ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงซ้อนคือการศึกษา โครงสร้างและการสร้างทาง เรขาคณิตที่เกิดขึ้นจากหรืออธิบายโดยจำนวนเชิงซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับการศึกษาพื้นที่เช่นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนและวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวและการสร้างเชิงโฮโลมอร์ฟิก เช่นบันเดิลเวกเตอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิกและชีฟที่สอดคล้องกัน^{[ 1 ]}การประยุกต์ใช้วิธีการเชิงอภิปรัชญากับเรขาคณิตพีชคณิตจัดอยู่ในหมวดหมู่นี้ พร้อมกับแง่มุมทางเรขาคณิตอื่นๆ ของการ วิเคราะห์เชิงซ้อน

เรขาคณิตเชิงซ้อนอยู่ตรงจุดตัดของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์เชิงซ้อน และใช้เครื่องมือจากทั้งสามสาขา เนื่องจากเป็นการผสมผสานเทคนิคและแนวคิดจากหลากหลายสาขา ปัญหาในเรขาคณิตเชิงซ้อนจึงมักแก้ไขได้ง่ายกว่าหรือเป็นรูปธรรมมากกว่าในเรขาคณิตทั่วไป ตัวอย่างเช่น การจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนและวาไรตี้เชิงพีชคณิตเชิงซ้อนผ่านโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำและการสร้างปริภูมิโมดูลัสทำให้สาขานี้แตกต่างจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งการจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์เรียบ ที่เป็นไปได้ นั้นเป็นปัญหาที่ยากกว่ามาก นอกจากนี้ โครงสร้างพิเศษของเรขาคณิตเชิงซ้อนยังช่วยให้สามารถ พิสูจน์ผลลัพธ์ เชิงวิเคราะห์ทั่วโลกได้สำเร็จอย่างมาก โดย เฉพาะอย่างยิ่งใน บริบทแบบกระชับ รวมถึงการพิสูจน์สมมติฐาน คาลาบี ของ ชิง-ตุง เยา การสอดคล้อง ของฮิตชิน-โคบายาชิ การสอดคล้องของฮอดจ์แบบไม่เชิงอะเบ เลียน และผลลัพธ์การมีอยู่ของเมตริกคาห์เลอร์-ไอน์สไตน์และ เมตริกคาห์เลอ ร์ที่มีความโค้งสเกลาร์คงที่ผลลัพธ์เหล่านี้มักส่งผลย้อนกลับไปยังเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่ซับซ้อน และตัวอย่างเช่น เมื่อไม่นานมานี้ การจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์ฟาโนโดยใช้ความเสถียรของ K ได้รับประโยชน์อย่างมหาศาลจากทั้งเทคนิคใน การ วิเคราะห์และในเรขาคณิตไบราชันนัล บริสุทธิ์

เรขาคณิตเชิงซ้อนมีประโยชน์อย่างมากในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นในการทำความเข้าใจทฤษฎีสนามคอนฟอร์ม อ ลทฤษฎีสตริงและสมมาตรกระจกเงานอกจากนี้ยังมักเป็นแหล่งที่มาของตัวอย่างในสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่นทฤษฎีการแทน (representation theory)ที่สามารถศึกษาความหลากหลายธงทั่วไป (generalized flag varieties) โดยใช้เรขาคณิตเชิงซ้อน ซึ่งนำไปสู่ ทฤษฎีบทโบเรล-ไวล์-บอตต์ (Borel–Weil–Bott theorem)หรือ เรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก (symplectic geometry ) ที่ แมนิโฟลด์คาห์ เลอร์ (Kähler manifolds)เป็นซิมเพล็ก ติก เรขาคณิตแบบ รีมันน์ (Riemannian geometry)ที่แมนิโฟลด์เชิงซ้อนเป็นตัวอย่างของโครงสร้างเมตริกที่แปลกใหม่ เช่น แมนิโฟลด์ คาลาบี-เยา ( Calabi–Yau manifolds)และ แมนิโฟลด์ไฮเปอร์คาห์ เลอร์ (hyperkähler manifolds ) และทฤษฎีเกจ (gauge theory ) ที่กลุ่มเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก (holomorphic vector bundles)มักมีคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ ที่สำคัญ ซึ่งเกิดขึ้นจากฟิสิกส์ เช่น สมการหยาง-มิลส์ ( Yang–Mills equations ) เรขาคณิตเชิงซ้อนยังมีอิทธิพลอย่างมากต่อเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบริสุทธิ์ โดยผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์ในบริบทเชิงซ้อน เช่นทฤษฎี Hodgeของแมนิโฟลด์ Kähler เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดความเข้าใจโครงสร้าง Hodgeสำหรับวาไรตี้และสกีมรวมถึงทฤษฎี Hodge แบบ p-adic ทฤษฎีการเปลี่ยนรูปสำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดความเข้าใจทฤษฎีการเปลี่ยนรูปของสกีม และผลลัพธ์เกี่ยวกับโคฮอโมโลยีของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการกำหนดสมมติฐาน WeilและสมมติฐานมาตรฐานของGrothendieckในทางกลับกัน ผลลัพธ์และเทคนิคจากหลายสาขาเหล่านี้มักจะส่งผลย้อนกลับไปยังเรขาคณิตเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น การพัฒนาในคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสตริงและสมมาตรกระจกเงาได้เปิดเผยมากมายเกี่ยวกับธรรมชาติของแมนิโฟลด์ Calabi–Yauซึ่งนักทฤษฎีสตริงทำนายว่าควรมีโครงสร้างของไฟเบอร์แบบ Lagrangian ผ่านสมมติฐานSYZและการพัฒนาทฤษฎี Gromov–Wittenของ แมนิ โฟลด์เชิงซิม เพล็กติก ได้นำไปสู่ความก้าวหน้าในเรขาคณิตเชิงนับของวาไรตี้เชิงซ้อน

ข้อสันนิษฐาน ของHodgeซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษเป็นปัญหาในเรขาคณิตเชิงซ้อน^{[ 2 ]}

โดยทั่วไป เรขาคณิตเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับพื้นที่และวัตถุทางเรขาคณิต ซึ่งจำลองขึ้นบน ระนาบเชิงซ้อนในบางแง่คุณสมบัติของระนาบเชิงซ้อนและการวิเคราะห์เชิงซ้อนของตัวแปรเดียว เช่น แนวคิดเรื่องการวางแนวโดย ธรรมชาติ (นั่นคือ สามารถหมุนทวนเข็มนาฬิกาได้ 90 องศาอย่างสม่ำเสมอในทุกจุดบนระนาบเชิงซ้อน) และความแข็งแกร่งของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (นั่นคือ การมีอยู่ของอนุพันธ์เชิงซ้อนตัวเดียวหมายถึงความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนในทุกอันดับ) ปรากฏให้เห็นในทุกรูปแบบของการศึกษาเรขาคณิตเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น แมนิโฟลด์เชิงซ้อนทุกตัวสามารถวางแนวได้ตามหลักการ^{[ 3 ]}และทฤษฎีบทของ Liouville รูปแบบหนึ่ง ใช้ได้กับ แมนิโฟลด์เชิงซ้อน แบบกะทัดรัดหรือวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนแบบ โปรเจ คทีฟ

เรขาคณิตเชิงซ้อนมีลักษณะที่แตกต่างจากสิ่งที่เรียกว่า เรขาคณิต จริงซึ่งเป็นการศึกษาปริภูมิที่อาศัยคุณสมบัติทางเรขาคณิตและเชิงวิเคราะห์ของเส้นจำนวนจริงตัวอย่างเช่น ในขณะที่แมนิโฟลด์เรียบยอมรับการแบ่งส่วนของเอกภาพซึ่งเป็นชุดของฟังก์ชันเรียบที่เท่ากับหนึ่งในเซตเปิด บางเซต และเท่ากับศูนย์ในที่อื่น ๆ แมนิโฟลด์เชิงซ้อนไม่ยอมรับชุดของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกดังกล่าว อันที่จริง นี่คือการแสดงออกของทฤษฎีบทเอกลักษณ์ซึ่งเป็นผลลัพธ์ทั่วไปในเรขาคณิตเชิงซ้อนของตัวแปรเดียว ในแง่หนึ่ง ความแปลกใหม่ของเรขาคณิตเชิงซ้อนอาจสืบย้อนไปถึงการสังเกตพื้นฐานนี้ได้

เป็นความจริงที่ว่าทุกแมนิโฟลด์เชิงซ้อนโดยเฉพาะเป็นแมนิโฟลด์เรียบจริง นี่เป็นเพราะระนาบเชิงซ้อนนั้นหลังจากลืมโครงสร้างเชิงซ้อนแล้ว จะสมมาตรกับระนาบจริงอย่างไรก็ตาม เรขาคณิตเชิงซ้อนมักไม่ถูกมองว่าเป็นสาขาย่อยเฉพาะของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นการศึกษาแมนิโฟลด์เรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบท GAGAของSerreกล่าวว่าวาไรตี้เชิงวิเคราะห์เชิง โปรเจกทีฟทุกตัว เป็นวาไรตี้เชิงพีชคณิต และการ ศึกษา ข้อมูลโฮโลมอร์ฟิกบนวาไรตี้เชิงวิเคราะห์เทียบเท่ากับการศึกษาข้อมูลเชิงพีชคณิต^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ความเท่าเทียมกันนี้แสดงให้เห็นว่าเรขาคณิตเชิงซ้อนในบางแง่มุมนั้นใกล้เคียงกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมากกว่าเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์อีกตัวอย่างหนึ่งที่เชื่อมโยงกลับไปยังธรรมชาติของระนาบเชิงซ้อนคือ ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนของตัวแปรเดียว ความผิดปกติของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกสามารถอธิบายได้ง่าย ในทางตรงกันข้าม พฤติกรรมที่ผิดปกติของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องนั้นยากที่จะระบุลักษณะเฉพาะได้มากกว่ามาก ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถศึกษา ปริภูมิ ที่ผิดปกติในเรขาคณิตเชิงซ้อนได้อย่างง่ายดาย เช่น วาไรตี้เชิงวิเคราะห์ เชิงซ้อนที่ผิดปกติ หรือวาไรตี้เชิงพีชคณิตเชิงซ้อนที่ผิดปกติ ในขณะที่ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มักจะหลีกเลี่ยงการศึกษาปริภูมิที่ผิดปกติ

ในทางปฏิบัติ เรขาคณิตเชิงซ้อนอยู่ตรงจุดตัดระหว่างเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต และการวิเคราะห์ในตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวและนักเรขาคณิตเชิงซ้อนใช้เครื่องมือจากทั้งสามสาขาเพื่อศึกษาปริภูมิเชิงซ้อน ทิศทางความสนใจทั่วไปในเรขาคณิตเชิงซ้อน ได้แก่การจำแนก ประเภท ของปริภูมิเชิงซ้อน การศึกษาวัตถุโฮโลมอร์ฟิกที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเหล่านั้น (เช่นบันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกและชีฟโคเฮเรนต์ ) และความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างวัตถุทางเรขาคณิตเชิงซ้อนกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เรขาคณิตเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับการศึกษาแมนิโฟลด์เชิงซ้อนและ วาไร ตี้เชิงพีชคณิตและเชิงวิเคราะห์ เชิงซ้อน ในส่วนนี้ จะมีการนิยามปริภูมิประเภทต่างๆ เหล่านี้ และนำเสนอความสัมพันธ์ระหว่างกัน

แมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติคือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีชุดคลุมเปิดและตระกูลของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมจากไปยังเซตย่อยเปิดของโดยที่: ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha \in A}}$${\displaystyle (\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to V_{\alpha })_{\alpha \in A}}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle V_{\alpha }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• ${\displaystyle X}$เป็นHausdorffและ เป็นคำนามนับ ได้ลำดับที่สอง
• ถ้าและ เป็นแผนภูมิ ที่ทับซ้อนกันสองอันใดๆ ซึ่งแมปไปยังเซตเปิดของตามลำดับฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจะเป็นไบโฮโลมอร์ฟิซึม^{[ 1 ]}${\displaystyle (U_{1},\varphi )}$${\displaystyle (U_{2},\psi )}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})}$

โปรดสังเกตว่า เนื่องจากไบโฮโลมอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นดิฟฟีโอมอร์ฟิซึมและเป็นไอโซมอร์ฟิซึมในฐานะปริภูมิเวกเตอร์จริง กับ ดังนั้น แมนิ โฟลด์เชิงซ้อนทุกตัวที่มี มิติ จึงเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติซึ่งเป็นจำนวนคู่เสมอ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$

ตรงกันข้ามกับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนซึ่งเรียบเสมอ เรขาคณิตเชิงซ้อนยังเกี่ยวข้องกับปริภูมิที่อาจเป็นเอกฐานด้วย วาไรตี้เชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนแบบแอฟฟินคือเซตย่อยของ ปริภูมิ โดยที่รอบจุดแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงแบบเปิดของ จุดนั้น และมีชุดของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจำนวนจำกัดซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข โดยธรรมเนียมแล้ว เรายังกำหนดให้เซตนั้นเป็น เซต ที่ไม่สามารถลดทอนได้จุดจะเป็นเอกฐานหากเมทริกซ์จาโคเบียนของเวกเตอร์ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกไม่มีอันดับเต็มที่จุดนั้นและจะเป็นไม่เอกฐานในกรณีอื่น ๆวาไรตี้เชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟคือเซตย่อยของปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ ซึ่งในทำนองเดียวกัน กำหนดโดยค่าศูนย์ของชุดฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจำนวนจำกัดบนเซตย่อยแบบเปิดของปริภูมิ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

ในทำนองเดียวกัน เราอาจนิยามวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนแบบแอฟฟินว่าเป็นเซตย่อยซึ่งกำหนดให้เป็นเซตศูนย์ของพหุนามจำนวนจำกัดในตัวแปรเชิงซ้อนได้ในระดับท้องถิ่น ส่วนการนิยาม วาไร ตี้พีชคณิตเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟนั้น จำเป็นต้องให้เซตย่อยนั้นกำหนดให้เป็นเซตศูนย์ของพหุนามเอกพันธุ์จำนวนจำกัดในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$

ในการกำหนดนิยามของวาไรตี้เชิงพีชคณิตหรือเชิงวิเคราะห์เชิงซับซ้อนทั่วไป จำเป็นต้องใช้แนวคิดของปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่ วาไรตี้เชิงพีชคณิต/เชิงวิเคราะห์เชิงซับซ้อนคือปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่ซึ่งมีสมมาตรเฉพาะที่กับปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่ของวาไรตี้เชิงพีชคณิต/เชิงวิเคราะห์เชิงซับซ้อนแบบแอฟฟิน ในกรณีของเชิงวิเคราะห์ โดยทั่วไปจะอนุญาตให้มีโทโพโลยีที่เทียบเท่าเฉพาะที่กับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยเนื่องจากการระบุกับเซตเปิดของในขณะที่ในกรณีของเชิงพีชคณิตมักจะมีโทโพโลยีแบบซาริสกี้และตามธรรมเนียมแล้ว เรายังกำหนดให้ปริภูมิที่มีวงแหวนเฉพาะที่นี้เป็นปริภูมิที่ไม่สามารถลดทอนได้อีกด้วย ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle X}$

เนื่องจากนิยามของจุดเอกฐานเป็นแบบเฉพาะที่ นิยามที่ใช้สำหรับวาไรตีเชิงวิเคราะห์/พีชคณิตเชิงเส้นจึงใช้ได้กับจุดของวาไรตีเชิงวิเคราะห์หรือพีชคณิตเชิงซ้อนใดๆ เซตของจุดในวาไรตีที่เป็นจุดเอกฐานเรียกว่าโลคัสเอกฐาน (singular locus) ซึ่ง เขียน แทนด้วย และส่วนเติมเต็มคือ โลคัสไม่เอกฐานหรือ โลคัสเรียบ(non-singular or smooth locus) ซึ่งเขียนแทนด้วยเรากล่าวว่าวาไรตีเชิงซ้อนนั้นเรียบหรือไม่เอกฐานถ้าโลคัสเอกฐานของมันว่างเปล่า นั่นคือ ถ้ามันเท่ากับโลคัสไม่เอกฐานของมัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{sing}}$${\displaystyle X^{nonsing}}$

ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายสำหรับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก แมนิโฟลด์เชิงซ้อนทุกตัวโดยเฉพาะจะเป็นวาไรตีเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนที่ไม่เอกฐาน แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นแอฟฟินหรือโปรเจคทีฟ ตามทฤษฎีบท GAGAของSerreวาไรตีเชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนโปรเจคทีฟทุกตัวเป็นวาไรตีเชิงพีชคณิตเชิงซ้อนโปรเจคทีฟ เมื่อวาไรตีเชิงซ้อนไม่เอกฐาน มันจะเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน โดยทั่วไปแล้ว ตำแหน่งที่ไม่เอกฐานของ วาไรตีเชิงซ้อน ใดๆ ก็เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนเช่นกัน

แมนิโฟลด์เชิงซ้อนอาจศึกษาได้จากมุมมองของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยที่แมนิโฟลด์เหล่านี้มีโครงสร้างทางเรขาคณิตเพิ่มเติม เช่นเมตริกแบบรีมันน์หรือรูปแบบซิมเพล็กติกเพื่อให้โครงสร้างเพิ่มเติมนี้มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงซ้อน เราควรขอให้โครงสร้างนั้นเข้ากันได้กับโครงสร้างเชิงซ้อนในความหมายที่เหมาะสม แมนิโฟลด์คาห์เลอร์เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีเมตริกแบบรีมันน์และโครงสร้างซิมเพล็กติกที่เข้ากันได้กับโครงสร้างเชิงซ้อน^{[ 5 ]}แมนิโฟลด์ย่อยเชิงซ้อนทุกตัวของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์เป็นคาห์เลอร์ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งวาไรตี้เชิงซ้อนแบบแอฟฟินหรือแบบโปรเจคทีฟที่ไม่เอกฐานทุกตัวจะเป็นคาห์เลอร์ หลังจากจำกัดเมตริกแบบเฮอร์มิเชียนมาตรฐานบนหรือเมตริกแบบฟูบินี-สตูดีบนตามลำดับ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

ตัวอย่างสำคัญอื่นๆ ของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ ได้แก่พื้นผิวรีมันน์พื้นผิว K3และแมนิโฟลด์คาลาบี-ยาว

ทฤษฎีบท GAGA ของ Serre ยืนยันว่าวาไรตี้เชิงวิเคราะห์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟนั้นเป็นพีชคณิต ในขณะที่สิ่งนี้ไม่เป็นจริงอย่างเคร่งครัดสำหรับวาไรตี้เชิงแอฟฟิน แต่ก็มีกลุ่มของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่ทำหน้าที่คล้ายกับวาไรตี้เชิงพีชคณิตเชิงซ้อนแบบแอฟฟินมาก เรียกว่าแมนิโฟลด์สไตน์ แมนิโฟลด์จะเป็นสไตน์ก็ต่อเมื่อมันมีความนูนเชิงโฮโลมอร์ฟิกและแยกได้เชิงโฮโลมอร์ฟิก (ดูบทความเกี่ยวกับแมนิโฟลด์สไตน์สำหรับคำจำกัดความทางเทคนิค) อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงได้ว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับการยอมรับการฝังเชิงโฮโลมอร์ฟิกที่เหมาะสมลงในสำหรับบาง^{[ 6 ]}อีกวิธีหนึ่งที่แมนิโฟลด์สไตน์คล้ายกับวาไรตี้เชิงพีชคณิตเชิงซ้อนแบบแอฟฟินคือทฤษฎีบท A และ B ของ Cartanใช้ได้กับแมนิโฟลด์สไตน์ ^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์สไตน์ ได้แก่ พื้นผิวรีมันน์ที่ไม่กระชับ และวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนเชิงเส้นตรงที่ไม่เอกฐาน

กลุ่มของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนพิเศษคือแมนิโฟลด์ไฮเปอร์-เคห์เลอ ร์ ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่ยอมรับโครงสร้างเชิงซ้อนเกือบสมบูรณ์ที่เข้ากัน ได้สามแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ควอเทอร์เนียนดังนั้น แมนิโฟลด์ไฮเปอร์-เคห์เลอร์จึงเป็นแมนิโฟลด์เคห์เลอร์ในสามลักษณะที่แตกต่างกัน และส่งผลให้มีโครงสร้างทางเรขาคณิตที่หลากหลาย ${\displaystyle I,J,K}$${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id} }$

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ไฮเปอร์-เคเลอร์ ได้แก่ปริภูมิ ALE , พื้นผิว K3 , ปริภูมิโมดูลัสของบันเดิลฮิกส์, วา ไรตี้ควีเวอร์ และปริภูมิ โมดูลัสอื่นๆ อีกมากมายที่ เกิดขึ้นจากทฤษฎีเกจและทฤษฎีการแทน

ดังที่กล่าวมาแล้ว กลุ่มของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์เฉพาะกลุ่มหนึ่งคือแมนิโฟลด์คาลาบี-เยา ซึ่งแมนิโฟลด์เหล่านี้คือแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ที่มีบันเดิลแคนอนิกแบบไม่สำคัญโดยทั่วไปแล้ว นิยามของแมนิโฟลด์คาลาบี-เยาจำเป็นต้องมีความกะทัดรัดด้วย ในกรณีนี้การพิสูจน์สมมติฐานคาลาบีของเยาบ่งชี้ว่า ยอมรับเมตริกคาห์เลอร์ที่มี ความโค้งริชชีเป็นศูนย์และสิ่งนี้อาจถือได้ว่าเป็นนิยามที่เทียบเท่าของคาลาบี-เยา ${\displaystyle K_{X}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

แมนิโฟลด์คาลาบี-ยาวถูกนำไปใช้ในทฤษฎีสตริงและสมมาตรแบบมิเรอร์โดยใช้ในการจำลองมิติพิเศษ 6 มิติของปริภูมิเวลาในแบบจำลอง 10 มิติของทฤษฎีสตริง ตัวอย่างของแมนิโฟลด์คาลาบี-ยาว ได้แก่เส้นโค้งวงรีพื้นผิว K3 และวาไรตี้อาเบเลียนเชิงซ้อน

วา ไรตี้ฟาโนเชิงซ้อนคือ วาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนที่มี บันเดิลเส้นแอนติแคนอนิก ที่กว้างขวาง (กล่าวคือ กว้างขวาง) วาไรตี้ฟาโนมีความน่าสนใจอย่างมากในเรขาคณิตพีชคณิตเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตไบราชัน นั ล ซึ่งมักเกิดขึ้นในโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำตัวอย่างพื้นฐานของวาไรตี้ฟาโน ได้แก่ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ โดยที่และพื้นผิวเรียบของ ที่มีดีกรี น้อย กว่า${\displaystyle K_{X}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle K={\mathcal {O}}(-n-1)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n+1}$

วาไรตี้ทอริกเป็นวาไรตี้พีชคณิตเชิงซ้อนที่มีมิติซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยเปิดหนาแน่นที่เป็นไบโฮโลมอร์ฟิก กับ โดยมีแอคชั่นของซึ่งขยายแอคชั่นบนเซตย่อยเปิดหนาแน่นนั้น วาไรตี้ทอริกสามารถอธิบายได้ในเชิงการจัดเรียงโดยพัดทอริก ของมัน และอย่างน้อยที่สุดเมื่อมันไม่เอกฐาน โดยโพลีโทปโมเมนต์ โพลีโทปนี้คือรูปหลายเหลี่ยมในที่มีคุณสมบัติว่าจุดยอดใดๆ ก็สามารถใส่ลงในรูปแบบมาตรฐานของจุดยอดของออร์แธนต์บวกได้โดยแอคชั่นของวาไรตี้ทอริกสามารถหาได้จากปริภูมิที่เหมาะสมซึ่งไฟเบอร์เหนือโพลีโทป ${\displaystyle n}$${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$

โครงสร้างหลายอย่างที่กระทำบนวาไรตี้ทอริกนั้น สามารถอธิบายได้ด้วยวิธีอื่นในแง่ของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและเรขาคณิตของโพลีโทปโมเมนต์หรือพัดทอริกที่เกี่ยวข้อง ซึ่งทำให้วาไรตี้ทอริกเป็นกรณีทดสอบที่น่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับโครงสร้างหลายอย่างในเรขาคณิตเชิงซ้อน ตัวอย่างของวาไรตี้ทอริก ได้แก่ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน และบันเดิลเหนือปริภูมิเหล่านั้น

เนื่องจากความแข็งแกร่งของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและแมนิโฟลด์เชิงซ้อน เทคนิคที่ใช้ในการศึกษาแมนิโฟลด์เชิงซ้อนและวาไรตี้เชิงซ้อนจึงแตกต่างจากเทคนิคที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ทั่วไป และใกล้เคียงกับเทคนิคที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมากกว่า ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปัญหาหลายอย่างได้รับการแก้ไขโดยการสร้างข้อมูลเฉพาะที่และนำมาต่อกันในระดับสากลโดยใช้พาร์ติชันของเอกภาพ พาร์ติชันของเอกภาพไม่มีอยู่ในเรขาคณิตเชิงซ้อน ดังนั้นปัญหาที่ว่าเมื่อใดจึงสามารถนำข้อมูลเฉพาะที่มาต่อเข้ากับข้อมูลระดับสากลได้จึงมีความซับซ้อนมากขึ้น การวัดว่าเมื่อใดจึงสามารถนำข้อมูลเฉพาะที่มาต่อกันได้นั้นทำได้โดยใช้โคฮอโมโลยีของชีฟและชีฟและกลุ่มโคฮอโมโลยี ของชีฟ เป็นเครื่องมือสำคัญ

ตัวอย่างเช่น ปัญหาที่มีชื่อเสียงในการวิเคราะห์ตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวก่อนการนำนิยามสมัยใหม่มาใช้ คือปัญหาของคูซิน (Cousin problems)ซึ่งถามอย่างแม่นยำว่าเมื่อใดจึงจะสามารถเชื่อมต่อข้อมูลเมโรเมอร์ฟิกเฉพาะที่เพื่อให้ได้ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกทั่วโลกได้ ปัญหาเก่าเหล่านี้สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายหลังจากมีการนำชีฟ (sheaves) และกลุ่มโคฮอโมโลยี (cohomology groups) มาใช้

ตัวอย่างพิเศษของชีฟที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงซ้อน ได้แก่บันเดิลเส้น โฮโลมอร์ฟิก (และตัวหารที่เกี่ยวข้องกับบันเดิลเหล่านั้น) บันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกและชีฟโคเฮเรนต์เนื่องจากโคฮอโมโลยีของชีฟวัดสิ่งกีดขวางในเรขาคณิตเชิงซ้อน เทคนิคหนึ่งที่ใช้คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทการหายไป ตัวอย่างของทฤษฎีบทการหายไปในเรขาคณิตเชิงซ้อน ได้แก่ทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระสำหรับโคฮอโมโลยีของบันเดิลเส้นบนแมนิโฟลด์คาห์เลอร์แบบกะทัดรัด และทฤษฎีบท A และ B ของคาร์ตันสำหรับโคฮอโมโลยีของชีฟโคเฮเรนต์บนวาไรตีเชิงซ้อนเชิงเส้นตรง

เรขาคณิตเชิงซ้อนยังใช้เทคนิคที่ได้มาจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Hirzebruch-Riemann-Rochซึ่งเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทดัชนี Atiyah-Singerคำนวณลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เชิงโฮโลมอร์ฟิกของเวกเตอร์บันเดิลเชิงโฮโลมอร์ฟิกในแง่ของชั้นลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อนเรียบที่อยู่เบื้องหลัง

หัวข้อสำคัญอย่างหนึ่งในเรขาคณิตเชิงซ้อนคือการจำแนกประเภทเนื่องจากลักษณะที่คงที่ของแมนิโฟลด์และวาไรตีเชิงซ้อน ปัญหาการจำแนกประเภทของปริภูมิเหล่านี้จึงมักแก้ไขได้ง่าย การจำแนกประเภทในเรขาคณิตเชิงซ้อนและพีชคณิตมักเกิดขึ้นผ่านการศึกษาปริภูมิโมดูลัสซึ่งตัวมันเองก็เป็นแมนิโฟลด์หรือวาไรตีเชิงซ้อนที่มีจุดต่างๆ ที่สามารถจำแนกวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ ที่เกิดขึ้นในเรขาคณิตเชิงซ้อนได้

คำว่า"โมดูลัส" (moduli)ถูกบัญญัติโดยแบร์นฮาร์ด รีมันน์ในระหว่างการทำงานดั้งเดิมของเขาเกี่ยวกับพื้นผิวรีมันน์ ทฤษฎีการจำแนกประเภทนี้เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัด จากการจำแนกประเภทของพื้นผิวปิดที่มีทิศทางพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดจะมีจำนวนประเภทที่นับได้ โดยวัดจากจีนัส(genus ) ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่นับจำนวนรูในพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดที่กำหนดให้ ${\displaystyle g}$

การจำแนกประเภทโดยพื้นฐานแล้วเป็นไปตามทฤษฎีบทการทำให้เป็นมาตรฐานและมีดังนี้: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

• g = 0 :${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$
• g = 1 : มีแมนิโฟลด์เชิงซ้อนหนึ่งมิติที่จำแนกพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับที่เป็นไปได้ของจีนัส 1 ซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งวงรี เส้นโค้งมอดูลาร์ตามทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพ เส้นโค้งวงรีใดๆ ก็สามารถเขียนได้ในรูปผลหารโดยที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตนาการเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ปริภูมิมอดูลัสกำหนดโดยผลหารของกลุ่มที่กระทำบนระนาบครึ่งบนโดยการแปลงโมเบียส${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$
• g > 1 : สำหรับแต่ละจีนัสที่มากกว่าหนึ่ง จะมีปริภูมิโมดูลัสของพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับที่มีจีนัส g ซึ่งมีมิติ เท่ากับ คล้ายกับกรณีของเส้นโค้งวงรี ปริภูมินี้อาจได้มาจากการหาร ปริภูมิครึ่งบนของซีเกลด้วยการกระทำของกลุ่มที่เหมาะสม${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}_{g}=3g-3}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$

การแบ่งพื้นผิวรีมันน์ออกเป็นสามส่วนตามจีนัส มีสิ่งที่เทียบเคียงได้ในระดับที่สูงกว่า: แมนิโฟลด์กระชับมิติ ใดๆ ก็ตาม จะมีมิติโคไดระซึ่งสามารถมีค่า ได้${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle \kappa (X)\in \{-\infty ,0,1,\dots ,n\}.}$

แมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัดที่มีมิติโคไดระสูงสุด ( ) เรียกว่าแมนิโฟลด์ประเภททั่วไป ${\displaystyle \kappa (X)=\dim(X)}$

ในมิติเชิงซ้อน 2 การจำแนกประเภทพื้นฐานนี้สามารถปรับปรุงให้ละเอียดขึ้นได้ โดยพื้นผิวที่ไม่ใช่ประเภททั่วไปจะถูกแบ่งย่อยออกเป็น 9 ประเภท ซึ่งนำไปสู่การจำแนกประเภทพื้นผิวแบบกะทัดรัดของ Enriques-Kodairaออกเป็น 10 ประเภท

เรขาคณิตเชิงซ้อนไม่เพียงเกี่ยวข้องกับปริภูมิเชิงซ้อนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวัตถุโฮโลมอร์ฟิกอื่นๆ ที่เชื่อมโยงกับปริภูมิเหล่านั้นด้วย การจำแนกประเภทของบันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกบนวาไรตีเชิงซ้อนนั้น กำหนดโดยวาไรตีปิการ์ดของ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle X}$

วาไรตี้พิคาร์ดสามารถอธิบายได้ง่ายในกรณีที่เป็นพื้นผิวรีมันน์แบบกะทัดรัดที่มีจีนัส g กล่าวคือ ในกรณีนี้ วาไรตี้พิคาร์ดเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของวาไรตี้อาเบเลียน เชิงซ้อน ซึ่งแต่ละวาไรตี้จะสมมาตรกับวาไรตี้จาโคเบียนของเส้นโค้ง โดยจำแนก ตัวหารดีกรีศูนย์ได้จนถึงความสมมูลเชิงเส้น ในแง่ของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ วาไรตี้อาเบเลียนเหล่านี้คือทอรัสเชิงซ้อน แมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่สมมาตรกับอาจมีโครงสร้างเชิงซ้อนที่แตกต่างกันหลายแบบ ${\displaystyle X}$${\displaystyle (S^{1})^{2g}}$

ตามทฤษฎีบทของโทเรลลี พื้นผิวรีมันน์แบบกระชับถูกกำหนดโดยวาไรตี้จาโคเบียนของมัน และนี่แสดงให้เห็นถึงเหตุผลหนึ่งที่การศึกษาโครงสร้างบนปริภูมิเชิงซ้อนมีประโยชน์ เพราะมันสามารถช่วยให้เราจำแนกปริภูมิเหล่านั้นได้

• ไบเวกเตอร์ (เชิงซ้อน)
• แมนิโฟลด์คาลาบี-เยา
• ทฤษฎีบท A และ B ของคาร์ตัน
• พื้นที่วิเคราะห์ที่ซับซ้อน
• กลุ่มโกหกที่ซับซ้อน
• โพลีโทปที่ซับซ้อน
• พื้นที่ฉายภาพที่ซับซ้อน
• ปัญหาญาติ
• ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป #การเปลี่ยนรูปของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน
• อันดับ เอ็นริเก้-โคไดระ
• กาก้า
• ทฤษฎีบทส่วนขยายของฮาร์ทอกส์
• ปริภูมิสมมาตรเฮอร์มิเชียน
• การสลายตัวของฮอดจ์
• ท่อร่วมฮอปฟ์
• เส้นสมมุติ (คณิตศาสตร์)
• เมตริกโคบายาชิ
• จดหมายโต้ตอบระหว่างโคบายาชิและฮิตชิน
• ท่อร่วมเคห์เลอร์
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-เลมมา
• หมายเลขเลลอง
• รายชื่อพื้นผิวเชิงซ้อนและเชิงพีชคณิต
• สมมาตรแบบกระจก
• ตัวคูณในอุดมคติ
• ความหลากหลายเชิงฉายภาพ
• ความนูนเทียม
• ตัวแปรที่ซับซ้อนหลายตัว
• ท่อร่วมสไตน์

• ไฮเบรชท์ส, ดาเนียล (2005) เรขาคณิตเชิงซ้อน: บทนำ . สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 3-540-21290-6.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), หลักการของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต , Wiley Classics Library, นิวยอร์ก: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523
• Hörmander, Lars (1990) [1966], บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงซ้อนในหลายตัวแปร , ห้องสมุดคณิตศาสตร์นอร์ทฮอลแลนด์ เล่ม 7 (ฉบับที่ 3 (แก้ไขเพิ่มเติม)), อัมสเตอร์ดัม-ลอนดอน-นิวยอร์ก-โตเกียว: นอร์ทฮอลแลนด์ , ISBN 0-444-88446-7MR  1045639 , Zbl  0685.32001​
• S. Kobayashi , K. Nomizu . พื้นฐานของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (Wiley Classics Library) เล่ม 1, 2.
• มิแรนดา, ริค (1997). เส้นโค้งพีชคณิตและพื้นผิวรีมันน์การศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ (พิมพ์ซ้ำพร้อมแก้ไขเพิ่มเติม) พรอวิเดนซ์, โรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกันISBN 978-0-8218-0268-7.
• Voisin, Claire (2007). ทฤษฎี Hodge และเรขาคณิตพีชคณิตเชิงซ้อน 1.การศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงของเคมบริดจ์ (ฉบับปกอ่อนเล่มที่ 1). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-71801-1.
• เจิ้ง ฟางหยาง (2001). เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน . การศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงของ AMS/IP (พิมพ์ซ้ำพร้อมบรรณาธิการแก้ไข). พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 978-0-8218-2960-8.