุด มีชื่อเสียงที่สุด และเป็นที่ถกเถียงมากที่สุดเกี่ยวกับมุมมองนี้คือWhere Mathematics Comes FromโดยGeorge LakoffและRafael E. Núñezนอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์Keith Devlinก็ได้ศึกษาแนวคิดที่คล้ายคลึงกันในหนังสือของเขาThe Math Instinctเช่นเดียวกับนักประสาทวิทยาศาสตร์Stanislas DehaeneในหนังสือของเขาThe Number Sense
สัจนิยมแบบอริสโตเติล
สัจนิยมแบบอริสโตเติลถือว่าคณิตศาสตร์ศึกษาคุณสมบัติ เช่น สมมาตร ความต่อเนื่อง และระเบียบ ซึ่งสามารถรับรู้ได้จริงในโลกทางกายภาพ (หรือในโลกอื่นใดที่อาจมีอยู่) ซึ่งแตกต่างจากลัทธิเพลโตที่ถือว่าวัตถุของคณิตศาสตร์ เช่น ตัวเลข ไม่ได้มีอยู่ในโลก "นามธรรม" แต่สามารถรับรู้ได้ทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น เลข 4 รับรู้ได้จากความสัมพันธ์ระหว่างกองนกแก้วกับ "ความเป็นนกแก้ว" สากลที่แบ่งกองนั้นออกเป็นนกแก้วจำนวน 4 ตัว[ 45 ] [ 46 ]สัจนิยมแบบอริสโตเติลได้รับการสนับสนุนโดยเจมส์ แฟรงคลินและสำนักซิดนีย์ในปรัชญาคณิตศาสตร์ และใกล้เคียงกับมุมมองของเพเนโลพี แมดดีที่ว่า เมื่อเปิดกล่องไข่ จะเห็นไข่สามฟอง (นั่นคือ หน่วยทางคณิตศาสตร์ที่รับรู้ได้ในโลกทางกายภาพ) [ 47 ]ปัญหาสำหรับสัจนิยมแบบอริสโตเติลคือจะอธิบายอนันต์ที่สูงกว่า ซึ่งอาจไม่สามารถรับรู้ได้ในโลกทางกายภาพได้อย่างไร
เลขคณิตแบบยุคลิดที่พัฒนาโดยJohn Penn MayberryในหนังสือThe Foundations of Mathematics in the Theory of Sets [ 43 ] ของเขา นั้นก็จัดอยู่ในประเพณีสัจนิยมแบบอริสโตเติลเช่นกัน Mayberry ตามแบบยุคลิด ถือว่าตัวเลขเป็นเพียง "กลุ่มหน่วยที่แน่นอน" ที่ปรากฏในธรรมชาติ เช่น "สมาชิกของวง London Symphony Orchestra" หรือ "ต้นไม้ในป่า Birnam" ไม่ว่าจะมีกลุ่มหน่วยที่แน่นอนหรือไม่ที่แนวคิดทั่วไปข้อที่ 5 ของยุคลิด (ส่วนรวมมากกว่าส่วนย่อย) ใช้ไม่ได้ผล และซึ่งจะถูกนับว่าเป็นอนันต์นั้น สำหรับ Mayberry แล้วเป็นคำถามเกี่ยวกับธรรมชาติโดยพื้นฐาน และไม่ได้เกี่ยวข้องกับสมมติฐานเชิงอภิปรัชญาใดๆ
จิตวิทยา
แนวคิดจิตวิทยาในปรัชญาคณิตศาสตร์ คือมุมมองที่ว่าแนวคิด และ/หรือความจริง ทางคณิตศาสตร์ นั้นมีพื้นฐานมาจาก ได้มาจากการ หรืออธิบายได้ด้วยข้อเท็จจริง (หรือกฎ) ทางจิตวิทยา
ดูเหมือนว่า จอห์น สจวร์ต มิลล์จะเป็นผู้สนับสนุนแนวคิดจิตวิทยาเชิงตรรกะแบบหนึ่ง เช่นเดียวกับนักตรรกศาสตร์ชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 หลายคน เช่นซิกวาร์ ต และเอิร์ดมันน์รวมถึงนักจิตวิทยา อีกหลายคน ทั้งในอดีตและปัจจุบัน เช่นกุสตาฟ เลอ บอนจิตวิทยาเชิงตรรกะนี้ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างมากโดยเฟรเกในหนังสือThe Foundations of Arithmeticและงานเขียนและบทความอื่นๆ ของเขา รวมถึงบทวิจารณ์หนังสือ Philosophy of Arithmeticของฮุสเซอร์ลเอ็ดมุนด์ ฮุสเซอร์ล ในเล่มแรกของLogical Investigationsที่ชื่อว่า "The Prolegomena of Pure Logic" ได้วิพากษ์วิจารณ์จิตวิทยาเชิงตรรกะอย่างละเอียดถี่ถ้วนและพยายามที่จะแยกตัวออกจากแนวคิดนี้ "Prolegomena" ถือเป็นการหักล้างจิตวิทยาเชิงตรรกะที่กระชับ ยุติธรรม และละเอียดถี่ถ้วนกว่าคำวิจารณ์ของเฟรเก และในปัจจุบันหลายคนยังถือว่าเป็นการหักล้างที่น่าจดจำเนื่องจากเป็นการโจมตีจิตวิทยาเชิงตรรกะอย่างเด็ดขาด ลัทธิจิตวิทยาถูกวิพากษ์วิจารณ์โดยชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซและมอริซ เมอร์โล-ปงตีด้วย เช่นกัน
ประสบการณ์นิยม
ลัทธิประสบการณ์นิยมทางคณิตศาสตร์เป็นรูปแบบหนึ่งของลัทธิสัจนิยมที่ปฏิเสธว่าคณิตศาสตร์สามารถรู้ได้โดยปริยายกล่าวคือ เราค้นพบข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์โดยการวิจัยเชิงประจักษ์เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงในวิทยาศาสตร์อื่นๆ นี่ไม่ใช่หนึ่งในสามตำแหน่งคลาสสิกที่ได้รับการสนับสนุนในช่วงต้น ศตวรรษที่ 20 แต่เกิดขึ้นเป็นหลักในช่วงกลางศตวรรษ อย่างไรก็ตาม ผู้สนับสนุนคนสำคัญในช่วงแรกของมุมมองเช่นนี้คือจอห์น สจวร์ต มิลล์มุมมองของมิลล์ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวาง เพราะตามที่นักวิจารณ์ เช่น เอ.เจ. เอเยอร์[ 48 ]กล่าวไว้ว่า ทำให้ข้อความเช่น"2 + 2 = 4"กลายเป็นความจริงที่ไม่แน่นอนและขึ้นอยู่กับเงื่อนไข ซึ่งเราสามารถเรียนรู้ได้โดยการสังเกตตัวอย่างของสองคู่ที่มารวมกันและก่อตัวเป็นสี่
คาร์ล ป็อปเปอร์เป็นนักปรัชญาอีกคนหนึ่งที่ชี้ให้เห็นถึงแง่มุมเชิงประจักษ์ของคณิตศาสตร์ โดยสังเกตว่า "ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ เช่นเดียวกับทฤษฎีทางฟิสิกส์และชีววิทยา เป็นแบบสมมติฐาน-อนุมาน ดังนั้นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จึงใกล้เคียงกับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่มีสมมติฐานเป็นการคาดเดามากกว่าที่เคยเป็นมาเมื่อไม่นานมานี้" [ 49 ]ป็อปเปอร์ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่าเขาจะ "ยอมรับระบบว่าเป็นเชิงประจักษ์หรือทางวิทยาศาสตร์ก็ต่อเมื่อระบบนั้นสามารถทดสอบได้ด้วยประสบการณ์" [ 50 ]
ปรัชญาคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ร่วมสมัย ซึ่งกำหนดโดยWVO QuineและHilary Putnamนั้น ได้รับการสนับสนุนหลักจากข้อโต้แย้งเรื่องความจำเป็น : คณิตศาสตร์มีความจำเป็นต่อวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์ทุกแขนง และหากเราต้องการเชื่อในความเป็นจริงของปรากฏการณ์ที่วิทยาศาสตร์อธิบาย เราก็ควรเชื่อในความเป็นจริงของสิ่งต่างๆ ที่จำเป็นสำหรับการอธิบายนั้นด้วย กล่าวคือ เนื่องจากฟิสิกส์จำเป็นต้องพูดถึงอิเล็กตรอนเพื่ออธิบายว่าทำไมหลอดไฟจึงทำงานเช่นนั้น ดังนั้นอิเล็กตรอนจึงต้องมีอยู่จริงและเนื่องจากฟิสิกส์จำเป็นต้องพูดถึงตัวเลขในการอธิบายใดๆ ดังนั้นตัวเลขจึงต้องมีอยู่จริง ตามหลักปรัชญาโดยรวมของ Quine และ Putnam นี่คือข้อโต้แย้งเชิงธรรมชาติ มันโต้แย้งถึงการมีอยู่ของสิ่งต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นคำอธิบายที่ดีที่สุดสำหรับประสบการณ์ ดังนั้นจึงทำให้คณิตศาสตร์ไม่แตกต่างจากวิทยาศาสตร์อื่นๆ
พัตนัมปฏิเสธอย่างหนักแน่นต่อคำว่า " เพลโตนิสต์ " เพราะมันสื่อถึง ปรัชญาที่เฉพาะเจาะจงเกินไปซึ่งไม่จำเป็นต่อการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ในแง่ใดๆ เลย เขาเสนอแนวคิด "สัจนิยมบริสุทธิ์" ที่ปฏิเสธแนวคิดเรื่องความจริง แบบลึกลับ และยอมรับวิธีการเชิงประจักษ์ในคณิตศาสตร์ มากขึ้น แนวคิดนี้เกิดขึ้นจากข้ออ้างที่ได้รับความนิยมมากขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 ที่ว่าไม่มีรากฐานใดๆ ของคณิตศาสตร์ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริง บางครั้งก็เรียกว่า "ลัทธิหลังสมัยใหม่ในคณิตศาสตร์" แม้ว่าบางคนจะมองว่าคำนี้มีความหมายเกินจริง และบางคนก็มองว่าเป็นการดูถูก วิธีการเชิงประจักษ์กล่าวว่า ในการทำวิจัย นักคณิตศาสตร์จะทดสอบสมมติฐานเช่นเดียวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบท การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์สามารถส่งต่อความเท็จจากข้อสรุปไปยังข้อตั้งต้นได้ เช่นเดียวกับที่สามารถส่งต่อความจริงจากข้อตั้งต้นไปยังข้อสรุป พัตนัมได้โต้แย้งว่าทฤษฎีสัจนิยมทางคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ตามจะต้องรวมวิธีการเชิงประจักษ์ไว้ด้วย เขาเสนอว่าเผ่าพันธุ์ต่างดาวที่ทำคณิตศาสตร์อาจพึ่งพาแต่เพียงวิธีการเชิงประจักษ์เป็นหลัก โดยมักจะเต็มใจที่จะละทิ้งการพิสูจน์ที่เข้มงวดและเป็นไปตามสัจพจน์ และยังคงทำคณิตศาสตร์ต่อไปได้—โดยอาจมีความเสี่ยงต่อความล้มเหลวในการคำนวณมากขึ้นเล็กน้อย เขาให้เหตุผลโดยละเอียดสำหรับเรื่องนี้ในNew Directions [ 51 ] แนวคิดเชิงประจักษ์ยังได้รับการพัฒนาโดยImre Lakatosอีก ด้วย
คำวิจารณ์ที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับมุมมองเชิงประจักษ์ของคณิตศาสตร์นั้นคล้ายคลึงกับคำวิจารณ์ที่เกิดขึ้นกับมิลล์ หากคณิตศาสตร์เป็นเชิงประจักษ์เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ นั่นหมายความว่าผลลัพธ์ของมันก็ผิดพลาดได้เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์เหล่านั้น และขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆ เช่นกัน ในกรณีของมิลล์ การพิสูจน์เชิงประจักษ์มาโดยตรง ในขณะที่ในกรณีของไควน์ การพิสูจน์มาโดยอ้อม ผ่านความสอดคล้องของทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์โดยรวมของเรา หรือที่ เรียกว่า consilienceตาม แนวคิดของ อีโอ วิลสันไควน์เสนอว่าคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะมีความแน่นอนอย่างสมบูรณ์ เพราะบทบาทที่มันมีในเครือข่ายความเชื่อของเรานั้นมีความสำคัญอย่างยิ่ง และมันจะเป็นเรื่องยากมากที่เราจะแก้ไขมันได้ แม้จะไม่ใช่เรื่องที่เป็นไปไม่ได้ก็ตาม
สำหรับปรัชญาคณิตศาสตร์ที่พยายามเอาชนะข้อบกพร่องบางประการของแนวทางของ Quine และ Gödel โดยการนำเอาแง่มุมต่างๆ ของทั้งสองมาใช้ โปรดดูหนังสือRealism in MathematicsของPenelope Maddyอีกตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีสัจนิยมคือทฤษฎีจิตที่อยู่ในร่างกาย
นิยาย
แนวคิดเรื่องคณิตศาสตร์เชิงสมมติ (Mathematical fictionism) ได้รับความนิยมในปี 1980 เมื่อHartry Fieldตีพิมพ์หนังสือScience Without Numbers [ 52 ]ซึ่งปฏิเสธและกลับคำโต้แย้งเรื่องความจำเป็นของ Quine Quine เสนอว่าคณิตศาสตร์มีความจำเป็นสำหรับทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ดีที่สุดของเรา และดังนั้นจึงควรได้รับการยอมรับว่าเป็นชุดของความจริงที่พูดถึงสิ่งที่มีอยู่โดยอิสระ Field กลับเสนอว่าคณิตศาสตร์ไม่จำเป็น และดังนั้นจึงควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นชุดของความเท็จที่ไม่พูดถึงสิ่งใดที่เป็นจริง เขาทำเช่นนี้โดยการให้ระบบสัจพจน์ที่สมบูรณ์ของกลศาสตร์นิวตันโดยไม่มีการอ้างอิงถึงตัวเลขหรือฟังก์ชันเลย เขาเริ่มต้นด้วย "ความเป็นระหว่าง" ของสัจพจน์ของ Hilbertเพื่อกำหนดลักษณะของพื้นที่โดยไม่ต้องกำหนดพิกัด และจากนั้นเพิ่มความสัมพันธ์พิเศษระหว่างจุดต่างๆ เพื่อทำงานที่เคยทำโดยสนามเวกเตอร์เรขาคณิตของ Hilbert เป็นคณิตศาสตร์ เพราะมันพูดถึงจุดนามธรรม แต่ในทฤษฎีของ Field จุดเหล่านี้เป็นจุดที่เป็นรูปธรรมของพื้นที่ทางกายภาพ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องใช้วัตถุทางคณิตศาสตร์พิเศษใดๆ เลย
หลังจากที่แสดงให้เห็นวิธีการทำวิทยาศาสตร์โดยไม่ต้องใช้ตัวเลขแล้ว ฟิลด์ก็ได้ดำเนินการฟื้นฟูคณิตศาสตร์ให้เป็นเหมือน นิยายที่มีประโยชน์ชนิดหนึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เป็นการต่อยอดแบบอนุรักษ์นิยมจากฟิสิกส์ที่ไม่ใช้คณิตศาสตร์ของเขา (กล่าวคือ ข้อเท็จจริงทางฟิสิกส์ทุกอย่างที่พิสูจน์ได้ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์นั้นสามารถพิสูจน์ได้จากระบบของฟิลด์อยู่แล้ว) ดังนั้นคณิตศาสตร์จึงเป็นกระบวนการที่น่าเชื่อถือซึ่งการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์ทั้งหมดนั้นเป็นจริง แม้ว่าข้อความของมันเองจะเป็นเท็จก็ตาม ดังนั้น เมื่อเราทำคณิตศาสตร์ เราจึงสามารถมองเห็นตัวเองกำลังเล่าเรื่องราวชนิดหนึ่ง พูดราวกับว่าตัวเลขมีอยู่จริง สำหรับฟิลด์ ข้อความเช่น"2 + 2 = 4"นั้นเป็นเรื่องสมมติเช่นเดียวกับ " เชอร์ล็อก โฮล์มส์อาศัยอยู่ที่ 221B ถนนเบเกอร์"—แต่ทั้งสองอย่างเป็นจริงตามนิยายที่เกี่ยวข้อง
นักเขียนนิยายอีกคนหนึ่งคือแมรี เลงแสดงมุมมองนี้อย่างกระชับโดยการปฏิเสธความเชื่อมโยงใดๆ ที่ดูเหมือนจะเกิดขึ้นระหว่างคณิตศาสตร์กับโลกทางกายภาพว่าเป็น "ความบังเอิญที่น่ายินดี" การปฏิเสธนี้ทำให้ลัทธินิยายแตกต่างจากลัทธิต่อต้านสัจนิยมรูปแบบอื่นๆ ซึ่งมองว่าคณิตศาสตร์เป็นสิ่งประดิษฐ์แต่ยังคงมีขอบเขตหรือเหมาะสมกับความเป็นจริงในบางทาง[ 53 ]
ตามแนวคิดนี้ ไม่มีปัญหาทางอภิปรัชญาหรือญาณวิทยาใดที่เฉพาะเจาะจงกับคณิตศาสตร์ ปัญหาที่เหลืออยู่จึงมีเพียงความกังวลทั่วไปเกี่ยวกับฟิสิกส์ที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ และเกี่ยวกับนิยายโดยทั่วไป แนวทางของฟิลด์มีอิทธิพลอย่างมาก แต่ก็ถูกปฏิเสธอย่างกว้างขวาง ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความจำเป็นต้องใช้ตรรกะลำดับที่สอง ที่แข็งแกร่ง ในการดำเนินการลดทอนของเขา และเพราะข้อความเรื่องการอนุรักษ์ดูเหมือนจะต้องการการหาปริมาณเหนือแบบจำลองหรือการอนุมานเชิงนามธรรม
สังคมนิยมเชิงสร้างสรรค์
ทฤษฎีสังคมนิยมเชิงโครงสร้างมองว่าคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสร้างทางสังคม เป็นหลัก เป็นผลผลิตของวัฒนธรรม ซึ่งสามารถแก้ไขและเปลี่ยนแปลงได้ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ คณิตศาสตร์ถูกมองว่าเป็นความพยายามเชิงประจักษ์ซึ่งผลลัพธ์ได้รับการประเมินอย่างต่อเนื่องและอาจถูกละทิ้งได้ อย่างไรก็ตาม ในขณะที่มุมมองเชิงประจักษ์นิยม การประเมินเป็นการเปรียบเทียบกับ "ความเป็นจริง" ทฤษฎีสังคมนิยมเชิงโครงสร้างกลับเน้นย้ำว่าทิศทางของการวิจัยทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยกระแสความนิยมของกลุ่มสังคมที่ทำการวิจัย หรือโดยความต้องการของสังคมที่ให้ทุนสนับสนุน ถึงแม้ว่าแรงภายนอกดังกล่าวอาจเปลี่ยนแปลงทิศทางของการวิจัยทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้ แต่ก็มีข้อจำกัดภายในที่แข็งแกร่ง นั่นคือ ประเพณีทางคณิตศาสตร์ วิธีการ ปัญหา ความหมาย และค่านิยมที่นักคณิตศาสตร์ได้รับการปลูกฝัง ซึ่งทำงานเพื่อรักษาขอบเขตของสาขาวิชาที่ถูกกำหนดขึ้นตามประวัติศาสตร์
สิ่งนี้ขัดแย้งกับความเชื่อดั้งเดิมของนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานในวงการนี้ ซึ่งเชื่อว่าคณิตศาสตร์นั้นบริสุทธิ์หรือเป็นกลาง แต่กลุ่มนักสร้างสรรค์ทางสังคมโต้แย้งว่า แท้จริงแล้วคณิตศาสตร์นั้นตั้งอยู่บนพื้นฐานของความไม่แน่นอนมากมาย กล่าวคือ เมื่อการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์พัฒนาขึ้น สถานะของคณิตศาสตร์ในอดีตก็ถูกตั้งคำถาม และได้รับการแก้ไขในระดับที่ชุมชนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันต้องการหรือปรารถนา ตัวอย่างเช่น การพัฒนาการวิเคราะห์จากการตรวจสอบแคลคูลัสของไลบ์นิซและนิวตันใหม่ พวกเขายังโต้แย้งต่อไปว่า คณิตศาสตร์ที่เสร็จสมบูรณ์แล้วมักได้รับสถานะสูงเกินไป และคณิตศาสตร์พื้นบ้าน ได้รับสถานะ ต่ำเกินไป เนื่องจากมีการเน้นย้ำมากเกินไปในเรื่องการพิสูจน์เชิงสัจพจน์และการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญในฐานะแนวปฏิบัติ
ลักษณะทางสังคมของคณิตศาสตร์นั้นปรากฏให้เห็นอย่างชัดเจนในวัฒนธรรมย่อยต่างๆการค้นพบครั้งสำคัญอาจเกิดขึ้นในสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และมีความเกี่ยวข้องกับอีกสาขาหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์นั้นกลับไม่ถูกค้นพบเนื่องจากขาดการติดต่อทางสังคมระหว่างนักคณิตศาสตร์ นักสร้างสรรค์นิยมทางสังคมโต้แย้งว่าแต่ละสาขาเฉพาะทางก่อตั้งชุมชนทางความรู้ ของตนเอง และมักประสบปัญหาอย่างมากในการสื่อสารหรือกระตุ้นให้เกิดการตรวจสอบสมมติฐานที่เป็นเอกภาพซึ่งอาจเชื่อมโยงสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน นักสร้างสรรค์นิยมทางสังคมมองว่ากระบวนการ "การทำคณิตศาสตร์" นั้นเป็นการสร้างความหมายขึ้นมาจริงๆ ในขณะที่นักสัจนิยมทางสังคมมองว่าความบกพร่องของความสามารถของมนุษย์ในการสรุปความ หรืออคติทางปัญญา ของมนุษย์ หรือ สติปัญญารวมของนักคณิตศาสตร์เป็นอุปสรรคต่อความเข้าใจในจักรวาลที่แท้จริงของวัตถุทางคณิตศาสตร์ นักสร้างสรรค์นิยมทางสังคมบางครั้งปฏิเสธการค้นหาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ว่าเป็นสิ่งที่ต้องล้มเหลว ไร้จุดหมาย หรือแม้แต่ไร้ความหมาย
Imre LakatosและThomas Tymoczkoได้มีส่วนร่วมในโรงเรียนนี้แม้ว่าจะไม่ชัดเจนว่าทั้งสองคนจะรับรองชื่อนี้หรือไม่เมื่อไม่นานมานี้Paul Ernestได้กำหนดปรัชญาคณิตศาสตร์เชิงสังคมนิยมอย่างชัดเจน[ 54 ]บางคนถือว่างานของPaul Erdősโดยรวมได้ส่งเสริมมุมมองนี้ (แม้ว่าเขาจะปฏิเสธด้วยตนเอง) เนื่องจากการทำงานร่วมกันอย่างกว้างขวางของเขา ซึ่งกระตุ้นให้ผู้อื่นมองเห็นและศึกษา "คณิตศาสตร์ในฐานะกิจกรรมทางสังคม" เช่น ผ่านทางจำนวน Erdős Reuben Hershยังได้ส่งเสริมมุมมองทางสังคมของคณิตศาสตร์ โดยเรียกมันว่าแนวทาง "มนุษยนิยม" [ 55 ]คล้ายคลึงกันแต่ไม่เหมือนกับที่เกี่ยวข้องกับ Alvin White [ 56 ] Philip J. Davisหนึ่งในผู้ร่วมเขียนของ Hersh ได้แสดงความเห็นอกเห็นใจต่อมุมมองทางสังคมเช่นกัน
นอกเหนือจากโรงเรียนแบบดั้งเดิมแล้ว
ประสิทธิภาพที่ไม่สมเหตุสมผล
แทนที่จะมุ่งเน้นไปที่การถกเถียงแคบๆ เกี่ยวกับธรรมชาติที่แท้จริงของความจริง ทางคณิตศาสตร์ หรือแม้แต่แนวปฏิบัติเฉพาะของนักคณิตศาสตร์ เช่น การพิสูจน์ขบวนการที่กำลังเติบโตตั้งแต่ทศวรรษ 1960 ถึง 1990 เริ่มตั้งคำถามถึงแนวคิดของการแสวงหารากฐานหรือการหาคำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบเดียวว่าทำไมคณิตศาสตร์จึงได้ผล จุดเริ่มต้นของเรื่องนี้คือบทความที่มีชื่อเสียงของยูจีน วิกเนอร์ ในปี 1960 เรื่อง " ประสิทธิภาพที่เหนือเหตุผลของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ " ซึ่งเขาโต้แย้งว่าความบังเอิญที่น่ายินดีที่คณิตศาสตร์และฟิสิกส์เข้ากันได้ดีนั้นดูเหมือนจะไม่สมเหตุสมผลและยากที่จะอธิบาย
ความหมายสองประการของข้อความเกี่ยวกับตัวเลขของปอปเปอร์
โดยปกติแล้วทฤษฎีสัจนิยมและทฤษฎีโครงสร้างนิยมมักถูกมองว่าเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน อย่างไรก็ตามKarl Popper [ 57 ]ได้โต้แย้งว่าข้อความเกี่ยวกับจำนวน เช่น"แอปเปิ้ล 2 ลูก + แอปเปิ้ล 2 ลูก = แอปเปิ้ล 4 ลูก"สามารถตีความได้สองแง่ แง่หนึ่งคือไม่สามารถหักล้างได้และเป็นจริงตามหลักตรรกะ อีกแง่หนึ่งคือเป็นจริงตามข้อเท็จจริงและสามารถพิสูจน์ได้ว่าผิด อีกวิธีหนึ่งในการอธิบายเรื่องนี้คือ ข้อความเกี่ยวกับจำนวนเพียงข้อความเดียวสามารถแสดงข้อเสนอสองข้อ ข้อหนึ่งสามารถอธิบายได้ตามแนวทางโครงสร้างนิยม อีกข้อหนึ่งตามแนวทางสัจนิยม[ 58 ]
ปรัชญาภาษา
โมฮัน กาเนซาลิงกัม ได้วิเคราะห์ภาษาคณิตศาสตร์โดยใช้เครื่องมือจากภาษาศาสตร์เชิงรูปธรรม[ 59 ]กาเนซาลิงกัมตั้งข้อสังเกตว่าคุณลักษณะบางอย่างของภาษาธรรมชาติไม่จำเป็นเมื่อวิเคราะห์ภาษาคณิตศาสตร์ (เช่นกาล ) แต่สามารถใช้เครื่องมือวิเคราะห์เดียวกันได้หลายอย่าง (เช่นไวยากรณ์แบบไร้บริบท ) ความแตกต่างที่สำคัญประการหนึ่งคือวัตถุทางคณิตศาสตร์มีประเภท ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ซึ่งสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจนในข้อความ: "ในทางปฏิบัติ เราได้รับอนุญาตให้แนะนำคำในส่วนหนึ่งของประโยค และประกาศส่วนของคำพูดในอีกส่วนหนึ่ง และการดำเนินการนี้ไม่มีแบบอย่างในภาษาธรรมชาติ" [ 59 ] : 251
ข้อโต้แย้ง
ข้อโต้แย้งเรื่องความจำเป็นสำหรับลัทธิสัจนิยม
ข้อโต้แย้งนี้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับWillard QuineและHilary Putnamถือ เป็นหนึ่งในข้อโต้แย้งที่ท้าทายที่สุดที่สนับสนุนการยอมรับการมีอยู่ของเอน ทิตีทางคณิตศาสตร์นามธรรม เช่น จำนวนและเซต[ 60 ]รูปแบบของข้อโต้แย้งมีดังนี้
- เราต้องมี ความผูกพัน ทางปรัชญาต่อ สิ่ง ต่างๆที่จำเป็นต่อทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ดีที่สุด และต่อสิ่งเหล่านั้นเท่านั้น (โดยทั่วไปเรียกว่า "ทั้งหมดและเท่านั้น")
- องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่ดีที่สุด ดังนั้น
- ต้องมีพันธะทางออนโทโลยีต่อเอนทิตีทางคณิตศาสตร์[ 61 ]
เหตุผลสนับสนุนข้อสันนิษฐานแรกเป็นประเด็นที่ถกเถียงกันมากที่สุด ทั้ง Putnam และ Quine อ้างถึงธรรมชาตินิยมเพื่อพิสูจน์การยกเว้นสิ่งที่ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงปกป้องส่วน "เท่านั้น" ของ "ทั้งหมดและเท่านั้น" การยืนยันว่าสิ่งที่เป็น "ทั้งหมด" ที่ตั้งสมมติฐานไว้ในทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ รวมถึงตัวเลข ควรได้รับการยอมรับว่าเป็นจริงนั้น มีเหตุผลสนับสนุนโดยการยืนยันแบบองค์รวม เนื่องจากทฤษฎีไม่ได้ได้รับการยืนยันทีละส่วน แต่ได้รับการยืนยันโดยรวม จึงไม่มีเหตุผลใดที่จะยกเว้นสิ่งใด ๆ ที่อ้างถึงในทฤษฎีที่ได้รับการยืนยันอย่างดีแล้ว สิ่งนี้ทำให้ผู้ที่เชื่อในนามนิยมซึ่งต้องการยกเว้นการมีอยู่ของเซตและเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดแต่ต้องการรวมการมีอยู่ของควาร์กและสิ่งที่ไม่สามารถตรวจจับได้อื่น ๆ ในฟิสิกส์ ตกอยู่ในสถานการณ์ที่ยากลำบาก[ 61 ]
ข้อโต้แย้งเชิงญาณวิทยาต่อลัทธิสัจนิยม
ข้อ โต้แย้ง เชิงญาณวิทยาแบบต่อต้านสัจนิยมต่อลัทธิเพลโตนั้นได้มาจากPaul BenacerrafและHartry Fieldลัทธิเพลโตตั้งสมมติฐานว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็น สิ่งที่เป็น นามธรรมโดยทั่วไปแล้ว สิ่งที่เป็นนามธรรมไม่สามารถมีปฏิสัมพันธ์เชิงสาเหตุกับสิ่งที่เป็นรูปธรรมและทางกายภาพได้ (“ค่าความจริงของการยืนยันทางคณิตศาสตร์ของเราขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เป็นนามธรรมของเพลโตซึ่งอยู่ในอาณาจักรที่อยู่นอกเหนือกาลอวกาศ” [ 62 ] ) ในขณะที่ความรู้ของเราเกี่ยวกับวัตถุที่เป็นรูปธรรมและทางกายภาพนั้นขึ้นอยู่กับความสามารถในการรับรู้และด้วยเหตุนี้จึงมีปฏิสัมพันธ์เชิงสาเหตุกับวัตถุเหล่านั้น แต่ไม่มีคำอธิบายที่คล้ายคลึงกันว่านักคณิตศาสตร์มีความรู้เกี่ยวกับวัตถุที่เป็นนามธรรมได้อย่างไร[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]อีกวิธีหนึ่งในการชี้ให้เห็นประเด็นนี้คือ หากโลกของเพลโตหายไป ก็จะไม่ส่งผลกระทบต่อความสามารถของนักคณิตศาสตร์ในการสร้างบทพิสูจน์ฯลฯ ซึ่งสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์แล้วในแง่ของกระบวนการทางกายภาพในสมองของพวกเขา
ฟิลด์พัฒนาแนวคิดของเขาไปสู่ลัทธิสมมติ (fictionalism ) เบนาเซราฟยังพัฒนาปรัชญาโครงสร้างนิยมทางคณิตศาสตร์ (mathematical structuralism ) ซึ่งกล่าวว่าไม่มีวัตถุทางคณิตศาสตร์อยู่จริง อย่างไรก็ตาม โครงสร้างนิยมบางรูปแบบก็เข้ากันได้กับสัจนิยมบางรูปแบบ
ข้อโต้แย้งนี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ว่า คำอธิบาย เชิงธรรมชาติที่ น่าพอใจ เกี่ยวกับกระบวนการคิดในแง่ของกระบวนการทางสมองสามารถนำเสนอได้สำหรับการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ควบคู่ไปกับสิ่งอื่นๆ แนวทางการป้องกันประการหนึ่งคือการยืนยันว่าสิ่งนี้เป็นเท็จ ดังนั้นการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์จึงใช้สัญชาตญาณ พิเศษบางอย่าง ที่เกี่ยวข้องกับการติดต่อกับอาณาจักรเพลโต รูปแบบที่ทันสมัยของข้อโต้แย้งนี้ได้รับการนำเสนอโดยเซอร์โรเจอร์ เพนโรส[ 66 ]
อีกแนวทางหนึ่งในการปกป้องความคิดนี้คือ การยืนยันว่าวัตถุเชิงนามธรรมมีความเกี่ยวข้องกับการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ในลักษณะที่ไม่ใช่เหตุและผล และไม่คล้ายคลึงกับการรับรู้ ข้อโต้แย้งนี้ได้รับการพัฒนาโดยเจอร์โรลด์ แคทซ์ในหนังสือRealistic Rationalismที่ ตีพิมพ์ในปี 2000
แนวทางการป้องกันที่รุนแรงกว่านั้นคือการปฏิเสธความเป็นจริงทางกายภาพ กล่าวคือสมมติฐานจักรวาลเชิงคณิตศาสตร์ในกรณีนั้น ความรู้ทางคณิตศาสตร์ของนักคณิตศาสตร์ก็เปรียบเสมือนวัตถุทางคณิตศาสตร์ชิ้นหนึ่งที่ติดต่อกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อีกชิ้นหนึ่ง
สุนทรียศาสตร์
นักคณิตศาสตร์จำนวนมากถูกดึงดูดเข้าสู่วิชานี้เพราะความรู้สึกถึงความงดงามที่พวกเขามองเห็นในนั้น บางครั้งเราอาจได้ยินความคิดเห็นว่านักคณิตศาสตร์อยากจะปล่อยให้นักปรัชญาไปสนใจปรัชญา และหันกลับมาสนใจคณิตศาสตร์อีกครั้ง ซึ่งเชื่อกันว่าความงดงามที่แท้จริงนั้นอยู่ที่คณิตศาสตร์นั่นเอง
ในงานเขียนเรื่องสัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์ของเขา เอช.อี. ฮันท์ลีย์ เปรียบเทียบความรู้สึกของการอ่านและทำความเข้าใจบทพิสูจน์ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ของผู้อื่น กับความรู้สึกของผู้ที่ได้ชมงานศิลปะชิ้นเอก—ผู้ที่อ่านบทพิสูจน์จะมีความรู้สึกปีติยินดีในการเข้าใจคล้ายกับผู้เขียนบทพิสูจน์ดั้งเดิม และเขาก็ให้เหตุผลว่า เช่นเดียวกับที่ผู้ที่ได้ชมงานศิลปะชิ้นเอกจะมีความรู้สึกปีติยินดีคล้ายกับจิตรกรหรือประติมากรดั้งเดิม แท้จริงแล้ว เราสามารถศึกษาข้อเขียนทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในฐานะวรรณกรรมได้
ฟิลิป เจ. เดวิสและรูเบน เฮิร์ชได้แสดงความคิดเห็นว่า ความรู้สึกถึงความงามทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสากลในหมู่นักคณิตศาสตร์ที่ปฏิบัติงานจริง ยกตัวอย่างเช่น พวกเขาได้เสนอการพิสูจน์สองวิธีเพื่อแสดง ให้เห็นว่า √2 เป็น จำนวนอตรรกยะ วิธีแรกคือการพิสูจน์แบบดั้งเดิมโดยการขัดแย้งซึ่งเชื่อกันว่าเป็น ผลงานของ ยูคลิดส่วนวิธีที่สองเป็นการพิสูจน์โดยตรงมากกว่า โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตซึ่งพวกเขากล่าวว่าเข้าถึงแก่นแท้ของปัญหาได้ดีกว่า เดวิสและเฮิร์ชกล่าวว่า นักคณิตศาสตร์พบว่าการพิสูจน์แบบที่สองมีความน่าสนใจทางด้านสุนทรียศาสตร์มากกว่า เพราะมันเข้าใกล้ธรรมชาติของปัญหามากกว่า
พอล แอร์โดสเป็นที่รู้จักกันดีจากแนวคิดเรื่อง "หนังสือ" สมมุติที่บรรจุบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่งดงามหรือสวยงามที่สุด อย่างไรก็ตาม ไม่มีข้อตกลงเป็นเอกฉันท์ว่าผลลัพธ์ใดมีบทพิสูจน์ที่ "งดงามที่สุด" เพียงหนึ่งเดียวเกรกอรี ไชตินได้โต้แย้งแนวคิดนี้
บางครั้งนักปรัชญาวิจารณ์ความรู้สึกด้านความงามหรือความสง่างามของนักคณิตศาสตร์ว่าเป็นสิ่งที่กล่าวไว้อย่างคลุมเครือที่สุด ในทางกลับกัน นักปรัชญาคณิตศาสตร์ก็พยายามหาลักษณะเฉพาะที่ทำให้การพิสูจน์หนึ่งน่าสนใจกว่าอีกการพิสูจน์หนึ่ง เมื่อทั้งสองการพิสูจน์นั้นสมเหตุสมผลทางตรรกะ
อีกแง่มุมหนึ่งของสุนทรียศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์คือทัศนะของนักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการใช้คณิตศาสตร์เพื่อจุดประสงค์ที่ถือว่าผิดจริยธรรมหรือไม่เหมาะสม การอธิบายทัศนะนี้ที่รู้จักกันดีที่สุดปรากฏในหนังสือA Mathematician's Apology ของ GH Hardyซึ่ง Hardy โต้แย้งว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มีความงดงามเหนือกว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ก็เพราะว่ามันไม่สามารถนำไปใช้ในสงครามและจุดประสงค์ที่คล้ายคลึงกันได้
ดูเพิ่มเติม
ผลงานที่เกี่ยวข้อง
- นักวิเคราะห์
- องค์ประกอบของยูคลิด
- " เกี่ยวกับข้อเสนอที่ไม่สามารถตัดสินได้อย่างเป็นทางการของ Principia Mathematica และระบบที่เกี่ยวข้อง "
- " เกี่ยวกับจำนวนที่คำนวณได้ พร้อมการประยุกต์ใช้กับปัญหาการตัดสินใจ "
- บทนำสู่ปรัชญาคณิตศาสตร์
- " รากฐานใหม่สำหรับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ "
- ปรินซิเปีย มาเทมาติกา
- คณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด
หัวข้อทางประวัติศาสตร์
วารสาร
หมายเหตุ
- ↑นี่ไม่ได้หมายความว่าจะต้องอธิบายกฎการอนุมานทั้งหมดที่ใช้โดยละเอียด ตรงกันข้าม โดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้หากปราศจากคอมพิวเตอร์และผู้ช่วยในการพิสูจน์แม้จะมีเทคโนโลยีที่ทันสมัยเช่นนี้ ก็อาจต้องใช้เวลาหลายปีในการเขียนบทพิสูจน์ที่มีรายละเอียดครบถ้วน
- ↑นี่ไม่ได้หมายความว่าหลักฐานเชิงประจักษ์และสัญชาตญาณไม่จำเป็นสำหรับการเลือกทฤษฎีบทที่จะพิสูจน์และการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านั้น
อ่านเพิ่มเติม
- เบนาเซราฟ, พอล ; พัตนัม, ฮิลารี , บรรณาธิการ (1983). ปรัชญาคณิตศาสตร์, บทอ่านคัดสรร ( ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 9781107268135.
- ฮาร์ท, ดับเบิลยูดี (1996). วิลเบอร์ ไดร์ ฮาร์ท (บรรณาธิการ). ปรัชญาของคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 9780198751199.
- Irvine, A., บรรณาธิการ (2009). ปรัชญาของคณิตศาสตร์ . คู่มือปรัชญาของวิทยาศาสตร์. North-Holland Elsevier. ISBN 9780080930589.
- Körner, Stephan (1960). ปรัชญาของคณิตศาสตร์ บทนำ . สำนักพิมพ์ Harper Books. OCLC 1054045322 .
- รัสเซลล์, เบอร์แทรนด์ (1993) [1919]. บทนำสู่ปรัชญาคณิตศาสตร์ . รูทเลดจ์. ISBN 9780486277240. OCLC 1097317975 .
- Shapiro, Stewart (2000). การคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์: ปรัชญาของคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 9780192893062.
- Linnebo, Øystein (2017). ปรัชญาของคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 9780691161402.
ลิงก์ภายนอก
- ปรัชญาคณิตศาสตร์ที่PhilPapers
- ปรัชญาคณิตศาสตร์ในโครงการปรัชญาออนโทโลยีแห่งรัฐอินเดียนา
- ฮอร์สเตน, ลีออน. "ปรัชญาของคณิตศาสตร์"ในซัลตา, เอ็ดเวิร์ด เอ็น. (บรรณาธิการ). สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .
- Fieser, James; Dowden, Bradley (บรรณาธิการ). "ปรัชญาของคณิตศาสตร์" . สารานุกรมปรัชญาออนไลน์ . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .
- "โครงสร้างนิยมทางคณิตศาสตร์" สารานุกรมปรัชญาออนไลน์
- "ลัทธินามธรรม" สารานุกรมปรัชญาออนไลน์
- Fieser, James; Dowden, Bradley (บรรณาธิการ). "รากฐานทางปัญญาและญาณวิทยาของเลขคณิตและเรขาคณิต" . สารานุกรมปรัชญาออนไลน์ . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .
- Fieser, James; Dowden, Bradley (บรรณาธิการ). "Ludwig Wittgenstein: ปรัชญาคณิตศาสตร์ยุคหลัง" . สารานุกรมปรัชญาออนไลน์ . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .
- คู่มือการศึกษาปรัชญาลอนดอน (London Philosophy Study Guide) ที่เก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 23 กันยายน 2009 ในWayback Machineมีคำแนะนำมากมายเกี่ยวกับหนังสือที่ควรอ่าน โดยขึ้นอยู่กับระดับความรู้ความเข้าใจในวิชาปรัชญาของนักเรียน:
- ปรัชญาคณิตศาสตร์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 20 มิถุนายน 2009 ที่Wayback Machine
- ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 มกราคม 2009 ที่Wayback Machine
- ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตร์เพิ่มเติมถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 27 กุมภาพันธ์ 2009 ที่Wayback Machine
- หน้าปรัชญาคณิตศาสตร์ของ RB Jones
- คอร์ฟิลด์, เดวิด . "ปรัชญาของคณิตศาสตร์ที่แท้จริง – บล็อก "
- Peirce, CS (1998). "22. New Elements (Καινα Στοιχεία)" . ใน Peirce Edition Project (บรรณาธิการ). The Essential Peirce, Selected Philosophical Writings . เล่ม 2 (1893–1913). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอินเดียนา. หน้า300– 324. ISBN 9780253007810.