ในทางคณิตศาสตร์การกระทำของกลุ่มบนเซต หนึ่ง ๆ นั้น โดยคร่าวๆ แล้วหมายถึงการดำเนินการที่รับสมาชิกหนึ่งจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่งแล้วสร้างสมาชิกอีกตัวหนึ่งในเซตนั้น ขึ้นมา กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากเซตหนึ่งไปยังกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ เซตนั้น (ซึ่งเป็นเซตของการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง บน เซต นั้น พร้อมกับการดำเนินการของกลุ่มที่เป็นการประกอบฟังก์ชัน ) กล่าวได้ว่ากระทำบน เซตนั้น${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S.}$

การแปลงหลายชุดสามารถรวมกันเป็นกลุ่ม ได้ ภายใต้การประกอบฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นการหมุนรอบจุดในระนาบ การพิจารณากลุ่มนี้ว่าเป็นกลุ่มนามธรรมและกล่าวว่ามีการกระทำของกลุ่มนามธรรมซึ่งประกอบด้วยการดำเนินการแปลงของกลุ่มการแปลงนั้น มักเป็นประโยชน์ เหตุผลที่ต้องแยกกลุ่มออกจากการแปลงก็คือ โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มการแปลงของโครงสร้าง หนึ่ง จะกระทำกับโครงสร้างที่เกี่ยวข้องอื่นๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น กลุ่มการหมุนข้างต้นยังกระทำกับรูปสามเหลี่ยมโดยการแปลงรูปสามเหลี่ยมให้เป็นรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง

ถ้ากลุ่มใดกลุ่มหนึ่งกระทำต่อโครงสร้าง กลุ่มนั้นมักจะกระทำต่อวัตถุที่สร้างขึ้นจากโครงสร้างนั้นด้วย ตัวอย่างเช่น กลุ่มสมมาตรของไอโซเมตรีในปริภูมิยูคลิดกระทำต่อปริภูมิยูคลิดและรูปทรงที่วาดในนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันกระทำต่อเซตของรูปสามเหลี่ยม ทั้งหมด ในทำนองเดียวกัน กลุ่มสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยมกระทำต่อจุดยอดขอบและหน้าของทรงหลายเหลี่ยมนั้น

การกระทำของกลุ่มบนปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าการแทนกลุ่ม ในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด การแทนกลุ่มนี้ทำให้สามารถระบุกลุ่มจำนวนมากกับกลุ่มย่อยของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งเป็นกลุ่มของเมทริกซ์ผกผันที่มีมิติเหนือฟิลด์ได้ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$

กลุ่มสมมาตร กระทำต่อเซต ใดๆ ที่มีสมาชิกจำนวน n ตัว โดยการสลับตำแหน่งของสมาชิกในเซตนั้น แม้ว่ากลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยน ทั้งหมด ของเซตจะขึ้นอยู่กับเซตนั้นในเชิงรูปแบบ แต่แนวคิดของการกระทำของกลุ่มทำให้เราสามารถพิจารณากลุ่มเดียวสำหรับการศึกษาการเรียงสับเปลี่ยนของเซตทั้งหมดที่มีจำนวนสมาชิก เท่ากัน ได้ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$

ถ้าเป็นกลุ่มที่มีเอกลักษณ์และเป็นเซต แล้วการกระทำของกลุ่ม ( ทางซ้าย ) ของบนเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle G}$${\displaystyle e}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha :G\times X\to X}$

ซึ่งสอดคล้องกับ สัจพจน์สองข้อต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

ตัวตน:	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
ความเข้ากันได้:	${\displaystyle \alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)}$

เพื่อทุกคนและในและทุกคน ใน${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

จากนั้นจึงกล่าวว่า กลุ่มนั้นกระทำการ( จากทางซ้าย) เซตพร้อมกับการกระทำเรียกว่าเซต ( ซ้าย )${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

อาจสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์ โดยการใช้การแปลงแบบเคอร์รี่ (curry ) แทนการใช้การแปลงแบบเดิม เพื่อให้ได้ชุดของการแปลงโดยมีการแปลงหนึ่งครั้งสำหรับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มความสัมพันธ์เอกลักษณ์และความเข้ากันได้จึงเขียนได้ดังนี้ และ สัจพจน์ข้อที่สองระบุว่าการประกอบฟังก์ชันเข้ากันได้กับการคูณกลุ่ม พวกมันก่อให้เกิดแผนภาพการสลับที่ได้สัจพจน์นี้สามารถย่อให้สั้นลงได้อีก และเขียนได้เป็น ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$${\displaystyle \alpha _{g}}$${\displaystyle g\in G}$$${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$$$${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$$${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$

จากความเข้าใจข้างต้น จึงเป็นเรื่องปกติมากที่จะหลีกเลี่ยงการเขียนโดยสิ้นเชิง และแทนที่ด้วยจุด หรือไม่เขียนอะไรเลย ดังนั้น จึงสามารถย่อเป็นหรือ ได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการกระทำนั้นชัดเจนจากบริบท หลักการพื้นฐานจึงเป็นดังนี้ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha (g,x)}$${\displaystyle g\cdot x}$${\displaystyle gx}$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&e\cdot x=x\\&g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x\end{aligned}}\right.}$$

จากสัจพจน์ทั้งสองนี้ สรุปได้ว่าสำหรับค่าคงที่ใดๆในฟังก์ชันจากไปยังตัวมันเองซึ่งแมปไปยังเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง โดยมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงผกผันเป็นแผนที่ที่สอดคล้องกันสำหรับดังนั้น เราอาจกำหนดการกระทำของกลุ่มของบน ได้อย่างเทียบเท่าว่า เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากไปยังกลุ่มสมมาตรของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงทั้งหมดจากไปยังตัวมันเอง^{[ 2 ]}${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g\cdot x}$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$${\displaystyle X}$

ในทำนองเดียวกัน การกระทำกลุ่มที่ถูกต้องของon ก็เป็นฟังก์ชัน เช่นกัน${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha :X\times G\to X,}$

ที่ตรงตามสัจพจน์ที่คล้ายคลึงกัน: ^{[ 3 ]}

ตัวตน:	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
ความเข้ากันได้:	${\displaystyle \alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)}$

(โดยมักจะย่อให้สั้นลงหรือเมื่อการกระทำที่กำลังพิจารณานั้นชัดเจนจากบริบท) ${\displaystyle \alpha (x,g)}$${\displaystyle xg}$${\displaystyle x\cdot g}$

ตัวตน:	${\displaystyle x{\cdot }e=x}$
ความเข้ากันได้:	${\displaystyle (x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)}$

เพื่อทุกคนและในและทุกคน ใน${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

ความแตกต่างระหว่างการกระทำซ้ายและการกระทำขวาอยู่ที่ลำดับการกระทำของผลคูณต่อสำหรับการกระทำซ้ายจะกระทำก่อน ตามด้วยสำหรับการกระทำขวาจะกระทำก่อน ตามด้วย เนื่องจากสูตรการกระทำซ้ายสามารถสร้างขึ้นจากการกระทำขวาได้โดยการประกอบกับตัวดำเนินการผกผันของกลุ่ม นอกจากนี้ การกระทำขวาของกลุ่มหนึ่งต่อสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการกระทำซ้ายของกลุ่มตรงข้ามต่อดังนั้นในการสร้างคุณสมบัติทั่วไปของการกระทำของกลุ่มเดียว จึงเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะการกระทำซ้ายเท่านั้น ${\displaystyle gh}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นกลุ่มที่กระทำต่อเซตการกระทำนี้เรียกว่า${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$ซื่อสัตย์หรือมีประสิทธิภาพก็ ต่อ เมื่อสำหรับทุก ๆหมายความว่าอีกนัยหนึ่งโฮโมมอร์ฟิซึมจากไปยังกลุ่มของการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งของที่สอดคล้องกับการกระทำนั้นเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle g\cdot x=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g=e_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

การกระทำนั้นเรียกว่าเป็นอิสระ (หรือกึ่งปกติหรือเป็นอิสระจากจุดตรึง) ถ้าข้อความที่สำหรับบางค่าบ่งชี้ว่า อยู่แล้ว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ของตรึงจุดของ นี่เป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าความซื่อสัตย์มาก ${\displaystyle g\cdot x=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g=e_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างเช่น การกระทำของกลุ่มใดๆ ต่อตัวมันเองโดยการคูณทางซ้ายนั้นเป็นการกระทำอิสระ ข้อสังเกตนี้บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ที่ว่า กลุ่มใดๆ ก็สามารถฝังตัวอยู่ในกลุ่มสมมาตรได้ (ซึ่งเป็นอนันต์เมื่อกลุ่มนั้นเป็นอนันต์) กลุ่มจำกัดอาจกระทำการอย่างซื่อสัตย์ต่อเซตที่มีขนาดเล็กกว่าจำนวนสมาชิกของกลุ่มมาก (อย่างไรก็ตาม การกระทำดังกล่าวไม่สามารถเป็นการกระทำอิสระได้) ตัวอย่างเช่น กลุ่มอาเบเลียน 2-group (ที่มีจำนวนสมาชิก) กระทำการอย่างซื่อสัตย์ต่อเซตที่มีขนาดนี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ตัวอย่างเช่นกลุ่มวัฏจักรไม่สามารถกระทำการอย่างซื่อสัตย์ต่อเซตที่มีขนาดเล็กกว่าได้ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2^{n}}$

โดยทั่วไป เซตที่เล็กที่สุดที่สามารถกำหนดการกระทำที่ซื่อสัตย์ได้นั้น อาจแตกต่างกันอย่างมากสำหรับกลุ่มที่มีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น กลุ่มสามกลุ่มที่มีขนาด 120 ได้แก่ กลุ่มสมมาตรกลุ่มไอโคซาเฮดรอลและกลุ่มวัฏจักรเซตที่เล็กที่สุดที่สามารถกำหนดการกระทำที่ซื่อสัตย์ได้สำหรับกลุ่มเหล่านี้มีขนาด 5, 7 และ 16 ตามลำดับ ${\displaystyle S_{5}}$${\displaystyle A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /120\mathbb {Z} }$

การกระทำของคำว่า"บน" เรียกว่าอะไร?${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$สมบัติการถ่ายทอดถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆจะมีค่า a อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้... ${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g\cdot x=y}$

การกระทำคือกริยาที่ต้องการกรรมโดยตรง (หรือกริยาที่ต้องการกรรมอย่างชัดเจนหรือ(ปกติ ) ถ้ามันเป็นทั้งแบบถ่ายทอดและเป็นอิสระ นั่นหมายความว่า เมื่อกำหนดจะมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่ทำให้ถ้าถูกกระทำโดยกลุ่มแบบถ่ายทอดอย่างง่ายบน แล้วจะเรียกว่าปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับหรือ-torsor ${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g\cdot x=y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

สำหรับจำนวนเต็มการกระทำคือ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n}$- กลุ่มจะมีคุณสมบัติ ทรานซิทีฟก็ต่อเมื่อมีอย่างน้อยสมาชิก และสำหรับคู่ของทูเพิลที่มีสมาชิกแตกต่างกันเป็นคู่ๆ (นั่นคือเมื่อ)จะมีอยู่เช่นนั้นสำหรับกล่าวอีกนัยหนึ่ง การกระทำบนเซตย่อยของของทูเพิลที่ไม่มีสมาชิกซ้ำกันนั้นมีคุณสมบัติทรานซิทีฟ สำหรับกรณีนี้ มักเรียกว่าทรานซิทีฟสองเท่า หรือทรานซิทีฟสามเท่า กลุ่ม2-ทรานซิทีฟ (นั่นคือ กลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรจำกัดที่มีการกระทำเป็น 2-ทรานซิทีฟ) และโดยทั่วไปแล้วกลุ่มมัลติทรานซิทีฟนั้นได้รับการศึกษาอย่างดีในทฤษฎีกลุ่มจำกัด ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}}$${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g\cdot x_{i}=y_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n=2,3}$

การกระทำคือเป็นกริยาที่ต้องการกรรมอย่างเฉียบคม${\displaystyle n}$เมื่อการกระทำกับทูเพิลที่ไม่มีรายการซ้ำกันนั้นเป็นกริยาที่ต้องการกรรมอย่างเฉียบคม ${\displaystyle X^{n}}$

การกระทำของกลุ่มสมมาตรของเป็นแบบถ่ายทอดได้ ในความเป็นจริงเป็นแบบถ่ายทอดได้สำหรับทุก ๆจนถึงจำนวนสมาชิกของถ้ามีจำนวนสมาชิกเท่ากับ การกระทำของกลุ่มสลับจะเป็นแบบถ่ายทอดได้ แต่ไม่ใช่แบบถ่ายทอดได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-2)}$${\displaystyle (n-1)}$

การกระทำของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของปริภูมิเวกเตอร์ต่อเซตของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์นั้นเป็นแบบทรานซิทีฟ แต่ไม่ใช่แบบ 2-ทรานซิทีฟ (ในทำนองเดียวกันสำหรับการกระทำของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษถ้ามิติของ กลุ่มนั้น มีอย่างน้อย 2) การกระทำของกลุ่มเชิงตั้งฉากของปริภูมิยุคลิดนั้นไม่ใช่แบบทรานซิทีฟต่อเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ แต่เป็นแบบทรานซิทีฟต่อทรง กลมหน่วย${\displaystyle V}$${\displaystyle V\setminus \{0\}}$${\displaystyle V}$

การกระทำของon เรียกว่าแบบดั้งเดิมหากไม่มีการแบ่งส่วนของที่คงไว้โดยองค์ประกอบทั้งหมดของนอกเหนือจากการแบ่งส่วนที่ไม่สำคัญ (การแบ่งส่วนเป็นชิ้นเดียวและ ส่วน คู่ ของมัน การแบ่งส่วนเป็นชิ้นเดียว ) ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

สมมติว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและการกระทำของเป็นไปโดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

การกระทำจะวนเวียนอยู่^หากทุก ๆ คนมีละแวกใกล้เคียงซึ่งมีเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่มี[ ^{4 ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$

โดยทั่วไป จุดหนึ่งเรียกว่าจุดไม่ต่อเนื่องสำหรับการกระทำของถ้ามีเซตย่อยเปิดที่มี อยู่เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นโดเมนของความไม่ต่อเนื่องของการกระทำคือเซตของจุดไม่ต่อเนื่องทั้งหมด หรือเทียบเท่ากับเซตย่อยเปิดที่เสถียร ที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งการกระทำของบนเป็นแบบเคลื่อนที่^{[ 5 ]} ในบริบทไดนามิก สิ่งนี้เรียกว่า เซต เคลื่อนที่ด้วย${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U\ni x}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega \subset X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega }$

การกระทำนั้นถือว่าไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสมหากสำหรับเซตย่อยกระชับ ทุกเซต จะมีเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่. นี่ถือว่าเข้มงวดกว่าการเร่ร่อนอย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น การกระทำของบนที่กำหนดโดย นั้นเป็นการเร่ร่อนและเป็นอิสระ แต่ไม่ถือว่าไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสม^{[ 6 ]}${\displaystyle K\subset X}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle (g\cdot K)\cap K\neq \emptyset }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$

การกระทำโดยการแปลงเด็คของกลุ่มพื้นฐานของพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ในท้องถิ่น บนการปกคลุมสากลนั้นเคลื่อนที่ไปมาและเป็นอิสระ การกระทำดังกล่าวสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้: ทุก ๆมีบริเวณใกล้เคียงเช่นนั้นสำหรับทุก ๆ[ ^{7 ] การ}กระทำที่มีคุณสมบัตินี้บางครั้งเรียกว่าไม่ต่อเนื่องอย่างอิสระและเซตย่อยที่ใหญ่ที่สุดที่การกระทำไม่ต่อเนื่องอย่างอิสระเรียกว่าเซตปกติอิสระ^{[ 8 ]}${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (g\cdot U)\cap U=\emptyset }$${\displaystyle g\in G\backslash \{e_{G}\}}$

การกระทำของกลุ่มบนปริภูมิกระชับเฉพาะที่ เรียกว่าโคคอมแพ็กต์ถ้ามีเซตย่อยกระชับอยู่ซึ่งสำหรับการกระทำที่ไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสม โคคอมแพ็กต์จะเทียบเท่ากับความกระชับของปริภูมิผลหาร ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle X=G\cdot A}$${\displaystyle X/G}$

สมมติว่าเป็นกลุ่มทางทอพอโลยีและเป็นปริภูมิทางทอพอโลยีที่กลุ่มนั้นกระทำการโดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม การกระทำนั้นจะเรียกว่าต่อเนื่องถ้าแผนที่ต่อเนื่องสำหรับทอพอโลยีผลคูณ ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G\times X\rightarrow X}$

กล่าวกันว่าการกระทำดังกล่าวคือเหมาะสมหากแผนที่ที่กำหนดโดยนั้นเหมาะสม[ ^{9 ] ซึ่ง}หมายความว่าเซตกระชับที่กำหนดเซตของเช่นนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้เทียบเท่ากับความไม่ต่อเนื่องที่เหมาะสมหากเป็นกลุ่มแยกย่อย ${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X}$${\displaystyle (g,x)\mapsto (x,g\cdot x)}$${\displaystyle K,K'}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle (g\cdot K)\cap K'\neq \varnothing }$${\displaystyle G}$

กล่าวกันว่าเป็นพื้นที่ที่มีเสรีภาพในระดับท้องถิ่นหากมีชุมชนหนึ่งที่เป็นเช่นนั้นสำหรับทุกคนและ... ${\displaystyle U}$${\displaystyle e_{G}}$${\displaystyle g\cdot x\neq x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g\in U\setminus \{e_{G}\}}$

กล่าวได้ว่าการกระทำนั้นมีความต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งหากแผนที่วงโคจรมีความต่อเนื่องสำหรับทุกค่าอย่างไรก็ตาม แม้ชื่อจะบอกว่าเป็นความต่อเนื่อง แต่ความจริงแล้วมันเป็นคุณสมบัติที่อ่อนกว่าความต่อเนื่องของการกระทำ ${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$${\displaystyle x\in X}$

ถ้าเป็นกลุ่มลี (Lie group)และเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold ) แล้ว สับสเปซของจุดเรียบสำหรับแอคชั่น คือ เซตของจุดที่ทำให้แผนที่เป็น แมนิ โฟลด์เรียบมีทฤษฎีเกี่ยวกับแอคชั่นของกลุ่มลี ที่พัฒนามาอย่างดีแล้ว กล่าว คือ แอคชั่นที่เรียบตลอดทั้งสเปซ ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$

ถ้าgกระทำการโดยการแปลงเชิงเส้นบนโมดูลเหนือริงสลับที่ การกระทำนั้นจะเรียกว่าไม่สามารถลดทอนได้หากไม่มีโมดูลย่อยที่ไม่เป็นศูนย์และ คงที่ภายใต้ g ที่เหมาะสม การกระทำนั้นจะเรียกว่ากึ่งง่ายหากสามารถแยกส่วนได้เป็นผลรวมโดยตรงของการกระทำที่ไม่สามารถลดทอนได้

พิจารณากลุ่มGที่กระทำต่อเซตX กลุ่ม G นั้นวงโคจรขององค์ประกอบ xใน Xคือเซตขององค์ประกอบใน Xที่ xสามารถเคลื่อนที่ไปได้โดยองค์ประกอบของ Gวงโคจรของ xจะเขียนแทนด้วย G ⋅ x : $${\displaystyle G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.}$$

คุณสมบัติที่กำหนดของกลุ่มรับประกันว่าเซตของวงโคจรของ (จุดxใน) Xภายใต้การกระทำของGจะก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของXความสัมพันธ์สมมูลที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดโดยการกล่าวว่าx ~ yก็ต่อเมื่อมีgในGที่g ⋅ x = yวงโคจรเหล่านั้นจึงเป็นชั้นสมมูลภายใต้ความสัมพันธ์นี้ สมาชิกสองตัวx และ y จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อวงโคจรของพวกมันเหมือนกัน นั่นคือG ⋅ x = G ⋅ y

การกระทำของกลุ่มจะเป็นแบบถ่ายทอดได้ก็ต่อเมื่อมีวงโคจรเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น กล่าวคือ ต้องมีxในXที่G ⋅ x = Xซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อG ⋅ x = XสำหรับทุกxในX (โดยที่Xไม่ว่างเปล่า)

เซตของวงโคจรทั้งหมดของXภายใต้การกระทำของGเขียนแทนด้วยX / G (หรือบางครั้งเขียนว่าG \ X ) และเรียกว่า เซตของวงโคจรผลหารของการกระทำ ในสถานการณ์ทางเรขาคณิต อาจเรียกว่าปริภูมิวงโคจรในขณะที่ในสถานการณ์ทางพีชคณิต อาจเรียกว่าปริภูมิของตัวแปรร่วม (coinvariants) เขียนแทนด้วย X _Gซึ่งแตกต่างจากตัวแปรคงที่ (invariants) ที่เขียนแทนด้วย X ^Gโดยตัวแปรร่วมเป็นผลหารในขณะที่ตัวแปรคงที่เป็นเซตย่อยคำศัพท์และสัญลักษณ์ของตัวแปรร่วมนี้ใช้โดยเฉพาะในโคฮอโมโลยีของกลุ่มและโฮโมโลยีของกลุ่มซึ่งใช้หลักการเขียนตัวยก/ตัวห้อยแบบเดียวกัน

ถ้าYเป็นเซตย่อยของXแล้วG ⋅ Yจะหมายถึงเซต{ g ⋅ y  : g ∈ Gและy ∈ Y }เซตย่อยYเรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้Gถ้าG ⋅ Y = Y (ซึ่งเทียบเท่ากับG ⋅ Y ⊆ Y ) ในกรณีนั้นGก็กระทำกับYด้วยการจำกัดการกระทำเฉพาะY เท่านั้น เซตย่อยYเรียกว่าคงที่ภายใต้Gถ้าg ⋅ y = yสำหรับทุกgในGและทุกyในYทุกเซตย่อยที่คงที่ภายใต้Gก็ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้G เช่นกัน แต่ในทางกลับกันจะไม่เป็นเช่นนั้น

วงโคจรทุกวงเป็นเซตย่อยไม่เปลี่ยนแปลงของXซึ่งGกระทำแบบถ่ายทอดได้ ในทางกลับกัน เซตย่อยไม่เปลี่ยนแปลงใดๆ ของXเป็นผลรวมของวงโคจร การกระทำของGบนXเป็นแบบถ่ายทอดได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกทั้งหมดสมมูลกัน ซึ่งหมายความว่ามีวงโคจรเพียงวงเดียว

สมาชิกG -invariantของXคือx ∈ Xที่มีคุณสมบัติว่าg ⋅ x = xสำหรับทุกg ∈ Gเซตของx ดังกล่าวทั้งหมด จะถูกแทนด้วยX ^Gและเรียกว่าG -invariantsของXเมื่อXเป็นG -moduleแล้วX ^G คือกลุ่ม โคฮอโมโลยีลำดับศูนย์ของGที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในXและกลุ่มโคฮอโมโลยีลำดับสูงกว่าคือฟังก์ชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันของG -invariants

กำหนดให้gอยู่ในGและxอยู่ในXโดยที่g ⋅ x = xเรากล่าวได้ว่า " xเป็นจุดตรึงของg " หรือ " gตรึงx ไว้ " สำหรับทุกxในXนั้นกลุ่มย่อยของตัวรักษาเสถียรภาพของ Gที่เกี่ยวข้องกับ x (เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มไอโซโทรปีหรือกลุ่มเล็ก ^{[ 10 ]} ) คือเซตขององค์ประกอบทั้งหมดใน Gที่ตรึง x ไว้ : นี่คือกลุ่มย่อยของ Gแม้ว่าโดยทั่วไปจะไม่ใช่กลุ่มปกติก็ตาม การกระทำของ Gบน Xเป็นอิสระก็ต่อเมื่อตัวรักษาเสถียรภาพทั้งหมดเป็นแบบไม่สำคัญ เคอร์เนล Nของโฮโมมอร์ฟิซึมกับกลุ่มสมมาตร G → Sym( X )กำหนดโดยการตัดกันของตัวรักษาเสถียรภาพ G _xสำหรับ x ทั้งหมด ใน Xถ้า Nเป็นแบบไม่สำคัญ การกระทำนั้นเรียกว่าซื่อสัตย์ (หรือมีประสิทธิภาพ) $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$

ให้xและyเป็นสมาชิกสองตัวในXและให้gเป็นสมาชิกของกลุ่มโดยที่y = g ⋅ x แล้ว กลุ่ม รักษาเสถียรภาพสองกลุ่มG _xและG _yมีความสัมพันธ์กันโดยG _y = gG _x g ⁻¹

พิสูจน์: ตามนิยามh ∈ G _yก็ต่อเมื่อh ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ xเมื่อใช้g ⁻¹กับทั้งสองข้างของสมการนี้จะได้( g −1 ^hg ) ⋅ x = xนั่นคือg ⁻¹ hg ∈ G _x

การรวมแบบตรงข้ามก็สามารถทำได้ในทำนองเดียวกันโดยการเลือก h ∈ G _xและx = g ⁻¹ ⋅ y

ข้อความข้างต้นกล่าวว่า ตัวรักษาเสถียรภาพขององค์ประกอบในวงโคจรเดียวกันนั้นเป็นคู่สมซึ่งกันและกัน ดังนั้น สำหรับแต่ละวงโคจร เราสามารถเชื่อมโยงชั้นคู่สมของกลุ่มย่อยของG (นั่นคือ เซตของคู่สมทั้งหมดของกลุ่มย่อย) ให้( H )แทนชั้นคู่สมของHแล้ว วงโคจรOจะมีประเภท( H )ถ้าตัวรักษาเสถียรภาพG _x ของ xบางตัว/ใดๆในOเป็นสมาชิกของ( H )ประเภทวงโคจรสูงสุดมักเรียกว่าประเภท วงโคจรหลัก

วงโคจรและตัวรักษาเสถียรภาพมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด สำหรับx ที่กำหนดไว้ ในXให้พิจารณาแผนที่f  : G → Xที่กำหนดโดยg ↦ g ⋅ xตามคำนิยาม ภาพf ( G )ของแผนที่นี้คือวงโคจรG ⋅ xเงื่อนไขสำหรับองค์ประกอบสองตัวที่จะมีภาพเดียวกันคือ กล่าวอีกนัยหนึ่งf ( g ) = f ( h ) ก็ต่อเมื่อgและh อยู่ใน โคเซตเดียวกันสำหรับกลุ่มย่อยตัวรักษาเสถียรภาพG _xดังนั้นไฟเบอร์f ⁻¹ ({ y })ของfเหนือy ใดๆ ในG ⋅ xจะอยู่ในโคเซตดังกล่าว และโคเซตดังกล่าวทุกอันก็ปรากฏเป็นไฟเบอร์ด้วย ดังนั้นf จึง เหนี่ยวนำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตG / G _xของโคเซตสำหรับกลุ่มย่อยตัวรักษาเสถียรภาพและวงโคจรG ⋅ xซึ่งส่งgG _x ↦ g ⋅ x ^{[ 11 ]}ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบท วงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพ$${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$

ถ้าGเป็นกลุ่มจำกัด ทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพ ร่วมกับทฤษฎีบทของลากรองจ์จะให้ ผลลัพธ์ดังนี้ กล่าว อีกนัยหนึ่ง ความยาวของวงโคจรเท่ากับxเท่าของอันดับของตัวรักษาเสถียรภาพ จะเท่ากับอันดับของกลุ่มโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นั่นหมายความว่าความยาวของวงโคจรเป็นตัวหารของอันดับของกลุ่ม $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$

ตัวอย่าง

ให้Gเป็นกลุ่มที่มีอันดับเฉพาะpที่กระทำกับเซตXที่มีkสมาชิก เนื่องจากแต่ละวงโคจรมี สมาชิก 1หรือp ตัว จึงมี วงโคจรที่มีความยาว1อย่างน้อยk mod pซึ่งเป็น สมาชิกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Gยิ่งไปกว่านั้นkและจำนวน^{สมาชิก ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้} Gจะสอดคล้องกันในโมดูลp [ ^{12 ]}

ผลลัพธ์นี้มีประโยชน์อย่างยิ่ง เนื่องจากสามารถนำไปใช้ในการนับจำนวนอาร์กิวเมนต์ (โดยทั่วไปในสถานการณ์ที่Xมีจำนวนจำกัดเช่นกัน)

ตัวอย่าง

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพเพื่อนับออโตมอร์ฟิซึมของกราฟได้ พิจารณากราฟลูกบาศก์ดังภาพ และให้Gแทนกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ของกราฟนั้น Gกระทำต่อเซตของจุดยอด{1, 2, ..., 8}และการกระทำนี้เป็นแบบทรานซิทีฟ ดังที่เห็นได้จากการประกอบการหมุนรอบจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ ดังนั้น โดยทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพ| G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ |เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับตัวรักษาเสถียรภาพG ₁เราจะได้| G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ |สมาชิกใดๆ ของGที่ตรึง 1 ไว้ จะต้องส่ง 2 ไปยัง 2, 4 หรือ 5 ตัวอย่างของออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าว ลองพิจารณาการหมุนรอบแกนทแยงมุมที่ผ่าน 1 และ 7 ด้วย2π /3ซึ่งสลับตำแหน่ง 2, 4, 5 และ 3, 6, 8 และตรึง 1 และ 7 ไว้ ดังนั้น|(G1)₂⋅2| = 3 การใช้ทฤษฎีบทครั้งที่สามจะได้ |(G1) ₂⋅ | = | ( ( G1 ) _₂⋅3 | | _{( (} G1 ) ₂⋅3 ) _{₂ |}สมาชิกใดๆของ_{G ที่}ตรึง1 _และ 2 ไว้จะ ต้องส่ง 3 ไปยัง 3 หรือ 6 การสะท้อนลูกบาศก์ที่ระนาบที่ผ่าน 1, 2, 7 และ 8 เป็นออโตมอร์ฟิซึมที่ส่ง 3 ไปยัง 6ดังนั้น| ( ₍ G1 ) _₂⋅3 | = 2 . นอกจากนี้ยังเห็นได้ว่า(( G ₁ ) ₂ ) ₃ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เท่านั้น เนื่องจากองค์ประกอบใดๆ ของGที่ตรึง 1, 2 และ 3 จะต้องตรึงจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมดด้วย เนื่องจากจุดยอดเหล่านั้นถูกกำหนดโดยความประชิดกับ 1, 2 และ 3 เมื่อรวมการคำนวณก่อนหน้านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้| G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 .

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพคือบทตั้งของเบิร์นไซด์ : โดยที่X ^gคือเซตของจุดที่ถูกตรึงโดยgผลลัพธ์นี้มีประโยชน์หลักๆ เมื่อGและXมีจำนวนจำกัด ซึ่งสามารถตีความได้ดังนี้: จำนวนวงโคจรเท่ากับจำนวนจุดเฉลี่ยที่ถูกตรึงต่อองค์ประกอบกลุ่ม $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$

เมื่อกำหนดกลุ่มGแล้ว เซตของผลต่างเชิงรูปธรรมของ เซต G จำกัด จะก่อให้เกิดวงแหวนที่เรียกว่าวงแหวนเบิร์นไซด์ของGซึ่งการบวกจะสอดคล้องกับการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนและการคูณจะสอดคล้องกับผล คูณคาร์ที เซียน

• เดอะการกระทำ ที่ไม่สำคัญของกลุ่ม G ใดๆ บนเซต X ใดๆ ถูกกำหนดโดย g ⋅ x = xสำหรับ g ทั้งหมด ใน Gและ x ทั้งหมด ใน Xนั่นคือ สมาชิกของกลุ่มทุกตัวเหนี่ยวนำให้เกิด^การเรียงสับเปลี่ยนเอกลักษณ์บน X ^{[ 13} ]
• ในทุกกลุ่มGการคูณทางซ้ายเป็นการกระทำของGบนGกล่าวคือg ⋅ x = gxสำหรับทุกg , xในGการกระทำนี้เป็นแบบอิสระและถ่ายทอดได้ (ปกติ) และเป็นพื้นฐานของการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเคย์ลีย์อย่าง รวดเร็ว ซึ่งกล่าวว่าทุกกลุ่มสมสัณฐานกับกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรของการเรียงสับเปลี่ยนของเซตG
• ในทุกกลุ่มGที่มีกลุ่มย่อยHการคูณทางซ้ายเป็นการกระทำของGบนเซตของโคเซตG / H : g ⋅ ​​aH = gaHสำหรับทุกg , aในGโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าHไม่มีกลุ่มย่อยปกติ ที่ไม่เป็นศูนย์ ของGการกระทำนี้จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมจากGไปยังกลุ่มย่อยของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่มีดีกรี[ G  : H ]
• ในทุกกลุ่มGการผันแปรคือการกระทำของGต่อG : g ⋅ ​​x = gxg ⁻¹โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์เลขยกกำลังสำหรับรูปแบบการกระทำทางขวา: x g ⁼ g −1 ^xg ซึ่งสอดคล้องกับ ( x ^g ) ^h = x ^gh
• ในทุกกลุ่มGที่มีกลุ่มย่อยHการผันแปรคือการกระทำของG ต่อคู่ควบของH : g ⋅ ​​K = gKg ⁻¹สำหรับทุกgในGและ คู่ควบ KของH
• การกระทำของZบนเซตXจะกำหนดและถูกกำหนดโดยออโตมอร์ฟิซึมของ X อย่างไม่ซ้ำกันซึ่งกำหนดโดยการกระทำของ 1 ในทำนองเดียวกัน การกระทำของZ / 2 ZบนXเทียบเท่ากับข้อมูลของการผกผันของX
• กลุ่มสมมาตรSnและกลุ่มย่อยของมันกระทำการกับเซต{1, ..., n _}โดยการสลับตำแหน่งของสมาชิก ใน เซต นั้น
• กลุ่มสมมาตรของทรงหลายเหลี่ยมจะกระทำต่อเซตของจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมนั้น นอกจากนี้ยังกระทำต่อเซตของหน้าหรือเซตของขอบของทรงหลายเหลี่ยมด้วย
• กลุ่มสมมาตรของวัตถุทางเรขาคณิตใดๆ จะกระทำต่อเซตของจุดต่างๆ บนวัตถุนั้น
• สำหรับปริภูมิพิกัดVบนฟิลด์Fที่มีกลุ่มหน่วยF *การแมปF * × V → Vที่กำหนดโดยa × ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) ↦ ( ax ₁ , ax ₂ , ..., ax _n )เป็นการกระทำของกลุ่มที่เรียกว่าการคูณสเกลาร์
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ (หรือกราฟหรือกลุ่ม หรือวงแหวน...) กระทำต่อปริภูมิเวกเตอร์ (หรือเซตของจุดยอดของกราฟ หรือกลุ่ม หรือวงแหวน...)
• กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปGL( n , K )และกลุ่มย่อยของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มย่อยแบบลี (รวม ถึงกลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL( n , K ) กลุ่มเชิงตั้งฉากO( n , K )กลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษSO( n , K )และกลุ่มเชิงซิมเพล็กติกSp( n , K ) ) เป็นกลุ่มแบบลีที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์K ⁿการดำเนินการของกลุ่มกำหนดโดยการคูณเมทริกซ์จากกลุ่มกับเวกเตอร์จากK ⁿ
• กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปGL( n , Z )กระทำต่อZ ⁿโดยการกระทำของเมทริกซ์ตามธรรมชาติ วงโคจรของการกระทำนี้ถูกจำแนกโดยตัวหารร่วมมากที่สุดของพิกัดของเวกเตอร์ในZ ⁿ
• กลุ่มแอฟฟินกระทำการทรานซิทีฟบนจุดของปริภูมิแอฟฟินและกลุ่มย่อย V ของกลุ่มแอฟฟิน (นั่นคือปริภูมิเวกเตอร์) มีการกระทำทรานซิทีฟและอิสระ (นั่นคือปกติ ) บนจุดเหล่านี้^{[ 14 ]}อันที่จริงสิ่งนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดนิยามของปริภูมิแอฟฟินได้
• กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ PGL( n + 1, K )และกลุ่มย่อยของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มย่อย Lie ซึ่งเป็นกลุ่ม Lie ที่กระทำบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟP ⁿ ( K )นี่คือผลหารของการกระทำของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือPGL(2, K )ซึ่งเป็นสมมาตรของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งมีคุณสมบัติ 3-transitive อย่างเฉียบคม รักษาอัตราส่วนไขว้ไว้กลุ่มโมเบียสPGL(2, C )เป็นสิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษ
• สมมาตร ของ ระนาบกระทำต่อเซตของภาพและลวดลาย 2 มิติ เช่นลวดลายวอลเปเปอร์นิยามสามารถทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นได้โดยการระบุความหมายของภาพหรือลวดลาย เช่น ฟังก์ชันของตำแหน่งที่มีค่าอยู่ในเซตของสี แท้จริงแล้ว สมมาตรเป็นตัวอย่างหนึ่งของกลุ่ม (การกระทำ) เชิงเส้นตรง
• เซตที่กลุ่มG กระทำนั้น ประกอบกันเป็นหมวดหมู่ของ เซต Gซึ่งวัตถุคือ เซต Gและมอร์ฟิซึมคือ โฮโมมอร์ฟิซึมของเซต G : ฟังก์ชันf  : X → Yโดยที่g ⋅( f ( x )) = f ( g ⋅ x )สำหรับทุกgในG
• กลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายฟิลด์L / Kกระทำต่อฟิลด์Lแต่มีการกระทำเพียงเล็กน้อยต่อองค์ประกอบของซับฟิลด์K เท่านั้น ซับกรุ๊ปของ​​Gal( L / K )สอดคล้องกับซับฟิลด์ของLที่มีK อยู่ นั่นคือ ส่วน ขยายฟิลด์ระดับกลางระหว่างLและK
• กลุ่มการบวกของจำนวนจริง( R , +)กระทำต่อปริภูมิเฟสของระบบที่มี " พฤติกรรมที่ดี " ในกลศาสตร์คลาสสิก (และใน ระบบพลวัตทั่วไป) โดยการเลื่อนเวลา : ถ้าtอยู่ในRและxอยู่ในปริภูมิเฟสxจะอธิบายสถานะของระบบ และt + xจะถูกกำหนดให้เป็นสถานะของระบบ ในอีก tวินาทีต่อมา ถ้าtเป็นบวก หรือ−t วินาทีที่แล้ว ถ้าtเป็นลบ
• กลุ่มการบวกของจำนวนจริง( R , +)กระทำต่อเซตของฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริงในรูปแบบต่างๆ โดยที่( t ⋅ f )( x )เท่ากับ ตัวอย่างเช่นf ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^t ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^tหรือf ( xe ^t ) + tแต่ไม่เท่ากับf ( xe ^t + t )
• เมื่อกำหนดการกระทำของกลุ่มGบนXแล้ว เราสามารถกำหนดการกระทำที่เหนี่ยวนำของGบนเซตกำลังของX ได้ โดยกำหนดg ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U }สำหรับทุกเซตย่อยUของXและทุกgในGวิธีนี้มีประโยชน์ เช่น ในการศึกษาการกระทำของกลุ่ม Mathieu ขนาดใหญ่บนเซต 24 และในการศึกษาความสมมาตร ในแบบจำลองบางอย่างของเรขาคณิตจำกัด
• ควอเทอร์เนียนที่มีนอร์ม 1 ( เวอร์เซอร์ ) ในฐานะกลุ่มการคูณ จะกระทำต่อR³ ^{: สำหรับควอเทอร์เนียน} z = cos α /2 + v sin α /2ใดๆการแมปf ( x ) = z x z ^*คือการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุมαรอบแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์หน่วยv ; zคือการหมุนเดียวกัน ดูควอเทอร์เนียนและการหมุนเชิงพื้นที่นี่ไม่ใช่การกระทำที่ซื่อสัตย์ เพราะควอเทอร์เนียน−1จะทำให้จุดทั้งหมดคงอยู่ที่เดิม เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียน1
• กำหนดให้ เซตGทางซ้ายXและYแล้ว จะมีเซตG ทางซ้าย Y ⊆ ^Xที่มีองค์ประกอบเป็น แผนที่ G -equivariant α  : X × G → Yและมี การกระทำ G ทางซ้าย ที่กำหนดโดยg ⋅ α = α ∘ (id _X × – g ) (โดยที่ " – g " หมายถึงการคูณทางขวาด้วยg ) เซต G นี้ มีคุณสมบัติที่ว่าจุดตรึงของมันสอดคล้องกับแผนที่ equivariant X → Yและโดยทั่วไปแล้ว มันเป็นวัตถุเอกซ์โพเนนเชียลในหมวดหมู่ของเซตG

แนวคิดเรื่องการกระทำของกลุ่มสามารถเข้ารหัสได้ด้วยกลุ่มการกระทำG ′ = G ⋉ Xที่เชื่อมโยงกับการกระทำของกลุ่ม ตัวรักษาเสถียรภาพของการกระทำคือกลุ่มจุดยอดของกลุ่มการกระทำ และวงโคจรของการกระทำคือส่วนประกอบของกลุ่มการกระทำนั้น

ถ้าXและYเป็นเซตG สอง เซต มอร์ฟิซึมจากXไปยังYคือฟังก์ชันf  : X → Yโดยที่f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x )สำหรับทุกg ใน G และทุกxในXมอร์ฟิซึมของ เซต Gเรียกอีกอย่างว่าแผนที่สมมาตรหรือแผนที่G

การประกอบกันของมอร์ฟิซึมสองตัวก็คือมอร์ฟิซึมอีกตัวหนึ่ง ถ้ามอร์ฟิซึมfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) แล้ว ฟังก์ชันผกผันของมันก็จะเป็นมอร์ฟิซึมด้วย ในกรณีนี้fเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมและ เซต G สอง เซตXและYเรียกว่าไอโซมอร์ฟิกกันในทางปฏิบัติแล้ว เซต G ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน นั้นไม่สามารถแยกแยะได้

ตัวอย่างไอโซมอร์ฟิซึมบางส่วน:

• การกระทำ ปกติของ G ทุกแบบ จะสมมูลกับการกระทำของGบนGที่กำหนดโดยการคูณทางซ้าย
• การกระทำ อิสระของ G ทุกอย่าง จะสมมูลกับG × Sโดยที่Sคือเซตบางเซต และGกระทำต่อG × Sโดยการคูณทางซ้ายบนพิกัดแรก ( Sอาจถูกมองว่าเป็นเซตของวงโคจรX / Gก็ได้)
• การกระทำแบบถ่ายทอดของ Gทุกการกระทำนั้นสม isomorphic กับการคูณทางซ้ายด้วยGบนเซตของโคเซตทางซ้ายของกลุ่มย่อยH บางกลุ่ม ของG ( Hอาจเป็นกลุ่มรักษาเสถียรภาพของสมาชิกใดๆ ใน เซต G ดั้งเดิมก็ได้ )

ด้วยแนวคิดเรื่องมอร์ฟิซึมนี้ ชุดของเซตG ทั้งหมดจึงก่อตัวเป็น หมวดหมู่หมวดหมู่นี้คือโทโพสของโกรเทนดีค (อันที่จริง หากสมมติว่าใช้เมตาตรรกะ แบบคลาสสิก โทโพสนี้จะเป็นบูลีนด้วยซ้ำ)

เราสามารถพิจารณาการกระทำของโมโนอิดบนเซตได้เช่นกัน โดยใช้สัจพจน์สองข้อเดียวกันกับข้างต้น อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ได้กำหนดแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งและความสัมพันธ์สมมูล โปรดดูที่การกระทำของเซมิกรุป

แทนที่จะใช้การกระทำบนเซต เราสามารถกำหนดการกระทำของกลุ่มและโมโนอิดบนวัตถุของหมวดหมู่ใดๆ ก็ได้ โดยเริ่มจากวัตถุXของหมวดหมู่ใดหมวดหมู่หนึ่ง แล้วกำหนดการกระทำบนXเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดไปยังโมโนอิดของเอนโดมอร์ฟิซึมของXถ้าXมีเซตพื้นฐานอยู่แล้ว นิยามและข้อเท็จจริงทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นสามารถนำไปใช้ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใช้หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ เราจะได้การแสดงแทนกลุ่มในลักษณะนี้

เราสามารถมองกลุ่มGเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียวซึ่งมอร์ฟิซึมทุกตัวสามารถผกผันได้ [ ^{15 ] การ}กระทำของกลุ่ม (ซ้าย) จึงเป็นเพียงฟังก์ชัน (โคแวเรียนต์) จากGไปยังหมวดหมู่ของเซตและการแสดงแทนกลุ่มคือฟังก์ชันจากGไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ [ ^{16 ] มอ}ร์ฟิซึมระหว่าง เซต Gจึงเป็นการแปลงตามธรรมชาติระหว่างฟังก์ชันการกระทำของกลุ่ม^{[ 17 ]} ในทำนองเดียวกัน การกระทำของกรุปอยด์คือฟังก์ชันจากกรุปอยด์ไปยังหมวดหมู่ของเซตหรือไปยังหมวดหมู่อื่น

นอกเหนือจากการกระทำต่อเนื่องของกลุ่มเชิงทอพอโลยีบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว เรายังมักพิจารณาการกระทำเรียบของกลุ่มลีบนแมนิโฟลด์เรียบการกระทำปกติของกลุ่มพีชคณิตบนวาไรตีพีชคณิตและการกระทำของกลุ่มสกีมบนสกีมด้วยทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างของวัตถุกลุ่มที่กระทำต่อวัตถุในหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้อง

• 
  วงโคจรของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมพื้นฐาน (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ภายใต้การกระทำของกลุ่มทรงแปดเหลี่ยมเต็ม
• 
  วงโคจรของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมพื้นฐาน (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ภายใต้การกระทำของกลุ่มไอโคซาเฮดรอลทั้งหมด

• กราฟกำไร
• กลุ่มที่มีผู้ประกอบการ
• การกระทำของกลุ่มที่วัดผลได้
• การกระทำของโมโนอิด
• การพัฒนา Young–Deruyts

• "การกระทำของกลุ่มบนแมนิโฟลด์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "การกระทำแบบกลุ่ม" . แมทเวิลด์ .