กำหนดให้ลูกบาศก์ที่มีความยาวด้าน${\displaystyle a}$เส้นทแยงมุมของหน้าลูกบาศก์คือเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$และเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์คือเส้นที่เชื่อมจุดยอดสองจุดที่ไม่ได้อยู่บนหน้าเดียวกัน ซึ่งกำหนดได้ดังนี้${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$ทั้งสองสูตรสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพื้นที่ผิวของลูกบาศก์${\displaystyle A}$มีพื้นที่เป็นหกเท่าของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle A=6a^{2}.}$$ ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากคำนวณได้จากการคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน เนื่องจากขอบทุกด้านของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความยาวเท่ากัน สูตรสำหรับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจึงเป็นกำลังสามของความยาวด้าน^{[ 11 ]}ซึ่งนำไปสู่การใช้คำว่าcubeเป็นคำกริยาหมายถึงการยกกำลังสามของจำนวนใดๆ^{[ 4 ]}$${\displaystyle V=a^{3}.}$$

ลูกบาศก์มีเส้นโค้งปิด สามประเภท หรือเส้นทางบนพื้นผิวของลูกบาศก์ที่เป็นเส้นตรงในบริเวณนั้น กล่าวคือ เส้นทางเหล่านี้หลีกเลี่ยงจุดยอด ลากเส้นตรงตัดผ่านหน้าลูกบาศก์ และสร้างมุมประกอบบนหน้าสองด้านที่เชื่อมต่อกับขอบแต่ละด้านที่ตัดผ่าน รูปแบบหนึ่งอยู่บนระนาบขนานกับหน้าลูกบาศก์และสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมมาตรกับหน้านั้น โดยมีความยาวด้านเป็นสี่เท่าของความยาวขอบของลูกบาศก์ อีกรูปแบบหนึ่งอยู่บนระนาบตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมยาว สร้างรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า โดยมีความยาวเป็น${\displaystyle 3{\sqrt {2}}}$คูณด้วยขอบ ประเภทที่สามคือรูปหกเหลี่ยมที่ไม่เป็นระนาบ^{[ 12 ]}

ทรงกลมภายในของลูกบาศก์${\displaystyle r_{i}}$คือทรงกลมที่สัมผัสกับหน้าของลูกบาศก์ ณจุดศูนย์กลาง ของแต่ละหน้า กึ่งกลางของทรงกลมนั้น${\displaystyle r_{m}}$คือทรงกลมที่สัมผัสกับขอบของลูกบาศก์ ทรงกลมล้อมรอบ ของมัน${\displaystyle r_{c}}$เป็นทรงกลมที่สัมผัสกับจุดยอดของลูกบาศก์ โดยมีความยาวด้านเท่ากับ .${\displaystyle a}$โดยตามลำดับคือ: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle r_{i}={\frac {1}{2}}a=0.5a,\qquad r_{m}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{c}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\approx 0.866a.}$$

ลูกบาศก์หน่วยคือลูกบาศก์ที่มีความยาวตามขอบแต่ละด้าน 1 หน่วยดังนั้นแต่ละหน้าจึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยและรูปทรงทั้งหมดมีปริมาตร 1 ลูกบาศก์หน่วย^{[ 14 ] [ 15 ]}เจ้าชายรูเพิร์ตแห่งไรน์ซึ่งเป็นที่รู้จักจาก " การตกของเจ้าชายรูเพิร์ต " ได้ เดิมพันว่าลูกบาศก์จะสามารถลอดผ่านรูที่ทำไว้ในลูกบาศก์อีกอันที่มีขนาดเท่ากันได้หรือไม่เรื่องราวที่นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจอห์น วอลลิส เล่าในปี 1693 ตอบว่าสามารถทำได้ แม้ว่าจะมีข้อผิดพลาดบางประการในการนำเสนอของวอลลิสก็ตาม ประมาณหนึ่งศตวรรษต่อมา นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ปีเตอร์ นิวแลนด์ได้เสนอวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่า โดยระบุว่าขอบของลูกบาศก์ที่ลอดผ่านรูของลูกบาศก์หน่วยนั้นอาจมีความยาวได้ถึงประมาณ 1.06 หน่วย^{[ 16 ] [ 17 ]}วิธีหนึ่งที่จะได้ผลลัพธ์นี้คือการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือสูตรระยะทางแบบยุคลิดในพื้นที่สามมิติ^{[ 18 ]}

ปัญหาโบราณเกี่ยวกับ การสร้าง ลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์เดิมนั้น ต้องใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัด เท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ วอนเซลสรุปได้ในปี 1837 ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์เดิมได้ เนื่องจากลูกบาศก์ที่มีปริมาตรเป็นสองเท่าของลูกบาศก์เดิมนั้น มีค่าเท่ากับรากที่สามของ 2${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$—ไม่สามารถสร้างได้ [ ^{19 ] อย่างไรก็ตาม}ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยการพับกระดาษโอริกามิโดยMesser (1986 ) ^{[ 20 ]}

ลูกบาศก์มีสมมาตรทรงแปดเหลี่ยม${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ของลำดับที่ 48 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลูกบาศก์มีสมมาตรแบบไอโซเมตริก 48 แบบ (รวมถึงเอกลักษณ์ ) ซึ่งแต่ละแบบจะแปลงลูกบาศก์ให้กลายเป็นตัวมันเอง การแปลงเหล่านี้รวมถึงสมมาตรแบบสะท้อน 9 แบบ (ซึ่งครึ่งสองส่วนที่ถูกตัดโดยระนาบจะเหมือนกัน) โดย 3 แบบตัดลูกบาศก์ที่จุดกึ่งกลางของขอบ และ 6 แบบตัดตามแนวทแยงมุม ลูกบาศก์ยังมีแกนสมมาตรแบบหมุน 13 แกน (โดยการหมุนรอบแกนจะทำให้มีลักษณะเหมือนกัน) โดย 3 แกนผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าตรงข้าม 6 แกนผ่านจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้าม และ 4 แกนผ่านจุดยอดตรงข้าม แกนเหล่านี้คือสมมาตรแบบหมุนสี่เท่า (0°, 90°, 180° และ 270°) สมมาตรแบบหมุนสองเท่า (0° และ 180°) และสมมาตรแบบหมุนสามเท่า (0°, 120° และ 240°) ตามลำดับ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

โพลีเฮดรอนคู่สามารถได้มาจากการที่จุดยอดแต่ละจุดของโพลีเฮดรอนสัมผัสกับระนาบโดยกระบวนการที่เรียกว่าการผกผันเชิงขั้ว^{[ 25 ]}คุณสมบัติหนึ่งของโพลีเฮดรอนคู่คือโพลีเฮดรอนและโพลีเฮดรอนคู่ของมันใช้กลุ่มจุดสมมาตรสามมิติ ร่วมกัน ในกรณีนี้ โพลีเฮดรอนคู่ของลูกบาศก์คือออกตาเฮดรอนปกติและโพลีเฮดรอนทั้งสองนี้มีสมมาตรออกตาเฮดรอนเหมือนกัน^{[ 26 ]}

ลูกบาศก์เป็นรูปทรงสมมาตรหน้าตรงหมายความว่าหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองหน้าเหมือนกันและสามารถแมปได้โดยการหมุนและการสะท้อน^{[ 27 ]}เป็นรูปทรงสมมาตรจุดยอดหมายความว่าจุดยอดทั้งหมดเท่ากันและสามารถแมปแบบไอโซเมตริกภายใต้สมมาตร^{[ 28 ]}นอกจากนี้ยังเป็นรูปทรงสมมาตรขอบหมายความว่าหน้าชนิดเดียวกันล้อมรอบจุดยอดแต่ละจุดในลำดับเดียวกันหรือกลับกัน และหน้าคู่ที่อยู่ติดกันแต่ละคู่มีมุมไดเฮดรัลเดียวกัน ดังนั้นลูกบาศก์จึงเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ^{[ 29 ]}จุดยอดแต่ละจุดถูกล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามรูป ดังนั้นลูกบาศก์จึงเป็น${\displaystyle 4.4.4}$โดยการกำหนดค่าจุดยอดหรือ${\displaystyle \{4,3\}}$โดยสัญลักษณ์ Schläfli ^{[ 30 ]}

จากซ้ายบนเรียงตามเข็มนาฬิกา: ลูกเต๋าหกด้าน, สกิวบ์ ที่ต่อเสร็จแล้ว , ประติมากรรมอะลาโมและต้นไม้ที่ถูกตัดแต่งเป็นรูปทรงลูกบาศก์

ลูกบาศก์ปรากฏในบทบาทต่างๆ มากมายในวัฒนธรรมสมัยนิยม เป็นรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดของลูกเต๋า[ ^{27 ] ของเล่น} ปริศนา เช่น ชิ้นส่วนของลูกบาศก์โซมา [ ^{31 ] ลูกบาศก์}รูบิกและสกิวบ์สร้างขึ้นจากลูกบาศก์^{[ 32 ]}มายด์ไมน์เป็นตัวอย่างของวิดีโอเกมแซนด์บ็อกซ์ที่ใช้บล็อกทรงลูกบาศก์^{[ 33 ]}ประติมากรรมกลางแจ้งอะลาโม (1967) เป็นลูกบาศก์ที่หมุนรอบแกนแนวตั้ง^{[ 34 ]}ภาพลวงตาเช่นลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้และลูกบาศก์เนคเกอร์ได้รับการสำรวจโดยศิลปินเช่นMC Escher [ ^{35 ] ลูกบาศก์}ถูกนำไปใช้ในตำราสถาปัตยกรรมยุคเรเนสซองส์ของอัลเบอร์ติ De re aedificatoria (1450) ^{[ 36 ]}บ้านทรงลูกบาศก์ในเนเธอร์แลนด์เป็นชุดของบ้านทรงลูกบาศก์ที่มี เส้นทแยงมุมของพื้นที่ หกเหลี่ยมกลายเป็นพื้นหลัก^{[ 37 ]}ต้นไม้สามารถตัดแต่งให้มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์เป็นประติมากรรมที่มีชีวิตได้^{[ 38 ]}

โครงสร้างผลึกทรงลูกบาศก์อย่างง่าย

เกลือแกงผลึกทรงลูกบาศก์

แบบจำลองลูกบอลและแท่งของคิวเบน

ลูกบาศก์ยังพบได้ในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยีต่างๆ อีกด้วย โดยนำไปใช้กับหน่วยเซลล์ของผลึกที่เรียกว่าระบบผลึกทรงลูกบาศก์^{[ 39 ]} เกลือแกงเป็นตัวอย่างของแร่ธาตุที่มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์โดยทั่วไป^{[ 40 ]}ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ไพไรต์ (แม้ว่าจะมีหลายรูปแบบ) ^{[ 41 ]}และยูเรเนียมที่มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์ในโครงการนิวเคลียร์^{[ 42 ]}เรดิโอลาเรียนLithocubus geometricusที่ค้นพบโดยErnst Haeckelมีรูปร่างเป็นลูกบาศก์^{[ 43 ]}คิวเบน เป็น ไฮโดรคาร์บอนสังเคราะห์ที่ประกอบด้วยอะตอม คาร์บอนแปดอะตอม เรียงตัวอยู่ที่มุมของลูกบาศก์ โดยมี อะตอม ไฮโดรเจน หนึ่ง อะตอมติดอยู่กับอะตอมคาร์บอนแต่ละอะตอม^{[ 44 ]}

ความพยายามทางประวัติศาสตร์ในการรวมแนวคิดทางฟิสิกส์สามประการ ได้แก่ สั มพัทธภาพแรงโน้มถ่วงและกลศาสตร์ควอนตัมได้ใช้กรอบของลูกบาศก์ที่เรียกว่าลูกบาศก์cGh ^{[ 45 ]}

ดาวเทียมคิวบ์แซทของนอร์เวย์

ตัวสะท้อนแสงที่มุมจะเบี่ยงเบนรังสีสองลำกลับไปยังแหล่งกำเนิด

ลูกบาศก์ทางเทคโนโลยี ได้แก่ อุปกรณ์ยานอวกาศ^{CubeSat [} 46 ] ^{อุปกรณ์สาธิต}การแผ่รังสีความร้อนLeslie cube [ ^{47 ]}และเครื่องเว็บเซิร์ฟเวอร์Cobalt Qube [ ^{48 ] ตาราง} ลูกบาศก์เป็นเรื่องปกติในระบบพิกัด คาร์ทีเซียนสามมิติ^{[ 49 ]}ในกราฟิกคอมพิวเตอร์อัลกอริทึม จะแบ่งปริมาตรอินพุต ^ออกเป็นชุดของลูกบาศก์ที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งเรียกว่าหน่วยบนไอโซเซอร์เฟซ^{[ 50 ]}และหน้าของลูกบาศก์สามารถใช้สำหรับการแมปรูปร่างได้ [ ^{51 ] ใน}ด้านวิศวกรรม ต่างๆ รวมถึงป้ายจราจรและเรดาร์มุมของลูกบาศก์มีประโยชน์ในฐานะตัวสะท้อนกลับที่เรียกว่าตัวสะท้อนมุมซึ่งจะเปลี่ยนทิศทางรังสีหรือคลื่น ใดๆ กลับไปยังแหล่งกำเนิด^{[ 52 ]}

ภาพร่างลูกบาศก์โดยโยฮันเนส เคปเลอร์

แบบจำลองทรงหลายเหลี่ยมเพลโตของระบบสุริยะของเคปเลอร์

ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตเป็นทรงหลายเหลี่ยม 5 ทรงที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ ชุดนี้ตั้งชื่อตามเพลโตผู้ซึ่งกล่าวถึงทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ในธรรมชาติในบทสนทนาTimaeus ของเขา หนึ่งในนั้นคือลูกบาศก์ ซึ่งเป็นตัวแทนของธาตุโลก ในสมัยโบราณ เนื่องจากเป็นส่วนประกอบพื้นฐานของโลก^{[ 53 ]} หนังสือ Elementsของยูคลิดได้นิยามทรงหลายเหลี่ยมเพลโต รวมถึงลูกบาศก์ และแสดงวิธีหาอัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบกับความยาวขอบ^{[ 54 ]}

ตามการใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติของเพลโตเป็นสัญลักษณ์ของธรรมชาติโยฮันเนส เคปเลอร์ในHarmonices Mundi ของเขา ได้วาดภาพรูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโตแต่ละรูป โดยตกแต่งด้านข้างของลูกบาศก์ด้วยต้นไม้^{[ 55 ]}ในMysterium Cosmographicum ของเขา เคปเลอร์ได้เสนอโครงสร้างของระบบสุริยะและความสัมพันธ์ระหว่างดาวเคราะห์ ต่างๆ โดยใช้รูปทรงเรขาคณิตแบบเพลโต ซึ่งถูกจารึกและล้อมรอบด้วยทรงกลม รูปทรงเรขาคณิตแต่ละรูปที่บรรจุอยู่ในทรงกลมซ้อนกัน จะสร้างชั้นหกชั้น ซึ่งสอดคล้องกับดาวเคราะห์ที่รู้จักกันหกดวง ได้แก่ดาวพุธดาวศุกร์ โลกดาวอังคารดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ จากชั้นในสุดไปยังชั้นนอกสุด รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้เรียงลำดับจาก ทรง แปดเหลี่ยมตามด้วยทรงยี่สิบเหลี่ยมทรงสิบสองเหลี่ยมทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและสุดท้ายคือลูกบาศก์^{[ 56 ]}

ลูกบาศก์สามารถวาดเป็นกราฟ ได้ ซึ่งเป็นโครงสร้างในทฤษฎีกราฟที่ประกอบด้วยเซตของจุดยอดที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบสามารถทำได้ตามทฤษฎีบทของ Steinitzซึ่งระบุว่ากราฟสามารถแสดงเป็นกราฟจุดยอด-ขอบของทรงหลายเหลี่ยมได้ ตราบใดที่กราฟนั้นมีคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้ คือความเป็นระนาบ (ขอบของกราฟเชื่อมต่อกับทุกจุดยอดโดยไม่ตัดกับขอบอื่น) และการเชื่อมต่อแบบ 3 (เมื่อใดก็ตามที่กราฟมีจุดยอดมากกว่าสามจุด และเมื่อลบจุดยอดสองจุดออก ขอบยังคงเชื่อมต่อกัน) ^{[ 61 ] [ 62 ]}โครงร่างของลูกบาศก์ที่แสดงเป็นกราฟเรียกว่ากราฟลูกบาศก์หรือกราฟเพลโตนิคมีจำนวนจุดยอดและขอบเท่ากับลูกบาศก์ คือ 12 จุดยอดและ 8 ขอบ^{[ 63 ]}กราฟลูกบาศก์ยังจัดเป็นกราฟปริซึมซึ่งมีลักษณะคล้ายโครงร่างของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก^{[ 64 ]}

กราฟลูกบาศก์เป็นกรณีพิเศษของกราฟไฮเปอร์คิวบ์หรือ${\displaystyle n}$-ลูกบาศก์—แสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle Q_{n}}$—เนื่องจากสามารถสร้างได้โดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียนของกราฟ : กราฟสองกราฟที่เชื่อมต่อจุดยอดคู่หนึ่งด้วยขอบเพื่อสร้างกราฟใหม่^{[ 65 ]}ในกรณีของกราฟลูกบาศก์ ผลคูณของ${\displaystyle Q_{2}\mathbin {\Box } Q_{1}}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbin {\Box } }$หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียนของกราฟ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กราฟลูกบาศก์สร้างขึ้นโดยการเชื่อมจุดยอดแต่ละจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปด้วยเส้นขอบ ในทางสัญลักษณ์ กราฟลูกบาศก์คือ${\displaystyle Q_{3}}$[ ^{66 ] เช่นเดียวกับกราฟไฮเปอร์คิว บ์}ใดๆ กราฟนี้มีวงจรที่เยี่ยมชมทุกจุดยอดเพียงครั้งเดียว [ ^{67 ] และ}ยังเป็นตัวอย่างของกราฟระยะทางหน่วย อีกด้วย ^{[ 68 ]}

กราฟลูกบาศก์เป็นกราฟสองส่วนหมายความว่าเซตอิสระของจุดยอดสี่จุดสามารถแยกออกจากกันได้และขอบในเซตเหล่านั้นสามารถเชื่อมต่อกันได้^{[ 69 ]}อย่างไรก็ตาม จุดยอดทุกจุดในเซตหนึ่งไม่สามารถเชื่อมต่อจุดยอดทั้งหมดในเซตที่สองได้ ดังนั้นกราฟสองส่วนนี้จึงไม่สมบูรณ์[ ^{70 ] มัน}เป็นตัวอย่างของทั้งกราฟมงกุฎและกราฟKneser สองส่วน^{[ 71 ] [ 69 ]}

วัตถุที่ได้รับแสงจากรังสีขนานจะทอดเงาบนระนาบที่ตั้งฉากกับรังสีเหล่านั้น เรียกว่าการฉายภาพเชิงตั้งฉาก รูปทรงหลายเหลี่ยมจะถือว่าเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ฉายภาพได้เท่ากันหากสำหรับตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งของแสง การฉายภาพเชิงตั้งฉากของรูปทรงนั้นจะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ลูกบาศก์เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ฉายภาพได้เท่ากัน เพราะหากแสงขนานกับเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งในสี่เส้นที่เชื่อมจุดยอดกับจุดยอดตรงข้าม การฉายภาพของลูกบาศก์จะเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ^{[ 72 ]}

ลูกบาศก์สามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์การกำหนดค่า ซึ่งเป็น เมทริกซ์ที่แถวและคอลัมน์สอดคล้องกับองค์ประกอบของทรงหลายเหลี่ยม เช่น จุดยอด ขอบ และหน้าแนวทแยงของเมทริกซ์แสดงจำนวนองค์ประกอบแต่ละอย่างที่ปรากฏในทรงหลายเหลี่ยม ในขณะที่ด้านที่ไม่ใช่แนวทแยงของเมทริกซ์แสดงจำนวนองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกิดขึ้นในหรือที่องค์ประกอบของแถวนั้น จุดยอดแปดจุด ขอบสิบสองเส้น และหน้าหกหน้าของลูกบาศก์แสดงด้วยองค์ประกอบแต่ละตัวในแนวทแยงของเมทริกซ์ (8, 12 และ 6) คอลัมน์แรกของแถวกลางแสดงว่ามีจุดยอดสองจุดบนแต่ละขอบ ซึ่งแสดงด้วยเลข 2 คอลัมน์กลางของแถวแรกแสดงว่ามีขอบสามเส้นมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด ซึ่งแสดงด้วยเลข 3 เมทริกซ์การกำหนดค่าของลูกบาศก์คือ: ^{[ 73 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

รูปทรงหลายเหลี่ยมบางชนิดที่สร้างขึ้นโดยใช้ลูกบาศก์เป็นพื้นฐาน ได้แก่ ทรงแปดเหลี่ยมดาว (stellated octahedron) , ทรงหกเหลี่ยมสี่เหลี่ยม (tetrakis hexahedron ) และลูกบาศก์มุมตัด (chamfered cube)

สามารถสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมได้หลายแบบโดยใช้ลูกบาศก์เป็นพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น:

• เมื่อทำการตัดเหลี่ยมลูกบาศก์ หมายถึงการลบส่วนหนึ่งของหน้าเหลี่ยมโดยไม่สร้างจุดยอดใหม่ของลูกบาศก์ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะเป็นรูปทรงแปดเหลี่ยมดาว^{[ 74 ]}
• สามารถสร้างโพลีเฮดรานูนใหม่ได้โดยการติดโพลีเฮดราที่ไม่ปกติเข้ากับหน้าของลูกบาศก์^{[ 10 ]}ดังนั้นลูกบาศก์จึงเป็นส่วนประกอบของทรงตันจอห์นสัน สองแบบ คือ พีระมิดสี่เหลี่ยมด้านยาวและไบพีระมิดสี่เหลี่ยมด้านยาว โดยแบบหลังเป็นลูกบาศก์ที่มีพีระมิดสี่เหลี่ยมอยู่บนหน้าตรงข้าม^{[ 75 ]}
• การติดพีระมิดเตี้ยๆ เข้ากับแต่ละหน้าของลูกบาศก์จะทำให้เกิดKleetopeซึ่งเป็นเฮกซาเฮดรอนเททราคิส [ ^{76 ] ซึ่ง}เป็นคู่ตรงข้ามกับ ออกตาเฮดร อนที่ถูกตัด
• การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกของลูกบาศก์ (หรือคู่ของมัน คือทรงแปดเหลี่ยมปกติ) คือทรงสิบสองเหลี่ยมดิสดียาคิสซึ่งเป็นทรงตันคาตาลัน^{[ 77 ]}
• บริเวณมุมของลูกบาศก์ยังสามารถถูกตัดออกโดยระนาบ (เช่น ระนาบที่เชื่อมต่อจุดยอดที่อยู่ติดกันสามจุด) ส่งผลให้เกิดรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสามเหลี่ยม^{[ 78 ]}
• ลูกบาศก์สนับคือทรงตันอาร์คิมีเดียนที่สามารถสร้างได้โดยการแยกหน้าของลูกบาศก์ออก และเติมช่องว่างด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าบิดมุม ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าสนับ^{[ 79 ]}
• แต่ละจุดยอดของลูกบาศก์สามารถถูกตัดออกได้และรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะเป็นทรงตันอาร์คิมีเดียนหรือลูกบาศก์ที่ถูกตัดออก^{[ 80 ]}เมื่อขอบของมันถูกตัดออก มันจะเป็นทรงแปดเหลี่ยมลูกบาศก์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน [ 81 ^{]ในทำนอง}เดียวกัน ทรงแปดเหลี่ยมลูกบาศก์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยังสามารถสร้างขึ้นได้โดยการแยกหน้าของลูกบาศก์ออก แล้วขยายออกไป จากนั้นเพิ่มหน้าสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมอื่นๆ ระหว่างหน้าเหล่านั้น ซึ่งเรียกว่า "ลูกบาศก์ขยาย" รูปทรงเดียวกันนี้สามารถได้มาด้วยวิธีเดียวกันจากทรงคู่ของลูกบาศก์ คือทรงแปดเหลี่ยมปกติ^{[ 82 ]}
• ลูกบาศก์มุมตัดถูกสร้างขึ้นจากลูกบาศก์โดยใช้ตัวดำเนินการตัดที่เรียกว่ามุม ตัด รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะมีหน้าหกเหลี่ยมสิบสองหน้าและ หน้าสี่เหลี่ยมสมมาตรตรงกลางหกหน้าซึ่ง เรียกว่า โซโนเฮดรอน^{[ 83 ] [ 84 ]}
• สามารถสร้าง สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำที่ตั้งฉากกันสามรูปได้จากจุดยอดคู่หนึ่งที่อยู่บนจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามบนพื้นผิวของลูกบาศก์ โดยลากเส้นแบ่งส่วนระหว่างจุดยอดทั้งสองนั้น และแบ่งเส้นแบ่งส่วนนั้นตามอัตราส่วนทองคำจากจุดกึ่งกลาง มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้คือจุดยอดของทรงยี่สิบหน้าปกติที่มีสามเหลี่ยมด้านเท่า 20 รูป^{[ 85 ]}

ตัวอย่างของโพลีคิวบ์สองแบบ ได้แก่ โพลีคิวบ์ที่มีลูกบาศก์ห้าลูกต่อกันแบบหน้าต่อหน้า และกากบาทดาลีซึ่งอย่างหลังนี้เป็นหนึ่งใน 261 แบบจำลองของเทสเซอแร็กต์

โพลีคิวบ์เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการนำลูกบาศก์ที่มีขนาดเท่ากันตั้งแต่หนึ่งลูกขึ้นไปมาต่อกัน โพลีคิวบ์เป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่เทียบได้กับโพลีโอมีโนสอง มิติ ^{[ 86 ]}

เมื่อลูกบาศก์สี่ลูกถูกวางซ้อนกันในแนวตั้ง และลูกบาศก์อีกสี่ลูกถูกติดเข้ากับลูกบาศก์ลูกที่สองจากบนสุดของกองนั้น โพลีคิวบ์ที่ได้จะเป็นกากบาทดาลีซึ่งตั้งชื่อตามซัลวาดอร์ ดาลีศิลปินเซอร์เรียลลิสต์ ชาวสเปน ผู้ซึ่งภาพวาดCorpus Hypercubus (1954) ของเขามีเทสเซอแร็กต์ที่คลี่ออกเป็นกากบาทหกแขน โครงสร้างที่คล้ายกันนี้เป็นแก่นสำคัญในเรื่องสั้น " And He Built a Crooked House " (1940) ของ โรเบิร์ต เอ. ไฮน์ไลน์^{[ 87 ] [ 88 ]}กากบาทดาลีสามารถพับได้ในมิติที่สี่เพื่อล้อมรอบเทสเซอแร็กต์ [ ^{89 ] ลูกบาศก์}เป็นตัวอย่างสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์ (หรือที่เรียกว่า 3-คิวบ์) ไฮเปอร์คิวบ์สองมิติ (2-คิวบ์) คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสและไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ (4-คิวบ์) คือเทสเซอแร็กต์^{[ 90 ]}

ลูกบาศก์เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เติมเต็มพื้นที่หมายความว่ามันสามารถเรียงต่อกัน เป็นรูปทรงหลาย เหลี่ยมที่มีสำเนาของตัวเองในพื้นที่สามมิติได้ การเรียงต่อกันแบบนี้จะไม่เหลือช่องว่างใดๆ ในสิ่งที่เรียกว่ารังผึ้ง^{[ 91 ]}ลูกบาศก์เป็นเพล ซิโอเฮดร อนซึ่งเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เติมเต็มพื้นที่ชนิดพิเศษที่สามารถกำหนดได้ว่าเป็นเซลล์โวโรนอยของเซตเดโลน สมมาตร ^{[ 92 ]}เพลซิโอเฮดรอนรวมถึงพาราเลลโอเฮดรอนซึ่งสามารถเลื่อนได้โดยไม่ต้องหมุนเพื่อเติมเต็มพื้นที่ซึ่งแต่ละหน้าของสำเนาใดๆ ของมันจะติดอยู่กับหน้าเดียวกันของสำเนาอื่น มีพาราเลลโอเฮดรอนห้าชนิด หนึ่งในนั้นคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน^{[ 93 ]}พาราเลลโอเฮดรอนสามมิติทุกอันเป็นโซโนเฮดรอน ซึ่งเป็นรูป ทรงหลาย เหลี่ยมสมมาตรแบบศูนย์กลางที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมสมมาตรแบบศูนย์กลาง^{[ 94 ]}

ตัวอย่างของรังผึ้งที่มีเฉพาะแบบลูกบาศก์ เรียกว่าเซลล์คือรังผึ้งลูกบาศก์ที่ประกอบด้วยลูกบาศก์สี่ลูกรอบขอบในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิด^{[ 95 ] [ 96 ]}ตัวอย่างเพิ่มเติมในปริภูมิสามมิติที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ได้แก่ รังผึ้งที่มีลูกบาศก์สามลูกรอบขอบในทรงกลมสามมิติและรังผึ้งที่มีลูกบาศก์ห้าลูกรอบขอบในปริภูมิไฮเปอร์โบลิก^{[ 96 ]}

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ รวมถึงลูกบาศก์ สามารถสร้างโครงสร้างรังผึ้งได้หากค่าคงที่ของ Dehnเป็นศูนย์^{[ 97 ]}จุดเริ่มต้นของค่าคงที่ของ Dehn ย้อนกลับไปถึงปัญหาที่สามของ Hilbertว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีปริมาตรเท่ากันสามารถแยกออกเป็นชิ้นส่วนรูปทรงหลายเหลี่ยมและประกอบกลับเข้าด้วยกันได้เสมอหรือไม่ ถ้าใช่ ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถกำหนดได้ตามหลักการทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นปริมาตรของลูกบาศก์ที่เทียบเท่ากันซึ่งสามารถประกอบกลับเข้าด้วยกันได้ ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยMax Dehn โดยการคิดค้น ค่าคงที่ของเขาซึ่งตอบว่าไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปที่จะสามารถประกอบกลับเป็นลูกบาศก์ได้^{[ 98 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีปริมาตรเท่ากันควรมีค่าคงที่ของ Dehn เหมือนกัน ยกเว้นรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าสองรูปที่มีค่าคงที่ของ Dehn แตกต่างกัน^{[ 99 ]}

การนับตามSkilling (1976) : สารประกอบของลูกบาศก์หกลูกที่มีอิสระในการหมุน${\displaystyle \mathrm {UC} _{7}}$สามลูกบาศก์${\displaystyle \mathrm {UC} _{8}}$และลูกบาศก์ห้าลูก${\displaystyle \mathrm {UC} _{9}}$

สารประกอบทรงหลายเหลี่ยมซึ่งลูกบาศก์มีจุดศูนย์กลางเดียวกัน ถือเป็นสารประกอบทรงหลายเหลี่ยมแบบเอกรูปหมายความว่าเป็นสารประกอบทรงหลายเหลี่ยมที่มีส่วนประกอบเหมือนกัน—แม้ว่าอาจจะ เป็น รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบเอกรูปก็ตาม—ในการจัดเรียงที่เป็นเอกรูปเช่นกัน ตามลำดับ รายการสารประกอบที่Skilling (1976) ระบุไว้ ในสารประกอบแบบเอกรูปที่เจ็ดถึงเก้าสำหรับสารประกอบของลูกบาศก์หกลูกที่มีอิสระในการหมุนลูกบาศก์สามลูกและลูกบาศก์ห้าลูก [ ^{100 ] พบ}สารประกอบสองชนิดที่ประกอบด้วยลูกบาศก์สองลูกและสามลูกในภาพพิมพ์แกะสลักไม้StarsของEscherและ หนังสือ Vielecke und VielflacheของMax Brückner ^{[ 101 ]}

ลูกบาศก์ทรงกลม

มุมมองในรูปทรงวงแหวนสามมิติ

ลูกบาศก์ทรงกลมแสดงถึงทรงหลายเหลี่ยมทรงกลมซึ่งสามารถจำลองได้ด้วยส่วนโค้งของวงกลมใหญ่สร้างขอบเขตเป็นขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทรงกลม [ ^{102 ] ดังนั้น} ลูกบาศก์ทรงกลมจึงประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสทรงกลมหกรูป โดยแต่ละจุดยอดมีมุมภายใน 120° มันมีสมดุลเวกเตอร์หมายความว่าระยะห่างจากจุดศูนย์กลางและแต่ละจุดยอดจะเท่ากับระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังแต่ละขอบ^{[ 103 ] [ 104 ]} รูปทรง คู่ของมันคือทรงแปดเหลี่ยมทรงกลม^{[ 102 ]}

วัตถุโทโพโลยีทอรัสสามมิติเป็นปริภูมิโทโพโลยีที่กำหนดให้มีลักษณะสมมาตรกับผลคูณคาร์ทีเซียนของวงกลมสามวง สามารถแสดงเป็นแบบจำลองสามมิติของรูปทรงลูกบาศก์ได้^{[ 105 ]}

แฟร็กทัลรูปทรงลูกบาศก์ ได้แก่ฟองน้ำเมนเจอร์ลูกบาศก์เยรูซาเล็ม และเกล็ดหิมะโมสลีย์

รูปทรงแฟรกทัลหลายรูปมีเปลือกนูนทรง ลูกบาศก์ รวมถึงฟองน้ำเมนเจอร์ (คล้ายกับ พรมเซียร์ปินสกีสองมิติ ) ^{[ 106 ]}ลูกบาศก์เยรูซาเล็มและเกล็ดหิมะโมสลีย์^{[ 107 ] [ 108 ]}

ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็นพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้หกอัน พีระมิดเหล่านี้มีความสูงครึ่งหนึ่งของความยาวขอบของลูกบาศก์ โดยที่จุดยอดของพีระมิดจะมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลาง^{[ 109 ]}