จำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเฉพาะ ) คือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ซึ่งไม่ใช่ผลคูณของจำนวนธรรมชาติที่เล็กกว่าสองจำนวน จำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบตัวอย่างเช่น 5 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะวิธีเดียวที่จะเขียน 5 เป็นผลคูณได้ คือ1 × 5หรือ5 × 1ซึ่งล้วนเกี่ยวข้องกับ 5 เอง อย่างไรก็ตาม 4 เป็นจำนวนประกอบ เพราะเป็นผลคูณ (2 × 2) ที่ทั้งสองจำนวนนั้นเล็กกว่า 4 จำนวนเฉพาะมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนเนื่องจากทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเอง หรือสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันจนถึง ลำดับของ จำนวนเฉพาะเหล่านั้น

คุณสมบัติของการเป็นจำนวนเฉพาะเรียกว่าความเป็นจำนวน เฉพาะ วิธีการตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ${\displaystyle n}$จำนวนที่กำหนดอย่างง่ายแต่ช้าเรียกว่าการหารแบบทดลองซึ่งจะทดสอบว่าจำนวน${\displaystyle n}$นั้นเป็นพหุคูณของจำนวนเต็มใดๆ ระหว่าง 2 และn หรือ ไม่${\displaystyle {\sqrt {n}}}$อัลกอริทึมที่เร็วกว่า ได้แก่การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของมิลเลอร์-ราบินซึ่งเร็วแต่มีโอกาสผิดพลาดเล็กน้อย และการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ AKSซึ่งให้คำตอบที่ถูกต้องเสมอในเวลาพหุนามแต่ช้าเกินไปที่จะนำไปใช้ได้จริง มีวิธีการที่รวดเร็วเป็นพิเศษสำหรับจำนวนที่มีรูปแบบพิเศษ เช่นจำนวนเมอร์เซนน์และวิธีการเหล่านี้ได้ถูกนำมาใช้เพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่

จำนวน เฉพาะมีอยู่เป็นอนันต์ ดังที่ยูคลิดได้แสดงให้เห็นเมื่อราว 300 ปีก่อนคริสตกาล ไม่มีสูตรอย่างง่ายใดที่สามารถแยกจำนวนเฉพาะออกจากจำนวนประกอบได้ อย่างไรก็ตาม การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะภายในจำนวนธรรมชาติขนาดใหญ่ สามารถสร้างแบบจำลองทางสถิติได้ ผลลัพธ์แรกในทิศทางนั้นคือทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะซึ่งได้รับการพิสูจน์ในปลายศตวรรษที่ 19 ซึ่งกล่าวโดยคร่าว ๆ ว่าความน่าจะเป็นที่จำนวนมากที่สุ่มเลือกมาจะเป็นจำนวนเฉพาะนั้น แปร ผกผัน กับจำนวนหลักของจำนวนนั้น หรือก็คือแปรผกผันกับลอการิทึมของจำนวน นั้น

คำถามทางประวัติศาสตร์หลายข้อเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะยังคงไม่มีคำตอบ เช่นข้อสันนิษฐานของโกลด์บัคที่ว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน และ ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับจำนวน เฉพาะคู่แฝดที่ว่ามีจำนวนเฉพาะคู่หนึ่งที่ต่างกันด้วยสองเป็นจำนวนอนันต์ คำถามเหล่านี้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนาสาขาต่างๆ ของทฤษฎีจำนวน โดยมุ่งเน้นไปที่ แง่มุม เชิงวิเคราะห์หรือเชิงพีชคณิตของจำนวน จำนวนเฉพาะถูกนำไปใช้ในหลายๆ กระบวนการในเทคโนโลยีสารสนเทศเช่นการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะซึ่งอาศัยความยากในการแยกตัวประกอบของจำนวนมากออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ ในพีชคณิตนามธรรมวัตถุที่แสดงพฤติกรรมในลักษณะทั่วไปคล้ายกับจำนวนเฉพาะ ได้แก่สมาชิกเฉพาะและอุดมคติเฉพาะ

จำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, 4, 5, 6 ฯลฯ) เรียกว่าจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเฉพาะ ) ถ้ามันมากกว่า 1 และไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติที่เล็กกว่าสองจำนวนได้ จำนวนที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ^{[ 1 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งจำนวนเฉพาะก็${\displaystyle n}$คือ ถ้าไม่สามารถ${\displaystyle n}$แบ่งสิ่งของออกเป็นกลุ่มย่อยที่มีขนาดเท่ากันมากกว่าหนึ่งชิ้นได้^{[ 2 ]}หรือถ้าไม่สามารถจัดเรียงจุด${\displaystyle n}$ลงในตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างมากกว่าหนึ่งจุดและความสูงมากกว่าหนึ่งจุดได้^{[ 3 ]}ตัวอย่างเช่น ในบรรดาจำนวน 1 ถึง 6 จำนวน 2, 3 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 4 ]}เนื่องจากไม่มีจำนวนอื่นใดที่หารลงตัว (โดยไม่มีเศษเหลือ) 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะถูกยกเว้นไว้โดยเฉพาะในคำจำกัดความ4 = 2 × 2และ6 = 2 × 3ต่างก็เป็นจำนวนประกอบ

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติคือจำนวน${\displaystyle n}$ธรรมชาติที่หารลงตัวจำนวน ธรรมชาติทุกจำนวนมีทั้ง 1${\displaystyle n}$และตัวมันเองเป็นตัวหาร หากมีตัวหารอื่นใด ก็จะไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ซึ่งนำไปสู่นิยามที่เทียบเท่ากันของจำนวนเฉพาะ นั่นคือ จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีตัวหาร บวกเพียงสองตัวเท่านั้น ตัวหารสองตัวนั้นคือ 1 และตัวมันเอง เนื่องจาก 1 มีตัวหารเพียงตัวเดียวคือตัวมันเอง จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะตามนิยามนี้^{[ 5 ]}อีกวิธีหนึ่งในการแสดงสิ่งเดียวกันคือ จำนวนหนึ่งเป็นจำนวน${\displaystyle n}$ เฉพาะ ก็ต่อเมื่อมากกว่าหนึ่งและไม่มีจำนวนใดหารลงตัว^{[ 6 ]}${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$${\displaystyle n}$

จำนวนเฉพาะ 25 ตัวแรก (จำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่า 100) ได้แก่: ^{[ 7 ]}

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 (ลำดับA000040ในOEIS )

ไม่มีจำนวนคู่ใดที่มากกว่า2${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะจำนวนดังกล่าวสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณดังนั้น${\displaystyle 2\times n/2}$จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่ไม่ใช่ 2 จึงเป็นจำนวนคี่และเรียกว่าจำนวนเฉพาะคี่ [ ^{8 ] ใน}ทำนองเดียวกัน เมื่อเขียนใน ระบบ เลขฐานสิบ ปกติ จำนวนเฉพาะทั้งหมดที่มากกว่า 5 จะลงท้ายด้วย 1, 3, 7 หรือ 9 จำนวนที่ลงท้ายด้วยตัวเลขอื่น ๆ ล้วนเป็นจำนวนประกอบ: จำนวนทศนิยมที่ลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6 หรือ 8 เป็นจำนวนคู่ และจำนวนทศนิยมที่ลงท้ายด้วย 0 หรือ 5 หารด้วย 5 ลงตัว^{[ 9 ]}

เซต ของ จำนวนเฉพาะทั้งหมดบางครั้งแสดงด้วย( ตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวหนา P) ^{[ 10 ]}หรือด้วย( ตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวหนาแบบกระดานดำ P) ^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

ตั้งแต่ราว 1550 ปีก่อนคริสตกาลปาปิรัสคณิตศาสตร์ Rhindมี การขยาย เศษส่วนของอียิปต์ในรูปแบบต่างๆ สำหรับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ^{[ a ] ​​[ 12 ]}อย่างไรก็ตาม บันทึกที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่เกี่ยวกับการศึกษาจำนวนเฉพาะมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณซึ่งเรียกจำนวนเฉพาะว่าprōtos arithmòs ( πρῶτος ἀριθμὸς ) หนังสือ Elementsของยูคลิด (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) พิสูจน์ถึงความเป็นอนันต์ของจำนวนเฉพาะและทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตและแสดงวิธีการสร้างจำนวนสมบูรณ์จากจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์^{[ 13 ]}สิ่งประดิษฐ์ของชาวกรีกอีกอย่างหนึ่ง คือ ตะแกรงของเอราโตสเธเนสยังคงใช้ในการสร้างรายการของจำนวนเฉพาะ^{[ 14 ] [ 15 ]}

ประมาณปี ค.ศ. 1000 นักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามอิบนุ อัล-ฮัยธัม (อัลฮาเซน) ค้นพบทฤษฎีบทของวิลสันซึ่งระบุลักษณะของจำนวนเฉพาะว่าเป็นจำนวนที่หาร${\displaystyle n}$ลงตัวเขา ยังตั้งสมมติฐานว่าจำนวน คู่${\displaystyle (n-1)!+1}$สมบูรณ์ทั้งหมดมาจากการสร้างของยูคลิดโดยใช้จำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้^{[ 16 ]}นักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามอีกคนหนึ่งอิบนุ อัล-บันนา อัล-มารากูชีสังเกตว่าตะแกรงของเอราโตสเธเนสสามารถเร่งความเร็วได้โดยพิจารณาเฉพาะตัวหารเฉพาะจนถึงรากที่สองของขีดจำกัดบน^{[ 15 ]}ฟิโบนาชชีนำนวัตกรรมจากคณิตศาสตร์อิสลามมาสู่ยุโรป หนังสือของเขาLiber Abaci (1202) เป็นเล่มแรกที่อธิบายการหารแบบทดลองเพื่อทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ โดยใช้ตัวหารเฉพาะจนถึงรากที่สองเท่านั้น^{[ 15 ]}

ในปี ค.ศ. 1640 ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์^ได้ กล่าวถึง ทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์ (โดยไม่มีการพิสูจน์) (ซึ่งต่อมาได้รับการพิสูจน์โดยไลบ์นิซและออย เลอร์ ) ^{[ 17 ]}แฟร์มาต์ยังได้ตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของจำนวนแฟร์มาต์[ 18${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ] ^{และมา}รินเมอร์เซนน์ได้ศึกษาจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบที่ตัวมันเองเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 19 ]}คริสเตียน โกลด์บัคได้กำหนดสมมติฐานของโกลด์บัคที่ว่า จำนวนคู่ทุกจำนวนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน ในจดหมายถึงออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1742 ^{[ 20 ]}ออยเลอร์ได้พิสูจน์สมมติฐานของอัลฮาเซน (ปัจจุบันคือทฤษฎีบทของยุคลิด-ออยเลอร์ ) ที่ว่า จำนวนคู่สมบูรณ์ทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นจากจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์ได้^{[ 13 ]}เขาได้นำวิธีการจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มาใช้ในพื้นที่นี้ในการพิสูจน์ความเป็นอนันต์ของจำนวนเฉพาะและการล divergence ของผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ[ ^{21 ] ใน}ช่วงต้นศตวรรษที่ 19 Legendre และ Gauss ตั้งข้อสันนิษฐานว่าเมื่อมีแนวโน้มเข้า สู่ อนันต์จำนวนจำนวนเฉพาะจนถึง จะมีค่าเข้าใกล้โดยที่คือลอการิทึมธรรมชาติของผลที่ตามมาที่อ่อน กว่าของ ความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะที่สูงนี้คือสมมติฐานของ Bertrandที่ว่าสำหรับทุกๆจะมีจำนวนเฉพาะระหว่างและซึ่งได้รับการพิสูจน์ในปี 1852 โดยPafnuty Chebyshev ^{[ 22 ]}แนวคิดของBernhard Riemannในบทความปี 1859 เกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาได้ร่างเค้าโครงสำหรับการพิสูจน์สมมติฐานของ Legendre และ Gauss แม้ว่าสมมติฐาน Riemann ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด จะยังไม่ได้รับการพิสูจน์ แต่เค้าโครงของ Riemann ก็เสร็จสมบูรณ์ในปี 1896 โดยHadamardและde la Vallée Poussinและผลลัพธ์นี้เป็นที่รู้จักในปัจจุบันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ^{[ 23 ]}ผลลัพธ์ที่สำคัญอีกประการหนึ่งในศตวรรษที่ 19 คือทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตซึ่งระบุว่าลำดับเลขคณิต บาง ลำดับประกอบด้วยจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์^{[ 24 ]}${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x/\log x}$${\displaystyle \log x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$^]

นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ทำงานเกี่ยวกับการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนที่มากกว่าจำนวนที่การหารแบบทดลองสามารถนำไปใช้ได้จริง วิธีการที่จำกัดเฉพาะรูปแบบตัวเลขเฉพาะ ได้แก่การทดสอบของ Pépinสำหรับจำนวน Fermat (1877) ^{[ 25 ]}ทฤษฎีบทของ Proth (ประมาณ 1878) ^{[ 26 ]}การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ Lucas–Lehmer (มีต้นกำเนิดในปี 1856) และการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ Lucas แบบทั่วไป^{[ 15 ]}

นับตั้งแต่ปี 1951 จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จัก ทั้งหมด ถูกค้นพบโดยใช้การทดสอบเหล่านี้บนคอมพิวเตอร์[ ^{b ] การ}ค้นหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ได้สร้างความสนใจนอกวงการคณิตศาสตร์ ผ่านการค้นหาจำนวนเฉพาะเมอร์เซนน์บนอินเทอร์เน็ตครั้งใหญ่ และ โครงการคอมพิวเตอร์แบบกระจายอื่นๆ^{[ 7 ] [ 28 ]}แนวคิดที่ว่าจำนวนเฉพาะมีการใช้งานน้อยนอกเหนือจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์^{[ c ]}ถูกทำลายลงในทศวรรษ 1970 เมื่อ มีการคิดค้น การเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะและ ระบบการเข้ารหัส RSAโดยใช้จำนวนเฉพาะเป็นพื้นฐาน^{[ 31 ]}

ความสำคัญเชิงปฏิบัติที่เพิ่มขึ้นของการทดสอบจำนวนเฉพาะและการแยกตัวประกอบด้วยคอมพิวเตอร์นำไปสู่การพัฒนาวิธีการที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งสามารถจัดการกับจำนวนมากที่มีรูปแบบไม่จำกัด^{[ 14 ] [ 32 ] [ 33 ]}ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเฉพาะยังก้าวหน้าไปอีกด้วยทฤษฎีบทกรีน-เทา (2004) ที่ระบุว่ามีลำดับเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่ยาวตามอำเภอใจ และ การพิสูจน์ของ Yitang Zhangในปี 2013 ที่ระบุว่ามีช่องว่างจำนวนเฉพาะที่มีขนาดจำกัด อยู่มากมายนับไม่ถ้วน ^{[ 34 ]}

ชาวกรีกยุคแรกส่วนใหญ่ไม่ได้พิจารณา 1 ว่าเป็นจำนวนด้วยซ้ำ^{[ 35 ] [ 36 ]}ดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถพิจารณาความเป็นจำนวนเฉพาะของมันได้ นักวิชาการบางคนในประเพณีของกรีกและโรมันในยุคต่อมา รวมถึงนิโคมาคัส , ยัมบลิคัส , โบเอทิอุสและคาสซิโอโดรัสก็พิจารณาจำนวนเฉพาะว่าเป็นตัวหารย่อยของจำนวนคี่ ดังนั้นพวกเขาจึงไม่พิจารณา1${\displaystyle 2}$ ว่าเป็นจำนวน เฉพาะเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ยูคลิดและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกส่วนใหญ่พิจารณา1 ว่าเป็นจำนวน ${\displaystyle 2}$เฉพาะ นักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามในยุคกลาง ส่วนใหญ่ปฏิบัติตามชาวกรีกในการมองว่า 1ไม่ใช่จำนวน^{[ 35 ]}ในยุคกลางและยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา นักคณิตศาสตร์เริ่มปฏิบัติต่อ 1 ในฐานะจำนวน และในศตวรรษที่ 17 บางคนรวม 1 ไว้เป็นจำนวนเฉพาะตัวแรก^{[ 37 ]}ในช่วงกลางศตวรรษที่ 18 คริสเตียน โกลด์บัคได้ระบุ 1 ว่าเป็นจำนวนเฉพาะในจดหมายโต้ตอบของเขากับเลออนฮาร์ด ออยเลอร์^{[ 38 ]}อย่างไรก็ตาม ออยเลอร์เองก็ไม่ได้ถือว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 39 ]}นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 หลายคนยังคงถือว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 40 ]}และเดอร์ริก นอร์แมน เลห์เมอร์ได้รวม 1 ไว้ในรายการจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าสิบล้านที่ตีพิมพ์ในปี 1914 ^{[ 41 ]}รายการจำนวนเฉพาะที่รวม 1 ยังคงได้รับการตีพิมพ์อย่างต่อเนื่องจนถึงปี 1956 ^{[ 42 ] [ 43 ]}อย่างไรก็ตาม ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์เริ่มเห็นพ้องกันว่า 1 ไม่ควรถูกจัดอยู่ในรายการจำนวนเฉพาะ แต่ควรอยู่ในหมวดหมู่พิเศษของตัวเองในฐานะ " หน่วย " ^{[ 40 ]}

หากถือว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ข้อความหลายข้อความที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะจะต้องถูกเรียบเรียงใหม่ให้ยุ่งยาก ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตจะต้องถูกเรียบเรียงใหม่ในแง่ของการแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 1 เพราะทุกจำนวนจะมีตัวประกอบหลายตัวที่มี 1 อยู่หลายตัว^{[ 40 ] [ 44 ]}ในทำนองเดียวกันตะแกรงของเอราโตสเธเนสจะไม่ทำงานอย่างถูกต้องหากถือว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมันจะกำจัดตัวคูณทั้งหมดของ 1 (นั่นคือ จำนวนอื่นๆ ทั้งหมด) และให้ผลลัพธ์เพียงจำนวนเดียวคือ 1 ^{[ 43 ]}คุณสมบัติทางเทคนิคอื่นๆ ของจำนวนเฉพาะบางอย่างก็ไม่เป็นจริงสำหรับจำนวน 1 เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สูตรสำหรับฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์หรือสำหรับฟังก์ชันผลรวมของตัวหารจะแตกต่างกันสำหรับจำนวนเฉพาะกับ 1 ^{[ 45 ]}

การเขียนตัวเลขเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเรียกว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขนั้น^{[ 46 ]}ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}}$

เงื่อนไขในผลคูณเรียกว่าตัวประกอบเฉพาะตัวประกอบเฉพาะเดียวกันอาจปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง ตัวอย่างนี้มีตัวประกอบเฉพาะสองชุดเมื่อจำนวนเฉพาะปรากฏหลายครั้ง สามารถใช้ การยกกำลังเพื่อจัดกลุ่มจำนวนเฉพาะเดียวกันหลายๆ ชุดเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น ในวิธีที่สองของการเขียนผลคูณข้างต้นแสดงถึง^{กำลัง}สองหรือกำลังสองของ⁠ ⁠ [ ^{46 ]}${\displaystyle 5.}$${\displaystyle 5^{2}}$${\displaystyle 5}$

ความสำคัญหลักของจำนวนเฉพาะต่อทฤษฎีจำนวนและคณิตศาสตร์โดยทั่วไปมาจากทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต [ ^{47 ] ทฤษฎีบท}นี้กล่าวว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ผลคูณนี้มีเอกลักษณ์ในแง่ที่ว่าการแยกตัวประกอบจำนวนเฉพาะสองแบบใดๆ ของจำนวนเดียวกันจะมีจำนวนสำเนาของจำนวนเฉพาะเดียวกันเท่ากัน แม้ว่าลำดับอาจแตกต่างกันก็ตาม^{[ 48 ]}ดังนั้น แม้ว่าจะมีหลายวิธีในการหาการแยกตัวประกอบโดยใช้ อัลกอริทึม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็มแต่ทุกวิธีจะต้องให้ผลลัพธ์เดียวกัน จำนวนเฉพาะจึงถือได้ว่าเป็น "หน่วยพื้นฐาน" ของจำนวนธรรมชาติ^{[ 49 ]}

การพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบเฉพาะบาง ส่วนนั้นอาศัยทฤษฎีบทของยูคลิด : ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle p}$เป็นจำนวนเฉพาะและ⁠ ⁠${\displaystyle p}$หารผลคูณของจำนวนเต็ม⁠ ⁠ ลงตัว แล้ว⁠ ⁠ หาร ⁠ ⁠ลงตัวหรือ⁠ ⁠ หาร ⁠ ⁠ ลงตัว ( หรือทั้งสองอย่าง) ^{[ 50 ]}ในทางกลับกัน ถ้าจำนวน⁠ ⁠มีคุณสมบัติว่าเมื่อมันหารผลคูณ มันจะหารตัวประกอบของผลคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวลงตัวเสมอ แล้ว⁠ ⁠ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 51 ]}${\displaystyle ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

จำนวน เฉพาะมีอยู่เป็นจำนวนอนันต์ อีกวิธีหนึ่งที่จะกล่าวเช่นนี้คือ ลำดับ

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,...}$

จำนวนเฉพาะไม่มีที่สิ้นสุด ข้อความนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของยูคลิดเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ยูคลิดเนื่องจากหลักฐานการพิสูจน์ข้อความนี้ครั้งแรกที่รู้จักกันนั้นมาจากเขา มีหลักฐานการพิสูจน์จำนวนเฉพาะที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกมากมายที่เป็นที่รู้จัก รวมถึงการ พิสูจน์ เชิงวิเคราะห์โดยออยเลอร์การพิสูจน์ของโกลด์บัค โดยอิง จากจำนวนเฟอร์มาต์ [ ^{52 ]} การพิสูจน์ ของเฟอร์สเตนเบิร์ก โดยใช้โทโพโล ยีทั่วไป^{[ 53 ]}และ การ ^{พิสูจน์}โดยการขัดแย้งของคุมเมอร์^{[ 54 ] [ 55 ]}

การพิสูจน์ของยูคลิด แสดงให้เห็นว่า รายการจำนวนเฉพาะที่จำกัดทุกรายการไม่สมบูรณ์^{[ 56 ]}แนวคิดหลักคือการคูณจำนวนเฉพาะในรายการที่กำหนดเข้าด้วยกันแล้วบวกถ้ารายการประกอบด้วยจำนวนเฉพาะจะได้จำนวน ${\displaystyle 1.}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

ตามทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิต⁠ ⁠${\displaystyle N}$มีการแยกตัวประกอบเฉพาะ

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

โดยมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว⁠ ⁠${\displaystyle N}$สามารถหารลงตัวด้วยตัวประกอบเหล่านี้ทั้งหมด แต่⁠ ⁠${\displaystyle N}$จะเหลือเศษหนึ่งเมื่อหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ในรายการที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่มีตัวประกอบเฉพาะใดๆ ของ⁠ ⁠${\displaystyle N}$อยู่ในรายการที่กำหนด เนื่องจากไม่มีรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่เป็นจำนวนจำกัด จึงต้องมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์

จำนวนที่เกิดจากการเพิ่มหนึ่งให้กับผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เล็กที่สุดเรียกว่าจำนวนยูคลิด [ ^{57 ] ห้า}จำนวนแรกเป็นจำนวนเฉพาะ แต่จำนวนที่หก

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

เป็นจำนวนประกอบ

ไม่มีสูตรที่มีประสิทธิภาพที่เป็นที่รู้จักสำหรับจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ไม่มีพหุนาม ที่ไม่คง ที่ แม้แต่ในหลายตัวแปร ที่มีค่าเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น^{[ 58 ]}อย่างไรก็ตาม มีนิพจน์จำนวนมากที่เข้ารหัสจำนวนเฉพาะทั้งหมด หรือเฉพาะจำนวนเฉพาะเท่านั้น สูตรที่เป็นไปได้สูตรหนึ่งนั้นอิงตามทฤษฎีบทของวิลสันและสร้างเลข 2 หลายครั้งและจำนวนเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดเพียงครั้งเดียว^{[ 59 ]}นอกจากนี้ยังมีชุดสมการไดโอแฟนไทน์ในเก้าตัวแปรและหนึ่งพารามิเตอร์ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: พารามิเตอร์เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อระบบสมการที่ได้มีคำตอบเหนือจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อรับสูตรเดียวที่มีคุณสมบัติว่าค่าบวกทั้งหมดของมันเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 58 ]}

ตัวอย่างอื่นๆ ของสูตรการสร้างจำนวนเฉพาะมาจากทฤษฎีบทของมิลส์และทฤษฎีบทของไรท์ทฤษฎีบทเหล่านี้กล่าวว่ามีค่าคงที่จริงและเช่นนั้น ${\displaystyle A>1}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆในสูตร${\displaystyle n}$แรก และเลขชี้กำลังใดๆ ในสูตรที่สอง^{[ 60 ]}ในที่นี้แทนฟังก์ชันพื้น ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนที่กล่าวถึง อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้ไม่มีประโยชน์สำหรับการสร้าง ^{จำนวน}เฉพาะ เนื่องจากต้องสร้างจำนวนเฉพาะก่อนเพื่อคำนวณค่าของหรือ [ ^{58 ]}${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu .}$

มีการตั้งสมมติฐานมากมายเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ บ่อยครั้งที่สมมติฐานเหล่านี้มีสูตรพื้นฐาน และได้รับการพิสูจน์มานานหลายทศวรรษปัญหาทั้งสี่ของแลนเดาจากปี 1912 ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 61 ]}หนึ่งในนั้นคือสมมติฐานของโกลด์บัคซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า${\displaystyle n}$สามารถ${\displaystyle 2}$เขียนได้เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองจำนวน^{[ 62 ]}ณ ปี 2014 สมมติฐานนี้ได้รับการตรวจสอบแล้วสำหรับจำนวนทั้งหมดจนถึง[ ^{63 ] มี}การพิสูจน์ข้อความที่อ่อนกว่านี้แล้ว ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของวินอกราดอฟกล่าวว่าจำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนที่มากพอสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสามจำนวน^{[ 64 ]}ทฤษฎีบทของเฉินกล่าวว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนที่มากพอสามารถแสดงได้เป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะและจำนวนกึ่งเฉพาะ (ผลคูณของจำนวนเฉพาะสองจำนวน) ^{[ 65 ]}นอกจากนี้ จำนวนเต็มคู่ใดๆ ที่มากกว่า 10 สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะหกตัวได้^{[ 66 ]}สาขาของทฤษฎีจำนวนที่ศึกษาคำถามดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีจำนวนแบบบวก^{[ 67 ]}${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$

ปัญหาประเภทอื่นเกี่ยวข้องกับช่องว่างของจำนวนเฉพาะซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกัน การมีอยู่ของช่องว่างของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่ตามอำเภอใจสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่าลำดับประกอบด้วยจำนวนประกอบ สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ^{[ 68 ]}อย่างไรก็ตาม ช่องว่างของจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่เกิดขึ้นเร็วกว่าที่ข้อโต้แย้งนี้แสดงให้เห็น^{[ 69 ]}ตัวอย่างเช่น ช่องว่างของจำนวนเฉพาะแรกที่มีความยาว 8 อยู่ระหว่างจำนวนเฉพาะ 89 และ 97 ^{[ 70 ]}ซึ่งเล็กกว่ามากมีการคาดการณ์ว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดเป็นอนันต์ ซึ่งเป็นคู่ของจำนวนเฉพาะที่มีผลต่าง 2 นี่คือ การคาด การณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดข้อสันนิษฐานของ Polignacกล่าวโดยทั่วไปว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนจะมีคู่ของจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกันจำนวนอนันต์ซึ่งแตกต่างกันโดย^{[ 71 ]}ข้อสันนิษฐานของ Andrica ^{[ 71 ]} ข้อสันนิษฐาน ของBrocard ^{[ 72 ]}ข้อสันนิษฐานของ Legendre [ ^{73 ]}และข้อสันนิษฐานของ Oppermann ^{[ 72 ]}ล้วนชี้ให้เห็นว่าช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างจำนวนเฉพาะจาก 1 ถึง⁠ ⁠ควรจะเป็นอย่างมากที่สุดประมาณ ซึ่ง ^เป็นผลลัพธ์ที่ทราบกันดีว่าสืบเนื่องมาจากสมมติฐานของ Riemann ในขณะที่ข้อสันนิษฐานของ Cramér ที่แข็งแกร่งกว่ามาก กำหนดขนาดช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดไว้ที่⁠ ⁠ ^[ 71 ^]ช่องว่างของจำนวนเฉพาะสามารถขยายไปสู่ทูเปิลของ จำนวน เฉพาะ⁠ ⁠ ซึ่งเป็นรูปแบบในความแตกต่างระหว่าง ^{จำนวน}เฉพาะมากกว่าสองจำนวน ความไม่มีที่สิ้นสุดและความหนาแน่นของพวกมันเป็นหัวข้อของการคาดการณ์ Hardy–Littlewood ครั้งแรกซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยหลักการที่ว่าจำนวนเฉพาะมีพฤติกรรมคล้ายกับลำดับตัวเลขสุ่มที่มีความหนาแน่นตามทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ^{[ 74 ]}${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 8!=40320.}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle 2k.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}},}$${\displaystyle O((\log n)^{2})}$${\displaystyle k}$

ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ศึกษาทฤษฎีจำนวนผ่านมุมมองของฟังก์ชันต่อเนื่องลิมิตอนุกรมอนันต์และคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับอนันต์และอนันต์เล็ก

ขอบเขตการศึกษานี้เริ่มต้นด้วยLeonhard Eulerและผลลัพธ์สำคัญแรกของเขา คือ วิธีแก้ปัญหา Baselปัญหาดังกล่าวถามถึงค่าของผลรวมอนันต์ ซึ่งในปัจจุบันสามารถระบุได้ว่าเป็นค่าของฟังก์ชันซีตาของ Riemannฟังก์ชันนี้มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับจำนวนเฉพาะและกับหนึ่งในปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกที่สำคัญที่สุดในทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ สมมติฐานของRiemann Eulerแสดงให้เห็นว่า⁠ ⁠ ^{[ 75 ]} ส่วนกลับของจำนวนนี้⁠ ⁠คือความน่าจะเป็นจำกัดที่จำนวนสุ่มสองจำนวนที่เลือกอย่างสม่ำเสมอจากช่วงขนาดใหญ่จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน) ^{[ 76 ]}${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะในขอบเขตขนาดใหญ่ เช่น คำถามที่ว่ามีจำนวนเฉพาะกี่จำนวนที่เล็กกว่าค่าเกณฑ์ขนาดใหญ่ที่กำหนดไว้ สามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะแต่ยังไม่มีสูตรที่มีประสิทธิภาพสำหรับ จำนวน เฉพาะลำดับที่ nทฤษฎีบทของ${\displaystyle n}$ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตในรูปแบบพื้นฐาน กล่าวว่าพหุนามเชิง เส้น

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

โดยที่จำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน⁠ ⁠${\displaystyle a}$และ⁠ ⁠${\displaystyle b}$มีค่าเป็นจำนวนเฉพาะได้ไม่จำกัด แม้ว่าจะมีการตั้งข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับสัดส่วนของจำนวนเฉพาะในพหุนามดีกรีสูง แต่ก็ยังไม่มีการพิสูจน์ และยังไม่ทราบว่ามีพหุนามกำลังสองใดบ้างที่ (สำหรับตัวแปรจำนวนเต็ม) เป็นจำนวนเฉพาะได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง

การพิสูจน์ของออยเลอร์ที่ว่ามีจำนวนเฉพาะอนันต์นั้นพิจารณาจากผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

ออยเลอร์แสดงให้เห็นว่า สำหรับจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม${\displaystyle x}$จะมีจำนวนเฉพาะอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งผล${\displaystyle p}$รวมนี้มากกว่า[ ${\displaystyle x}$^{77 ] สิ่ง} นี้แสดงให้เห็นว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นอนันต์ เพราะถ้ามีจำนวนเฉพาะอยู่จำกัด ผลรวมจะถึงค่าสูงสุดที่จำนวน เฉพาะที่ใหญ่ที่สุด แทนที่จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ  อัตราการ${\displaystyle x}$เติบโตของผลรวมนี้อธิบายได้แม่นยำยิ่งขึ้นด้วยทฤษฎีบทที่สองของเมอร์เทนส์ [ ^{78 ] สำหรับ}การเปรียบเทียบ ผลรวม

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

ไม่เติบโตเป็นอนันต์เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เข้าสู่อนันต์ (ดูปัญหาบาเซิล ) ในแง่นี้ จำนวนเฉพาะเกิดขึ้นบ่อยกว่ากำลังสองของจำนวนธรรมชาติ แม้ว่าทั้งสองเซตจะเป็นอนันต์ก็ตาม^{[ 79 ]}ทฤษฎีบทของบรุนกล่าวว่า ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะคู่แฝด

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

มีจำนวนจำกัด เนื่องจากทฤษฎีบทของ Brun จึงไม่สามารถใช้วิธีการของ Euler เพื่อแก้สมมติฐานเรื่องจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่ว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่เป็นอนันต์^{[ 79 ]}

ฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเฉพาะ ที่ไม่มากกว่า⁠ ⁠ ^{[ 80 ]}ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะห้าตัวที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 11 วิธีการต่างๆ เช่นอัลกอริทึม Meissel–Lehmerสามารถคำนวณค่าที่แน่นอนของ ได้เร็วกว่าการที่จะแสดงรายการ จำนวนเฉพาะแต่ละตัวจนถึง⁠ ⁠ ^{[ 81 ]}ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะระบุว่ามีค่าเข้าใกล้⁠ ⁠ซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (11)=5}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n/\log n}$

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

และหมายความว่าอัตราส่วนของเศษส่วนด้านขวาเข้าใกล้ 1 เมื่อเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์^{[ 82 ]}ซึ่งหมายความว่าโอกาสที่จำนวนที่เลือกแบบสุ่มที่น้อยกว่าจะ เป็นจำนวน เฉพาะ^นั้น (โดยประมาณ) แปรผกผันกับจำนวนหลักใน  [ ⁸³ ]นอกจาก นี้ยังหมายความว่า จำนวนเฉพาะลำดับ ที่nเป็นสัดส่วนกับ^{[ 84 ]} และดังนั้นขนาดเฉลี่ยของช่องว่างจำนวนเฉพาะจึงเป็นสัดส่วนกับ[ ⁶⁹ ] ^การ ประมาณค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับ^ได้รับจาก ปริพันธ์ ลอการิทึม^แบบออฟเซ็ต^{[ 82 ]}${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\log n}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \pi (n)}$

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

ลำดับเลขคณิตคือลำดับของตัวเลขที่จำกัดหรืออนันต์ โดยที่ตัวเลขที่ต่อเนื่องกันในลำดับจะมีผลต่างเท่ากัน^{[ 85 ]}ผลต่างนี้เรียกว่าโมดูลัสของลำดับ^{[ 86 ]}ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 3,12,21,30,39,...,}$

เป็นลำดับเลขคณิตอนันต์ที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 9 ในลำดับเลขคณิต ตัวเลขทุกตัวจะมีเศษเหลือเท่ากันเมื่อหารด้วยตัวหารร่วมมาก ในตัวอย่างนี้ เศษเหลือคือ 3 เนื่องจากทั้งตัวหารร่วมมาก 9 และเศษเหลือ 3 เป็นพหุคูณของ 3 ดังนั้นตัวเลขทุกตัวในลำดับจึงเป็นพหุคูณของ 3 เช่นกัน ด้วยเหตุนี้ ลำดับนี้จึงมีจำนวนเฉพาะเพียงจำนวนเดียว คือ 3 นั่นเอง โดยทั่วไปแล้ว ลำดับอนันต์

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

สามารถมีจำนวนเฉพาะได้มากกว่าหนึ่งจำนวนก็ต่อเมื่อเศษเหลือและโม${\displaystyle a}$ดูลัสของจำนวนเฉพาะนั้น${\displaystyle q}$เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน หากเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน ทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตจะยืนยันว่าลำดับนั้นมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์^{[ 87 ]}

จำนวนเฉพาะในลำดับเลขคณิตมอดูลัส 9 แต่ละแถวของแถบแนวนอนบางๆ แสดงลำดับเลขคณิตมอดูลัส 9 ที่เป็นไปได้ 1 ใน 9 แบบ โดยมีจำนวนเฉพาะทำเครื่องหมายด้วยสีแดง ลำดับของตัวเลขที่เป็น 0, 3 หรือ 6 มอดูลัส 9 จะมีจำนวนเฉพาะอย่างมากที่สุด 1 ตัว (คือเลข 3) ส่วนลำดับของตัวเลขที่เหลือที่เป็น 1, 2, 4, 5, 7 และ 8 มอดูลัส 9 จะมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ โดยมีจำนวนเฉพาะที่ใกล้เคียงกันในแต่ละลำดับ

ทฤษฎีบทกรีน-เทาแสดงให้เห็นว่ามีลำดับเลขคณิตจำกัดที่มีความยาวไม่จำกัดซึ่งประกอบด้วยเฉพาะจำนวนเฉพาะเท่านั้น^{[ 34 ] [ 88 ]}

ออยเลอร์ตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชัน

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$แม้ว่าจำนวนประกอบจะปรากฏอยู่ในค่าที่ตามมา^{[ 89 ] [ 90 ]}การค้นหาคำอธิบายสำหรับปรากฏการณ์นี้ นำไปสู่ทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเชิง ลึก ของจำนวน Heegnerและปัญหาจำนวนชั้น^{[ 91 ]} ข้อสันนิษฐาน ของHardy–Littlewood Fทำนายความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะในค่าของพหุนามกำลังสอง ที่มี สัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปของปริพันธ์ลอการิทึมและสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ไม่มีพหุนามกำลังสองใดที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีค่าเฉพาะเป็นอนันต์^{[ 92 ]}

เกลียวอูลาม^{[ 93 ]}จัดเรียงจำนวนธรรมชาติในตารางสองมิติ หมุนวนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสศูนย์กลางรอบจุดกำเนิด โดยเน้นจำนวนเฉพาะ ในทางสายตา จำนวนเฉพาะดูเหมือนจะรวมกลุ่มกันบนเส้นทแยงมุมบางเส้นและไม่บนเส้นทแยงมุมอื่น ซึ่งบ่งชี้ว่าพหุนามกำลังสองบางตัวมีค่าเป็นจำนวนเฉพาะบ่อยกว่าพหุนามอื่น^{[ 92 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียViktor Bunyakovskyในปี พ.ศ. 2490 ตั้งข้อสันนิษฐานว่าพหุนามตัวแปรเดียวใดๆที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มจะสร้างจำนวนเฉพาะอนันต์ในลำดับพหุนามต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นบวกไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ เหนือจำนวนตรรกยะ และค่าของลำดับดังกล่าวไม่มีตัวประกอบร่วมที่มากกว่า 1 ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการขยายความโดยสมมติฐาน Hของ นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ Andrzej Schinzelและต่อมาขยายไปสู่พหุนามหลายตัวแปรในข้อสันนิษฐานของ Dicksonและ ข้อสันนิษฐาน ของBateman–Horn ^{[ 94 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\dots }$

หนึ่งในคำถามที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ ซึ่งมีมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1859 และเป็นหนึ่งในปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษคือสมมติฐานของรีมันน์ซึ่งถามว่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ อยู่ที่ใด ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนจำนวนเชิงซ้อน^{[ 95 ]}สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ มีส่วนจริง มากกว่า หนึ่ง ฟังก์ชัน นี้จะเท่ากับผลรวมอนันต์เหนือจำนวนเต็มทั้งหมด และผลคูณอนันต์เหนือจำนวน เฉพาะ ความเท่าเทียมกันระหว่างผลรวมและผลคูณนี้ ซึ่งค้นพบโดยออยเลอร์ เรียกว่าผลคูณของออยเลอร์^{[ 96 ]}ผลคูณของออยเลอร์สามารถหาได้จากทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต และแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างฟังก์ชันซีตาและจำนวนเฉพาะ^{[ 97 ]} นำไปสู่ข้อพิสูจน์อีกข้อหนึ่งว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์: ถ้ามีจำนวนเฉพาะจำกัดเท่านั้น ความเท่าเทียมกันของผลรวมและผลคูณก็จะเป็นจริงที่⁠ ⁠ เช่นกัน แต่ผลรวมจะลู่เข้า (เป็นอนุกรมฮาร์มอนิก⁠ ⁠ ) ในขณะที่ผลคูณจะมีค่าจำกัด ซึ่งขัดแย้งกัน^{[ 98 ]}${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$

สมมติฐานของรีมันน์ระบุว่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาเป็นได้ทั้งจำนวนคู่ลบหรือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 1/2 ^{[ 99 ]}การพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะดั้งเดิม นั้น อาศัยรูปแบบที่อ่อนแอของสมมติฐานนี้ กล่าวคือไม่มีศูนย์ที่มีส่วนจริงเท่ากับ 1 ^{[ 100 ] [ 101 ]}แม้ว่าจะมีการค้นพบการพิสูจน์พื้นฐานอื่นๆ อีกด้วย^{[ 102 ]}ฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะสามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่ชัดเจนของรีมันน์ในรูปผลรวมซึ่งแต่ละพจน์มาจากศูนย์ของฟังก์ชันซีตา พจน์หลักของผลรวมนี้คือปริพันธ์ลอการิทึม และพจน์ที่เหลือทำให้ผลรวมผันผวนขึ้นและลงเหนือและใต้พจน์หลัก^{[ 103 ]}ในแง่นี้ ศูนย์จะควบคุมว่าจำนวนเฉพาะมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอเพียงใด หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง ความผันผวนเหล่านี้จะมีขนาดเล็ก และ การกระจายตัวแบบอะซิมโทติก ของจำนวนเฉพาะที่กำหนดโดยทฤษฎีบทจำนวน เฉพาะจะยังคงใช้ได้กับช่วงเวลาที่สั้นกว่ามาก (ความยาวประมาณรากที่สองของสำหรับ ช่วง ${\displaystyle x}$^เวลาใกล้จำนวน) ${\displaystyle x}$^{[ 101} ]

เลขคณิตแบบมอดูลาร์ปรับเปลี่ยนเลขคณิตปกติโดยใช้เฉพาะตัวเลข⁠ ⁠${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$สำหรับจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ที่เรียกว่ามอดูลัส จำนวนธรรมชาติอื่นๆ สามารถแปลงเป็นระบบนี้ได้โดยการแทนที่ด้วยเศษเหลือหลังจากการหารด้วย^{⁠ ⁠ [} 104 ]${\displaystyle n}$ผล^{รวมผล}ต่าง และผลคูณแบบมอดูลาร์คำนวณโดยการแทนที่ด้วยเศษเหลือในผลลัพธ์ของผลรวม ผลต่าง หรือผลคูณของจำนวนเต็มตามปกติ^{[ 105 ]}ความเท่ากันของจำนวนเต็มสอดคล้องกับความสอดคล้องในเลขคณิตแบบมอดูลาร์: ⁠ ⁠และ⁠ ⁠สอดคล้องกัน (เขียนว่าmod ⁠ ⁠ ) เมื่อมีเศษเหลือเท่ากันหลังจากการหารด้วย⁠ ⁠ ^{[ 106 ]}ในระบบตัวเลขนี้การหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะตัวอย่างเช่น เมื่อใช้จำนวนเฉพาะ 7 เป็นโมดูลัส การหารด้วย 3 เป็นไปได้เพราะการกำจัดตัวส่วนโดยการคูณทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้สูตรที่ถูกต้องอย่างไรก็ตามเมื่อใช้โมดูลัสประกอบ 6 การหารด้วย 3 เป็นไปไม่ได้ ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับ เพราะการกำจัดตัวส่วนโดยการคูณด้วย 3 ทำให้ด้านซ้ายกลายเป็น 2 ในขณะที่ด้านขวากลายเป็น 0 หรือ 3 ในศัพท์เฉพาะของพีชคณิตนามธรรมความสามารถในการหารหมายความว่าเลขคณิตโมดูลัสโมดูลัสจำนวนเฉพาะก่อให้เกิดฟิลด์หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิลด์จำกัดในขณะที่โมดูลัสอื่นๆ ให้เพียงวงแหวนแต่ไม่ใช่ฟิลด์^{[ 107 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\equiv y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะหลายข้อสามารถกำหนดได้โดยใช้เลขคณิตมอดูลาร์ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์กล่าวว่า ถ้า(mod ⁠ ⁠ ) แล้ว(mod ⁠ ⁠ ) ^{[ 108 ]}การรวมสิ่งนี้เหนือตัวเลือกทั้งหมดของ⁠ ⁠จะได้สมการ ${\displaystyle a\not \equiv 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

ใช้ได้เมื่อใดก็ตามที่⁠ ⁠${\displaystyle p}$เป็นจำนวนเฉพาะ สมมติฐานของ Giugaกล่าวว่าสมการนี้เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ที่จะเป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน^{[ 109 ]}ทฤษฎีบทของ Wilsonกล่าวว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อแฟกทอเรียลสอดคล้องกับmod ⁠ ⁠สำหรับจำนวนประกอบ  ⁠ ⁠ข้อนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้ เนื่องจากตัวประกอบตัวหนึ่งหารทั้งnและ⁠ ⁠ ลงตัว ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้^{[ 110 ]}${\displaystyle p>1}$${\displaystyle (p-1)!}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=r\cdot s}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$

ลำดับ⁠ -adic${\displaystyle p}$ ของจำนวนเต็มคือ จำนวนสำเนาของ⁠ ⁠ ในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ⁠ ⁠ แนวคิด เดียวกัน นี้สามารถขยายจากจำนวนเต็มไปยังจำนวนตรรกยะได้ โดยกำหนดลำดับ⁠ -adicของเศษส่วนเป็น⁠ ⁠ค่าสัมบูรณ์⁠ -adicของจำนวนตรรกยะใดๆจึงถูกกำหนดเป็น⁠ ⁠การคูณจำนวนเต็มด้วยค่าสัมบูรณ์⁠ -adic ของมันจะตัดตัวประกอบของ ⁠ ⁠ในการแยกตัวประกอบออกไป เหลือเพียงจำนวนเฉพาะอื่นๆเท่านั้นเช่นเดียวกับที่ระยะห่างระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนสามารถวัดได้ด้วยค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของจำนวนทั้งสอง ระยะห่างระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนสามารถวัดได้ด้วยระยะห่าง แบบ ⁠ ⁠ -adic ซึ่งก็คือค่าสัมบูรณ์แบบ ⁠ ⁠ -adic ของผลต่างของจำนวนทั้งสอง สำหรับนิยามของระยะห่างนี้ จำนวนสองจำนวนจะอยู่ใกล้กัน (มีระยะห่างน้อย) เมื่อผลต่างของจำนวนทั้งสองหารลงตัวด้วยกำลังสูงของ⁠ ⁠ในทำนองเดียวกันกับที่จำนวนจริงสามารถสร้างขึ้นจากจำนวนตรรกยะและระยะห่างของจำนวนทั้งสอง โดยการเพิ่มค่าจำกัดพิเศษเพื่อสร้างฟิลด์ที่สมบูรณ์จำนวนตรรกยะที่มีระยะห่างแบบ⁠ ⁠ -adic สามารถขยายไปสู่ฟิลด์ที่สมบูรณ์ที่แตกต่างกันได้ ซึ่งก็คือจำนวน แบบ ⁠ ⁠ -adic ^{[ 111 ] [ 112 ]}${\displaystyle \nu _{p}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m/n}$${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |q|_{p}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \vert q\vert _{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

ภาพนี้ของลำดับ ค่าสัมบูรณ์ และฟิลด์ที่สมบูรณ์ที่ได้มาจากสิ่งเหล่านี้ สามารถสรุปเป็นฟิลด์จำนวนพีชคณิตและการประเมินค่า (การแมปบางอย่างจากกลุ่มการคูณของฟิลด์ไปยังกลุ่มการบวกที่มีลำดับสมบูรณ์ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลำดับ) ค่าสัมบูรณ์ (การแมปการคูณบางอย่างจากฟิลด์ไปยังจำนวนจริง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าบรรทัดฐาน ) ^{[ 111 ]}และสถานที่ (ส่วนขยายไปยังฟิลด์ที่สมบูรณ์ซึ่งฟิลด์ที่กำหนดเป็นเซตหนาแน่นซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการทำให้สมบูรณ์) ^{[ 113 ]} ตัวอย่างเช่น ส่วนขยายจากจำนวนตรรกยะไปยังจำนวนจริงเป็นสถานที่ที่ระยะห่างระหว่างตัวเลขคือค่าสัมบูรณ์ปกติของผลต่างของตัวเลขเหล่านั้น การแมปที่สอดคล้องกับกลุ่มการบวกจะเป็นลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดของการประเมินค่าก็ตาม ตามทฤษฎีบทของ Ostrowskiโดยที่แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันตามธรรมชาติแล้ว จำนวนจริงและ จำนวน ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ -adic พร้อมด้วยลำดับและค่าสัมบูรณ์ของพวกมัน เป็นเพียงการประเมินค่า ค่าสัมบูรณ์ และตำแหน่งบนจำนวนตรรกยะเท่านั้น^{[ 111 ]}หลักการท้องถิ่น-สากลช่วยให้สามารถแก้ปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับจำนวนตรรกยะได้โดยการประกอบคำตอบจากแต่ละตำแหน่งของพวกมัน ซึ่งเป็นการเน้นย้ำถึงความสำคัญของจำนวนเฉพาะต่อทฤษฎีจำนวนอีกครั้ง^{[ 114 ]}

วงแหวนสลับที่ (Commutative Ring)คือโครงสร้างทางพีชคณิต ที่กำหนดนิยาม ของการบวก การลบ และการคูณ จำนวนเต็มเป็นวงแหวน และจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็มได้รับการขยายไปสู่วงแหวนในสองวิธีที่แตกต่างกัน คือสมาชิกเฉพาะและสมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สมาชิก${\displaystyle p}$ในวงแหวน${\displaystyle R}$เรียก ว่าสมาชิก เฉพาะถ้ามันไม่เป็นศูนย์ ไม่มีตัวผกผันการคูณ (นั่นคือ มันไม่ใช่หน่วย ) และเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้: เมื่อใดก็ตามที่หาร${\displaystyle p}$ผลคูณของสมาชิกสองตัวในลงตัวมันจะหารอย่างน้อยหนึ่งตัวในหรือลงตัวด้วยสมาชิก เรียก ว่าสมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ถ้ามันไม่ใช่ทั้งหน่วยและไม่ใช่ผลคูณของสมาชิกที่ไม่ใช่หน่วยอีกสองตัว ในวงแหวนของจำนวนเต็ม สมาชิกเฉพาะและสมาชิกที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะประกอบเป็นเซตเดียวกัน ${\displaystyle xy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

ในวงแหวนใดๆ สมาชิกเฉพาะทั้งหมดไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ส่วนกลับไม่เป็นจริงโดยทั่วไป แต่เป็นจริงสำหรับโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 115 ]}

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตยังคงใช้ได้ (ตามคำนิยาม) ในโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างของโดเมนดังกล่าวคือจำนวนเต็มเกาส์เซียน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ซึ่งเป็นวงแหวนของจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบที่⁠ ⁠แทนหน่วยจินตนาการและ⁠ ⁠และ⁠ ⁠เป็นจำนวนเต็มใดๆ สมาชิกเฉพาะของจำนวนนี้เรียกว่าจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนไม่ใช่ทุกจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็มจะยังคงเป็นจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็มเกาส์เซียน ตัวอย่างเช่น จำนวน 2 สามารถเขียนได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนสองตัวคือ⁠ ⁠และ⁠จำนวนเฉพาะตรรกยะ (สมาชิกเฉพาะในจำนวนเต็ม) ที่สอดคล้องกับ 3 mod 4 เป็นจำนวนเฉพาะเกาส์เซียน แต่จำนวนเฉพาะตรรกยะที่สอดคล้องกับ 1 mod 4 ไม่ใช่^{[ 116 ]}นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เกี่ยวกับผลรวมของกำลังสองสองจำนวน ซึ่งระบุว่า จำนวนเฉพาะคี่สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของกำลังสองสองจำนวนและดังนั้นจึงสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นก็ต่อเมื่อ เป็น 1 mod 4 เท่านั้น^{[ 117 ]}${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle 1-i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$${\displaystyle p}$

ไม่ใช่ทุกวงแหวนจะเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น ในวงแหวนของจำนวน(สำหรับจำนวนเต็ม⁠ ⁠และ⁠ ⁠ ) จำนวนนั้นมีการแยกตัวประกอบสองแบบ⁠ ⁠โดยที่ไม่มีตัวประกอบใดในสี่ตัวนั้นสามารถลดทอนลงได้อีก ดังนั้นจึงไม่มีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน เพื่อขยายการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันไปยังวงแหวนประเภทที่ใหญ่กว่า แนวคิดของจำนวนสามารถแทนที่ด้วยแนวคิดของอุดมคติซึ่งเป็นเซตย่อยของสมาชิกในวงแหวนที่ประกอบด้วยผลรวมทั้งหมดของคู่ของสมาชิก และผลคูณทั้งหมดของสมาชิกกับสมาชิกในวงแหวน อุดมคติเฉพาะซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของสมาชิกเฉพาะในแง่ที่ว่าอุดมคติหลักที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกเฉพาะเป็นอุดมคติเฉพาะ เป็นเครื่องมือและวัตถุการศึกษาที่สำคัญในพีชคณิตเชิงสลับ พีชคณิตเชิงจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต อุดมคติเฉพาะของวงแหวนจำนวนเต็มคืออุดมคติ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ...ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตขยายไปสู่ทฤษฎีบทLasker – Noether ซึ่งแสดงอุดมคติทุกตัวใน^{วงแหวน}สลับที่แบบNoetherianว่าเป็นจุดตัดของอุดมคติหลักซึ่งเป็นการขยายความที่เหมาะสมของกำลังเฉพาะ [ ^{118 ]}${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle (0)}$${\displaystyle (2)}$${\displaystyle (3)}$${\displaystyle (5)}$${\displaystyle (7)}$${\displaystyle (11)}$

สเปกตรัมของวงแหวนเป็นปริภูมิเรขาคณิตที่มีจุดเป็นอุดมคติเฉพาะของวงแหวน^{[ 119 ]}เรขาคณิตเชิงพีชคณิตก็ได้รับประโยชน์จากแนวคิดนี้เช่นกัน และมีหลายแนวคิดที่มีอยู่ในทั้งเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวน ตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบหรือการแตกแขนงของอุดมคติเฉพาะเมื่อยกขึ้นสู่ฟิลด์ส่วนขยายซึ่งเป็นปัญหาพื้นฐานของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต มีความคล้ายคลึงกับการแตกแขนงในเรขาคณิตแนวคิดเหล่านี้ยังสามารถช่วยในการตอบคำถามเชิงทฤษฎีจำนวนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มเท่านั้น ตัวอย่างเช่น อุดมคติเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนกำลังสองสามารถใช้ในการพิสูจน์ความสัมพันธ์แบบกำลังสองซึ่งเป็นข้อความที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของรากที่สองโมดูลัสจำนวนเฉพาะจำนวนเต็ม^{[ 120 ]} ความ พยายามในช่วงแรกในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นำไปสู่ การแนะนำ จำนวนเฉพาะปกติของคุมเมอร์ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะจำนวนเต็มที่เชื่อมโยงกับความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันในจำนวนเต็มไซโคลโทมิ ก ^{[ 121 ]}คำถามเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะจำนวนเต็มกี่ตัวที่แยกตัวประกอบเป็นผลคูณของอุดมคติเฉพาะหลายตัวในฟิลด์จำนวนพีชคณิตนั้นได้รับการแก้ไขโดยทฤษฎีบทความหนาแน่นของ Chebotarevซึ่ง (เมื่อนำไปใช้กับจำนวนเต็มไซโคลโทมิก) จะมีทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะในลำดับเลขคณิตเป็นกรณีพิเศษ^{[ 122 ]}

ในทฤษฎีของกลุ่มจำกัดทฤษฎีบทของไซโลว์บ่งชี้ว่า ถ้ากำลังของจำนวนเฉพาะหารอันดับของกลุ่มลงตัวกลุ่มนั้นจะมีกลุ่มย่อยที่มีอันดับ⁠ ⁠โดยทฤษฎีบทของลากรองจ์กลุ่มใดๆ ที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะจะเป็นกลุ่มวัฏจักรและโดยทฤษฎีบทของเบิร์นไซด์กลุ่มใดๆ ที่มีอันดับหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะเพียงสองตัวจะเป็นกลุ่มที่แก้ได้^{[ 123 ]}${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p^{n}}$

เป็นเวลานานแล้วที่ทฤษฎีจำนวนโดยทั่วไป และการศึกษาจำนวนเฉพาะโดยเฉพาะ ถูกมองว่าเป็นตัวอย่างมาตรฐานของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ โดยไม่มีการประยุกต์ใช้ใดๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์^{[ c ]}นอกจากการใช้ฟันเฟืองที่มีจำนวนเฉพาะเพื่อกระจายการสึกหรออย่างสม่ำเสมอ^{[ 124 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักทฤษฎีจำนวน เช่นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษGH Hardyภาคภูมิใจในการทำงานที่ไม่มีความสำคัญทางทหารเลย^{[ 125 ]}

วิสัยทัศน์เกี่ยวกับความบริสุทธิ์ของทฤษฎีจำนวนนี้ถูกทำลายลงในทศวรรษ 1970 เมื่อมีการประกาศต่อสาธารณะว่าจำนวนเฉพาะสามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้าง อัลกอริธึ มการเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะได้^{[ 31 ]} การประยุกต์ใช้เหล่านี้นำไปสู่การศึกษาอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณด้วยจำนวนเฉพาะอย่างมีนัยสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ วิธีการกำหนดว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ขั้นตอนการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะขั้นพื้นฐานที่สุดคือการหารแบบทดลอง ซึ่งช้าเกินไปที่จะเป็นประโยชน์สำหรับจำนวนมาก กลุ่มหนึ่งของการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะสมัยใหม่สามารถใช้ได้กับจำนวนใดๆ ก็ได้ ในขณะที่การทดสอบที่มีประสิทธิภาพมากกว่านั้นมีให้สำหรับจำนวนประเภทพิเศษ การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะส่วนใหญ่จะบอกเพียงว่าอาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ขั้นตอนต่างๆ ที่ให้ตัวประกอบเฉพาะของอาร์กิวเมนต์ประกอบ (หรือตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด) เรียกว่า อัลกอริธึม การแยกตัวประกอบจำนวนเฉพาะยังใช้ในการคำนวณสำหรับผลรวมตรวจสอบตารางแฮชและตัวสร้างเลขสุ่มเทียม

วิธีพื้นฐานที่สุดในการตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของจำนวนเต็มที่กำหนด⁠ ⁠${\displaystyle n}$เรียกว่าการหารแบบทดลองวิธีนี้หาร⁠ ⁠${\displaystyle n}$ด้วยจำนวนเต็มแต่ละตัวตั้งแต่ 2 จนถึงรากที่สองของ⁠ ⁠${\displaystyle n}$จำนวนเต็มใดๆ ที่ หาร ⁠ ⁠ได้ลงตัว จะแสดง ว่า ⁠ ⁠${\displaystyle n}$เป็นจำนวนประกอบ มิฉะนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนเต็มที่มากกว่ารากที่สองไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ เพราะเมื่อใดก็ตามที่⁠ ⁠ ตัวประกอบ ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ตัวใดตัวหนึ่งในสองตัวนั้นจะน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของ⁠ ⁠อีกวิธีหนึ่งในการปรับปรุงคือการตรวจสอบเฉพาะจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบในช่วงนี้^{[ 126 ]}ตัวอย่างเช่น เพื่อตรวจสอบว่า 37 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ วิธีนี้ใช้การหารด้วยจำนวนเฉพาะในช่วงตั้งแต่ 2 ถึง⁠ ⁠ซึ่งก็คือ 2, 3 และ 5 การหารแต่ละครั้งจะได้เศษเหลือที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น 37 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=a\cdot b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {37}}}$

แม้ว่าวิธีการนี้จะอธิบายได้ง่าย แต่ก็ไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงในการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของจำนวนเต็มขนาดใหญ่ เนื่องจากจำนวนการทดสอบที่ดำเนินการจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวนหลักของจำนวนเต็มเหล่านี้^{[ 127 ]}อย่างไรก็ตาม การหารแบบทดลองยังคงถูกนำมาใช้ โดยมีขีดจำกัดที่เล็กกว่ารากที่สองของขนาดตัวหาร เพื่อค้นหาจำนวนประกอบที่มีตัวประกอบขนาดเล็กได้อย่างรวดเร็ว ก่อนที่จะใช้วิธีการที่ซับซ้อนกว่ากับจำนวนที่ผ่านการกรองนี้^{[ 128 ]}

ก่อนยุคคอมพิวเตอร์ตารางทางคณิตศาสตร์ที่แสดงรายการจำนวนเฉพาะหรือการแยกตัวประกอบเฉพาะจนถึงขีดจำกัดที่กำหนดมักจะถูกพิมพ์ออกมา^{[ 129 ]}วิธีที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักในการสร้างรายการจำนวนเฉพาะเรียกว่าตะแกรงของเอราโตสเธเนส^{[ 130 ]}ภาพเคลื่อนไหวแสดงรูปแบบที่ปรับให้เหมาะสมของวิธีนี้^{[ 131 ]}วิธีการกรองที่มีประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกมากกว่าอีกวิธีหนึ่งสำหรับปัญหาเดียวกันคือตะแกรงของแอตกิน [ ^{132 ] ใน}คณิตศาสตร์ขั้นสูงทฤษฎีตะแกรงใช้วิธีการที่คล้ายกันกับปัญหาอื่นๆ^{[ 133 ]}

การทดสอบสมัยใหม่ที่เร็วที่สุดบางส่วนสำหรับการตรวจสอบว่าจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่${\displaystyle n}$นั้น คือ อัลกอริธึม เชิงความน่าจะ เป็น (หรือมอนเตคาร์โล ) ซึ่งหมายความว่าอัลกอริธึมเหล่านี้มีโอกาสสุ่มเล็กน้อยที่จะให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง^{[ 134 ]}ตัวอย่างเช่นการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของโซโลวาย-สตราสเซนบนจำนวนที่กำหนดจะเลือกจำนวนแบบสุ่มจาก 2 ถึงและใช้การ${\displaystyle p}$ยกกำลังแบบโมดูลาร์เพื่อตรวจสอบว่าหารด้วย ลงตัวหรือไม่[ ^{d ] ถ้า}ลงตัวจะตอบว่าใช่ และถ้าไม่ลงตัว จะตอบว่าไม่ใช่ ถ้า เป็นจำนวน เฉพาะจริง ๆ จะตอบว่าใช่เสมอ แต่ถ้า เป็น จำนวนประกอบจะตอบว่าใช่ด้วยความน่าจะเป็นอย่างมากที่สุด 1/2 และตอบว่าไม่ใช่ด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 1/2 ^{[ 135 ]}หากทำการทดสอบนี้ซ้ำ⁠ ⁠ครั้งกับจำนวนเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จำนวนประกอบจะผ่านการทดสอบทุกครั้งจะมีค่าสูงสุดเพียง⁠ ⁠ เท่านั้นเนื่องจากค่านี้ลดลงแบบเลขชี้กำลังตามจำนวนการทดสอบ จึงทำให้มีความมั่นใจสูง (แม้จะไม่ใช่ความแน่นอน) ว่าจำนวนที่ผ่านการทดสอบซ้ำนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ ในทางกลับกัน หากการทดสอบล้มเหลว แสดงว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนประกอบอย่างแน่นอน^{[ 136 ]} จำนวนประกอบที่ผ่านการทดสอบดังกล่าวเรียกว่าจำนวนเฉพาะเทียม^{[ 135 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle p-2}$${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/2^{n}}$

ในทางตรงกันข้าม อัลกอริทึมอื่นๆ บางตัวรับประกันว่าคำตอบของพวกมันจะถูกต้องเสมอ: จำนวนเฉพาะจะถูกกำหนดว่าเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ และจำนวนประกอบจะถูกกำหนดว่าเป็นจำนวนประกอบเสมอ ตัวอย่างเช่น นี่เป็นความจริงของการหารแบบทดลอง อัลกอริทึมที่มีผลลัพธ์ที่รับประกันความถูกต้องนั้นรวมถึง อัลกอริทึม แบบกำหนด (ไม่ใช่แบบสุ่ม) เช่นการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ AKS [ ^{137 ]} และอัลกอริทึม Las Vegas แบบสุ่ม ซึ่งการเลือกแบบสุ่มที่ทำโดยอัลกอริทึมจะไม่ส่งผลต่อคำ ^ตอบสุดท้าย เช่นการพิสูจน์ความเป็นจำนวนเฉพาะของเส้นโค้งวงรี บางรูป แบบ^{[ 134 ]} เมื่อวิธีการเส้นโค้งวงรีสรุปว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ มันจะให้ใบรับรองความเป็นจำนวนเฉพาะที่สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็ว^{[ 138 ]} การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของเส้นโค้งวงรีเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในทางปฏิบัติของการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะที่รับประกันความถูกต้อง แต่มีเพียงข้อโต้แย้งเชิงฮิวริสติกสำหรับประสิทธิภาพที่รวดเร็วมากกว่าการพิสูจน์ที่เข้มงวด การทดสอบจำนวนเฉพาะ AKS ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าทำงานในเวลาพหุนามแต่มีเลขชี้กำลังพหุนามที่สูงกว่า ทำให้ในทางปฏิบัติช้ากว่าการทดสอบเส้นโค้งวงรี^{[ 139 ]}วิธีการเหล่านี้สามารถใช้เพื่อสร้างจำนวนเฉพาะแบบสุ่มขนาดใหญ่ได้ โดยการสร้างและทดสอบตัวเลขสุ่มจนกว่าจะพบตัวเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อทำเช่นนี้ การทดสอบความน่าจะเป็นที่เร็วกว่าสามารถกำจัดจำนวนประกอบส่วนใหญ่ได้อย่างรวดเร็วก่อนที่จะใช้อัลกอริทึมที่รับประกันความถูกต้องเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขที่เหลือเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ e ]}

ตารางต่อไปนี้แสดงรายการการทดสอบบางส่วน เวลาในการทำงานระบุเป็น⁠ ⁠${\displaystyle n}$ซึ่งเป็นจำนวนที่จะทดสอบ และสำหรับอัลกอริธึมเชิงความน่าจะเป็น จำนวน⁠ ⁠${\displaystyle k}$ของการทดสอบที่ดำเนินการ นอกจากนี้เป็นจำนวนบวกขนาดเล็กที่กำหนดขึ้นเอง และ log คือลอการิทึมฐานที่ไม่ระบุสัญลักษณ์ Big Oหมายความว่าขอบเขตเวลาแต่ละค่าควรคูณด้วยค่าคงที่เพื่อแปลงจากหน่วยไร้มิติเป็นหน่วยเวลา ค่าคงที่นี้ขึ้นอยู่กับรายละเอียดการใช้งาน เช่น ประเภทของคอมพิวเตอร์ที่ใช้ในการรันอัลกอริธึม แต่ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อินพุต ⁠ ⁠และ⁠ ⁠${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

ทดสอบ	พัฒนาขึ้นใน	พิมพ์	ระยะเวลาการวิ่ง	หมายเหตุ	เอกสารอ้างอิง
การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ AKS	2002	กำหนดได้แน่นอน	${\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}$		[ 137 ] [ 140 ]
การพิสูจน์ความเป็นจำนวนเฉพาะของเส้นโค้งวงรี	พ.ศ. 2529	ลาสเวกัส	${\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}$โดยใช้หลักการเชิงอนุมาน		[ 139 ]
การทดสอบความเป็นไพรม์ของ Baillie–PSW	1980	มอนเตคาร์โล	${\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}$		[ 141 ] [ 142 ]
การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของมิลเลอร์-ราบิน	1980	มอนเตคาร์โล	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด${\displaystyle 4^{-k}}$	[ 143 ]
การทดสอบความเป็นเอกของโซโลเวย์–สตราสเซน	พ.ศ. 2520	มอนเตคาร์โล	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด${\displaystyle 2^{-k}}$	[ 143 ]

นอกเหนือจากการทดสอบที่กล่าวมาข้างต้นซึ่งใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติใดๆ แล้ว จำนวนบางจำนวนที่มีรูปแบบพิเศษยังสามารถทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะได้รวดเร็วยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่นการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะของ Lucas–Lehmerสามารถระบุได้ว่าจำนวน Mersenne (น้อยกว่ากำลังของสองอยู่ หนึ่ง ) เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ อย่างแน่นอน ในเวลาเดียวกันกับการทำซ้ำเพียงครั้งเดียวของการทดสอบ Miller–Rabin ^{[ 144 ]}นี่คือเหตุผลที่ตั้งแต่ปี 1992 (ณ เดือนตุลาคม 2024) จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักจึงเป็นจำนวนเฉพาะ Mersenne มาโดยตลอด^{[ 145 ]}มีการคาดการณ์ว่ามีจำนวนเฉพาะ Mersenne อยู่เป็นอนันต์^{[ 146 ]}

ตารางต่อไปนี้แสดงจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบแล้วของประเภทต่างๆ จำนวนเฉพาะเหล่านี้บางส่วนถูกค้นพบโดยใช้การคำนวณแบบกระจายในปี 2552 โครงการ Great Internet Mersenne Prime Searchได้รับรางวัล 100,000 ดอลลาร์สหรัฐสำหรับการค้นพบจำนวนเฉพาะที่มีอย่างน้อย 10 ล้านหลักเป็นครั้งแรก^{[ 147 ]}มูลนิธิElectronic Frontier Foundationยังเสนอเงินรางวัล 150,000 และ 250,000 ดอลลาร์สหรัฐสำหรับจำนวนเฉพาะที่มีอย่างน้อย 100 ล้านหลักและ 1 พันล้านหลักตามลำดับ^{[ 148 ]}

เมื่อกำหนดจำนวนเต็มประกอบ⁠ ⁠${\displaystyle n}$แล้ว งานในการหาตัวประกอบเฉพาะหนึ่งตัว (หรือทั้งหมด) เรียกว่าการแยก ตัวประกอบ ของ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ซึ่งยากกว่าการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะอย่างมาก^{[ 156 ]}และถึงแม้จะมีอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบมากมายที่เป็นที่รู้จัก แต่ก็ช้ากว่าวิธีการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะที่เร็วที่สุด การหารแบบทดลองและอัลกอริทึมโรของพอลลาร์ดสามารถใช้เพื่อหาตัวประกอบขนาดเล็กมากของ⁠ ⁠ ได้${\displaystyle n}$^{[ 128 ]}และการแยกตัวประกอบเส้นโค้งวงรีจะมีประสิทธิภาพเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle n}$มีตัวประกอบขนาดปานกลาง^{[ 157 ]} วิธี การที่เหมาะสมสำหรับจำนวนมากที่ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวประกอบ ได้แก่ตะแกรงกำลังสองและตะแกรงสนามจำนวนทั่วไปเช่นเดียวกับการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ ยังมีอัลกอริทึมการแยกตัวประกอบที่ต้องการให้ข้อมูลป้อนเข้ามีรูปแบบพิเศษ รวมถึงตะแกรงสนามจำนวนพิเศษด้วย^{[ 158 ]}ณ เดือนธันวาคม 2019 จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบว่าสามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยอัลกอริทึมทั่วไปคือRSA-240ซึ่งมีตัวเลขทศนิยม 240 หลัก (795 บิต) และเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองจำนวน^{[ 159 ]}

อัลกอริทึมของ Shorสามารถแยกตัวประกอบจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ในจำนวนขั้นตอนพหุนามบนคอมพิวเตอร์ควอนตัม [ ^{160 ] อย่างไรก็ตาม}เทคโนโลยีในปัจจุบันสามารถรันอัลกอริทึมนี้ได้เฉพาะกับจำนวนที่เล็กมากเท่านั้น ณ เดือนตุลาคม 2012 จำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่ถูกแยกตัวประกอบโดยคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่รันอัลกอริทึมของ Shor คือ 21 ^{[ 161 ]}

อัลกอริทึม การเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะหลายตัวเช่นRSAและการแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellmanนั้นใช้จำนวนเฉพาะขนาดใหญ่เป็นพื้นฐาน (จำนวนเฉพาะ 2048 บิตเป็นเรื่องปกติ) ^{[ 162 ]} RSA อาศัยสมมติฐานที่ว่าการคูณจำนวนสองจำนวน (ขนาดใหญ่) ⁠ ⁠${\displaystyle x}$และ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ นั้นง่ายกว่ามาก (กล่าวคือ มีประสิทธิภาพมากกว่า) การคำนวณ⁠ ⁠${\displaystyle x}$และ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ (สมมติว่าเป็น จำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์ ) หาก ทราบเพียงผลคูณเท่านั้น^{[ 31 ]}การแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellman อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ามีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการยกกำลังแบบโมดูลาร์ (การคำนวณ⁠ ⁠ ) ในขณะที่การดำเนินการย้อนกลับ ( ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่อง ) ถือว่าเป็นปัญหาที่ยาก^{[ 163 ]}${\displaystyle xy}$${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$

จำนวนเฉพาะมักถูกใช้สำหรับตารางแฮชตัวอย่างเช่น วิธีการดั้งเดิมของ Carter และ Wegman สำหรับการแฮชแบบสากลนั้นขึ้นอยู่กับการคำนวณฟังก์ชันแฮชโดยการเลือกฟังก์ชันเชิงเส้น แบบสุ่ม โมดูลัสจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ Carter และ Wegman ได้ขยายวิธีการนี้ไปสู่การแฮชแบบอิสระโดยใช้${\displaystyle k}$พหุนามดีกรีสูงกว่า โดยโมดูลัสจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่เช่นกัน^{[ 164 ]}นอกจากในฟังก์ชันแฮชแล้ว จำนวนเฉพาะยังถูกใช้สำหรับขนาดของตารางแฮชในตาราง แฮชแบบ การตรวจสอบกำลังสองเพื่อให้แน่ใจว่าลำดับการตรวจสอบครอบคลุมทั้งตาราง^{[ 165 ]}

วิธี ตรวจสอบผลรวมบางวิธีใช้คณิตศาสตร์ของจำนวนเฉพาะเป็นพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ผลรวมที่ใช้ในตัวเลขมาตรฐานสากล (International Standard Book Numbers)กำหนดโดยการหารเศษของตัวเลขด้วยโมดูลัส 11 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก 11 เป็นจำนวนเฉพาะ วิธีนี้จึงสามารถตรวจจับได้ทั้งข้อผิดพลาดในหลักเดียวและการสลับตำแหน่งของตัวเลขที่อยู่ติดกัน^{[ 166 ]}วิธีตรวจสอบผลรวมอีกวิธีหนึ่งคือAdler-32 ใช้เลขคณิตโมดูลัส 65521 ซึ่ง เป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่า⁠ ⁠ ${\displaystyle 2^{16}}$^{[ 167 ]}จำนวนเฉพาะยังถูกใช้ในตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมรวมถึงตัวสร้างเชิงเส้นแบบคอนกรุเอทีฟ^{[ ​​168 ]}และMersenne Twister ^{[ 169 ]}

จำนวนเฉพาะมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีจำนวน แต่ยังมีการประยุกต์ใช้มากมายในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ รวมถึงพีชคณิตนามธรรมและเรขาคณิตเบื้องต้น ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะวางจุดจำนวนเฉพาะในตารางสองมิติโดยที่ไม่มีจุดสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือเพื่อให้สามเหลี่ยมทุกรูปที่เกิดจากจุดสามจุดมีพื้นที่ขนาดใหญ่ [ ^{170 ] อีก}ตัวอย่างหนึ่งคือเกณฑ์ของไอเซนสไตน์ซึ่งเป็นการทดสอบว่าพหุนามไม่สามารถ แยกตัวประกอบได้หรือไม่ โดยพิจารณาจากการหารลงตัวของสัมประสิทธิ์ด้วยจำนวนเฉพาะและกำลังสองของจำนวนเฉพาะนั้น^{[ 171 ]}

แนวคิดของจำนวนเฉพาะมีความสำคัญมากจนได้รับการขยายความในรูปแบบต่างๆ ในสาขาคณิตศาสตร์หลายสาขา โดยทั่วไป คำว่า "เฉพาะ" บ่งชี้ถึงความน้อยที่สุดหรือความไม่สามารถแยกส่วนได้ ในความหมายที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่นฟิลด์เฉพาะของฟิลด์ที่กำหนดคือฟิลด์ย่อยที่เล็กที่สุดที่มีทั้ง 0 และ 1 ซึ่งอาจเป็นฟิลด์ของจำนวนตรรกยะหรือฟิลด์จำกัดที่มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนเฉพาะ จึงเป็นที่มาของชื่อ^{[ 172 ]}บ่อยครั้งที่การใช้คำว่าเฉพาะมีความหมายเพิ่มเติมประการที่สอง กล่าวคือ วัตถุใดๆ ก็สามารถแยกส่วนเป็นส่วนประกอบเฉพาะได้อย่างไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีปม ปมเฉพาะคือปมที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ในแง่ที่ว่าไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของปมที่ไม่ใช่ปมธรรมดา 2 ปมใดๆ ก็สามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมที่เชื่อมต่อกันของปมเฉพาะ^{[ 173 ]}การแยกส่วนเฉพาะของ 3-แมนิโฟลด์เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของประเภทนี้^{[ 174 ]}

นอกเหนือจากคณิตศาสตร์และการคำนวณแล้ว จำนวนเฉพาะยังมีศักยภาพที่จะเชื่อมโยงกับกลศาสตร์ควอนตัมและถูกนำมาใช้ในเชิงเปรียบเทียบในงานศิลปะและวรรณกรรม นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในชีววิทยาวิวัฒนาการเพื่ออธิบายวงจรชีวิตของจักจั่น อีก ด้วย

จำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์คือจำนวนเฉพาะที่มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

โดยเป็นจำนวน${\displaystyle k}$เต็มที่ไม่เป็นลบ [ 175 ] ^{พวกมันถูก}ตั้งชื่อตามปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ผู้ซึ่งตั้งสมมติฐานว่าจำนวนดังกล่าวทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนห้าจำนวนแรกเหล่านี้ ได้แก่ 3, 5, 17, 257 และ 65,537 เป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 176 ]}แต่เป็นจำนวนประกอบ เช่นเดียวกับจำนวนแฟร์มาต์อื่นๆ ทั้งหมดที่ได้รับการตรวจสอบแล้ว ณ ปี 2017 ^{[ 177 ]}รูปหลายเหลี่ยมปกติ ⁠ ⁠สามารถสร้างได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะคี่ของ⁠ ⁠ (ถ้ามี) เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์ที่แตกต่างกัน^{[ 176 ]} ในทำนองเดียวกัน รูปหลาย เหลี่ยมปกติ⁠ ⁠ สามารถสร้างได้โดยใช้ไม้บรรทัด วงเวียน และตัวแบ่งมุมสามส่วนก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะของ⁠ ⁠ คือจำนวนสำเนาใดๆ ของ 2 หรือ 3 พร้อมกับเซตของ จำนวนเฉพาะเพียร์พอนต์ที่แตกต่างกัน (อาจว่างเปล่า) ซึ่ง^เป็นจำนวนเฉพาะในรูปแบบ⁠ ⁠ [ ^{178 ]}${\displaystyle F_{5}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$

เป็นไปได้ที่จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ ออกเป็นรูป หลายเหลี่ยมนูนขนาดเล็กกว่าที่ ${\displaystyle n}$^มีพื้นที่เท่ากันและเส้นรอบวงเท่ากัน เมื่อ^เป็นกำลัง${\displaystyle n}$ของจำนวนเฉพาะแต่ไม่ทราบค่านี้สำหรับค่าอื่นๆของ[ 179 ${\displaystyle n}$^]

นับตั้งแต่ผลงานของHugh MontgomeryและFreeman Dysonในช่วงทศวรรษ 1970 นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่าศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์นั้นเชื่อมโยงกับระดับพลังงานของระบบควอนตัม [ ^{180 ] [ 181 ] จำนวน}เฉพาะยังมีความสำคัญในวิทยาศาสตร์ข้อมูลควอนตัมด้วย เนื่องจากโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ เช่นฐานที่ไม่เอนเอียงซึ่งกันและกันและการวัดค่าตัวดำเนินการบวกที่สมบูรณ์แบบทางข้อมูลแบบสมมาตร^{[ 182 ] [ 183 ]}

กลยุทธ์วิวัฒนาการที่ใช้โดยจักจั่นสกุลMagicicadaใช้จำนวนเฉพาะ^{[ 184 ]}แมลงเหล่านี้ใช้ชีวิตส่วนใหญ่อยู่ในตัวหนอนใต้ดิน พวกมันจะเข้าดักแด้และออกมาจากโพรงหลังจาก 7, 13 หรือ 17 ปี จากนั้นพวกมันจะบินไปมา ผสมพันธุ์ แล้วก็ตายหลังจากนั้นไม่กี่สัปดาห์ นักชีววิทยาตั้งทฤษฎีว่าความยาวของวงจรการผสมพันธุ์ที่เป็นจำนวนเฉพาะเหล่านี้ได้วิวัฒนาการขึ้นเพื่อป้องกันไม่ให้ผู้ล่าปรับตัวให้เข้ากับวงจรเหล่านี้^{[ 185 ] [ 186 ]}ในทางตรงกันข้าม ช่วงเวลาหลายปีระหว่างการออกดอกของ ต้น ไผ่ถูกตั้งสมมติฐานว่าเป็นจำนวนเรียบซึ่งมีเพียงจำนวนเฉพาะขนาดเล็กในการแยกตัวประกอบ^{[ 187 ]}

จำนวนเฉพาะมีอิทธิพลต่อศิลปินและนักเขียนหลายคนนักประพันธ์ ชาวฝรั่งเศส Olivier Messiaenใช้จำนวนเฉพาะเพื่อสร้างดนตรีไร้จังหวะผ่าน "ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ" ในผลงานเช่นLa Nativité du Seigneur (1935) และQuatre études de rythme (1949–1950) เขาใช้โมทีฟที่มีความยาวที่กำหนดโดยจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันพร้อมกันเพื่อสร้างจังหวะที่คาดเดาไม่ได้: จำนวนเฉพาะ 41, 43, 47 และ 53 ปรากฏในเอตูเดที่สาม "Neumes rythmiques" ตามที่ Messiaen กล่าว วิธีการประพันธ์นี้ "ได้รับแรงบันดาลใจจากการเคลื่อนไหวของธรรมชาติ การเคลื่อนไหวที่มีระยะเวลาอิสระและไม่เท่ากัน" ^{[ 188 ]}

ในนวนิยายวิทยาศาสตร์เรื่อง Contact ของเขา นักวิทยาศาสตร์Carl Saganเสนอว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะสามารถใช้เป็นวิธีการสร้างระนาบภาพสองมิติในการสื่อสารกับมนุษย์ต่างดาว ซึ่งเป็นแนวคิดที่เขาพัฒนาขึ้นอย่างไม่เป็นทางการครั้งแรกกับนักดาราศาสตร์ชาวอเมริกันFrank Drakeในปี 1975 ^{[ 189 ]}ในนวนิยายเรื่องThe Curious Incident of the Dog in the Night-TimeโดยMark Haddonผู้เล่าเรื่องจัดเรียงส่วนต่างๆ ของเรื่องราวตามจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกันเพื่อสื่อถึงสภาพจิตใจของตัวละครหลัก ซึ่งเป็นวัยรุ่นที่มีพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์และเป็นโรคแอสเพอร์เกอร์ [ ^{190 ] จำนวน}เฉพาะถูกใช้เป็นอุปมาอุปไมยสำหรับความเหงาและความโดดเดี่ยวในนวนิยายเรื่องThe Solitude of Prime Numbers ของ Paolo Giordanoซึ่งพวกมันถูกพรรณนาว่าเป็น "คนนอก" ท่ามกลางจำนวนเต็ม^{[ 191 ]}ภาพยนตร์แนวปล้นเรื่องSneakersในปี 1992 นำเสนอวิธีการสมมติสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนมากให้เป็นจำนวนเฉพาะอย่างรวดเร็ว ซึ่งทำให้สามารถถอดรหัสระบบการเข้ารหัสของคอมพิวเตอร์ได้^{[ 192 ] [ 193 ] [ 194 ]}

• "จำนวนเฉพาะ" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . EMS Press . 2001 [1994].
• Caldwell , Chris, The Prime Pagesที่primes.utm.edu
• จำนวนเฉพาะใน รายการ In Our Timeทางช่องBBC
• " ชุดสื่อการสอนสำหรับครู: จำนวนเฉพาะ " จากนิตยสาร Plusฉบับวันที่ 1 ธันวาคม 2551 จัดทำโดยโครงการคณิตศาสตร์แห่งสหัสวรรษ มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

• เครื่องคำนวณตัวประกอบเฉพาะสามารถแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ได้ที่มีตัวเลขไม่เกิน 20 หลัก
• การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะแบบออนไลน์ที่รวดเร็วพร้อมการแยกตัวประกอบใช้ระเบียบวิธีเส้นโค้งวงรี (สำหรับตัวเลขที่มีมากถึงพันหลัก ต้องใช้ Java)
• ฐานข้อมูลขนาดใหญ่ของจำนวนเฉพาะ
• จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 0 ถึง 1 ล้านล้านเก็บถาวรเมื่อ 27 กุมภาพันธ์ 2021 ที่Wayback Machine