ในฟิสิกส์อนุภาคสมการไคลน์-กอร์ดอนเป็นสม การคลื่นเชิง สัมพัทธ ภาพ สำหรับอนุภาคไร้สปินมันถูกค้นพบในปี 1926 ในฐานะการขยายเชิงสัมพัทธภาพของสมการชโรดิงเกอร์ซึ่งพัฒนาขึ้นโดยอิสระโดยนักวิจัยหลายคน รวมถึงออสการ์ ไคลน์และวอลเตอร์ กอร์ดอนซึ่งเป็นที่มาของชื่อสมการนี้โดยทั่วไป ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ สมการนี้มีปัญหาเชิงแนวคิดมากมาย ซึ่งจะได้รับการแก้ไขในทฤษฎีสนามควอนตัม เท่านั้น โดยที่สมการนี้อธิบายพลวัต ของ สนามสปิน-0 ในทางคณิตศาสตร์ มันเป็น สม การเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสองแบบ ไฮเปอร์โบลิ กซึ่งเป็นไป ตาม กฎลอเรนซ์ อย่างชัดเจน และสามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบสมการคลื่นของความสัมพันธ์พลังงาน-โมเมนตัมเชิงสัม พัทธภาพ มันมีบทบาทพื้นฐานในหลายสาขาของฟิสิกส์สมัยใหม่เช่น ทฤษฎีสนามควอนตัม ฟิสิกส์อนุภาค และจักรวาลวิทยา

สมการไคลน์-กอร์ดอนถูกค้นพบโดยอิสระในช่วงกลางทศวรรษ 1920 โดยนักฟิสิกส์ หลายคน ด้วยเหตุนี้วูล์ฟกัง พอลี จึงได้กล่าวถึงสมการนี้อย่างมีชื่อเสียงว่า "สมการที่มีบิดาหลายคน" ^{[ 1 ] : 356} บางครั้งเรียกสมการนี้ว่าสมการสัมพัทธภาพของชโรดิงเกอร์หรือสมการไคลน์-กอร์ดอน-ฟ็อค^{[ 2 ] : 679}

คนแรกที่ค้นพบสมการในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2468 แต่ไม่ได้ตีพิมพ์คือเออร์วิน ชโรดิงเกอร์ [ ^{2 ] : 679} การพิสูจน์ของเขาได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎี คลื่นสสารของเดอ บรอยล์โดยชโรดิงเกอร์พยายามหาสมการคลื่นที่อธิบายวิวัฒนาการ ของพวก มัน^{[ 3 ]}เขาใช้สมการไคลน์-กอร์ดอนกับอะตอมไฮโดรเจนซึ่งเขาคำนวณโครงสร้างละเอียดของสเปกตรัมเมื่อพบว่าผลลัพธ์ไม่ตรงกับผลการทดลอง ทำให้เขาหมดกำลังใจที่จะศึกษาสมการต่อไป ส่งผลให้เขาตีพิมพ์เฉพาะขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพของสมการในช่วงต้นปี พ.ศ. 2469 ซึ่งก็คือสมการชโรดิงเกอร์ และในบทความฉบับที่สี่ของเขาในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2469 เขาก็ได้ตีพิมพ์สมการไคลน์-กอร์ดอนฉบับเต็ม^{[ 4 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1920 ออสการ์ ไคลน์กำลังพัฒนาทฤษฎีคลื่นของตนเอง ซึ่งไม่ต่างจากทฤษฎีของเดอ บรอยล์มากนัก^{[ 3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาเชื่อมั่นว่าทฤษฎีคลื่นของอะตอม ของเขา สามารถเชื่อมโยงกับการรวมกันของพลศาสตร์ไฟฟ้าแบบแม็กซ์เวลล์และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแบบไอน์สไตน์ได้สิ่งนี้ทำให้เขามีแนวคิดที่จะรวมทฤษฎีทั้งสองเข้าด้วยกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพห้ามิติ (ดูทฤษฎีคาลูซา-ไคลน์ ) โดยเขาตีความมิติพิเศษว่าไม่ใช่ทิศทางทางกายภาพที่แท้จริง แต่เป็นพิกัดภายในที่เป็นทางการซึ่งเข้ารหัสประจุไฟฟ้า^{[ 5 ] : 49} จากทฤษฎีนี้ เขาได้สมการไคลน์-กอร์ดอน แต่ไม่ได้ให้ความสำคัญกับมันมากนัก เนื่องจากมันเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของงานตีพิมพ์ของเขาในเดือนเมษายน 1926 ^{[ 6 ]}นี่เป็นครั้งแรกที่สมการปรากฏในสิ่งพิมพ์^{[ 3 ]}ต่อมาไคลน์อ้างว่าเขาค้นพบสมการนี้ในฤดูร้อนปี 1925 ก่อนชโรดิงเกอร์ แต่ไม่มีหลักฐานปฐมภูมิโดยตรงสำหรับเรื่องนี้

หลังจากที่ชโรดิงเกอร์ตีพิมพ์สมการที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพเป็นครั้งแรก การขยายสมการไปสู่ รูปแบบ สัมพัทธภาพ จึงเป็นเรื่องง่าย ด้วยวิธีนี้ พอลีจึงได้สมการสัมพัทธภาพในเดือนเมษายน พ.ศ. 2469 แต่ไม่ได้ตีพิมพ์^{[ 7 ] [ 1 ] : 315} เขาหมดความเชื่อมั่นในสมการหลังจากที่ไม่สามารถใช้มันเพื่อสร้างความเท่าเทียมกันระหว่างกลศาสตร์เมทริกซ์และกลศาสตร์คลื่นได้เหมือนที่เขาสามารถทำได้กับสมการของชโรดิงเกอร์^{[ 3 ]}

ในขณะเดียวกัน Vladimir Fockซึ่งไม่ทราบถึงบทความของ Klein ก็ได้พัฒนาสมการและตีพิมพ์ในเดือนมิถุนายนเช่นกัน^{[ 8 ]}เขาเน้นการอภิปรายสมการคลื่นเพื่อศึกษาปรากฏการณ์ Zeemanและปรากฏการณ์ Starkเขายังเป็นคนแรกที่ตีพิมพ์โครงสร้างละเอียดของไฮโดรเจนโดยใช้สมการที่ Schrödinger ค้นพบก่อนหน้านี้ ไม่นานหลังจากนั้นCarl Eckartก็คำนวณโครงสร้างละเอียดของไฮโดรเจน Klein–Gordon เช่นกัน^{[ 9 ]}

Louis de Broglieก็ได้สมการนี้เช่นกันและตีพิมพ์ในเดือนกรกฎาคม โดยได้รับแรงบันดาลใจจากสูตรที่ไม่สัมพัทธภาพของ Schrödinger เกี่ยวกับสมมติฐานทฤษฎีคลื่นสสารของเขา^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] : 44}

Walter Gordonยังได้พัฒนาสมการและเผยแพร่ในปลายเดือนกันยายน^{[ 13 ] [ 14 ] : 115} โดยเน้นที่การนำไปใช้กับปรากฏการณ์คอมป์ตัน เป็นหลัก และยังได้พัฒนาสมการ Klein–Gordon ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ Klein พบก่อนหน้านี้^{[ 3 ]}

สุดท้ายนี้ ยังมีผู้ค้นพบสมการไคลน์-กอร์ดอนอีกสามคน ได้แก่Théophile De DonderและFrans-H. van den Dungenซึ่งศึกษาเกี่ยวกับระบบพลวัต ทั่วไป และไม่ได้มุ่งเน้นที่ทฤษฎีควอนตัมโดยเฉพาะ^{[ 11 ] [ 5 ] : 49} บทความของพวกเขาได้รับการตีพิมพ์ในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2469 ^{[ 15 ]} Johann Kudar ก็ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับสมการไคลน์-กอร์ดอนในปี พ.ศ. 2469 เช่นกัน^{[ 16 ] : 21 [ 17 ]}

สมการนี้ถูกนำมาใช้ในช่วงหลายปีต่อมาเพื่อตรวจสอบปัญหาจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่นVictor Bursianใช้มันเพื่อพิจารณาการกระจายตัวเป็นการรบกวนโดยพบว่ามีการแก้ไขเชิงสัมพัทธภาพเพียงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากสมการ Schrödinger ^{[ 18 ]}นอกเหนือจากการใช้ในการศึกษาการกระจายตัวและการกระเจิงของคอมป์ตันแล้ว สมการนี้ไม่ค่อยมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ส่วนใหญ่ เนื่องจากไม่สามารถรวมสปินได้^{[ 3 ] : 1031} ที่สำคัญกว่านั้นคือ นักทฤษฎีไม่สนใจสมการนี้ เนื่องจากไม่สามารถรองรับหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมตามที่เข้าใจในขณะนั้น เช่นหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กการตีความความน่าจะเป็นของบอร์นส์และทฤษฎีการแปลงของพอล ดิแรกและปาสกัวล จอร์แดน^{[ 19 ] : 35} ด้วยเหตุนี้ สมการนี้จึงไม่ ได้มีบทบาทสำคัญในการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม

แม้ว่าสมการจะหายไปจากฟิสิกส์แทบจะโดยสิ้นเชิงหลังจากมีการค้นพบสมการของ Dirac ในปี 1928 แต่ก็ได้รับการฟื้นฟูขึ้นอีกครั้งในปี 1934 โดย Pauli และ Victor Weisskopfซึ่งตีความใหม่โดยพิจารณาจากทฤษฎีการควอนตัมของสนาม ที่พัฒนาขึ้นในขณะนั้น ทำให้มีการตีความเชิงควอนตัมที่สมเหตุสมผลในการอธิบายอนุภาค สปิน 0 ^{[ 20 ] [ 2 ] : 684} สิ่งนี้ทำให้สถานะพลังงานลบที่ปรากฏในการตีความกลศาสตร์ควอนตัมแบบง่ายๆ สามารถตีความใหม่เป็นอนุภาคปฏิปักษ์ได้

อนุภาคสปิน 0 ตัวแรกที่ได้รับการทำนายคือเมซอนในปี พ.ศ. 2478 โดยฮิเดกิ ยูกาวะซึ่งใช้สมการรูปแบบหนึ่ง^{[ 21 ]}เมซอนตัวแรกที่ถูกค้นพบคือไพอนประจุในปี พ.ศ. 2490 ซึ่งจลนพลศาสตร์ ของมัน ถูกอธิบายโดยสมการไคลน์-กอร์ดอน เมซอนอื่นๆ อีกมากมายถูกค้นพบในทศวรรษต่อมา อนุภาคสปิน 0 พื้นฐานตัวแรกที่ถูกค้นพบคือฮิกส์โบซอนในปี พ.ศ. 2555

เนื่องจากสนามสเกลาร์ เชิงสัมพัทธภาพ มีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์สมัยใหม่ Klein–Gordon จึงเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งในหลายสาขา ตัวอย่างเช่น สนามสเกลาร์ดังกล่าวพบได้ในจักรวาลวิทยาและทฤษฎีเงินเฟ้อ^{[ 22 ] : 154} ในการอธิบาย ตัวเลือก สสารมืดเช่นแอกซิออนและสถานการณ์อื่นๆ อีกมากมายนอกเหนือจากแบบจำลองมาตรฐาน^{[ 23 ]}ในหลายสาขาของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีเช่นทฤษฎีสตริงในรูปแบบของโมดูลัสและใน การสอดคล้อง AdS /CFT ^{[ 24 ]}

สมการ Klein–Gordon อธิบายวิวัฒนาการของเวลาของสนามสเกลาร์จริง ซึ่งเป็นสนามที่กำหนดจำนวนจริง ให้กับแต่ละจุดในปริภูมิเวลา สมการนี้เป็นสม การเชิงอนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกอันดับสองที่กำหนดโดย^{[ 2 ] : 680} ${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {c^{2}m^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg )}\phi (t,{\boldsymbol {x}})=0.}$

นี่คือตัวดำเนินการลาปลาสความเร็วแสงและคือค่าคงที่พลังค์ ที่ลดลง พารามิเตอร์ทำหน้าที่เป็นมวลของสนามสเกลาร์ [ ^{nb 1 ]}กรณีที่ไม่ขึ้นกับเวลาของสมการเทียบเท่ากับสมการปัวซงแบบมีตัวกรอง การแสดงออกที่กระชับยิ่งขึ้นสำหรับสมการใช้หน่วยธรรมชาติโดยที่ทั้งความเร็วแสงและค่าคงที่พลังค์ที่ลดลงถูกกำหนดให้เป็นหนึ่ง ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์มีรูปแบบเป็นตัวดำเนินการดาล็องแบร์ ​​โดยที่คือเมตริกแบน ที่ยกขึ้น สม การไคลน์-กอร์ดอนจึงมีรูปแบบ^{[ 25 ] : 17} ${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle c=\hbar =1}$${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

สมการ Klein–Gordon ยังสามารถกระทำกับฟิลด์สเกลาร์เชิงซ้อนซึ่งเป็นฟิลด์ที่กำหนดจำนวนเชิงซ้อนให้กับแต่ละจุดในปริภูมิเวลา^{[ 25 ] : 18} ในกรณีนี้ สมการสามารถแยกออกเป็นสมการ Klein–Gordon สองสมการที่กระทำอย่างอิสระกับสองระดับความเป็นอิสระของฟิลด์สเกลาร์เชิงซ้อน ซึ่งอาจเป็นส่วนประกอบจริงและ ส่วนประกอบ จินตนาการหรืออีกทางหนึ่งคือฟิลด์และ คู่ สังยุคเชิงซ้อนการแยกส่วนนี้ใช้ได้เพราะทฤษฎีที่ไม่โต้ตอบกันของฟิลด์สเกลาร์เชิงซ้อนเดี่ยวเทียบเท่ากับทฤษฎีของฟิลด์สเกลาร์จริงสองฟิลด์ที่แยกออกจากกัน ${\displaystyle \chi (x)}$

ในกรณีของสนามสเกลาร์เชิงซ้อนปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเกิดขึ้นได้โดยการเชื่อมต่อสนามเหล่านั้นให้น้อยที่สุดผ่านการนำอนุพันธ์ร่วมแปรเกจมาใช้

${\displaystyle D_{\mu }\chi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\chi (x),}$

โดยที่คือสนามเกจ และคือประจุไฟฟ้าของสนามสเกลาร์ อนุพันธ์โคแวเรียนต์ถูกนำมาใช้เพื่อให้แน่ใจว่าทฤษฎีที่ได้นั้นไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงเกจ โดยที่สนามเกจและสนามสเกลาร์แปลงรูปดังนี้ ${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x),\ \ \ \ \ \ \ \ \chi (x)\rightarrow e^{ie\lambda (x)}\chi (x),}$

สำหรับพารามิเตอร์เกจ สมการไคลน์-กอร์ดอนที่เชื่อมโยงกับแม่เหล็กไฟฟ้าอย่างน้อยที่สุดจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \lambda (x)}$

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\chi (x)=0.}$

สมการนี้อธิบายถึงวิวัฒนาการของสนามสเกลาร์เชิงซ้อนในพลศาสตร์ไฟฟ้าสเกลาร์

ในการกำหนดสูตรแบบลากรางจ์สมการไคลน์-กอร์ดอนสำหรับฟิลด์สเกลาร์จริงสามารถหาได้จากสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ของลากรางจ์^{[ 16 ] : 21}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}.}$

ในทฤษฎีสนามควอนตัม Lagrangian นี้อธิบายถึงสนามสเกลาร์จริงที่มีมวลและไม่มีปฏิสัมพันธ์ ซึ่งการกระตุ้น ของสนามสเกลาร์นี้ คือโบซอนสเกลาร์ที่มีมวลในกรณีของสนามสเกลาร์เชิงซ้อนLagrangian ของสนามสเกลาร์เชิงซ้อนจะได้รับจาก^{[ 25 ] : 18} ${\displaystyle m}$${\displaystyle \chi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }\partial _{\mu }\chi -m^{2}\chi ^{\dagger }\chi .}$

สมการ Klein–Gordon สำหรับและพบได้จากการแปรผัน Lagrangian เทียบกับและตามลำดับ Lagrangian นี้ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจนภายใต้สมมาตรทั่วโลกซึ่งเมื่อวัดแล้วจะส่งผลให้เกิดอิเล็กโทรไดนามิกแบบสเกลาร์^{[ 26 ] : 140} Lagrangian ที่สอดคล้องกับสมการ Klein–Gordon นี้มีประโยชน์เมื่อคำนวณกระแสที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรโดยใช้ทฤษฎีบทของ Noether [ ^{27 ] : 92} ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi ^{\dagger }}$${\displaystyle \chi ^{\dagger }}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

สมการนี้สามารถหาได้ในทำนองเดียวกันกับวิธีที่สมการชโรดิงเกอร์ได้มาจากสมการพลังงานของอนุภาคในสภาวะ ที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในขีดจำกัดที่ไม่เป็นสัมพัทธภาพ พลังงานของอนุภาคอิสระที่มีโมเมนตัมจะกำหนดโดย ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}.}$

โดยการยกระดับโมเมนตัมและพลังงานให้กับผู้ดำเนินการผ่านหลักการความสอดคล้อง^{[ 14 ] : 116–117}

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}\rightarrow {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\hbar \nabla ,\ \ \ \ \ \ \ \ E\rightarrow {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},}$

สิ่งนี้ทำให้ได้สมการชโรดิงเกอร์^{[ 12 ] : 368} สมการไคลน์-กอร์ดอนได้มาในทำนองเดียวกันโดยการแทนที่พลังงานและโมเมนตัมด้วยตัวดำเนินการที่สอดคล้องกันในความสัมพันธ์พลังงาน-โมเมนตัม เชิงสัมพัทธภาพ ^{[ 2 ] : 680}

${\displaystyle E^{2}={\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}.}$

ในทางกลับกัน การพยายามหาสมการสำหรับรากที่สองของนิพจน์ข้างต้นนั้นเป็นปัญหา เนื่องจากเวลาและพื้นที่ไม่ได้ปรากฏอย่างเท่าเทียมกัน^{[ 28 ] : 4} นอกจากนี้ ยังจะมีรากที่สองของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ซึ่งโดยปกติจะจัดการโดยการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของรากที่สอง ซึ่งนำไปสู่ชุดอนันต์ของพจน์อนุพันธ์ลำดับสูง ทำให้ทฤษฎีนี้ยากต่อการใช้งาน^{[ 14 ] : 118}

สมการจะแปลงแบบโคแวเรียนต์ภายใต้ การแปล ปริภูมิเวลาและกลุ่มลอเรนซ์สิ่งเหล่านี้รวมกันเป็นกลุ่มปวงกาเรซึ่งเข้ารหัสไอโซเมตรีของ ปริภูมิ เวลาราบ ฟิลด์สเกลาร์จะแปลงเป็นสเกลาร์ภายใต้การแปลงลอเรนซ์หมายความว่าภายใต้ฟิลด์สเกลาร์จะแปลงเป็น[ ^{12 ] : 364–365} ${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$${\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)}$

สมมาตรทั่วโลกก่อให้เกิดกระแสและประจุผ่านทฤษฎีบทของ Noetherกระแสทั้งสี่ที่สอดคล้องกับการแปลกาลอวกาศทั้งสี่จะได้รับจากเทนเซอร์พลังงานความเครียดซึ่งสำหรับทฤษฎีสนามสเกลาร์ จริง จะได้รับจาก^{[ 28 ] : 138}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }\phi \partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}},}$

โดยที่Lagrangianคือประจุที่อนุรักษ์ไว้จะได้รับจากอินทิกรัลของส่วนประกอบที่ศูนย์ของกระแสเหนือพื้นที่ทั้งหมด ในกรณีนี้ ประจุที่อนุรักษ์ไว้คือพลังงานและโมเมนตัม รวม ของสนาม [ ^{27 ] : 95 สำหรับการแปลง Lorentz กระแสทั้งหกจะแสดงในรูปของเทน เซอร์}พลังงานความเครียดดังนี้^{[ 28 ] : 139} ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu \rho }=x^{\nu }T^{\mu \rho }-x^{\rho }T^{\mu \nu }.}$

ประจุอนุรักษ์ที่เกิดจากองศา อิสระการหมุนทั้งสามนั้น คือโมเมนตัมเชิงมุมในขณะที่สำหรับแรงส่งทั้งสามนั้น ประจุอนุรักษ์จะสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของศูนย์กลางพลังงาน

ทฤษฎีสนามสเกลาร์จริงยังมีสมมาตร แบบไม่ต่อเนื่องภายใน แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่มี ผล ทางพลวัตในทฤษฎีอิสระก็ตาม^{[ 28 ] : 144–145} ในกรณีของสนามสเกลาร์เชิงซ้อน จะมีสมมาตรเฟส ภายในแบบต่อเนื่อง ^{[ 16 ] : 79} ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \phi (x)\rightarrow -\phi (x)}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \chi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\chi (x),}$

โดยมีกระแส Noether ที่เกี่ยวข้องซึ่งกำหนดโดย^{[ 25 ] : 18}

${\displaystyle j^{\mu }=i(\chi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\chi -\chi \partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }).}$

ประจุที่อนุรักษ์ไว้สำหรับสมมาตรนี้วัดความแตกต่างในจำนวนอนุภาคต่ออนุภาคปฏิปักษ์เมื่อเชื่อมโยงกับแม่เหล็กไฟฟ้าประจุจะเป็นประจุไฟฟ้าซึ่งการอนุรักษ์จะสอดคล้องกับ การ อนุรักษ์ประจุ^{[ 27 ] : 96}

สมการ Klein–Gordon สามารถยกระดับเป็น สมการ Klein–Gordon ที่ไม่เอกพันธุ์ได้โดยการแนะนำเทอมแหล่งกำเนิด^{[ 27 ] : 66}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=J(x),}$

โดยที่เป็น ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ เวลาและพื้นที่สมการนี้ยอมรับคำตอบในรูปแบบ^{[ 27 ] : 146} ${\displaystyle J(x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\int d^{4}y\ G(x,y)J(y),}$

โดยที่เรียกว่าฟังก์ชันของกรีนฟังก์ชันของกรีนคือคำตอบอย่างเป็นทางการของสมการ^{[ 28 ] : 55} ${\displaystyle G(x,y)}$

${\displaystyle (\square +m^{2})G(x,y)=-i\delta ^{4}(x-y).}$

หลักการเบื้องหลังฟังก์ชันของกรีนคือการเชื่อมโยงคำตอบที่กับเทอมบังคับบางอย่างที่[ ^{27 ] : 145} ในขณะที่ฟังก์ชันของกรีนสามารถมองได้ว่าเป็นตัวผกผัน อย่างเป็นทางการ ของตัวดำเนินการ ไคลน์-กอร์ดอน การเลือกนี้ไม่ใช่ทางเลือกเดียว^{[ 16 ] : 133} การเลือกฟังก์ชันของกรีนที่แม่นยำต้องอาศัยการเลือกเงื่อนไขขอบเขตโดยระบุว่าฟังก์ชันนั้นมีส่วนรองรับ อยู่ที่ใด เช่น มีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าบางค่าของ ${\displaystyle G(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (\square +m^{2})^{-1}}$${\displaystyle y}$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันกรีนแบบหน่วงเวลาถูกกำหนดให้เชื่อมโยงคำตอบในปัจจุบันกับแรงกระตุ้นจากอดีตอย่างเคร่งครัด[ ^{28 ] : 30} ในขณะเดียวกัน ฟังก์ชันกรีนแบบก้าวหน้าจะเชื่อมโยงคำตอบในปัจจุบันกับแรงกระตุ้นจากอนาคตอย่างเคร่งครัด ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle y^{0}<x^{0}}$

${\displaystyle G_{r,a}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (x-y)}}{(p_{0}\pm i\epsilon )^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}-m^{2}}},}$

โดยที่เครื่องหมายบวกสอดคล้องกับฟังก์ชันกรีนขั้นสูง^{[ 29 ]}

เงื่อนไขขอบเขตทางเลือกทั่วไปอีกประการหนึ่งส่งผลให้เกิด การแพร่กระจายของ Feynman ซึ่งใช้การเรียงลำดับเวลาและกำหนดโดย^{[ nb 2 ] [ 28 ] : 55}

${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$

ในทฤษฎีสนามควอนตัม ตัว แพร่ตัวนี้เป็นสัดส่วนกับ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุดเรียงลำดับเวลาสำหรับสนามสเกลาร์^{[ 25 ] : 31}

สมการ Klein–Gordon สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยการเสียบการแปลงฟูริเยร์ของฟิลด์สเกลาร์^{[ 27 ] : 59}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\phi (p)e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

ตัวดำเนินการดาล็องแบร์จะกระทำเฉพาะกับ พจน์ 4 ตำแหน่งในเลขชี้กำลังเท่านั้น โดยดึงปัจจัยของโมเมนตัมลงมา สมการจึงลดลงเหลือเพียงข้อจำกัดเกี่ยวกับโมเมนตัม 4 มิติของคลื่นระนาบ โหมดฟูริเยร์

${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}.}$

การเขียนสิ่งนี้ในแง่ของพลังงานและโมเมนตัม 3 มิติเผยให้เห็นว่ามันเทียบเท่ากับความสัมพันธ์พลังงาน-โมเมนตัมสำหรับอนุภาคที่มีมวล[ ^{12 ] : 367} ดังนั้น คำตอบทั่วไปที่สุดของสมการไคลน์-กอร์ดอนคือการซ้อนทับของคำตอบคลื่นระนาบซึ่งโมเมนตัมเป็นไปตามความสัมพันธ์พลังงาน-โมเมนตัม^{[ 26 ] : 21} ${\displaystyle E^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}=m^{2}}$

โดยการกำหนด เงื่อนไข บนเปลือกเช่น ผ่านการแทรกฟังก์ชันเดลต้าลงในโซลูชันการแปลงฟูริเยร์ จะได้รูปแบบที่ชัดเจนยิ่งขึ้นสำหรับโซลูชัน^{[ nb 3 ]}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{3}{\boldsymbol {p}}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E({\boldsymbol {p}})}}(A({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}+B({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}),}$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันใดๆ ของโมเมนตัม 3 มิติ และคือพลังงานของโหมดต่างๆ รูปแบบนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการมีอยู่ของทั้งคำตอบ ความถี่บวกและ ลบที่ หลีกเลี่ยงไม่ได้${\displaystyle A({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle B({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle E({\boldsymbol {p}})={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}}$

เมื่อสมการ Klein–Gordon เชื่อมโยง กับแม่เหล็กไฟฟ้าด้วยศักยภาพคูลอมบ์อย่างน้อยที่สุดจะใช้ในการศึกษาอะตอมแปลกใหม่ที่มีนิวเคลียสโคจรรอบอนุภาคโบซอนิกไร้สปิน^{[ 31 ] : 34} ตัวอย่างเช่น ในอะตอมไพโอนิก นิวเคลียสของอะตอมจะถูกโคจรรอบไพโออนที่ มีประจุลบและ มีมวล อายุขัยของไพโออนยาวนานพอที่ระบบนี้จะสร้างสถานะผูกพันได้ก่อนที่ไพโออนจะสลายตัว ${\displaystyle \pi ^{-}}$${\displaystyle m_{\pi }}$

กรณีที่ไพอนเพียงตัวเดียวโคจรรอบนิวเคลียสที่มีประจุสามารถแก้ไขได้โดยตรงโซลูชันแบบอยู่กับที่สำหรับศักยภาพคูลอมบ์ใช้การแยกตัวแปรโดยที่ฟิลด์เขียนเป็นเพื่อแสดงสมการไคลน์-กอร์ดอนเป็น^{[ 2 ] : 681} ${\displaystyle Ze}$${\displaystyle \phi (x)=e^{-i\epsilon t}\Phi ({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle {\bigg [}{\bigg (}\epsilon +{\frac {Z\alpha }{r}}{\bigg )}^{2}+\nabla ^{2}-m_{\pi }^{2}{\bigg ]}\Phi ({\boldsymbol {x}})=0,}$

โดยที่ค่าคงที่โครงสร้างละเอียดคือระดับพลังงานของระบบนี้จะได้รับจาก^{[ 31 ] : 34–37} ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle E_{\text{KG}}={\frac {m_{\pi }}{\sqrt {1+{\frac {(Z\alpha )^{2}}{{\Big (}n-{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}+{\sqrt {{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{2}-(Z\alpha )^{2}}}{\Big )}^{2}}}}}},}$

โดยที่คือเลขควอนตัมหลักและคือเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรตรงกันข้ามกับกรณีที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพ ผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพจะขจัดภาวะเสื่อมในสถานะต่างๆ ${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

ระดับพลังงานเหล่านี้แตกต่างจากอะตอมแบบดั้งเดิมเนื่องจากอิเล็กตรอนเป็นเฟอร์มิออนที่มีสปินครึ่งหนึ่งในขณะที่สมการไคลน์-กอร์ดอนอธิบายอนุภาคโบซอนิกสปิน 0 อย่างไรก็ตาม นิพจน์สำหรับระดับพลังงานของอะตอมปกติ ซึ่งรู้จักกันในชื่อสูตรซอมเมอร์เฟลด์นั้นคล้ายคลึงกันมาก ได้มาโดยตรงจากข้างต้นโดยการแทนที่มวลไพอนด้วยมวลอิเล็กตรอนและโดยการแทนที่เลขควอนตัมเชิงมุมสปิน-ออร์บิทัล ระดับพลังงานเหล่านี้ได้รับการสังเกตในอะตอมไพโอนิก^{[ 32 ]}${\displaystyle l\rightarrow j}$

วิธีแก้ปัญหาล้มเหลวเมื่อรากที่สองกลายเป็นจำนวนจินตนาการ ซึ่งเกิดขึ้นครั้งแรกสำหรับ[ ^{33 ] : 95} ในทางกายภาพ ศักยภาพคูลอมบ์ที่ดึงดูดนั้นแข็งแกร่งเกินไป โดยพลังงานจลน์ของไพอนไม่เพียงพอที่จะหยุดไพอนจากการหมุนวนเข้าไปในนิวเคลียส^{[ 33 ] : 97} ต่างจากกรณีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ สิ่งนี้เกิดขึ้นใน ระดับฮิวริสติก แบบคลาสสิกในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เนื่องจากความเร็วของไพอนไม่สามารถเพิ่มขึ้นเร็วพอเมื่อ รัศมีวง โคจรลดลงเพื่อรักษาแรงเหวี่ยงที่จำเป็นในการต้านทานแรงคูลอมบ์^{[ 14 ] : 166} ที่แม่นยำกว่านั้น ปัญหาเกิดขึ้นเนื่องจากฟังก์ชันคลื่นพัฒนาพฤติกรรมระยะสั้นที่ผิดปกติ สำหรับนิวเคลียสอะตอมที่สมจริง ปัญหานี้จะถูกหลีกเลี่ยงบางส่วนสำหรับค่าที่ใหญ่กว่าเนื่องจากพวกมันไม่มีศักยภาพคูลอมบ์แบบจุด ที่สมบูรณ์แบบ ^{[ 14 ] : 166–167} ${\displaystyle Z\alpha >l+1/2}$${\displaystyle Z=69}$${\displaystyle Z}$

วิธีแก้ปัญหาที่น่าสนใจอีกวิธีหนึ่งสำหรับสมการ Klein–Gordon คือการกระเจิงของคลื่นระนาบเริ่มต้นจากขั้นศักย์ที่มีความสูง^{[ 34 ]}คุณสมบัติของวิธีแก้ปัญหานี้อธิบายได้ด้วยสัมประสิทธิ์การสะท้อนและสัมประสิทธิ์การส่งผ่านซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยจะอธิบายความน่าจะเป็นที่คลื่นตกกระทบจะสะท้อนจากสิ่งกีดขวางหรือผ่านสิ่งกีดขวางตามลำดับ สำหรับพลังงานขาเข้าขนาดใหญ่ทั้งสัมประสิทธิ์การสะท้อนและสัมประสิทธิ์การส่งผ่านจะไม่เป็นศูนย์ โดยมีความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะผ่านสิ่งกีดขวางและมีความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะสะท้อน^{[ 31 ] : 30–34} ในกรณีที่ สัมประสิทธิ์การส่งผ่านจะเป็นศูนย์และสัมประสิทธิ์การสะท้อนจะเป็นหนึ่ง โดยอนุภาคจะสะท้อนเสมอ พฤติกรรมนี้ตรงกับที่พบในสม การSchrödinger แบบไม่สัมพัทธภาพ^{[ 33 ] : 85–88} ${\displaystyle V}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R+T=1}$${\displaystyle E>V+m}$${\displaystyle V+m>E>V-m}$

อย่างไรก็ตาม เมื่อศักยภาพมีขนาดใหญ่มากโซลูชันจะได้รับสัมประสิทธิ์การส่งผ่านที่เป็นลบและสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่มากกว่าหนึ่งพฤติกรรมนี้เรียกว่าปรากฏการณ์ไคลน์ และ ออสการ์ ไคลน์ได้อธิบายปรากฏการณ์นี้เป็นครั้งแรกสำหรับสมการดิแรก [ ^{35 ] ปรากฏการณ์}นี้ได้ รับการแก้ไขโดยการตีความปรากฏการณ์ใหม่เป็นการ สร้างคู่ของอนุภาคและปฏิอนุภาคจากกำแพงศักยภาพเอง^{[ 31 ] : 30–34} จากนั้นปฏิอนุภาคจะถูกดึงดูดไปยังศักยภาพในขณะที่อนุภาคถูกผลักออกไป ซึ่งมีส่วนช่วยในลำแสง สะท้อน เพิ่มจำนวนอนุภาคที่สังเกตเห็นว่ากลับมาจากกำแพง การวิเคราะห์อย่างเต็มรูปแบบต้องใช้ทฤษฎีอนุภาคหลายตัวแบบสัมพัทธภาพในรูปแบบของทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 33 ] : 88} ${\displaystyle V>E+m}$${\displaystyle T<0}$${\displaystyle R>1}$

สมการ Klein–Gordon เดิมทีถูกคิดค้นขึ้นในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพโดยทำหน้าที่เป็นการขยายความเชิงสัมพัทธภาพของสมการ Schrödingerโดยอธิบายวิวัฒนาการ ของ ฟังก์ชันคลื่น ค่าเชิงซ้อนผ่าน^{[ 36 ] : 480} ${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi (t,{\boldsymbol {x}})={\big (}c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2}-c^{4}m^{2}{\big )}\Psi (t,{\boldsymbol {x}}),}$

โดยที่คือ ตัวดำเนินการลา ปลาเซียนคือค่าคงที่ของพลังค์ แบบลดทอน และคือความเร็ว แสง${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle c}$

หากสมการ Klein–Gordon ใช้ในการอธิบายฟังก์ชันคลื่น จะต้องมี ความหนาแน่น ความน่าจะ เป็นที่อนุรักษ์ไว้ที่สอดคล้องกัน ซึ่งสามารถสร้างขึ้นจากฟังก์ชันคลื่นได้^{[ 36 ] : 482} ความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ ซึ่งกำหนดโดยส่วนประกอบที่ศูนย์ของกระแสสี่ตัวที่สอดคล้องกับสมมาตรเฟสเชิงซ้อนกำหนดโดย^{[ 2 ] : 683} ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})\rightarrow e^{i\theta }\Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle P({\boldsymbol {r}},t)={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}{\bigg (}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\bigg )}.}$

แม้ว่าสิ่งนี้จะได้รับการอนุรักษ์ไว้แต่ก็ไม่ใช่ค่าบวกแน่นอนดังนั้นจึงไม่สามารถตีความได้ว่าเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น^{[ 12 ] : 365} ทั้งนี้แม้ว่ากระแส 3 มิติที่สอดคล้องกันจะตรงกับรูปแบบของกระแสความน่าจะ เป็น สำหรับสมการชโรดิงเกอร์ในขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพก็ตาม

อีกประเด็นหนึ่งคือการมีอยู่ของสถานะพลังงานลบ คำตอบ คลื่นระนาบของสมการยอมรับทั้งคำตอบพลังงานบวกและคำตอบพลังงานลบ[ ^{2 ] : 683} โดยหลักการแล้ว การมีอยู่ของสเปกตรัมที่ไม่จำกัดไม่ใช่ปัญหาในทฤษฎีที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม ปัญหาจะเกิดขึ้นเมื่อมีการรวมปฏิสัมพันธ์ เช่น ผ่านการเชื่อมต่อกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในอดีต สิ่งนี้ถูกมองว่าเป็นปัญหาเพราะไม่มีอะไรป้องกันการสลายตัวอย่าง ไม่มีที่สิ้นสุด ของสถานะผ่านการปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าจากมุมมองสมัยใหม่ สิ่งนี้กลับสะท้อนถึงการล่มสลายของการตีความอนุภาคเดี่ยวของทฤษฎี^{[ 36 ] : 487} ${\displaystyle \Psi =Ae^{-i(Et-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {x}})/\hbar }}$${\displaystyle E>mc^{2}}$${\displaystyle E<-mc^{2}}$

ใน กรอบ การควอนตัมแบบที่สองของทฤษฎีสนามควอนตัมสนามต่างๆถูกยกระดับให้เป็นตัวดำเนินการที่กระทำต่อสถานะ^{[ 36 ] : 489} พวกมันสามารถใช้เพื่อสร้างหรือทำลายอนุภาคหรือปฏิอนุภาคเมื่อกระทำต่อสถานะ สำหรับสนามสเกลาร์เชิงซ้อน ตัวดำเนินการจะทำลายอนุภาคและสร้างปฏิอนุภาค ในขณะที่สร้างอนุภาคและทำลายปฏิอนุภาค^{[ 16 ] : 66} สิ่งนี้ตรงกันข้ามกับกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพที่สนามสอดคล้องกับฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายสถานะของอนุภาคเดี่ยว สมการไคลน์-กอร์ดอนอธิบายสมการการเคลื่อนที่สำหรับตัวดำเนินการสนามและอนุภาคที่มันสร้างขึ้น^{[ 37 ] : 82} ในขีดจำกัดของจำนวนการครอบครองขนาดใหญ่ใน สถานะ โคherentหรือกึ่งคลาสสิกทฤษฎีสนามควอนตัมสำหรับสนามสเกลาร์จะลดลงเหลือทฤษฎีสนามคลาสสิก [ ^{38 ] : 209} ${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$${\displaystyle {\hat {\phi }}^{\dagger }(x)}$

สถานะความถี่เชิงลบที่ก่อให้เกิดปัญหาใน การประยุกต์ใช้ กลศาสตร์ควอนตัมของสมการไคลน์-กอร์ดอนนั้นถูกตีความใหม่เป็นอนุภาค ปฏิปักษ์ พลังงาน บวก ^{[ 37 ] : 18} สำหรับทฤษฎีสนามสเกลาร์จริง อนุภาคจะเป็นอนุภาคปฏิปักษ์ของตัวเอง ในขณะที่สำหรับทฤษฎีสนามสเกลาร์เชิงซ้อน ทั้งสองจะมีประจุ ตรงข้ามกัน ความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้สำหรับทฤษฎีควอนตัม ซึ่งไม่สามารถเป็นบวกแน่นอนได้ กลับถูกตีความใหม่เป็นการอธิบาย ตัวดำเนินการความหนาแน่น ประจุอนุรักษ์ในทฤษฎีสนามควอนตัม^{[ 31 ] : 26}

ขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพของสมการ Klein–Gordon ที่ซับซ้อนจะให้สมการ Schrödingerในลำดับชั้นนำ ซึ่งสามารถหาได้โดยการดึง พลังงาน มวลนิ่ง ที่แกว่งไปมา ผ่านการกำหนดสนามใหม่^{[ 16 ] : 190} ${\displaystyle v\ll c}$

${\displaystyle \chi (t,{\boldsymbol {x}})={\tilde {\chi }}(t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt},}$

และโดยการจำกัดเฉพาะภาคอนุภาคความถี่บวก จึงตัดอนุภาคปฏิปักษ์ ออก จากสเปกตรัม^{[ 27 ] : 112–113} แนวทางที่รอบคอบกว่าจะให้สมการชโรดิงเกอร์อิสระสองสมการสำหรับฟิลด์เชิงซ้อนสองฟิลด์หนึ่ง สำหรับอนุภาคและอีกหนึ่งสำหรับอนุภาคปฏิปักษ์^{[ 12 ] : 366} ทฤษฎีที่ไม่สัมพัทธภาพที่ได้นั้นมีกลุ่มสมมาตร ที่ขยายออกไป ซึ่งเกี่ยวข้องกับคู่เชิงซ้อน กลุ่มนี้มีกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกับ การกำหนด เฟสใหม่ของแต่ละซึ่งหมายถึงการอนุรักษ์จำนวนอนุภาคและจำนวนอนุภาคปฏิปักษ์แยกกัน^{[ 39 ]}เมื่อรวมปฏิสัมพันธ์แล้ว สมมาตรเหล่านี้สามารถแตกออกเป็นสมมาตรทั่วโลกเดียวที่สอดคล้องกับการอนุรักษ์ประจุที่สืบทอดมาจากทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบเต็ม นอกจากนี้ทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพ ที่ไม่สัมพัทธภาพ อาจมีช่วงการใช้งานที่จำกัด เช่น ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่อนุภาคและอนุภาคปฏิปักษ์ไม่พบกันและทำลายล้างกันเป็นสถานะสัมพัทธภาพ หากอนุญาตให้เหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นและทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพไม่รวมระดับ อิสระเชิงสัมพัทธ ภาพ ทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพก็จะไม่ใช่ทฤษฎีเอกภาพ แบบปิดอีกต่อไป ^{[ 40 ]}${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$${\displaystyle {\text{U}}(2)}$${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$${\displaystyle {\text{U}}(1)\times {\text{U}}(1)}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{i}}$${\displaystyle {\text{U}}(2)\rightarrow {\text{U}}(1)}$

ขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพของ สมการ Klein–Gordon จริงนั้นมีความซับซ้อนมากขึ้นเนื่องจากอนุภาคเป็นปฏิอนุภาคของตัวเอง อย่างไรก็ตาม สามารถกำหนดได้โดยใช้สนามสเกลาร์ จริงสัมพัทธภาพเพียงสนามเดียว ส่งผลให้เกิดทฤษฎีสำหรับสนามสเกลาร์เชิงซ้อนเพียงสนามเดียวในขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพ แม้จะเป็นสนามเชิงซ้อน แต่ระดับความเป็นอิสระก็ตรงกัน เนื่องจากทฤษฎีสัมพัทธภาพเป็นทฤษฎีอนุพันธ์อันดับสองในเวลา ในขณะที่ทฤษฎีที่ไม่สัมพัทธภาพเป็นทฤษฎีอันดับแรก ดังนั้นแต่ละสนามที่ไม่สัมพัทธภาพจึงมีระดับความเป็นอิสระครึ่งหนึ่งของทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 41 ]}นิยามอย่างง่ายของสนามสเกลาร์เชิงซ้อนที่ไม่สัมพัทธภาพจากสนามสัมพัทธภาพคือ^{[ 42 ]}${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{\sqrt {2m}}}[\psi (t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt}+\psi ^{*}(t,{\boldsymbol {x}})e^{imt}].}$

คำจำกัดความนี้ใช้ได้ดีสำหรับทฤษฎีอิสระที่ทฤษฎีที่ไม่สัมพัทธภาพสำหรับได้รับมาจากการตัดพจน์ความถี่สูงของลำดับ ออกไปทำให้สมการชโรดิงเกอร์เป็นลำดับนำ อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาปฏิสัมพันธ์ มักจะใช้คำจำกัดความที่ ไม่เฉพาะที่ ที่แก้ไขแล้ว ของ เพื่อให้ได้ ทฤษฎีที่ไม่สัมพัทธภาพที่มีประสิทธิภาพได้ง่ายขึ้น^{[ 43 ]}ทฤษฎีที่ไม่สัมพัทธภาพยังมีสมมาตรที่เกิดขึ้นใหม่ซึ่งแม่นยำในกรณีที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์ สมมาตรนี้บ่งบอกถึงการอนุรักษ์จำนวนอนุภาคด้วยประจุจำนวนของ ${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle N=\int d^{3}{\boldsymbol {x}}\ |\psi |^{2}.}$

ในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ตนเอง สมมาตรนี้ยังคงใช้ได้กับทุกอันดับในทฤษฎีการรบกวนในขีดจำกัดของพลังงานที่ต่ำเพียงพอและสำหรับจำนวนการครอบครองที่ต่ำซึ่งไม่อนุญาตให้กระบวนการละเมิดจำนวนทางจลนศาสตร์^{[ 43 ]}${\displaystyle E\ll m}$

ในขณะที่การหาลิมิตของ สมการไคลน์-กอร์ดอน แบบคลาสสิกที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์กับสมการชโรดิงเกอร์แบบคลาสสิกนั้นทำได้ง่าย แต่ต้องใช้ความระมัดระวังมากขึ้นเมื่อนำทฤษฎีสนามควอนตัม ไปสู่ กลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพเนื่องจากตัวแปรพื้นฐานที่ใช้ในสองกรอบแนวคิดนี้แตกต่างกันอย่างมาก

วิธีที่หยาบๆ ในการหาขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพคือการสร้างฟังก์ชันคลื่น ของ สถานะอนุภาคโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสนาม Klein–Gordon ที่ซับซ้อน จะทำโดยใช้ตัวดำเนินการ สนามทฤษฎีสนามควอนตัม เพื่อสร้างสถานะของอนุภาคที่ตำแหน่งเป็น^{[ nb 4 ] [ 36 ] : 480} ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}\rangle =\phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}})|0\rangle .}$

จากนั้นจึงนำสิ่งนี้ไปใช้สร้างสถานะทั่วไปมากขึ้น โดยเป็นการซ้อนทับกันของสถานะตำแหน่งเหล่านี้

${\displaystyle |\varphi \rangle =\int d^{3}x\varphi ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}\rangle ,}$

ฟังก์ชันคลื่นอยู่ที่ไหน ในตอนนี้ ^{[ 44 ]} โดยการสร้าง แฮมิลโทเนียนของทฤษฎีสนามเราสามารถแสดงได้ว่าสิ่งนี้หมายถึงสมการชโรดิงเกอร์สำหรับฟังก์ชันคลื่น ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\varphi .}$

ขั้นตอนนี้ค่อนข้างไม่แม่นยำในเชิงเทคนิค และไม่สามารถขยายให้ครอบคลุมปฏิสัมพันธ์ได้ง่าย นอกจากนี้ยังไม่ได้กล่าวถึงสิ่งที่เกิดขึ้นกับระดับความเป็นอิสระของอนุภาคปฏิปักษ์ ในทางกลับกัน การวิเคราะห์ที่รอบคอบกว่าแสดงให้เห็นว่าขีดจำกัดที่ไม่สัมพัทธภาพก่อให้เกิดสมการชโรดิงเกอร์สำหรับทั้งอนุภาคและอนุภาคปฏิปักษ์ ขั้นตอนนี้ยังสามารถใช้ในกรณีของสนามไคลน์-กอร์ดอนจริงเพื่อให้ได้ทฤษฎีควอนตัมที่ไม่สัมพัทธภาพ^{[ 45 ]}

ในปริภูมิเวลาโค้งเมตริกแบบราบจะต้องถูกยกระดับเป็นเมตริก แบบโค้ง และอนุพันธ์จะต้องถูกปรับเปลี่ยนเพื่อคำนึงถึงความโค้งของปริภูมิเวลาผ่านการแนะนำอนุพันธ์โคแวเรียนต์ ใน ลายเซ็นเมตริกที่เป็นลบเป็นส่วนใหญ่ สมการไคลน์-กอร์ดอนในปริภูมิเวลาโค้งจะมีรูปแบบ^{[ 46 ] : 182} ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

${\displaystyle (g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }+m^{2})\phi =0.}$

รูปแบบทางเลือกที่แทนที่อนุพันธ์โคแวเรียนต์ด้วยอนุพันธ์ย่อย ปกติ โดยไม่ต้องคำนวณสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล อย่างชัดเจน นั้น กำหนดโดย^{[ 47 ] : 105}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi )+m^{2}\phi =0.}$

นี่คือเทนเซอร์เมตริกผกผัน และนี่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริก ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$${\displaystyle g}$

รูปแบบทั่วไปของสมการ Klein–Gordon ที่อนุญาตให้ มีการเชื่อมต่อ กับแรงโน้มถ่วงแบบไม่ขั้นต่ำนั้นกำหนดโดย^{[ 48 ] : 44}

${\displaystyle (\nabla ^{\mu }\nabla _{\mu }+m^{2}+\xi R)\phi =0,}$

โดยที่สเกลาร์ริชชีคือกรณีของเรียกว่าการเชื่อมต่อขั้นต่ำ โดยสมการจะลดลงเหลือรูปแบบที่กล่าวถึงข้างต้น ในขณะเดียวกัน ในปริภูมิเวลาหลายมิติ เมื่อ^{[ 49 ] : 44} ${\displaystyle R}$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{4}}{\frac {d-2}{d-1}},}$

กล่าวกันว่าสนาม Klein–Gordon นั้นเชื่อมโยงกับแรงโน้มถ่วงแบบคอนฟอร์มัล เมื่อสนามที่เชื่อมโยงแบบคอนฟอร์มัลนั้นไม่มีมวลสมการจะเป็นแบบ คอนฟอร์ มัลไม่แปรเปลี่ยนกรณีนี้มักถูกใช้เป็นแบบจำลองที่จัดการได้ง่ายเป็นพิเศษสำหรับทฤษฎีสนามควอนตัมในการคำนวณปริภูมิเวลาโค้ง โดย เฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ ปริภูมิ เวลาแบบคอนฟอร์มัลแบนราบสนามเหล่านี้จะไม่ประสบกับการผลิตอนุภาคใดๆ เนื่องจากระบบเทียบเท่ากับ ทฤษฎี ปริภูมิแบนราบ^{[ 48 ] : 62}

สมการ Klein–Gordon เป็นสมการการเคลื่อนที่สำหรับทฤษฎีสนามสเกลาร์สัมพัทธภาพอิสระ เมื่อมีการนำปฏิสัมพันธ์ในตัวเองเข้ามาผ่านศักยภาพสมการการเคลื่อนที่ที่ได้จะมีรูปแบบเป็นสมการ Klein–Gordon แบบไม่เชิงเส้น^{[ 26 ] : 32} ${\displaystyle V(\phi )}$

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }}.}$

ตัวอย่างที่น่าสนใจ ได้แก่สมการไซน์-กอร์ดอนและสมการการเคลื่อนที่สำหรับทฤษฎี^{[ 38 ] : 59–60} ${\displaystyle \phi ^{4}}$

ปฏิสัมพันธ์ยังสามารถนำมาสู่สมการ Klein–Gordon ได้โดยการวัดสนามสเกลาร์ภายใต้กลุ่ม เก จ บางกลุ่ม ^{[ 26 ] : 121} เมื่อวัดภายใต้กลุ่มหนึ่งแล้ว จะนำไปสู่อิเล็กโทรไดนามิกสเกลาร์ในขณะที่เมื่อวัดภายใต้กลุ่มอีกกลุ่มหนึ่ง ผลลัพธ์จะเรียกว่าโครโมไดนามิกสเกลาร์ โดยทั่วไป เมื่อวัดภายใต้ กลุ่ม Lieบาง กลุ่ม สมการ Klein–Gordon จะอยู่ในรูปแบบ^{[ 50 ]}${\displaystyle {\text{U}}(1)}$${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\Phi (x)=0,}$

โดยที่ฟิลด์สเกลาร์หลายองค์ประกอบเป็นส่วนหนึ่งของการแสดงแทนของกลุ่ม Lie บางอย่าง ซึ่งหมายความว่ามันแปลงเป็น โดยที่ เป็นการแสดงแทนเมทริกซ์ของ องค์ประกอบกลุ่มในขณะเดียวกันอนุพันธ์ร่วมแปรเกจถูกกำหนดเป็น^{[ 26 ] : 482} ${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \Phi (x)\rightarrow \rho (g(x))\Phi (x)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}T^{a},}$

โดยที่คือส่วนประกอบของสนามเกจที่สอดคล้องกับการเชื่อมต่อและคือตัวสร้างในการแสดงแทนของพีชคณิตลีที่สอดคล้องกับ การ แสดง แทนกลุ่มลี${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$${\displaystyle T^{a}}$${\displaystyle \rho (g)}$

ส่วนประกอบของ สนาม สปิน ที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ทั้งหมด เป็นไปตามสมการ Klein–Gordon ไม่ว่าจะโดยตรงหรือเมื่อมีการกำหนดข้อจำกัด ที่เหมาะสม ^{[ 51 ]}นี่เป็น ผล สืบเนื่องทางทฤษฎีกลุ่ม โดยที่ การแสดงแทนแบบเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมด ของกลุ่มPoincareเป็นไปตามสมการ^{[ 38 ] : 8} ตัวอย่างเช่น คำตอบใดๆ ของสมการ Dirac ซึ่งอธิบายสนามสปิ นเนอร์สปิน-1/2 จะเป็นคำตอบของสมการ Klein–Gordon โดยอัตโนมัติ^{[ 52 ]}ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับสมการ Maxwellและสมการ Procaซึ่งอธิบาย สนาม สปิน-1ที่ไม่มีมวลและมีมวลตามลำดับ^{[ 27 ] : 120–121} สมการส่วนประกอบของทั้งสองสมการจะลดลงเหลือสมการ Klein–Gordon ที่ไม่มีมวลและมีมวลเมื่อมีการกำหนดข้อจำกัด ซึ่งเป็นข้อจำกัดที่จำเป็นสำหรับสมการ Proca ในขณะที่เป็นเพียงการเลือกเกจของเกจ Lorenzสำหรับสมการ Maxwell ^{[ 38 ] : 125 [ 26 ] : 119} ${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$

• สมการราริตา-ชวิงเกอร์