ในเอกสารทางฟิสิกส์ เป็นเรื่องปกติที่จะระบุว่าพีชคณิตลี (Lie algebra) คือปริภูมิของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนที่มี ร่องรอยเป็น ศูนย์ (ไม่ใช่เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเฉียง) กล่าวคือ พีชคณิตลีของนักฟิสิกส์แตกต่างกันด้วยปัจจัยหนึ่ง${\displaystyle i}$จากนักคณิตศาสตร์ ด้วยข้อตกลงนี้ เราสามารถเลือกตัวสร้างT ที่เป็น เมทริก ซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนn × nที่ไม่มีร่องรอยได้ โดยที่: $${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$ โดยที่fคือค่าคงที่โครงสร้างและมีสมมาตรแบบปฏิสมมาตรในทุกดัชนี ในขณะที่ สัมประสิทธิ์ dมีสมมาตรในทุกดัชนี

ดังนั้น ตัวสลับการทำงานจึงเป็นดังนี้: $${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$ และตัวสลับผกผันที่สอดคล้องกันคือ: $${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

ตัวแปรiในความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งนั้น มาจากธรรมเนียมทางฟิสิกส์ และจะไม่ปรากฏในการใช้ธรรมเนียมทางคณิตศาสตร์

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานตามธรรมเนียมคือ $${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

ตัวสร้างเป็นไปตามเอกลักษณ์ของ Jacobi: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

ตามธรรมเนียมในเอกสารทางฟิสิกส์ ตัวสร้าง (generators)${\displaystyle T_{a}}$ถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนเฮอร์มิเชียนไร้ร่องรอยที่มี ตัวประกอบ 1/2 : สำหรับSU(2)ตัวสร้างจะถูกเลือกเป็น⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}}$, ⁠​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}}$⁠ ,${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{3}}$ที่ไหน${\displaystyle \sigma _{a}}$คือเมทริกซ์ Pauliในขณะที่สำหรับกรณีของSU(3)จะกำหนด${\displaystyle T_{a}={\tfrac {1}{2}}\lambda _{a}}$ที่ไหน${\displaystyle \lambda _{a}}$คือเมทริกซ์ Gell-Mann [ ^{6 ] ด้วย}คำจำกัดความเหล่านี้ ตัวสร้างจะตรงตามเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานดังต่อไปนี้: $${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

ในการแสดงแทนแบบแอดจอยต์มิติ( n² ⁻ 1)ตัวสร้างจะถูกแทนด้วย เมทริกซ์ ( n² ^{− 1} ) × ( n² − 1)ซึ่งองค์ประกอบของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยค่าคงที่โครงสร้างเอง: $${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

ถ้าเราพิจารณา${\displaystyle \alpha ,\beta }$ในฐานะคู่กันใน${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ที่ไหน${\displaystyle \alpha =a+bi}$และ​${\displaystyle \beta =c+di}$จากนั้นสมการ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$กลายเป็น $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

นี่คือสมการของทรงกลม 3 มิติS ³นอกจากนี้ยังสามารถมองเห็นได้โดยใช้การฝังตัว: แผนที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$หมายถึงเซตของเมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด 2x2 และเป็นการแมปเชิงเส้นจริงแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (โดยพิจารณาจาก)${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ดิฟฟีโอเมอร์ฟิกถึง${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$และ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ดิฟฟีโอเมอร์ฟิกกับ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ดังนั้นการจำกัด φให้อยู่บนทรงกลม 3 มิติ (เนื่องจากค่าสัมบูรณ์คือ 1 ) ซึ่งแสดงด้วย S ³ นั้นเป็นการฝังทรงกลม 3 มิติลงบนซับแมนิโฟลด์แบบกระชับของ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$กล่าวคือ φ ( S ³ ) = SU(2 )

ดังนั้น ในฐานะที่เป็นแมนิโฟลด์S ³จึงเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับSU(2)ซึ่งแสดงให้เห็นว่า SU(2)เป็นเซตเชื่อมต่อแบบง่ายและS ³สามารถมีโครงสร้างของกลุ่ม Lie ที่กระชับและเชื่อมต่อกัน ได้

ควอเทอร์เนียนที่มีนอร์ม 1 เรียกว่าเวอร์เซอร์เนื่องจากสร้างกลุ่มการหมุนSO(3) : เมทริกซ์ SU(2) : $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$ สามารถแมปไปยังควอเทอร์เนียนได้ $${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

แผนที่นี้เป็น ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มจริง ๆนอกจากนี้ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือค่ากำลังสองของนอร์มของควอเทอร์เนียนที่สอดคล้องกัน เห็นได้ชัดว่าเมทริกซ์ใด ๆ ในSU(2)อยู่ในรูปแบบนี้ และเนื่องจากมีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 1ควอเทอร์เนียนที่สอดคล้องกันจึงมีนอร์มเท่ากับ1ดังนั้นSU(2)จึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มของเวอร์เซอร์^{[ 8 ]} 

เวอร์เซอร์ทุกตัวมีความสัมพันธ์ตามธรรมชาติกับการหมุนเชิงพื้นที่ใน 3 มิติ และผลคูณของเวอร์เซอร์มีความสัมพันธ์กับการประกอบของการหมุนที่เกี่ยวข้อง ยิ่งไปกว่านั้น การหมุนทุกครั้งเกิดขึ้นจากเวอร์เซอร์สองตัวในลักษณะนี้ กล่าวโดยสรุป: มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง 2:1 จากSU(2)ไปยังSO(3)ดังนั้นSO(3)จึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มผลหารSU(2)/{±I}แมนิโฟลด์ที่อยู่ภายใต้SO(3)ได้มาจากการระบุจุดตรงข้ามของทรงกลม 3 มิติS ³และSU(2)เป็นการปกคลุมสากลของSO(3 )

พีชคณิตLieของSU(2)ประกอบด้วย เมทริกซ์เฮอร์ มิเชียนเฉียง2 × 2 ที่มีร่องรอยเป็นศูนย์^{[ 9 ]}อย่างชัดเจน หมายความว่า $${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

จากนั้นพีชคณิตลีจะถูกสร้างขึ้นโดยเมทริกซ์ต่อไปนี้ $${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$ ซึ่งมีรูปแบบเป็นองค์ประกอบทั่วไปตามที่ระบุไว้ข้างต้น

สามารถเขียนได้อีกแบบว่า${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$โดยใช้เมทริกซ์ของเปาลี

สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ของควอเทอร์เนียน${\displaystyle u_{2}u_{3}=-u_{3}u_{2}=u_{1}}$, ⁠​${\displaystyle u_{3}u_{1}=-u_{1}u_{3}=u_{2}}$และ​​${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}u_{1}=u_{3}}$ดังนั้นวงเล็บคอมมิวเทเตอร์จึงถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

เครื่องกำเนิดข้างต้นมีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ Pauliโดย${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1},u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$และ​${\displaystyle mu_{3}=+i\ \sigma _{3}}$การแสดงผลแบบนี้ถูกใช้เป็นประจำในกลศาสตร์ควอนตัมเพื่อแสดงสปินของอนุภาคพื้นฐานเช่นอิเล็กตรอนนอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์หน่วยสำหรับการอธิบาย มิติเชิงพื้นที่ 3 มิติของเราในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมแบบลูปและยังสอดคล้องกับเกต Pauli X, Y และ Zซึ่งเป็นตัวสร้างมาตรฐานสำหรับเกตคิวบิตเดี่ยว ซึ่งสอดคล้องกับการหมุน 3 มิติรอบแกนของทรงกลม Bloch

พีชคณิต Lie ใช้เพื่อคำนวณการแสดงแทนของSU(2 )

กลุ่มSU(3)เป็นกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายและกะทัดรัด^{[ 10 ]}โครงสร้างทางทอพอโลยีของมันสามารถเข้าใจได้โดยการสังเกตว่าSU(3)กระทำการทรานซิทีฟบนทรงกลมหน่วย${\displaystyle S^{5}}$ใน​${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$⁠ .ตัวรักษาเสถียรภาพของจุดใดๆ บนทรงกลมเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ SU(2)ซึ่งในทางโทโพโลยีเป็นทรงกลม 3 มิติ จากนั้นจึงสรุปได้ว่า SU(3)เป็นมัดไฟเบอร์เหนือฐาน S ⁵ที่มีไฟเบอร์ S ³เนื่องจากไฟเบอร์และฐานเชื่อมต่อกันอย่างง่าย การเชื่อมต่อกันอย่างง่ายของ SU(3)จึงสรุปได้โดยใช้ผลลัพธ์ทางโทโพโลยีมาตรฐาน (ลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปีสำหรับมัดไฟเบอร์) ^{[ 11 ]}

บันเดิล SU (2)เหนือS ⁵ถูกจำแนกโดย${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$เนื่องจากสามารถสร้างกลุ่มข้อมูลดังกล่าวได้โดยการพิจารณากลุ่มข้อมูลพื้นฐานบนซีกโลกทั้งสอง${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$และเมื่อพิจารณาฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านบนจุดตัดของพวกมัน ซึ่งเป็นสำเนาของS ⁴ดังนั้น $${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

จากนั้น ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านทั้งหมดดังกล่าวจะถูกจำแนกตามคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ $${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$ และในฐานะ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$แทนที่จะ​${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$SU(3)ไม่สามารถเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญ SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ ได้ และดังนั้นจึงต้องเป็นบันเดิ ล ที่ไม่สำคัญ (บิดเบี้ยว) ที่ไม่ซ้ำกัน สามารถแสดงได้โดย การพิจารณาลำดับที่แน่นอนยาวที่เหนี่ยวนำบนกลุ่มโฮโมโทปี

ทฤษฎีการแทนของSU(3)เป็นที่เข้าใจกันดี^{[ 12 ]}คำอธิบายของการแทนเหล่านี้ จากมุมมองของพีชคณิต Lie ที่ซับซ้อน${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับการแสดงแทนพีชคณิต Lieหรือสัมประสิทธิ์ Clebsch–Gordan สำหรับSU(3 )

ตัวสร้างTของพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ของSU(3)ในการแสดงที่กำหนด (ฟิสิกส์อนุภาค, เฮอร์มิเชียน) คือ $${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$ โดยที่λ ซึ่งเป็นเมทริกซ์ Gell-Mannเป็น เมทริกซ์อนาล็อก SU(3)ของเมทริกซ์ PauliสำหรับSU(2) : $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

ค่า λเหล่านี้เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนไร้ร่องรอยHทั้งหมดของพีชคณิตลีตามที่ต้องการ โปรดทราบว่าλ , λ , λ เป็นเมทริกซ์ปฏิสมมาตร

พวกเขาเชื่อฟังญาติพี่น้อง $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$ หรือเทียบเท่ากัน $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

f คือค่าคงที่โครงสร้างของพีชคณิตลี ซึ่งกำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$ในขณะที่ f อื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยนเหล่านี้จะมีศูนย์ โดยทั่วไปแล้ว ค่าเหล่านี้จะหายไป เว้นแต่จะมีดัชนีจำนวนคี่จากเซต{2, 5, 7 } ^{[ c ]}

สัมประสิทธิ์สมมาตรdมีค่าดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

พวกมันจะหายไปหากจำนวนดัชนีจากเซต{2, 5, 7}เป็นเลขคี่

องค์ประกอบกลุ่ม SU(3)ทั่วไปที่สร้างขึ้นโดยเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนH ขนาด 3 × 3 ที่ไม่มีร่องรอย ซึ่งถูกทำให้เป็นมาตรฐานเป็นtr( H ² ) = 2สามารถแสดงเป็น พหุนามเมทริกซ์ อันดับสองในH ได้ : ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ ที่ไหน $${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

ตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มประเภทนี้คือกลุ่มโมดูลาร์ของ Picard${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ซึ่งกระทำ (เชิงฉาย) บนปริภูมิไฮเปอร์โบลิกเชิงซ้อนมิติสอง ในลักษณะเดียวกับที่${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$กระทำ (เชิงโปรเจกทีฟ) บนพื้นที่ไฮเปอร์โบลิก^จริงที่มีมิติสอง ในปี 2548 Gábor Francsics และPeter Laxได้คำนวณโดเมนพื้นฐานที่ชัดเจนสำหรับการกระทำของกลุ่มนี้บนHC ² [ ^{18 ]}

ตัวอย่างเพิ่มเติมคือ⁠${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$⁠ .