สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านทั้งสี่ด้านยาวเท่ากัน${\displaystyle \ell }$มีเส้นรอบวง^{[ 12 ]}${\displaystyle P=4\ell }$และความยาวแนวทแยง${\displaystyle d={\sqrt {2}}\ell }$[ ^{13 ]}รากที่สองของ 2ที่ปรากฏในสูตรนี้เป็นจำนวนอตรรกยะหมายความว่าไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน^ได้ อย่างแม่นยำ มีค่าประมาณเท่ากับ 1.414 ^{[ 14 ]}และค่าโดยประมาณนี้เป็นที่รู้จักในคณิตศาสตร์บาบิโลนอยู่ แล้ว ^{[ 15 ]}พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ^{[ 13 ]}$${\displaystyle A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.}$$ สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเท่ากับกำลังสองของความยาวด้าน นำไปสู่การใช้คำว่า"ยกกำลังสอง" ในความหมายว่าการยกกำลังสองของจำนวนใดๆ^{[ 16 ]}เมื่อกลับความสัมพันธ์นี้ ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ที่กำหนดจะเป็นรากที่สองของพื้นที่ การยกกำลังสองของจำนวนเต็มหรือการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนกำลังสองซึ่งเป็นจำนวนเชิงรูปที่ใช้แทนจำนวนจุดที่สามารถจัดเรียงลงในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้^{[ 17 ]}

เนื่องจากสี่กำลังสองเท่ากับสิบหก ดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดสี่คูณสี่จึงมีพื้นที่เท่ากับเส้นรอบรูป นั่นคือเป็นรูปทรงที่เท่ากันสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดจำนวนเต็มที่เท่ากันอีกรูปหนึ่งคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดสามคูณหก^{[ 18 ]}

เนื่องจากเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นรอบรูปน้อยที่สุดที่ล้อมรอบพื้นที่ที่กำหนด ในทางกลับกัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดภายในเส้นรอบรูปที่กำหนด^{[ 19 ]}อันที่จริง ถ้าAและPเป็นพื้นที่และเส้นรอบรูปที่ล้อมรอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมแล้วอสมการไอโซเพอริเมตริก ต่อไปนี้จะเป็นจริง : $${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$$ โดยมีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อรูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 20 ] [ 21 ]}

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีความสมมาตรมากที่สุด^{[ 22 ]}การแปลงระนาบแบบแข็ง แปดแบบทำให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสกลายเป็นตัวมันเอง: ^{[ 23 ]}

ตำแหน่งเริ่มต้นของสี่เหลี่ยมจัตุรัส( การแปลงเอกลักษณ์ )

หมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา

การหมุน 180°

การหมุน 270°

การสะท้อนแนวทแยง NW–SE

การสะท้อนในแนวนอน

การสะท้อนแนวทแยงตะวันออกเฉียงเหนือ-ตะวันตกเฉียงใต้

การสะท้อนแนวตั้ง

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานแกนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดสมมาตรแต่ละอย่างจะทำงานโดยการรวมกันของการปฏิเสธและการสลับพิกัดคาร์ทีเซียนของจุด^{[ 24 ]}สมมาตรจะสลับสามเหลี่ยมหน้าจั่วแปดรูประหว่างขอบครึ่งหนึ่งและจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ซึ่งยังคงอยู่กับที่) สามเหลี่ยมใดๆ เหล่านี้สามารถถือเป็นบริเวณพื้นฐานของการแปลงได้^{[ 25 ]}จุดยอดสองจุด ขอบสองเส้น และขอบครึ่งหนึ่งสองเส้น จะถูกแมปไปยังอีกจุดหนึ่งโดยสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งอย่าง (หนึ่งอย่างสำหรับขอบครึ่งหนึ่ง) ^{[ 22 ]}รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดก็มีคุณสมบัติเหล่านี้เช่นกัน^{[ 26 ]}ซึ่งแสดงออกมาโดยการกล่าวว่าสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และโดยทั่วไปแล้ว รูปหลายเหลี่ยมปกติ จะกระทำแบบท รานซิทีฟ บนจุดยอดและขอบ และ กระทำ แบบทรานซิทีฟอย่างง่ายบนขอบครึ่งหนึ่ง^{[ 27 ]}

การรวมการแปลงสองแบบนี้เข้าด้วยกันโดยการทำทีละแบบจะทำให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลับมาเป็นรูปเดิม และทำให้เกิดสมมาตรอีกแบบหนึ่ง การหมุนซ้ำๆ จะทำให้เกิดการหมุนอีกครั้งด้วยมุมการหมุนที่รวมกัน การสะท้อนสองครั้งด้วยแกนเดียวกันจะกลับไปสู่การแปลงเอกลักษณ์ ในขณะที่การสะท้อนสองครั้งด้วยแกนที่ต่างกันจะหมุนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส การหมุนตามด้วยการสะท้อน หรือในทางกลับกัน จะทำให้เกิดการสะท้อนที่แตกต่างกันการดำเนินการประกอบ นี้ ทำให้สมมาตรทั้งแปดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เป็นกลุ่มเรียกว่ากลุ่มของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือกลุ่มไดเฮดรัลอันดับแปด [ ^{23 ] รูป}สี่เหลี่ยมอื่นๆ เช่น สี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มีเพียงกลุ่มย่อยของสมมาตรเหล่านี้^{[ 28 ] [ 29 ]}

รูปร่างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ใช่ขนาดของมัน จะถูกรักษาไว้โดยความคล้ายคลึงกันของระนาบ^{[ 30 ]}การแปลงระนาบประเภทอื่น ๆ สามารถเปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมประเภทอื่นได้การแปลงแบบแอฟฟินสามารถเปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใด ๆ หรือในทางกลับกัน^{[ 31 ]}การแปลงแบบโปรเจคทีฟ สามารถเปลี่ยนสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เป็นรูป สี่เหลี่ยมด้านนูนใด ๆหรือในทางกลับกัน^{[ 32 ]}ซึ่งหมายความว่า เมื่อมองในมุมมองแบบเปอร์ สเป คทีฟ สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถดูเหมือนรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนใด ๆ หรือในทางกลับกัน^{[ 33 ]}การแปลงแบบโมเบียสสามารถเปลี่ยนจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (แต่ไม่ใช่ขอบ) ไปยังจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมฮาร์มอนิกได้^{[ 34 ]}

กลุ่มวอลเปเปอร์เป็นกลุ่มสมมาตรของรูปแบบการทำซ้ำสองมิติ สำหรับกลุ่มเหล่านี้จำนวนมาก หน่วยพื้นฐานของการทำซ้ำ (เซลล์หน่วยของแลตทิซคาบ ) สามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ และสำหรับกลุ่มเหล่านี้สามกลุ่ม ได้แก่ p4, p4m และ p4g จะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 35 ]}

หน้า 4 เพดานสุสานอียิปต์

4 โมงเย็น นินิเวห์และเปอร์เซีย

พี4จี, จีน

กลุ่มวอลเปเปอร์ลายกระเบื้องจากหนังสือ The Grammar of Ornament

วงกลมแนบในสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือวงกลมที่มีขนาดใหญ่ที่สุดที่สามารถบรรจุอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นได้ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในคือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรัศมีของวงกลมแนบใน ( รัศมีวงกลมแนบในของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) คือ...${\displaystyle r=\ell /2}$เนื่องจากวงกลมนี้สัมผัสกับด้านทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ที่จุดกึ่งกลาง) สี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยม สัมผัส วงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะผ่านจุดยอดทั้งสี่ ทำให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลม รัศมีของวงกลมล้อมรอบ หรือรัศมีวงกลมล้อมรอบคือ${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {2}}}$[ ^{36 ] ถ้าวงกลม ที่}อยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส${\displaystyle ABCD}$มีจุดสัมผัส${\displaystyle E}$บน${\displaystyle AB}$,${\displaystyle F}$บน${\displaystyle BC}$,${\displaystyle G}$บน${\displaystyle CD}$, และ${\displaystyle H}$บน${\displaystyle DA}$จากนั้นสำหรับจุดใดๆ${\displaystyle P}$บนวงกลมที่จารึกไว้^{[ 37 ]}$${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$$ถ้า${\displaystyle d_{i}}$คือระยะห่างจากจุดใดๆ บนระนาบไปยัง${\displaystyle i}$จุดยอดที่ thของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ${\displaystyle R}$คือรัศมีวงกลมล้อมรอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น^{[ 38 ]}$${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ ถ้า${\displaystyle L}$ และ${\displaystyle d_{i}}$โดยที่ คือระยะห่างจากจุดใดๆ บนระนาบไปยังจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและจุดยอดทั้งสี่ตามลำดับ แล้ว$${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$$และ$${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$$ที่ไหน${\displaystyle R}$คือรัศมีวงกลมล้อมรอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 39 ]}

ตารางหน่วยคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวหนึ่งหน่วย มักจะแสดงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ล้อมรอบจุดต่างๆ${\displaystyle (x,y)}$ที่มี${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$และ${\displaystyle 0\leq y\leq 1}$จุดยอดของมันคือจุดสี่จุดที่มีพิกัดเป็น 0 หรือ 1 ในแต่ละจุด^{[ 89 ]}

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานแกนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$และด้านที่มีความยาว${\displaystyle 2r}$(ที่ไหน${\displaystyle r}$โดยที่รัศมีวงในคือครึ่งหนึ่งของความยาวด้าน) มีจุดยอดอยู่ที่จุดทั้งสี่${\displaystyle (x_{c}\pm r,y_{c}\pm r)}$ภายในประกอบด้วยจุดต่างๆ${\displaystyle (x,y)}$กับ${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)<r}$และขอบเขตของมันประกอบด้วยจุดที่มี${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)=r}$[ ^{90 ]​}

สี่เหลี่ยมจัตุรัสแนวทแยงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$และเส้นทแยงมุมของความยาว${\displaystyle 2R}$(ที่ไหน${\displaystyle R}$(รัศมีวงกลมล้อมรอบ ซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม) มีจุดยอดอยู่ที่จุดทั้งสี่${\displaystyle (x_{c}\pm R,y_{c})}$และ${\displaystyle (x_{c},y_{c}\pm R)}$ภายในประกอบด้วยจุดต่างๆ${\displaystyle (x,y)}$กับ${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|<R}$และขอบเขตของมันประกอบด้วยจุดที่มี${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|=R}$[ ^{90 ]}ตัวอย่างเช่น ภาพประกอบแสดงสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนวทแยงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด^{กำเนิด}${\displaystyle (0,0)}$โดยมีรัศมีวงกลมล้อมรอบเท่ากับ 2 ซึ่งกำหนดโดยสมการ${\displaystyle |x|+|y|=2}$.

ในระนาบของจำนวนเชิงซ้อนการคูณด้วยหน่วยจินตนาการ${\displaystyle i}$หมุนพจน์อื่นในผลคูณ 90° รอบจุดกำเนิด (เลขศูนย์) ดังนั้น ถ้าจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ${\displaystyle p}$ถูกคูณซ้ำๆ ด้วย${\displaystyle i}$โดยให้ตัวเลขทั้งสี่ตัว${\displaystyle p}$,${\displaystyle ip}$,${\displaystyle -p}$, และ${\displaystyle -ip}$ตัวเลขเหล่านี้จะก่อให้เกิดจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด^{[ 91 ]}หากตีความส่วนจริงและส่วนจินตนาการของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสี่นี้เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนด้วย${\displaystyle p=x+iy}$ดังนั้น ตัวเลขทั้งสี่นี้จึงมีพิกัดดังนี้${\displaystyle (x,y)}$,${\displaystyle (-y,x)}$,${\displaystyle (-x,-y)}$, และ${\displaystyle (-y,-x)}$[ ^{92 ]}สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้สามารถแปลเป็นจำนวนเชิงซ้อนอื่นใด^{ก็ได้}${\displaystyle c}$เป็นศูนย์กลาง โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลจากต้นกำเนิดไปยัง${\displaystyle c}$แสดงในเลขคณิตจำนวนเชิงซ้อนด้วยการบวกกับ${\displaystyle c}$[ ^{93 ]}จำนวนเต็มเกาส์เซียนจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงและส่วนจินตนาการเป็นจำนวนเต็ม ก่อตัวเป็น^โครงตาข่ายสี่เหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อน^{[ 93 ]}

การสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านที่กำหนดโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดนั้นระบุไว้ในElements I.46 ของยูคลิด^{[ 94 ]}การมีอยู่ของการสร้างนี้หมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างได้รูปปกติ${\displaystyle n}$-gonสามารถสร้างได้ก็ต่อเมื่อตัวประกอบ เฉพาะคี่ ของ${\displaystyle n}$เป็นจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์ ที่แตกต่างกัน ^{[ 95 ]}และในกรณีของสี่เหลี่ยมจัตุรัส${\displaystyle n=4}$ไม่มีตัวประกอบเฉพาะคี่ ดังนั้นเงื่อนไขนี้จึงเป็นจริงโดยปริยาย^{[ 96 ]}

องค์ประกอบ IV.6–7 ยังให้การสร้างสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในวงกลมและล้อมรอบวงกลมตามลำดับ^{[ 97 ]}

• 
  สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีวงกลมล้อมรอบที่กำหนดให้
• 
  สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านตามที่กำหนด โดยใช้ทฤษฎีบทของทาเลส
• 
  สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมที่กำหนดให้

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะถูกจารึกไว้ในเส้นโค้งเมื่อจุดยอดทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่บนเส้นโค้งนั้นปัญหาของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ ซึ่งยังไม่ได้รับการแก้ไขนั้น ถามว่าเส้นโค้งปิดแบบง่าย ทุกเส้น มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้หรือไม่ เป็นจริงสำหรับเส้นโค้งเรียบ ทุก เส้น^{[ 121 ]}และสำหรับเส้นโค้งนูน ปิดใดๆ รูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ที่สามารถจารึกไว้ในเส้นโค้งนูนปิดทุกเส้นได้เสมอคือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเนื่องจากมีเส้นโค้งนูนอยู่เส้นหนึ่งซึ่งไม่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ สามารถจารึกได้^{[ 122 ]}

สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะต้องอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายใน 3 รูป โดยแต่ละรูปอยู่บนด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายใน 2 รูป โดยรูปหนึ่งสัมผัสกับมุมฉากและอีกรูปหนึ่งอยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉากสามเหลี่ยมมุมป้านจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในเพียงรูปเดียว โดยอยู่บนด้านที่ยาวที่สุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมสามารถครอบคลุมพื้นที่ได้มากที่สุดครึ่งหนึ่งของพื้นที่สามเหลี่ยม^{[ 123 ]}

ตั้งแต่สมัยโบราณ หน่วยวัดพื้นที่ ผิวหลายหน่วย ได้รับการกำหนดจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยทั่วไปจะมีหน่วยความยาว มาตรฐาน เป็นด้าน เช่นตารางเมตรหรือตารางนิ้ว^{[ 124 ]}

ในเรขาคณิตเชิงอนุมานของกรีกโบราณพื้นที่ของรูปทรงระนาบจะถูกวัดและเปรียบเทียบโดยการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากันโดยใช้เพียงจำนวนขั้นตอนที่จำกัดด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือ การ สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนังสือ Elementsของยูคลิดแสดงวิธีการทำเช่นนี้สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมด้านขนาน สามเหลี่ยม และโดยทั่วไปสำหรับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายโดยการแบ่งออกเป็นชิ้นส่วนสามเหลี่ยม^{[ 125 ] รูปทรงบางรูปที่มีด้านโค้งก็สามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เช่น กัน}เช่นจันทร์เสี้ยวของฮิปโปเครติส^{[ 126 ]}และพาราโบลา^[ 127 ^]

การใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปทรงกำหนดสำหรับการวัดพื้นที่นี้ยังปรากฏในสูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ของชาวกรีกด้วย กล่าว คือ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านทั้งสองของสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีพื้นที่รวมเท่ากับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก^{[ 128 ]}หากกล่าวในรูปแบบนี้ ทฤษฎีบทนี้จะใช้ได้กับรูปทรงอื่นๆ บนด้านของสามเหลี่ยมเช่นกัน เช่น สามเหลี่ยมด้านเท่าหรือครึ่งวงกลม^{[ 129 ]}แต่ชาวกรีกใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ สูตรของทฤษฎีบทนี้ที่ใช้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ถูกแทนที่ด้วยสูตรพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับการยกกำลังสองของตัวเลข กล่าวคือ ความยาวของด้านและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นไปตามสมการ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$[ ^{130 ]​}

เนื่องจากการมุ่งเน้นไปที่การหาพื้นที่โดยใช้การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกและนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังจึงพยายามสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้ขั้นตอนจำนวนจำกัดด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด แต่ก็ไม่ประสบความสำเร็จ ในปี 1882 งานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ อันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของลินเดมันน์-ไวเออร์สตรัสทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ว่า ค่า พาย ( π ) เป็นจำนวนอดิศัยไม่ใช่จำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิตกล่าวคือ มันไม่ใช่รากของพหุนาม ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของวงกลมสามารถแปลเป็นสูตรพหุนามสำหรับπ ได้ซึ่งไม่มีอยู่จริง^{[ 131 ]}ในปรัชญา แนวคิดของ " สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นวงกลม " ถูกใช้เป็นตัวอย่างของคำขัดแย้งมาตั้งแต่สมัยอริสโตเติลทำให้เกิดความพยายามที่จะหาบริบท เช่นเรขาคณิตของรถแท็กซี่ ( ด้านล่าง ) ที่วลีนี้มีความหมาย^{[ 132 ]}

การปูกระเบื้องสี่เหลี่ยม

การปูพื้นแบบพีทาโกเรียน

การปูพื้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งคุ้นเคยกันดีจากพื้นและกระดานเกม เป็นหนึ่งในสามรูปแบบการปูพื้นระนาบแบบปกติอีกสองรูปแบบใช้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปหกเหลี่ยมปกติ^{[ 133 ]}จุดยอดของการปูพื้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก่อให้เกิดโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส [ ^{134 ] สี่เหลี่ยมจัตุรัส}ที่มีขนาดมากกว่าหนึ่งขนาดก็สามารถปูพื้นระนาบได้เช่น กัน ^{[ 135 ] [ 136 ]}ตัวอย่างเช่น ในการปูพื้นแบบพีทาโกเรียนซึ่งตั้งชื่อตามความเชื่อมโยงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกเรียน^{[ 137 ]}

ปัญหา การบรรจุสี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นการค้นหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือวงกลมที่เล็กที่สุดที่สามารถบรรจุ สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยจำนวนหนึ่งได้กระดานหมากรุกสามารถบรรจุสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยจำนวนหนึ่งลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ได้อย่างเหมาะสม แต่ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณีเช่นนี้แล้ว วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาเหล่านี้ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 138 ] [ 139 ] [ 140 ]}เช่นเดียวกับการบรรจุวงกลมลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส^[ 141 ^]การบรรจุสี่เหลี่ยมจัตุรัสลงในรูปทรงอื่นๆ อาจมีความซับซ้อนในการคำนวณ สูง การทดสอบว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยจำนวนหนึ่งสามารถบรรจุลงในรูปหลายเหลี่ยมเชิงเส้นตรงนูน^เชิง ตั้งฉาก ที่มี พิกัดจุดยอด ครึ่งจำนวนเต็มได้หรือ ไม่ นั้นเป็น ปัญหา NP- complete ^{[ 142 ]}

การสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนดออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กกว่า โดยที่ด้านแต่ละด้านมีความยาวเป็นจำนวนเต็ม การแบ่งย่อยด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่แตกต่างกันเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์แบบ^{[ 143 ]}รูปแบบอื่นของการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่า "ผ้าห่มของคุณนายเพอร์กินส์" อนุญาตให้มีการทำซ้ำได้ แต่ใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อให้ตัวหารร่วมมากที่สุดของความยาวด้านเป็น 1 ^{[ 144 ]}ระนาบทั้งหมดสามารถปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ โดยมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็มเพียงหนึ่งรูปเท่านั้น^{[ 145 ]}

การฉายภาพสามมิติของทอรัสคลิฟฟอร์ด ที่หมุนอยู่

ทรงเอเพียวโรเฮดรอนเฉียงปกติที่มีหกช่องสี่เหลี่ยมต่อจุดยอด

การจำลองเชิงตัวเลขของหมอนสี่เหลี่ยมที่พองตัว

ในมิติที่สูงกว่า พื้นผิวอื่นๆ นอกเหนือจากระนาบสามารถปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน โดยให้ขอบชนกัน พื้นผิวหนึ่งในนั้นคือทอรัสคลิฟฟอร์ด ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนสี่มิติของวงกลมสองวงที่เท่ากันทุกประการ มีรูปทรงเรขาคณิตภายในเหมือนกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดี่ยวที่มีขอบตรงข้ามแต่ละคู่ติดกัน^{[ 146 ]}พื้นผิวที่ปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกแบบหนึ่งคืออะเพโรเฮดรอนเฉียงปกติในสามมิติ มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกรูปมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด^{[ 147 ]} ปัญหา ถุงกระดาษต้องการหาปริมาตรสูงสุดที่สามารถล้อมรอบได้ด้วยพื้นผิวที่ปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปติดกันโดยให้ขอบชนกัน คำตอบที่แน่นอนยังไม่เป็นที่ทราบ^{[ 148 ]}การติดสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปในรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยให้จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปติดกับจุดกึ่งกลางของขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกรูปหนึ่ง (หรืออีกทางหนึ่งคือการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนี้ออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแปดรูปที่ติดกันโดยให้ขอบชนกัน) จะได้รูปทรงคล้ายหมอนปักเข็มที่เรียกว่าบิสคอร์นู^{[ 149 ]}พื้นผิวที่ปูด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนจำกัดของโครงตาข่ายจำนวนเต็มสามมิติเรียกว่าโพลีโอมีนอยด์^{[ 150 ]}

ปริศนาทางคณิตศาสตร์ที่พบได้ทั่วไปอย่างหนึ่งคือการนับจำนวนช่องสี่เหลี่ยมทุกขนาดในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส${\displaystyle n\times n}$ช่องสี่เหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเก้าช่อง จะมีช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมด 14 ช่อง ได้แก่ ช่องสี่เหลี่ยมเก้าช่องที่ประกอบเป็นตาราง และอีกสี่ช่อง${\displaystyle 2\times 2}$สี่เหลี่ยม และหนึ่ง${\displaystyle 3\times 3}$สี่เหลี่ยมจัตุรัส คำตอบของปริศนานี้คือ${\displaystyle n(n+1)(2n+1)/6}$จำนวนพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 151 ]}สำหรับ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ตัวเลขเหล่านี้คือ: ^{[ 152 ]}

ปริศนารูปแบบเดียวกันนี้อีกแบบหนึ่งถามถึงจำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่เกิดจากตาราง${\displaystyle n\times n}$จุดต่างๆ อนุญาตให้มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่ขนานกับแกน ตัวอย่างเช่น ตารางเก้าจุดมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขนานกับแกนห้าอันตามที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ยังมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสแนวทแยงอีกหนึ่งอัน รวมเป็นหกอัน^{[ 153 ]}ในกรณีนี้ คำตอบจะได้รับจากจำนวนพีระมิด 4 มิติ${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$. สำหรับ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ตัวเลขเหล่านี้คือ: ^{[ 154 ]}

ปัญหาการนับอีกปัญหาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสถามถึงจำนวนรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แตกต่างกันที่สามารถใช้ได้เมื่อแบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกัน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกันสองรูปได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น คือการแบ่งครึ่ง แต่เมื่อแบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกันสามรูป จะมีอัตราส่วนด้าน ที่เป็นไปได้สามแบบ ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 155 ]} 3:1, 3:2 และกำลังสองของอัตราส่วนพลาสติกประมาณ 1.755:1 ^{[ 156 ]}จำนวนสัดส่วนที่เป็นไปได้เมื่อแบ่งออกเป็น${\displaystyle n}$สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นที่รู้จักกันสำหรับค่าเล็กๆ ของ${\displaystyle n}$แต่ไม่ใช่สูตรทั่วไป สำหรับ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ตัวเลขเหล่านี้คือ: ^{[ 157 ]}

ตารางเวทมนตร์คือตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสของตัวเลข โดยที่ผลรวมของตัวเลขบวกในแต่ละแถว แต่ละคอลัมน์ และเส้นทแยงมุมหลักทั้งสองเส้นมีค่าเท่ากัน^{[ 158 ]}สำหรับ${\displaystyle n\times n}$อาร์เรย์ ผลรวมสามารถกำหนดได้ดังนี้${\displaystyle n(n^{2}+1)/2}$ตัวเลขสำหรับ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$คือ: ^{[ 159 ]}

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกันบนทรงกลม ( การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิก )

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกันในระนาบไฮเปอร์โบลิก ( แบบจำลองดิสก์แบบคอนฟอร์มอล )

อ็อกแทนต์คือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทรงกลมที่มีมุมฉาก

รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมฉากสามารถปูระนาบไฮเปอร์โบลิกได้โดยมีรูปหกเหลี่ยมสี่รูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดที่คุ้นเคย พื้นที่นั้นแบนราบ และรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนทุกรูปจะมีมุมภายในรวมกันได้ 360° ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า) จึงมีด้านเท่ากันสี่ด้านและมุมฉากสี่มุม (แต่ละมุม 90°) ในทางตรงกันข้าม ในเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกพื้นที่นั้นโค้ง และมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนจะไม่มีวันรวมกันได้ 360° ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากสี่มุมจึงไม่มีอยู่จริง เรขาคณิตทั้งสองแบบนี้มีรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือมีด้านเท่ากันสี่ด้านและมุมเท่ากันสี่มุม มักเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 160 ]}แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะชอบหลีกเลี่ยงชื่อนี้เพราะรูปสี่เหลี่ยมเหล่านี้ไม่มีมุมฉาก เรขาคณิตเหล่านี้ยังมีรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีมุมฉาก แต่มีจำนวนด้านที่แตกต่างจากสี่^{[ 161 ]}

ในเรขาคณิตทรงกลม พื้นที่มีความโค้งบวกสม่ำเสมอ และรูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูป ( รูปหลายเหลี่ยมที่มี ขอบ โค้งวงกลมใหญ่ สี่ด้าน ) มีมุมที่มีผลรวมเกิน 360° โดยมีค่าที่เรียกว่าส่วนเกินเชิงมุมซึ่งเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิว รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทรงกลมขนาดเล็กมีลักษณะใกล้เคียงกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยุคลิด และมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่จะเพิ่มขึ้นตามพื้นที่^{[ 160 ]}กรณีพิเศษอย่างหนึ่งคือหน้าของลูกบาศก์ทรงกลมที่มีมุม 120° สี่มุม ซึ่งครอบคลุมหนึ่งในหกของพื้นผิวทรงกลม^{[ 162 ]}อีกกรณีหนึ่งคือครึ่งทรงกลม ซึ่งเป็นหน้าของ ไดเฮดรอนสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทรงกลมที่มี มุมตรงสี่ มุม การฉายภาพควินคันเชียลของเพียร์ซสำหรับแผนที่โลกจะแปลงหน้าดังกล่าวสองหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยุคลิดแบบคอนฟอร์มัล^{[ 163 ]}อ็อกแทนต์ของทรงกลมคือสามเหลี่ยมทรงกลม ปกติ ที่มีด้านเท่ากันสามด้านและมุมฉากสามมุม แปดชิ้นนั้นปูรอบทรงกลม โดยมีสี่ชิ้นมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด เพื่อสร้างทรงแปดเหลี่ยมทรงกลม [ ^{164 ] ลู}นทรงกลม คือ รูปสอง เหลี่ยม ปกติมีด้านครึ่งวงกลมสองด้านและมุมเท่ากันสองมุมที่ จุดยอดตรง ข้ามกัน ลูนมุมฉากครอบคลุมหนึ่งในสี่ของทรงกลม ซึ่งเป็นหนึ่งหน้าของ โฮโซเฮดรอนสี่ลูน^{[ 165 ]}

ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกพื้นที่มีความโค้งเป็นลบสม่ำเสมอ และรูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปจะมีมุมที่ผลรวมน้อยกว่า 360° เป็นจำนวนที่เรียกว่าข้อบกพร่องเชิงมุมซึ่งเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิว รูปสี่เหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกขนาดเล็กจะมีลักษณะใกล้เคียงกับรูปสี่เหลี่ยมยุคลิด และรูปสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่จะลดลงเมื่อพื้นที่เพิ่มขึ้น กรณีพิเศษได้แก่รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุม360°/ nสำหรับทุกค่าของnที่มากกว่า4ซึ่งแต่ละรูปสามารถปูระนาบไฮเปอร์โบลิกได้^{[ 161 ]}ในขีดจำกัดอนันต์รูปสี่เหลี่ยมใน อุดมคติ จะมีด้านทั้งสี่ที่มีความยาวอนันต์และจุดยอดทั้งสี่อยู่ที่จุดในอุดมคติที่อยู่นอกระนาบไฮเปอร์โบลิก โดยมีมุมภายใน0° ^{[ 166 ]}รูปสี่เหลี่ยมในอุดมคติ เช่นเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมในอุดมคติทุกรูป มีพื้นที่จำกัดซึ่งเป็นสัดส่วนกับข้อบกพร่องเชิงมุม360° [ ^{167 ] นอกจาก}นี้ยังสามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกปกติที่มีมุมฉากที่ทุกจุดยอดและจำนวนด้านใดๆ ที่มากกว่าสี่ได้ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวสามารถปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกได้อย่างสม่ำเสมอซึ่ง เป็นการปูพื้นแบบ คู่ขนานกับการใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสnรูป ล้อมรอบแต่ละจุดยอด

ระนาบยุคลิดสามารถกำหนดได้โดยใช้ระนาบพิกัดจริงโดยใช้ ฟังก์ชัน ระยะทางยุคลิดซึ่งแสดงระยะทางระหว่างจุดสองจุดใดๆ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$และ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$เป็น${\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$เรขาคณิตเชิงเมตริกอื่นๆ เกิดขึ้นเมื่อ ใช้ ฟังก์ชันระยะทาง ที่แตกต่างกัน และในเรขาคณิตบางแบบ รูปร่างที่ควรจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบยุคลิดจะกลายเป็น " วงกลม " (เซตของจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดศูนย์กลาง) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เอียงทำมุม 45° กับแกนพิกัดจะเป็นวงกลมในเรขาคณิตแบบแท็กซี่โดยอิงจาก...${\displaystyle L_{1}}$ระยะทาง${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$จุดต่างๆ ที่มีระยะทางโดยรถแท็กซี่${\displaystyle d}$จากจุดใดๆ ให้ลากเส้นทแยงมุมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น และมีความยาวตามแนวทแยงมุมเท่ากับ...${\displaystyle 2d}$ในทำนองเดียวกัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขนานกับแกนก็เป็นวงกลมสำหรับ${\displaystyle L_{\infty }}$หรือระยะทางเชบิเชฟ${\displaystyle \max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)}$ในเมตริกนี้ จุดที่มีระยะห่าง${\displaystyle d}$จากจุดใดจุดหนึ่ง ให้สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับแกน โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่กำหนด และมีความยาวด้านเท่ากับ...${\displaystyle 2d}$[ ^{168 ] [ 169 ] [ 170 ]}ในทำนองเดียวกัน สี่เหลี่ยมและวงกลมสามารถกลายเป็นรูปทรงกึ่งกลางที่เรียก^ว่า squircleได้^{[ 171 ]}