ในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์วิศวกรรมและทฤษฎีระบบ ระบบพลวัตคือคำอธิบายว่าระบบเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลา ผ่านไป

ตัวอย่างเช่นนักดาราศาสตร์สามารถบันทึกตำแหน่งการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์บนท้องฟ้าได้จากการทดลอง และถือได้ว่าเป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์เพียงพอของระบบพลวัต ในกรณีของดาวเคราะห์นั้น ยังมีความรู้เพียงพอที่จะเข้ารหัสข้อมูลนี้เป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นหรือเป็นแผนที่จากสถานะปัจจุบันไปยังสถานะในอนาคตในปริภูมิสถานะ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ด้วย พารามิเตอร์ เวลา t หรือเป็นวงโคจรในปริภูมิเฟส [ ^{1 ] :หมายเหตุ บทที่ 2.1}

การศึกษาระบบพลวัตเป็นจุดสนใจของทฤษฎีระบบพลวัต ซึ่งมีการ ^{ประยุกต์}ใช้ในหลากหลายสาขา เช่น คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์^{[ 2 ] [ 3 ]}ชีววิทยา [ ^{4 ]}เคมีวิศวกรรม[ ^{5 ]}เศรษฐศาสตร์^{[ 6 ]}ประวัติศาสตร์และการแพทย์ระบบพลวัตเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีความโกลาหลพลวัต^{แผนที่}โลจิสติกทฤษฎีการแยกสาขากระบวนการประกอบตนเองและ การ จัดระเบียบตนเองและแนวคิด ขอบแห่งความโกลาหล

แนวคิดของระบบพลวัตมีต้นกำเนิดมาจากกลศาสตร์ของนิวตันและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ที่นั่น เช่นเดียวกับในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและสาขาวิศวกรรมอื่นๆ มีความจำเป็นต้องทำนายวิวัฒนาการของระบบ แต่บางทีอาจมีคำถามอื่นๆ เช่น เสถียรภาพ พฤติกรรมเชิงคุณภาพหรือระยะยาว การพึ่งพาพารามิเตอร์ การมีอยู่ของพฤติกรรมเป็นคาบ สุ่ม หรืออลวน^{[ 1 ] : ส่วนที่ 1} ความสัมพันธ์จากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งอาจเป็นแบบชัดเจน เช่น ฟังก์ชันในพารามิเตอร์ t ที่ทำนายตำแหน่งและความเร็วของอนุภาค หรือแบบไม่ชัดเจน เช่นสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงผลต่างหรือมาตราส่วนเวลา อื่นๆ บางครั้งอาจไม่สามารถกำหนดคำอธิบายดังกล่าวได้ อาจไม่มีสมการเชิงอนุพันธ์ที่ทำนายราคาหุ้นหรืออาจเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างขึ้นมา แต่ยังคงพูดถึงราคาหุ้นได้ โดยพิจารณาจากข้อมูลการทดลองที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา^{[ 7 ]}

คุณสมบัติที่สำคัญคือการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบความสามารถในการบูรณาการ (เช่น การมีอยู่ของปริมาณที่อนุรักษ์ไว้) ความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหาระบบ และความสามารถในการคำนวณสถานะ ณ จุดเวลาใดๆ คุณสมบัติอื่นๆ ได้แก่ ระบบนั้นเป็นแบบไม่ต่อเนื่องต่อเนื่อง สามารถหา อนุพันธ์ได้เรียบกำหนดได้ เออร์ โกดิกสโตแคสติกหรืออลวน^{[ 8 ] [ 9 ]}

หากสามารถแก้ระบบได้แล้ว เมื่อกำหนดจุดเริ่มต้นแล้ว ก็จะสามารถกำหนดตำแหน่งในอนาคตทั้งหมดของจุดนั้นได้ ซึ่งกลุ่มของจุดเหล่านั้นเรียกว่าวิถีโคจรหรือวง โคจร

ก่อนการมาถึงของคอมพิวเตอร์การค้นหาวงโคจรต้องใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและสามารถทำได้เฉพาะกับระบบไดนามิกบางประเภทเท่านั้น^{[ 10 ]}วิธีการเชิงตัวเลขที่นำมาใช้กับเครื่องคำนวณอิเล็กทรอนิกส์ได้ทำให้การกำหนดวงโคจรของระบบไดนามิกง่ายขึ้น^{[ 11 ]}

สำหรับระบบพลวัตแบบง่าย การทราบวิถีการเคลื่อนที่มักจะเพียงพอ แต่ระบบพลวัตส่วนใหญ่มีความซับซ้อนเกินกว่าจะเข้าใจได้โดยพิจารณาจากวิถีการเคลื่อนที่แต่ละจุด ความยากลำบากเกิดขึ้นเนื่องจาก:

• ระบบที่ศึกษาอาจทราบได้เพียงโดยประมาณเท่านั้น—พารามิเตอร์ของระบบอาจไม่เป็นที่ทราบอย่างแม่นยำ หรืออาจมีบางเทอมที่ขาดหายไปจากสมการ การประมาณค่าที่ใช้ทำให้เกิดข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องหรือความเกี่ยวข้องของวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข เพื่อแก้ไขปัญหาเหล่านี้ จึงมีการนำแนวคิดเรื่องเสถียรภาพหลายประการมาใช้ในการศึกษาระบบพลวัต เช่นเสถียรภาพของ Lyapunovหรือเสถียรภาพเชิงโครงสร้างเสถียรภาพของระบบพลวัตหมายความว่ามีแบบจำลองหรือเงื่อนไขเริ่มต้นบางประเภทที่วิถีโคจรจะเทียบเท่ากัน การดำเนินการเปรียบเทียบวงโคจรเพื่อสร้างความเท่าเทียม กัน จะเปลี่ยนแปลงไปตามแนวคิดเรื่องเสถียรภาพที่แตกต่างกัน^{[ 1 ] : ภาคผนวก 1.1}
• ประเภทของวิถีการเคลื่อนที่อาจมีความสำคัญมากกว่าวิถีการเคลื่อนที่เฉพาะเจาะจงเพียงวิถีเดียว วิถีการเคลื่อนที่บางอย่างอาจเป็นแบบคาบ ในขณะที่บางอย่างอาจเคลื่อนที่ไปมาระหว่างสถานะต่างๆ ของระบบ การใช้งานมักต้องการการแจงนับคลาสเหล่านี้หรือการรักษาระบบให้อยู่ในคลาสเดียว การจำแนกวิถีการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดนำไปสู่การศึกษาเชิงคุณภาพของระบบพลวัต นั่นคือ คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงพิกัดระบบพลวัตเชิงเส้นและระบบที่มีตัวเลขสองตัวที่อธิบายสถานะเป็นตัวอย่างของระบบพลวัตที่เข้าใจคลาสที่เป็นไปได้ของวงโคจร^{[ 12 ]}
• พฤติกรรมของวิถีการเคลื่อนที่ตามฟังก์ชันของพารามิเตอร์อาจเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการใช้งาน เมื่อพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลง ระบบไดนามิกอาจมีจุดแยกสาขาที่พฤติกรรมเชิงคุณภาพของระบบไดนามิกเปลี่ยนแปลงไป ตัวอย่างเช่น อาจเปลี่ยนจากการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบอย่างเดียวไปเป็นพฤติกรรมที่ดูเหมือนไม่แน่นอน เช่นเดียวกับการ เปลี่ยนไปสู่ความปั่นป่วน ของของเหลว^{[ 13 ]}
• วิถีการเคลื่อนที่ของระบบอาจดูผิดปกติราวกับสุ่ม ในกรณีเหล่านี้ อาจจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้วิถีการเคลื่อนที่ที่ยาวมากหนึ่งเส้นหรือวิถีการเคลื่อนที่ที่แตกต่างกันหลายเส้น ค่าเฉลี่ยได้รับการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับระบบเออร์โกดิกและความเข้าใจที่ละเอียดมากขึ้นได้รับการพัฒนาสำหรับระบบไฮเปอร์โบลิกการทำความเข้าใจด้านความน่าจะเป็นของระบบพลวัตได้ช่วยสร้างรากฐานของกลศาสตร์สถิติและความโกลาหล^{[ 14 ]}

ตัวอย่างง่ายๆ ได้แก่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาการไหลของน้ำในท่อการเคลื่อนที่แบบสุ่มของอนุภาคในอากาศและจำนวนปลาในทะเลสาบในช่วงฤดูใบไม้ผลิแต่ละปี

• 
  ปัญหาวัตถุสามชิ้น : วิถีการเคลื่อนที่โดยประมาณของวัตถุสามชิ้นที่เหมือนกัน ซึ่งตั้งอยู่ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า และมีความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์
• 
  แผนที่แมวของอาร์โนลด์ : ภาพแสดงให้เห็นว่าแผนที่เชิงเส้นขยายสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยอย่างไร และชิ้นส่วนต่างๆ ถูกจัดเรียงใหม่เมื่อ ทำการดำเนิน การโมดูลัสเส้นที่มีลูกศรแสดงทิศทางการหดตัวและการขยายตัวของปริภูมิไอเกน
• 
  แผนที่ของเบเกอร์ : ตัวอย่างของการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของแผนที่ของเบเกอร์ (ที่ไม่ได้หมุน): การวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงการใช้แผนที่ของเบเกอร์กับภาพนี้จะให้ผลลัพธ์เป็นภาพที่เหมือนเดิมทุกประการ
• 
  บิลเลียด : อนุภาคที่เคลื่อนที่อยู่ภายในสนามกีฬาบุนิโมวิช ซึ่งเป็นสนามบิลเลียดไร้ระเบียบที่มีชื่อเสียง
• 
  บิลเลียดนอก : กำหนดโดยสัมพันธ์กับรูปห้าเหลี่ยม
• 
  พลศาสตร์ของลูกบอลที่กระดอน : การเคลื่อนที่ไม่ได้เป็นรูปทรงพาราโบลา อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากแรงต้านอากาศ
• 
  แผนภาพการแยกสาขาสำหรับแผนที่วงกลมบริเวณสีดำสอดคล้องกับลิ้นของอาร์โนลด์
• 
  การประยุกต์ใช้พหุนามกำลังสองเชิงซ้อนแบบเรียก ซ้ำ เป็นแผนที่ระนาบเชิงซ้อนทำให้เกิดระบบพลวัตขึ้น ในที่นี้มีระนาบพลวัตที่มีเซตจูเลียและวงโคจรวิกฤต
• 
  การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มคู่แบบผสม (จากการคำนวณเชิงตัวเลขของสมการการเคลื่อนที่)
• 
  พล็อต การแปลงไดอะดิกxyโดยที่x  =  x ₀  ∈ [0, 1] เป็นจำนวนตรรกยะและy  =  x _nสำหรับทุก  n
• 
  ตัวดึงดูดลอเรนซ์เกิดขึ้นในการศึกษาออสซิลเลเตอร์ลอเรนซ์ซึ่งเป็นระบบพลวัต
• 
  ตัวอย่างของกระแสน้ำวนคาร์มัน (Kármán vortex street ) ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นใหม่จากพลศาสตร์ของไหล
• 
  ระบบ คิกโรเตอร์ (Kicked Rotor)ซึ่งเป็นระบบอลวนที่มีชื่อเสียง
• 
  ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์วงโคจรในวงแหวนของดาวเสาร์
• 
  การหมุนอย่างอลหม่านของไฮเปอเรียนระบบสุริยะโดยรวมเต็มไปด้วยตัวอย่างของระบบพลวัตจากกลศาสตร์ท้องฟ้า

ตัวอย่างคลาสสิกอื่นๆ ได้แก่:

แผนที่ทางคณิตศาสตร์ใดๆก็สามารถนำมาใช้เป็นนิยามของระบบพลวัตได้ ตัวอย่างเช่น:

หลายคนถือว่าอองรี ปวงกาเร นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นผู้ก่อตั้งระบบพลวัต^{[ 15 ]}ปวงกาเรตีพิมพ์เอกสารทางวิชาการคลาสสิกสองฉบับ ได้แก่ "วิธีการใหม่ของกลศาสตร์ท้องฟ้า" (พ.ศ. 2435–2442) และ "การบรรยายเกี่ยวกับกลศาสตร์ท้องฟ้า" (พ.ศ. 2448–2453) ในเอกสารเหล่านี้ เขาได้นำผลการวิจัยไปประยุกต์ใช้กับปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุสามชิ้น และศึกษาพฤติกรรมของคำตอบโดยละเอียด (ความถี่ เสถียรภาพ เชิงเส้นกำกับ และอื่นๆ) เอกสารเหล่านี้รวมถึงทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเรซึ่งระบุว่าระบบบางระบบจะกลับคืนสู่สถานะที่ใกล้เคียงกับสถานะเริ่มต้นหลังจากช่วงเวลาที่ยาวนานพอสมควรแต่จำกัด^{[ 1 ] : ภาคผนวก 1.1.1}

อเล็กซานเดอร์ เลียปูนอฟได้พัฒนาวิธีการประมาณค่าที่สำคัญหลายวิธี วิธีการของเขาซึ่งเขาพัฒนาขึ้นในปี พ.ศ. 2342 ทำให้สามารถกำหนดเสถียรภาพของชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญได้ เขาสร้างทฤษฎีสมัยใหม่เกี่ยวกับเสถียรภาพของระบบพลวัต^{[ 1 ] : ภาคผนวก 1.1}

ในปี พ.ศ. 2456 George David Birkhoff ได้พิสูจน์ " ทฤษฎีบทเรขาคณิตสุดท้าย " ของ Poincaré ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของปัญหาวัตถุสามชิ้นผลลัพธ์นี้ทำให้เขามีชื่อเสียงไปทั่วโลก ในปี พ.ศ. 2460 เขาได้ตีพิมพ์Dynamical Systems ^{[ 16 ]}

ผลงานที่ยั่งยืนที่สุดของ Birkhoff คือการค้นพบทฤษฎีบทเออร์โกดิก ในปี 1931 การผสมผสานความเข้าใจจากฟิสิกส์เกี่ยวกับสมมติฐานเออร์โกดิกกับทฤษฎีการวัด ทฤษฎีบทนี้ได้แก้ปัญหาพื้นฐานของ กลศาสตร์เชิงสถิติอย่างน้อยก็ในทางทฤษฎีทฤษฎีบทเออร์โกดิกยังมีผลกระทบต่อพลศาสตร์อีกด้วย^{[ 1 ] : ภาคผนวก 1.2}

สตีเฟน สเมลก็ได้สร้างความก้าวหน้าอย่างมากเช่นกัน ผลงานชิ้นแรกของเขาคือ " เกือกม้าสเมล"ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการวิจัยที่สำคัญในด้านระบบพลวัต นอกจากนี้เขายังได้ร่างโครงงานวิจัยที่ดำเนินการโดยนักวิจัยคนอื่นๆ อีกมากมาย

Oleksandr Mykolaiovych Sharkovskyได้พัฒนาทฤษฎีบท Sharkovskyเกี่ยวกับคาบของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องในปี 1964 หนึ่งในผลลัพธ์ของทฤษฎีบทนี้คือ หากระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องบนเส้นจำนวนจริงมีจุดคาบที่มีคาบ 3 แล้ว ระบบนั้นจะต้องมีจุดคาบที่มีคาบอื่น ๆ ทุกคาบด้วย^{[ 1 ] : ภาคผนวก 1.4}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 มุมมองระบบพลวัตต่อสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเริ่มได้รับความนิยม วิศวกรเครื่องกลชาวปาเลสไตน์Ali H. Nayfehได้ประยุกต์ใช้พลวัตแบบไม่เชิงเส้นในระบบเครื่องกลและวิศวกรรม^{[ 17 ] งานบุกเบิกของเขาในด้านพลวัต แบบ} ไม่เชิง เส้นประยุกต์มีอิทธิพลต่อการก่อสร้างและการบำรุงรักษาเครื่องจักรและโครงสร้างที่ พบเห็นได้ทั่วไปในชีวิตประจำ วันเช่นเรือเครนสะพานอาคารตึกระฟ้าเครื่องยนต์^เจ็ทเครื่องยนต์จรวดเครื่องบินและยานอวกาศ [ ¹⁸ ]

นิยามที่ครอบคลุมที่สุดนี้ได้รวมเอาแนวคิดหลายอย่างเข้าไว้ด้วยกันในคณิตศาสตร์เช่นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและทฤษฎีเออร์โกดิกฟิสิกส์เช่นปริภูมิเฟสสถานะควอนตัมและสถานะเทอร์โมไดนามิกวิศวกรรมศาสตร์เช่นทฤษฎีระบบทฤษฎีการควบคุมและแม้กระทั่งทฤษฎี สารสนเทศ

จาก มุมมอง ทางคณิตศาสตร์ในกรณีทั่วไปที่สุด พื้นที่สถานะ X จะถูกมองว่าเป็นเซต ทั่วไป ของพีชคณิตนามธรรมพื้นที่ X นี้มี โครงสร้าง เซมิกรุปอยู่บนนั้น (เช่น ที่ต้องการเพียงคุณสมบัติการเชื่อมโยง ) และมักจะมีตัวเลือกที่เป็นธรรมชาติสำหรับ องค์ประกอบ เอกลักษณ์ซึ่งโดยทั่วไปจะแนบกับจุดกำเนิดของกรอบอ้างอิงที่ เลือก เซมิกรุปนี้สามารถตีความได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นพิกัดเวลา t ^{[ 19 ]}ในความเป็นจริง เวลามีการดำเนินการบวกและจุดกำเนิด ซึ่งก็คือเอกลักษณ์ เช่นเดียวกับกลุ่ม การกระทำของเซมิกรุปบน X คือเซตของแผนที่จาก X ไปยังตัวมันเองซึ่งเป็นพารามิเตอร์ในเวลา t และนี่คือวิวัฒนาการของเวลาอย่างเป็นธรรมชาติ^{[ 20 ]}

เป็นไปได้ที่จะอนุญาตให้เลือก พื้นที่ สถานะ ที่แตกต่างกันได้ เช่น พื้นที่ฟังก์ชัน (เช่น ความดัน อุณหภูมิ และความเร็วของก๊าซในจรวดเป็นฟังก์ชันในพื้นที่ของคำตอบของสม การเชิงอนุพันธ์ย่อยพลศาสตร์ของไหลบางอย่าง และอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา) ^{[ 21 ] [ 22 ]}พื้นที่สถานะควอนตัม (เช่น สถานะของอะตอมสามารถอธิบายได้ด้วยชุดของฟังก์ชันในพื้นที่ฮิลเบิร์ตและชุดของความน่าจะ เป็น สำหรับสิ่งเหล่านี้) ^{[ 22 ] [ 23 ]}หรือแมนิโฟลด์ (เช่น สถานะของหลุมดำสามารถอธิบายได้ด้วยเทนเซอร์เมตริกบนแมนิโฟลด์รีมันน์และตำแหน่งของมันจะเป็นเวกเตอร์ในแมนิโฟลด์เดียวกัน) ^{[ 24 ]}ตัวเลือกอื่นๆ อาจเป็นพื้นที่เฟสพื้นที่การกำหนดค่า หรือแม้แต่พื้นที่แบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ชุดของจำนวนเฉพาะหรือฟิลด์จำกัด ) ^{[ 25 ]}

เวลาสามารถสรุปได้ว่าเป็นชุดพารามิเตอร์ต่อเนื่องทั่วไป เช่น พารามิเตอร์ ควบคุมของหุ่นยนต์อาจเป็นแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องให้เวลามีทิศทางเรียบ หรือแม้กระทั่งมีความหมายใดๆ คล้ายกับสัญชาตญาณของเวลาอันที่จริงแล้วสามารถสรุปได้เป็นวัตถุพีชคณิตทั่วไปได้อีกด้วย^{[ 26 ]}

ระบบประเภทหนึ่งที่นิยามขึ้นจากตัวแปรอิสระหลายตัว เรียกว่าระบบหลายมิติระบบเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลอง และตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลภาพ

โดยทั่วไปเวลาถือเป็นพารามิเตอร์ภายนอก เช่นใน กลศาสตร์ คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมและโดยทั่วไปเรียกว่าการแสดงในโดเมนเวลา และมักจะควบคู่ไปกับ การกำหนดสูตร กลศาสตร์แฮมิลโทเนียนนี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป ตัวอย่างเช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เป็นอิสระจาก กรอบอ้างอิง^{[ 27 ]}และแรงโน้มถ่วงก็มีอิทธิพลต่อเวลาเช่นกัน และใน ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์การใช้ การกำหนดสูตร กลศาสตร์ลากรางจ์เป็นเรื่องปกติมากกว่า^{[ 28 ]}ซึ่งเวลาและอวกาศอยู่ในระดับเดียวกัน ในทั้งสองกรณี วรรณกรรมยังคงพูดถึงระบบไดนามิก

เวลาอาจเป็นพารามิเตอร์แบบไม่ต่อเนื่องได้เช่นกัน เมื่อเวลาถูกทำให้เป็นแบบทั่วไปในกรณีหลายมิติ เช่น เป็นชุดทั่วไปของพารามิเตอร์ควบคุมหรือพารามิเตอร์ภายนอก พื้นที่นี้สามารถตีความได้ว่าเป็นแลตทิซเช่น จุดแบบไม่ต่อเนื่องของแมนิโฟลด์หรือติ๊กของราคาหุ้น [ ^{29 ] ดังนั้น}เหตุการณ์เวลาแบบไม่ต่อเนื่องจึงสามารถนับได้ด้วยจำนวนเต็ม เช่น การวัดตำแหน่งของดาวเคราะห์บนท้องฟ้า แต่สิ่งนี้อาจแตกต่างอย่างมากจากสัญชาตญาณของเวลาในฐานะนาฬิกาที่มีเหตุการณ์เวลาที่เว้นระยะห่างเท่ากัน งานอย่างหนึ่งโดยทั่วไปคือการดึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์บางอย่างจากข้อมูล^{[ 30 ]}

กฎวิวัฒนาการของระบบพลวัตคือฟังก์ชันที่อธิบายว่าสถานะในอนาคตใดเกิดขึ้นจากสถานะปัจจุบัน บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบกำหนดได้กล่าวคือ สำหรับช่วงเวลาที่กำหนด จะมีสถานะในอนาคตเพียงสถานะเดียวเท่านั้นที่เกิดขึ้นจากสถานะปัจจุบัน^{[ 31 ] [ 32 ]}อย่างไรก็ตาม บางระบบไม่ใช่แบบกำหนดได้อาจอนุญาตให้มีสถานะในอนาคตได้หลายสถานะ (กล่าวคือ แผนที่ถูกทำให้เป็นแบบทั่วไปในฟังก์ชันหลายค่าและไม่ได้กำหนดไว้อย่างเฉพาะเจาะจงทุกที่) และระบบอาจเกิดการแยกสาขาได้

บางระบบยังเป็นแบบสุ่มไม่ว่าจะเป็นในพารามิเตอร์อินพุต เช่นออสซิลเลเตอร์ที่มีแรงสุ่มหรือในเงื่อนไขเริ่มต้น หรือในตัวแปรที่คาดการณ์ไว้ เช่น ในสมการเชิงอนุพันธ์แบบสุ่มเนื่องจากเหตุการณ์สุ่มยังส่งผลต่อวิวัฒนาการของตัวแปรสถานะ และรวมถึงกระบวนการกระโดด แบบสุ่ม ซึ่งไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างต้นแบบของระบบพลวัตแบบสุ่มคือราคาหุ้น^{[ 33 ]}

สุดท้ายนี้ยังมีระบบอลวน (กล่าวคือ โดยทั่วไปเป็นระบบที่กำหนดได้ แต่ไม่สามารถคาดเดาได้) เช่น:

• พลวัตที่ซับซ้อน
• พลศาสตร์ไฮเปอร์โบลิก
• ความโกลาหลแบบทวีคูณ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}
• ความโกลาหลที่ไม่แน่นอน^{[ 38 ] [ 39 ]}

และ ระบบควอนตัม (เช่น กำหนดได้จนกว่าจะมีการวัด) หรือ ระบบควอนตัมโกลาหล^{[ 1 ]}

สมมติว่า X เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า โดยมีสมาชิกเรียกว่าสถานะ และสมมติว่ามีการแปลงทั่วไปดังนี้: $${\displaystyle T:X\to X}$$

สามารถตีความ X เป็นปริภูมิสถานะและ T เป็นวิวัฒนาการระหว่างสถานะได้^{[ 40 ]}การเพิ่มโครงสร้างที่แตกต่างกันบน T และบน X ช่วยให้สามารถจำลองคุณสมบัติที่แตกต่างกันของระบบไดนามิกได้

เป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการของเวลา: โดยอาจเป็นเซมิกรุปที่มีพารามิเตอร์หนึ่งตัว เรียกว่าเวลาซึ่งจะอยู่ในเซมิกรุปเช่นกัน เช่นในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง และในกรณีเวลาต่อเนื่อง ${\displaystyle {\hat {T}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle N(t>0)}$${\displaystyle R^{+}(t>0)}$

โครงสร้างเซมิกรุปนำเสนอการเชื่อมโยง ซึ่งหมายถึงกฎการประกอบระหว่างวิวัฒนาการเวลาที่แตกต่างกัน: ^{[ 41 ]} ซึ่งในที่สุดก็เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเช่น กัน$${\displaystyle {\hat {T_{1}}}({\hat {T_{2}}}{\hat {T_{3}}})=({\hat {T_{1}}}{\hat {T_{2}}}){\hat {T_{3}}}}$$$${\displaystyle {\hat {T}}(t_{1}+t_{2})={\hat {T}}(t_{1}){\hat {T}}(t_{2})}$$

เป็นไปได้ที่จะกำหนดจุดกำเนิดของเวลาโดยการเพิ่มเอกลักษณ์ให้กับเซมิกรุป และในที่สุดก็เป็นไปได้ที่จะสร้างแบบจำลองวิวัฒนาการของเวลาที่ย้อนกลับได้: T สามารถเป็นกลุ่มเช่นหรือและเนื่องจากเป็นกลุ่มจึงมีคำจำกัดความของการแปลงผกผัน: ^{[ 42 ]}${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle {\hat {T}}(0)=\mathbf {1} }$$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \exists !{\hat {T}}^{-1}:{\hat {T}}^{-1}={\hat {T}}(-t),{\hat {T}}(-t){\hat {T}}(t)=\mathbf {1} }$$

โดยทั่วไปแล้ว ระบบพลวัตจะมีนิยามอยู่หลายประเภท: ประเภทแรกได้รับแรงบันดาลใจจากสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและมีลักษณะทางเรขาคณิต โดยมี โครงสร้าง ความสามารถในการหาอนุพันธ์ เพิ่มเติม ประเภทที่สองได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีเออร์โกดิกและมี ลักษณะ ทางทฤษฎีการวัดโดยมี โครงสร้าง ทางโทโพโลยี เพิ่มเติม และประเภทสุดท้ายได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีหมวดหมู่และมีลักษณะที่ เป็นนามธรรม มากกว่า

ในนิยามทางเรขาคณิต ระบบไดนามิกคือทูเปิลคือโดเมนสำหรับเวลา – มีตัวเลือกมากมาย โดยปกติจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจำกัดให้เป็นค่าที่ไม่เป็นลบคือแมนิโฟลด์และโดยทั่วไป แต่ไม่เสมอไปfคือกฎวิวัฒนาการt  →  f ^t (โดยที่) ซึ่งf  ^tเป็นดิฟเฟโอโมฟิซึมของแมนิโฟลด์ไปยังตัวมันเอง^{[ 43 ]}${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$

โดยทั่วไปแล้วจะมีโครงสร้างเสริมบางอย่างอยู่บนท่อร่วมไอดี:

1. เพื่อให้เป็นปริภูมิบานาค ในระดับท้องถิ่น จึงทำให้สามารถใช้เทคนิคมาตรฐานของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันได้
2. โครงสร้าง เชิงซิมเพล็กติกซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของปริภูมิเฟส
3. ปริภูมิยูคลิด เช่น ปริภูมิการกำหนดค่า อันเนื่องมาจากข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิก
4. โครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องเช่นกราฟ
5. ชุดของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเช่นการแปลงพิกัด
6. เมตริกเทนเซอร์เช่นเดียวกับในแมนิโฟลด์รีมันน์

ระบบไดนามิกจริงระบบไดนามิกแบบเรียลไทม์ระบบไดนามิกแบบต่อเนื่องหรือการไหลคือทูเปิล ( T , M , Φ) โดยที่Tเป็นช่วงเปิดในจำนวนจริงR , Mเป็นแมนิโฟลด์ที่โดยทั่วไปแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิก เฉพาะที่ กับปริภูมิบานาคและ Φ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง^{[ 44 ]}

การที่โฮโมมอร์ฟิกในระดับท้องถิ่นกับปริภูมิบานาคทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบทของการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 45 ]}และตัวดำเนินการเชิงเส้น^{[ 46 ]}ได้ และสิ่งนี้ทำให้คล้ายคลึงกับคำจำกัดความแบบคลาสสิกที่อิงตามระบบสมการเชิงอนุพันธ์

ถ้า Φ สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องระบบจะเรียกว่าระบบไดนามิกที่หาอนุพันธ์ได้ ดังนั้น ฟังก์ชันfจึงเป็นการแมปแบบ "เรียบ" ของโดเมนเวลาไปยังพื้นที่ของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของแมนิโฟลด์ไปยังตัวมันเอง กล่าวอีกนัยหนึ่งf ( t ) คือการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับทุกเวลาtในโดเมน แมนิโฟลด์M โดยทั่วไปแล้วจะเป็นการแปลงแบบดิ ฟเฟอเรนเชียลเฉพาะที่กับพื้นที่ Banach ^{[ 47 ]}${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

ถ้าแมนิโฟลด์Mมีลักษณะเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกเฉพาะที่กับR ⁿระบบไดนามิกจะมีมิติจำกัดถ้าไม่เช่นนั้น ระบบไดนามิกจะมีมิติอนันต์^{[ 48 ]}

เมื่อ กำหนดให้ Tเป็นจำนวนจริง ระบบพลวัตจะเรียกว่าระบบทั่วโลกหรือโฟลว์และถ้าจำกัดT ให้เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ระบบพลวัตนั้นจะเรียกว่า เซมิโฟลว์

นิยามทางเรขาคณิตสมัยใหม่ตั้งอยู่บนสมมติฐานของแผนที่ที่ให้คำอธิบายที่ชัดเจนของระบบพลวัต ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีเออร์โก ดิก สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายที่ชัดเจนมักไม่สามารถทำได้ นิยามทางเรขาคณิตแบบคลาสสิกจึงเป็นแบบแฝง มีรากฐานมาจากกลศาสตร์คลาสสิก และอิงตามชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ มาตรฐาน และชุดตัวแปรอิสระที่ มีจำนวนจำกัด

 สถานะการเคลื่อนที่ทั้งหมดสามารถกำหนดให้มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจุด P บนแมนิโฟลด์ปิด n มิติ M ได้ ในลักษณะที่ว่าสำหรับพิกัดที่เหมาะสม สมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่สามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=u_{i}(x_{1},...,x_{n},t);(i=1,...,n)}$$ อาจมีเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่แตกต่างกันสำหรับฟังก์ชันเช่น การหาอนุพันธ์หรือการวิเคราะห์^{[ 49 ]}${\displaystyle u_{i}}$

นิยามนี้บ่งชี้ถึงการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการดังกล่าว

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดนิยามทางเรขาคณิตโดยใช้หลักการแปรผันได้ อีกด้วย :

 ให้ M เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ TM เป็นมัดสัมผัส ของแมนิโฟล ด์และเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แผนที่เรียกว่าการเคลื่อนที่ในระบบลากรางจ์ โดยมีแมนิโฟลด์ การกำหนดค่า M และลากรางจ์ L ถ้าเป็นค่าสุดขีดของฟังก์ชัน: ${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \Phi (\gamma )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\gamma ,{\dot {\gamma }})dt}$$ ซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์ความเร็ว^{[ 51 ]}${\displaystyle {\dot {\gamma }}\in TM_{\gamma (t)}}$

นอกเหนือจาก Lagrangian แล้ว ยังสามารถใช้ สูตร Hamiltonianซึ่งรวมถึง โครงสร้าง SymplecticหรือPoisson manifoldบนพื้นที่เฟสได้อีก ด้วย ^{[ 52 ]}

เพื่อให้ครบถ้วนสมบูรณ์ ยังมีระบบที่ไม่ใช่ระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โดยทั่วไป เช่นระบบที่สูญเสียพลังงาน ระบบที่ไม่เป็นไปตาม ข้อจำกัดทางกลศาสตร์ และระบบที่มี โครงสร้าง แมนิโฟลด์สัมผัสตัวอย่างเช่น ระบบที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบไม่มีการลื่นไถล (กล่าวคือ มีข้อจำกัดบางอย่างเกี่ยวกับความเร็วที่ขอบเขต)

ระบบประเภทสำคัญจากมุมมองทางคณิตศาสตร์คือเมื่อแผนที่เป็นพีชคณิตหรือโดยทั่วไปเมื่อแผนที่ถูกกำหนดโดยปริยายด้วยชุดสมการพีชคณิตและแมนิโฟลด์ถูกกำหนดในอุดมคติบนฟิลด์ทั่วไป^{[ 53 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

ระบบไดนามิกแบบเวลาไม่ต่อเนื่องคือทูเปิล ( T , M , Φ) โดยที่Mเป็นแมนิโฟลด์ที่มีลักษณะดิฟเฟโอเมอร์ฟิกเฉพาะที่กับปริภูมิบานาคและ Φ เป็นฟังก์ชันTสามารถเลือกให้เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบได้ แมนิโฟลด์เองอาจเป็นกราฟหรือทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ด้วย โทโพโล ยีแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 54 ]}

ระบบพลวัตอาจถูกนิยามอย่างเป็นทางการเป็นสามสิ่ง ( T , , Φ) โดยที่ Φ เป็นการแปลงที่รักษาการวัดของปริภูมิการวัดและ Φ ยังเป็นการกระทำของเซมิกรุป T ในกรณีทั่วไปอีกด้วย ในที่นี้ปริภูมิการวัดถูกนิยามโดยสามสิ่ง ( X , Σ, μ ) โดยที่Xเป็นเซต Σ เป็นซิกมาแอลจีบรา บนXและ μ เป็นการวัด แบบจำกัด บนปริภูมิที่วัดได้ ( X , Σ) บ่อยครั้งที่เป็นปริภูมิความน่าจะเป็น กล่าวคือปริภูมิการวัด ที่การวัดทั้งหมดของปริภูมิทั้งหมดเป็น 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีการวัด ความ น่าจะเป็นแบบจำกัดและปกติ^{[ 55 ] [ 56 ]}${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

กล่าวได้ว่าฟังก์ชัน Φ: X → X สามารถวัดได้ด้วย Σก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก σ ใน Σ จะมีฟังก์ชัน Φ จะรักษาการวัดได้ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกσใน Σ จะมีเมื่อรวมคุณสมบัติข้างต้นเข้าด้วยกัน ฟังก์ชัน Φ จะเรียกว่าเป็นการแปลงที่รักษาการวัดของXถ้ามันเป็นฟังก์ชันจากXไปยังตัวมันเอง สามารถวัดได้ด้วย Σ และรักษาการวัดได้ ${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$${\displaystyle \mu (\พี ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

สามสิ่ง ( T , , Φ) โดยมี ( X , Σ, μ ) สำหรับ Φ ดังกล่าว จะถูกกำหนดให้เป็น^ระบบไดนามิกที่รักษาการวัด [ ^{57 ] [ 58 ]}${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}=}$

มีหลักเกณฑ์สองข้อสำหรับการกำหนดความหมายของแผนที่:

1. ฟิสิกส์และข้อตกลงเวลาต่อเนื่อง: แผนที่ Φ แสดงถึงวิวัฒนาการเวลาของระบบไดนามิก สามารถตีความได้สำหรับวิวัฒนาการเวลาแบบไม่ต่อเนื่องเป็น Φ= ที่กำหนดพารามิเตอร์โดยหรือสำหรับวิวัฒนาการเวลาต่อเนื่องเป็น Φ= โดยที่ในกรณีทั่วไป แผนที่แต่ละอันจะแตกต่างกัน สมมติเวลาเริ่มต้นและเวกเตอร์สถานะแผนที่สามารถมองได้ว่าเป็นแผนที่การแปลเวลา[ ^{59 ] ใน}กรณีไม่ต่อเนื่อง หมายความว่าแผนที่ทั้งหมดสามารถมองได้ว่าเป็นการประกอบกันของแผนที่แต่ละอัน^{[ 60 ]}ข้อตกลงนี้ยังเกี่ยวข้องกับการศึกษาจุดลิมิตและลำดับโคชีด้วย${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \Phi _{t}}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle {\vec {\mathbb {x} }}(t)\in X}$${\displaystyle {\vec {\mathbb {x} }}(t+t_{0})={\hat {\Phi }}(t)[{\vec {\mathbb {x} }}(t_{0})]}$${\displaystyle {\hat {\Phi }__{n}=\Phi _{n}\circ \Phi _{n-1}\circ \dots \circ \Phi _{1}\circ \Phi _{0}}$
2. คณิตศาสตร์และข้อตกลงแบบไม่ต่อเนื่อง: แผนที่ทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นการเปลี่ยนแปลงสถานะจากช่วงเวลาหนึ่งไปยังช่วงเวลาถัดไป กล่าวคือจากหรือในกรณีต่อเนื่องจากแผนที่เหล่านี้เป็นแผนที่เดียวกันสำหรับทุกช่วงเวลาซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นการวนซ้ำบนแผนที่ข้อตกลงนี้ยังเกี่ยวข้องกับการศึกษาจุดตรึงและการเรียกซ้ำด้วย${\displaystyle t_{n}\to t_{n+1}}$${\displaystyle t\to t+\delta t}$${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{n}:x\in X,x_{n}\to x_{n+1}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle {\hat {\Phi }__{n}=\Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi }$

ในภาษาของทฤษฎีการแทน : วิวัฒนาการของเวลาในปริภูมิสถานะ X คือการแทนแบบเหนี่ยวนำของการแปลเวลาในเซมิกรุป T และแผนที่ Φ คือการกระทำของกลุ่มที่เหนี่ยวนำการแทนบน X ^{[ 61 ]}กล่าวคือมีโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเวลา T และปริภูมิสถานะ X โดยที่ในภาษาของกลศาสตร์ควอนตัมตัว สร้างอนันต์เล็กของการแปลเวลาคืออนุพันธ์ในเวลาและยังเป็นตัวดำเนินการวิวัฒนาการของเวลาอีกด้วย^{[ 62 ]}${\displaystyle T(t_{0}+t)=T(t)\circ T(t_{0})}$${\displaystyle t\to t+\delta t}$${\displaystyle {\partial }_{t}}$

1. การเรียงสับเปลี่ยน
2. การกระทำของกลุ่ม
3. แผนการของเบอร์นูลลี

^{[ 63 ]}

นิยามเชิงทฤษฎีของการวัดนั้นถือว่ามีการแปลงที่รักษาการวัดไว้ ในศัพท์ทางฟิสิกส์ การวัดคือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเหนือปริภูมิเฟสสัญชาตญาณมาจากระบบแฮมิลโทเนียนซึ่ง รักษา ปริมาตรไว้ ข้อเท็จจริงที่ว่าพลังงานเป็นปริพันธ์ของการเคลื่อนที่ทำให้เกิดการอนุรักษ์ปริมาตรในปริภูมิเฟส หรือการไหล ที่ไม่สามารถอัดได้ ^{[ 64 ]}ปริพันธ์ของการเคลื่อนที่เพิ่มเติมทำให้เกิดการแบ่งย่อยเพิ่มเติมในปริภูมิเฟส สัญชาตญาณอีกอย่างหนึ่งมาจากการเรียงสับเปลี่ยนซึ่ง "ไม่สามารถอัดได้" เราสามารถตีความเซตของการเรียงสับเปลี่ยน ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของเซต^{[ 65 ]}ว่าเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิ ซึม ที่ เกิดจากการอนุรักษ์จำนวนองค์ประกอบของเซต^{[ 66 ] [ 67 ]}

มาตรการคงที่ที่แตกต่างกันหลายอย่างสามารถเชื่อมโยงกับกฎวิวัฒนาการหนึ่งข้อได้ ในลักษณะเดียวกับที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นหลายค่าสามารถเหนี่ยวนำให้เกิดสถานะมหภาค เดียวกัน ได้ หากระบบพลวัตถูกกำหนดโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์ มาตรการที่เหมาะสมจะต้องถูกกำหนด ความสมมาตรไม่ได้ชัดเจน และอาจไม่สามารถกำหนดมาตรการความน่าจะเป็นได้ในบางกรณีที่ผิดปกติ สิ่งนี้ทำให้การพัฒนาทฤษฎีเออร์โกดิกโดยเริ่มจากสมการเชิงอนุพันธ์เป็นเรื่องยาก ดังนั้นจึงสะดวกที่จะมีคำจำกัดความที่ได้รับแรงบันดาลใจจากระบบพลวัตภายในทฤษฎีเออร์โกดิกที่หลีกเลี่ยงการเลือกมาตรการ^{[ 68 ]}และถือว่าได้มีการเลือกแล้ว

โดยไม่เป็นทางการและโดยอาศัยการอนุมานจากมุมมองของทฤษฎีบทเออร์โกดิกค่าเฉลี่ยของเวลาจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของพื้นที่ / ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างในที่สุด[ 69 ]ค่าเฉลี่ยของเวลาจะเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ซึ่งสอดคล้องกับสมมาตรเนื่องจากทฤษฎีบทโนเธอร์และในที่สุดสมมาตรจะสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยของพื้นที่[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]

การสร้างแบบง่ายๆ (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบท Krylov–Bogolyubov ) แสดงให้เห็นว่าสำหรับระบบจำนวนมาก สามารถสร้างการวัดเพื่อให้กฎวิวัฒนาการของระบบไดนามิกเป็นการแปลงที่รักษาการวัดได้เสมอ ในการ สร้าง การวัดที่กำหนดของปริภูมิสถานะจะถูกรวมเข้าด้วยกันสำหรับจุดในอนาคตทั้งหมดของวิถี ทำให้มั่นใจถึงความไม่แปรเปลี่ยน^{[ 73 ]}

บางระบบมีมาตรวัดตามธรรมชาติ เช่นมาตรวัด Liouvilleในระบบแฮมิลโทเนียนซึ่งถูกเลือกเหนือมาตรวัดคงที่อื่นๆ เช่น มาตรวัดที่รองรับบนวงโคจรคาบของระบบแฮมิลโทเนียน สำหรับระบบที่วุ่นวายและมีการสูญเสียพลังงานการเลือกมาตรวัดคงที่นั้นมีความท้าทายทางเทคนิคมากกว่า มาตรวัดนั้นจำเป็นต้องรองรับบนตัวดึงดูดแต่ตัวดึงดูดมีมาตรวัด Lebesgue เป็นศูนย์ และมาตรวัดคงที่ต้องเป็นเอกลักษณ์^{[ 74 ]}เมื่อเทียบกับมาตรวัด Lebesgueสำหรับระบบที่มีการสูญเสียพลังงาน โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่เฟสขนาดเล็กจะหดตัวลงภายใต้การวิวัฒนาการของเวลา^{[ 75 ]}สำหรับระบบที่วุ่นวายพื้นที่เฟสขนาดเล็กมักจะเติบโตและขยายออกไปอย่างน้อยจนถึงพื้นที่เฟสที่มีขอบเขตจำกัด

โดยทั่วไป แล้วการกระจายตัวแบบฮิวริสติกมีผลตรงกันข้ามกับความโกลาหลมันมีแนวโน้มที่จะลดทอนและจำกัดการเคลื่อนที่โดยทั่วไป แต่ยังลดทอนความปั่นป่วนและความโกลาหลด้วย การขยายไปยังบริเวณที่จำกัดของปริภูมิเฟสหมายถึงการไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นระบอบเออร์โกดิกมีแนวโน้มที่จะเติบโตและครอบคลุมบริเวณที่จำกัดของปริภูมิเฟส ทั้งหมด กล่าวคือมี วงโคจรคาบที่หนาแน่น และระบอบโกลาหลยังมีการส่งผ่านทางโทโพโลยี ด้วย [ 76 ]

สำหรับระบบพลวัตแบบไฮเปอร์โบลิกมาตรวัดไซนาย-รูเอล-โบเวนดูเหมือนจะเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุด มาตรวัดเหล่านี้สร้างขึ้นบนโครงสร้างทางเรขาคณิตของแมนิโฟลด์เสถียรและไม่เสถียรของระบบพลวัต มีพฤติกรรมทางกายภาพภายใต้การรบกวนเล็กน้อย และสามารถอธิบายสถิติที่สังเกตได้มากมายของระบบไฮเปอร์โบลิก

ระบบไดนามิกเชิงโทโพโลยีคือระบบไดนามิก ( T , X , Φ) บน ปริภูมิโทโพโลยี X ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่และ/หรือ เฮาส์ดอร์ฟ [ ^{77 ] [ 78 ] [ 79 ] T}เป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงโทโพโลยีและ ดังนั้นจึงเป็นโฮมีโอมอร์ฟิซึม^{[ 80 ]}

พลศาสตร์เชิงทอพอโลยีมักทำจาก มุมมอง แบบองค์ รวม กล่าว คือ พิจารณาเงื่อนไขเริ่มต้นและผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (เช่นจุดสมดุลวง โคจร คาบจุดดึงดูดหรือความโกลาหล ) สถิติและการจัดกลุ่มของวิถีโคจร พฤติกรรมระยะยาวของระบบ และโฮโมมอร์ฟิซึม (เช่น การเปลี่ยนแปลงรูปทรงอย่างต่อเนื่อง) ของวิถีโคจร โดยทั่วไปวิถีโคจรสามารถหาอนุพันธ์ได้และระบบก็เป็นการไหลด้วย

เทคนิคเหล่านี้มักมี ลักษณะ ทางทอพอโลยีและเสริมกับพลศาสตร์เชิงเออร์โกดิก สมมาตรและปริพันธ์ของการเคลื่อนที่ผ่านทฤษฎีบทของโนเธอร์ตัวอย่างเช่น หนึ่งในเป้าหมายของพลศาสตร์เชิงทอพอโลยีคือการจำแนกชั้นสมมูลเชิงทอพอโล ยี การจัดกลุ่มประเภทของการเคลื่อนที่โดยสัมพันธ์กับชั้นสมมูลของโฮมีโอเมอร์ฟิ ซึม หนึ่งในเป้าหมายของทฤษฎีเออร์โกดิกคือการแยกส่วนเชิงเออร์โกดิก หนึ่งในเป้าหมายของสมมาตร คือการจำแนก ชั้นสมมูลกลุ่มทั้งหมดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมและ ระบบที่สามารถ หาปริพันธ์ได้คือระบบที่ สามารถหา ปริพันธ์ของการเคลื่อนที่ทั้งหมดได้และทราบค่าแล้ว 

การศึกษาการขยายต่อเนื่อง Φ* ของ Φ ไปสู่ การกระชับจุดเดียวX*ของXมักมีประโยชน์แม้หลังจากสูญเสียโครงสร้างเชิงอนุพันธ์ของระบบดั้งเดิมไปแล้ว ก็ยังมีข้อโต้แย้งเรื่องความกระชับเพื่อวิเคราะห์ระบบใหม่ ( R , X* , Φ*) ซึ่งคล้ายคลึงกับเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟที่จุดลิมิตทั้งหมดไปยังอนันต์เป็นจุดเดียวกัน อีกเทคนิคหนึ่งที่ทั่วไปกว่าคือการใช้การกระชับ Stone–Čech [ ^{81 ] [ 82 ] [ 83 ] ซึ่ง}คล้ายคลึงกับเรขาคณิตเชิงเส้นตรงที่จุดลิมิตทั้งหมดที่อนันต์ถือว่าแตกต่างกัน

ในระบบพลวัตแบบกะทัดรัดเซตลิมิตของวงโคจรใดๆ จะต้องไม่ว่างเปล่ากะทัดรัดและ เชื่อมต่อ กัน อย่างง่าย

ยกตัวอย่างเช่น ในระบบพลวัตเชิงทอพอโลยี วงโคจรจำกัดของตัวดึงดูดจะอยู่ภายในแมนิโฟลด์เอง นี่เป็นข้อความที่ไม่ธรรมดาด้วยเหตุผลหลายประการ: วงโคจรจำกัดอาจไม่สามารถเข้าถึงได้เลย; วงโคจรจำกัดอาจมีค่าการวัดเลเบสเป็นศูนย์; การกำหนดความน่าจะเป็นให้กับวงโคจรจำกัดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย; ตัวดึงดูดอาจมีวงโคจรจำกัดหลายวง และความแตกต่างระหว่างการบีอัด แบบต่างๆ อาจมีความสำคัญ 

หมวดหมู่ X ของวัตถุทางคณิตศาสตร์มีเซมิกรุป G ของโฮโมมอร์ฟิซึมที่กระทำบนมัน (ปริภูมิเชิงทอพอโลยีมีแผนที่ต่อเนื่อง เซตมีแผนที่ตามอำเภอใจ กลุ่ม วงแหวน ฟิลด์ หรือพีชคณิตมีโฮโมมอร์ฟิซึม ปริภูมิการวัดมีแผนที่ที่วัดได้) เราสามารถมองแต่ละหมวดหมู่เหล่านี้เป็นระบบพลวัตได้ เราอาจรวมหมวดหมู่ของระบบพลวัตที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่เหมาะสมเข้าไปด้วยก็ได้ แต่มุมมองนี้เองก็ไม่ได้มีประโยชน์มากนัก^{[ 84 ]}

ในบริบทของทฤษฎีหมวดหมู่ หมวดหมู่จะถูกกำหนดร่วมกับแผนที่เอกลักษณ์เสมอ ดังนั้นคำจำกัดความเหล่านี้จึงอิงตามโมโนอิดแทนที่จะเป็นเซมิกรุป^{[ 85 ] [ 86 ]}

ระบบไดนามิก^{[ 87 ] [ 88 ] [ 89 ]} คือทูเปิล ( T , X , Φ) โดยที่Tเป็นโมโนอิดเขียนแบบบวก X เป็น เซตที่ไม่ว่างและ Φ เป็นฟังก์ชัน : โดยที่: (โดยที่ คือ แผนที่การฉายภาพลำดับที่ 2 ) และสำหรับx ใดๆ ในX : สำหรับและโดยที่เราได้กำหนดเซตสำหรับx ใด ๆ ในX$${\displaystyle \Phi :U\subseteq (T\times X)\to X}$$$${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}(U)=X}$$${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}}$$${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$$$${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),}$$${\displaystyle \,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)}$${\displaystyle \ t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))}$${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$

โดยเฉพาะ อย่าง ยิ่ง ในกรณีที่เรามีสำหรับทุกxในXที่และดังนั้น Φ จึงกำหนดการกระทำโมโนอิดของTบนX${\displaystyle U=T\times X}$${\displaystyle I(x)=T}$

ฟังก์ชัน Φ( t , x ) เรียกว่าฟังก์ชันวิวัฒนาการของระบบพลวัต: มันเชื่อมโยงจุด x ทุกจุดในเซต X กับภาพที่ไม่ซ้ำกัน โดยขึ้นอยู่กับตัวแปร t ซึ่งเรียกว่าพารามิเตอร์วิวัฒนาการ X เรียกว่าปริภูมิเฟสหรือปริภูมิสถานะในขณะที่ตัวแปรxแทนสถานะเริ่มต้นของระบบ

เรามักเขียนว่า: ถ้าเรากำหนดให้ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าคงที่ ฟังก์ชันนั้น เรียกว่าการไหลผ่านxและกราฟ ของมัน เรียกว่าวิถีผ่านxเซตนั้น เรียกว่าวงโคจรผ่านxวงโคจรผ่านxคือภาพของการไหลผ่าน x$${\displaystyle \Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)}$$$${\displaystyle \Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)}$$$${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to X}$$$${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$$

เซตย่อยSของปริภูมิสถานะXเรียกว่า Φ- invariantถ้าสำหรับทุกxในSและทุกtในT ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าSเป็น Φ- invariantสำหรับทุกxในSนั่นคือ การไหลผ่านxจะต้องถูกกำหนดไว้สำหรับทุกเวลาสำหรับทุกองค์ประกอบของ S$${\displaystyle \Phi (t,x)\in S.}$$${\displaystyle I(x)=T}$

แนวคิดเรื่องวิวัฒนาการตามเวลาเป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีระบบพลวัต ดังที่ได้กล่าวไปแล้วในส่วนก่อนหน้า เหตุผลพื้นฐานสำหรับข้อเท็จจริงนี้คือ แรงจูงใจเริ่มต้นของทฤษฎีนี้มาจากการศึกษาพฤติกรรมตามเวลาของระบบกลไกแบบคลาสสิกแต่ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญจะต้องได้รับการแก้ไขก่อนจึงจะกลายเป็นระบบพลวัตได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้นดังต่อไปนี้: โดยที่ $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$$

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$แสดงถึงความเร็วของจุดวัสดุx
• Mคือแมนิโฟลด์ที่มีมิติจำกัด
• v : T × M → TMคือสนามเวกเตอร์ในR ⁿหรือC ⁿและแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วที่เกิดจากแรง ที่ทราบค่า ซึ่งกระทำต่อจุดวัสดุที่กำหนดในปริภูมิเฟสMการเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ใช่เวกเตอร์ในปริภูมิเฟส  Mแต่เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัสTMแทน

ไม่จำเป็นต้องใช้ค่าอนุพันธ์อันดับสูงกว่าในสมการ หรือพารามิเตอร์tในv ( t , x ) เพราะสามารถกำจัดสิ่งเหล่านี้ได้โดยการพิจารณาระบบที่มีมิติสูงกว่า

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของสนามเวกเตอร์นี้ ระบบเชิงกลจะถูกเรียกว่าอะไร

• เป็นอิสระเมื่อv ( t , x ) = v ( x )
• เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อv ( t , 0 ) = 0 สำหรับทุกt

สามารถหาคำตอบได้โดยใช้เทคนิค ODE มาตรฐาน และแสดงด้วยฟังก์ชันวิวัฒนาการที่ได้กล่าวถึงไปแล้วข้างต้น $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$$

ระบบพลวัตจึงเป็น ( T , M , Φ)

การจัดการเชิงรูปแบบบางอย่างของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่แสดงไว้ข้างต้นจะทำให้ได้รูปแบบสมการทั่วไปมากขึ้นที่ระบบพลวัตต้องเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่เป็นฟังก์ชันจากเซตของฟังก์ชันวิวัฒนาการไปยังฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$$${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$

สมการนี้มีประโยชน์เมื่อใช้ในการสร้างแบบจำลองระบบเชิงกลที่มีข้อจำกัดที่ซับซ้อน

แนวคิดหลายอย่างในระบบพลวัตสามารถขยายไปสู่แมนิโฟลด์มิติอนันต์ได้ ซึ่งก็คือแมนิโฟลด์ที่เป็นปริภูมิบานาคเฉพาะที่ใน กรณีนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

ระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง คือระบบที่เวลาหรือพื้นที่ หรือทั้งสองอย่างเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง โดยทั่วไปแล้ว ทั้งพื้นที่และเวลาจะมี เซตของจุด ที่มีจำนวนจำกัดหรือนับได้และแผนที่และตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ซึ่งสามารถจัดการได้บนคอมพิวเตอร์ โดยอาศัยข้อสมมติทั่วไปบางประการเกี่ยวกับ ขอบเขต

ในบริบททั่วไปของคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะกำหนดระบบไดนามิกเป็นแผนที่แบบไม่ต่อเนื่องทั่วไป^{[ 90 ]}ดังเช่นในคำจำกัดความอย่างเป็นทางการลำดับทั่วไปเป็นระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องอยู่แล้ว^{[ 91 ] : ตัวอย่างที่ 1} การเรียกซ้ำและการวนซ้ำของแผนที่ก็เป็นอีกกรณีหนึ่งเช่นกัน^{[ 91 ] : ตัวอย่างที่ 2 และ 3} ต้นแบบของสิ่งนี้คือแผนที่โลจิสติก [ ^{91 ] :ตัวอย่างที่ 4}

จากมุมมองเชิงประจักษ์ ระบบไดนามิกทั้งหมดที่ได้มาจากข้อมูลเชิงเวลาเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น เกาส์พิสูจน์แล้วว่าด้วยการวัดตำแหน่งและเวลา 3 ครั้งของเซเรสบนท้องฟ้า ก็สามารถกำหนดวงโคจรได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงสามารถคำนวณตำแหน่งและความเร็วที่เป็นไปได้ของดาวเคราะห์น้อยในอดีตหรืออนาคตได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดลักษณะของระบบไดนามิกได้อย่างสมบูรณ์^{[ 92 ]}งานทั่วไปของการใช้ข้อมูลเชิงทดลองคือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์^{[ 93 ]}

• 
  กระต่ายฟิโบนาชชี : แบบจำลองประชากรที่มีทรัพยากรไม่จำกัดที่สร้างตัวเลขฟิโบนาชชี^{[ 94 ]}
• 
  แผนที่โลจิสติกส์ คือแผนที่ทั่วไปที่นำมาใช้กับตัวเองซ้ำๆ ทำให้เกิดระบบพลวัต
• 
  ตัวอย่างแยกย่อยของแบบจำลองผู้ล่าและเหยื่อ^{[ 95 ]}
• 
  PageRankเป็นตัวอย่างของระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องที่ทำนายความน่าจะเป็นในอนาคตที่ผู้ใช้จะเข้าชมหน้าเว็บ^{[ 96 ]}

ในบริบทของคณิตศาสตร์ประยุกต์เช่นฟิสิกส์ชีววิทยาหรือวิศวกรรมจุดเริ่มต้นมักจะเป็นสมการผลต่างจำกัด^{[ 97 ]}เช่นสมการที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ดังนี้ :$${\displaystyle y_{t+1}=ax_{t}+b}$$

โดยทั่วไปแล้ว สามารถสรุปเป็นแผนที่แบบไม่ต่อเนื่องทั่วไปจากแมนิโฟลด์n มิติ ไปยังตัวมันเองได้: $${\displaystyle y_{t+1}^{i}=f_{t}^{i}(x_{1},..,x_{n}),i=1,...,n}$$

ในบริบทของการไหลแบบแฮมิลโทเนียน [ ^{98 ] การ}เคลื่อนที่นั้นสามารถถือได้ว่าเป็นการแปลงแบบแคนอนิก (กล่าวคือ ในที่สุดแล้วเป็นแผนที่ ) และด้วยเหตุนี้ ชุดที่ไม่ต่อเนื่องของสิ่งเหล่านี้ในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องจึงเป็นรูปร่างของลักษณะเฉพาะของระบบไดนามิกที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมดอีกครั้ง ${\displaystyle \Delta t}$

นอกจาก นี้ยังมีกรณีของวงโคจรหนาแน่น^{[ 99 ]}ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วพื้นที่เฟสของสถานะไม่กระชับและตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดเช่นในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่ง แผนที่วิวัฒนาการไม่กระชับ

ตัวอย่างหนึ่งคือการพยากรณ์อากาศของโลก ซึ่งจุดข้อมูลอยู่ห่างกันในเชิงพื้นที่ ระบบสามารถวางบนโครงข่ายและสามารถใช้สูตรในการคำนวณและทำนายตัวแปรบางอย่างได้ เช่น ในกรณีของการแปลงสมการนาเวียร์-สโตกส์ให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

ระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่องมักเรียกว่าแคสเคด เมื่อแนวคิดของการส่งต่อข้อมูลจากขั้นตอนหนึ่งไปยังอีกขั้นตอนหนึ่งมีความสำคัญ ตัวอย่างทั่วไปคือ avalanches ^{[ 100 ] [ 101 ]}และแคสเคดแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า^{[ 102 ]} เมื่อTถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม ระบบนั้นเรียกว่าแคสเคดหรือแผนที่หากTถูกจำกัดให้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ระบบนั้นเรียกว่าเซมิแคสเคด^{[ 103 ]}

ออโตมาตาเซลลูลาร์คือทูเปิล ( T , M , Φ) โดยที่T คือ แลตทิซเช่นจำนวนเต็มหรือตารางจำนวนเต็มมิติสูงกว่าMคือเซตของฟังก์ชันจากแลตทิซจำนวนเต็ม (อีกครั้ง มีหนึ่งมิติหรือมากกว่า) ไปยังเซตจำกัด และ Φ คือฟังก์ชันวิวัฒนาการ (ที่กำหนดในระดับท้องถิ่น) ดังนั้นออโตมาตาเซลลูลาร์ จึง เป็นระบบพลวัต แลตทิซในMแทนแลตทิซ "พื้นที่" ในขณะที่แลตทิซในTแทนแลตทิซ "เวลา"

• พลวัตเชิงสัญลักษณ์
• ออโตมาตาสถานะจำกัด
• เครื่องจักรทัวริง
• พลศาสตร์เชิงเลขคณิต
• ระบบพลวัตกราฟ
• ด้วยลักษณะที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องทฤษฎีกราฟ และ คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องทุกรูปแบบโดยทั่วไปสามารถมองได้ในมุมมองของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง
• หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับคณิตศาสตร์จำกัดทุก รูปแบบ เรขาคณิตจำกัดกลุ่มจำกัดหรือ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ที่นับได้เช่นกลุ่มค็อกเซเตอร์

บางสาขาเหล่านี้เป็นสาขาย่อยที่แยกต่างหาก เช่นทฤษฎีจำนวนหรือทฤษฎีเครือข่าย

ระบบพลวัตเชิงเส้นเป็นหัวใจสำคัญของหลักสูตรวิศวกรรมระบบและทฤษฎีระบบ ทุกหลักสูตร ในอดีต ระบบเชิงเส้นสะท้อนให้เห็นถึง ทฤษฎีระบบส่วนใหญ่จนถึงทศวรรษ 1970 (กล่าวคือ ก่อนที่คอมพิวเตอร์จะแพร่หลาย) ระบบเหล่านี้มีคุณสมบัติพื้นฐานของระบบพลวัตใดๆ เช่นการลดทอนการอิ่มตัว และการสั่นและอย่างน้อยในระดับท้องถิ่นก็สามารถใช้ประมาณระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ด้วย

ระบบพลวัตเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้ฟังก์ชันง่ายๆ เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย (เช่น เลขชี้กำลังเชิงซ้อน) และสามารถจำแนกพฤติกรรมของวงโคจรทั้งหมดได้

ในระบบเชิงเส้น ปริภูมิเฟสคือ ปริภูมิยูคลิด Nมิติ ดังนั้นจุดใดๆ ในปริภูมิเฟสสามารถแทนด้วยเวกเตอร์ที่มี ตัวเลข Nตัว ระบบพลวัตเชิงเส้น N มิติจึงไม่อลวน เช่นกัน

การวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นก็ง่ายขึ้นและเป็นไปได้เช่นกัน เพราะระบบเหล่านี้เป็นไปตามหลักการซ้อนทับ (superposition principle ) กล่าว คือ ถ้าu ( t ) และw ( t ) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่อธิบายระบบแล้ว การรวมเชิงเส้นก็จะสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นนั้นด้วยเช่นกันด้วยหลักการซ้อนทับนี้เราสามารถสร้างคำตอบใหม่จากคำตอบที่ทราบแล้วได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำแนกประเภทของคำตอบพื้นฐานเพื่อที่จะทราบคำตอบทั้งหมด ${\displaystyle \alpha u(t)+\beta w(t)}$

สำหรับการไหลเวกเตอร์ฟิลด์ v( x ) คือ ฟังก์ชัน เชิงเส้นของตำแหน่งในปริภูมิเฟส กล่าวคือ โดยที่Aเป็นเมทริกซ์bเป็นเวกเตอร์ของตัวเลข และxเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง คำตอบของระบบสมการนี้สามารถหาได้โดยใช้หลักการซ้อนทับ (ความเป็นเชิงเส้น) กรณีb  ≠ 0 โดยที่A  = 0 จะได้เป็นเส้นตรงในทิศทางของ  b : $${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$$$${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$$

เมื่อbเป็นศูนย์และA  ≠ 0 จุดกำเนิดจะเป็นจุดสมดุล (หรือจุดเอกฐาน) ของการไหล นั่นคือ ถ้าx ₀  = 0 วงโคจรจะยังคงอยู่ที่นั่น สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นอื่นๆ สมการการเคลื่อนที่กำหนดโดยเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ : สำหรับจุดเริ่มต้นx ₀ , $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$$

เมื่อb = 0 ค่าไอเกนของ เมทริกซ์ Aจะกำหนดโครงสร้างของปริภูมิเฟส จากค่าไอเกนและเวกเตอร์ไอเกนของ เมทริกซ์ Aเราสามารถระบุได้ว่าจุดเริ่มต้นจะลู่เข้าหรือลู่ออกไปยังจุดสมดุลที่จุดกำเนิดหรือไม่

ระยะห่างระหว่างเงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขที่แตกต่างกันในกรณีที่A  ≠ 0 จะเปลี่ยนแปลงแบบเลขชี้กำลังในกรณีส่วนใหญ่ โดยอาจลู่เข้าสู่จุดหนึ่งอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลัง หรือลู่แยกออกจากกันอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลัง ระบบเชิงเส้นแสดงให้เห็นถึงการพึ่งพาเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างไวในกรณีที่ลู่แยกออกจากกัน สำหรับระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น นี่เป็นหนึ่งในเงื่อนไข (ที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ) สำหรับพฤติกรรม อลวน

ระบบพลวัตเชิงเส้น แบบไม่ต่อ เนื่อง ในเวลาจะมีรูปแบบเป็นสมการ ผลต่างเมทริกซ์ โดยที่Aเป็นเมทริกซ์ และbเป็นเวกเตอร์ เช่นเดียวกับในกรณีต่อเนื่อง การเปลี่ยนพิกัดx  →  x  + (1 −  A )  ^–1 bจะกำจัดพจน์bออกจากสมการ ในระบบพิกัด ใหม่ จุดกำเนิดเป็นจุดคงที่ของแผนที่ และคำตอบจะเป็นของระบบเชิงเส้นA ⁿ x ₀คำตอบของแผนที่ไม่ได้เป็นเส้นโค้งอีกต่อไป แต่เป็นจุดที่กระโดดในปริภูมิเฟส วงโคจรถูกจัดเรียงเป็นเส้นโค้งหรือไฟเบอร์ ซึ่งเป็นกลุ่มของจุดที่แมปเข้าหาตัวเองภายใต้การกระทำของแผนที่ $${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$$ 

เช่นเดียวกับในกรณีต่อเนื่อง ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAจะกำหนดโครงสร้างของปริภูมิเฟส ตัวอย่างเช่น ถ้าu ₁เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่มีค่าลักษณะเฉพาะจริงน้อยกว่าหนึ่ง เส้นตรงที่ลากผ่านจุดต่างๆ ตามα  u ₁โดยที่α  ∈  Rจะเป็นเส้นโค้งไม่เปลี่ยนแปลงของแผนที่ จุดต่างๆ บนเส้นตรงนี้จะวิ่งไปยังจุดคงที่

นอกจากนี้ยังมีระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง อื่นๆ อีกมากมาย เช่นแผนที่อลวน (Chaotic maps )

คุณสมบัติเชิงคุณภาพของระบบพลวัตจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนพิกัดอย่างราบรื่น (ซึ่งบางครั้งถือเป็นนิยามของคำว่าเชิงคุณภาพ) กล่าวคือจุดเอกฐานของสนามเวกเตอร์ (จุดที่  v ( x ) = 0) จะยังคงเป็นจุดเอกฐานภายใต้การแปลงอย่างราบรื่น วงโคจรคาบเป็นวงวนในปริภูมิเฟส และการเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นของปริภูมิเฟสไม่สามารถเปลี่ยนแปลงความเป็นวงวนของมันได้ โครงสร้างของปริภูมิเฟสของระบบพลวัตสามารถเข้าใจได้ดีในบริเวณใกล้เคียงกับจุดเอกฐานและวงโคจรคาบ ในการศึกษาเชิงคุณภาพของระบบพลวัต แนวทางคือการแสดงให้เห็นว่ามีการเปลี่ยนพิกัด (โดยปกติไม่ได้ระบุ แต่สามารถคำนวณได้) ที่ทำให้ระบบพลวัตนั้นง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

การไหลในบริเวณเล็กๆ ส่วนใหญ่ของปริภูมิเฟสสามารถทำให้ง่ายมากได้ ถ้าyเป็นจุดที่สนามเวกเตอร์v ( y ) ≠ 0 แล้วจะมีการเปลี่ยนพิกัดสำหรับบริเวณรอบๆyที่สนามเวกเตอร์กลายเป็นชุดของเวกเตอร์ขนานที่มีขนาดเท่ากัน นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทการปรับแก้ (rectification theorem)

ทฤษฎีบทการปรับแก้กล่าวว่า เมื่ออยู่ห่างจากจุดเอกฐาน พลวัตของจุดในพื้นที่เล็กๆ จะเป็นเส้นตรง บางครั้งพื้นที่นั้นสามารถขยายได้โดยการต่อพื้นที่หลายๆ ส่วนเข้าด้วยกัน และเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้นในพื้นที่เฟสทั้งหมดMระบบพลวัตก็จะสามารถหาปริพันธ์ได้ในกรณีส่วนใหญ่ พื้นที่นั้นไม่สามารถขยายไปยังพื้นที่เฟสทั้งหมดได้ อาจมีจุดเอกฐานในสนามเวกเตอร์ (ที่v ( x ) = 0) หรือพื้นที่อาจเล็กลงเรื่อยๆ เมื่อเข้าใกล้จุดใดจุดหนึ่ง เหตุผลที่ซับซ้อนกว่านั้นคือข้อจำกัดโดยรวม ซึ่งวิถีเริ่มต้นในพื้นที่หนึ่ง และหลังจากไปเยี่ยมชมพื้นที่อื่นๆ หลายๆ ส่วน ก็จะกลับมายังพื้นที่เดิม หากครั้งต่อไปที่วงโคจรวนรอบพื้นที่เฟสในลักษณะที่แตกต่างกัน ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะปรับแก้สนามเวกเตอร์ในพื้นที่ทั้งหมด

_{โดยทั่วไปแล้ว ในบริเวณใกล้เคียงกับวงโคจรคาบ การใช้ทฤษฎีบทการปรับแก้ จะ}ไม่สามารถทำได้ ปวงกาเรได้พัฒนาแนวทางที่แปลงการวิเคราะห์ใกล้กับวงโคจรคาบไปเป็นการวิเคราะห์แผนที่ เลือกจุดx₀ในวงโคจร γ และพิจารณาจุดในปริภูมิเฟสในบริเวณใกล้เคียงนั้นที่ตั้งฉากกับv ( x₀ ₎จุดเหล่านี้คือส่วนตัดปวงกาเรS ( γ ,  x₀ ₎ของวงโคจร การไหลในตอนนี้กำหนดแผนที่แผนที่ปวงกาเรF  :  S  →  Sสำหรับจุดที่เริ่มต้นในSและกลับไปยัง  Sไม่ใช่ทุกจุดจะใช้เวลาในการกลับมาเท่ากัน แต่เวลาจะใกล้เคียงกับเวลา  ที่ x₀ _ใช้

จุดตัดของวงโคจรคาบกับส่วนตัดปวงกาเรเป็นจุดคงที่ของแผนที่ปวงกาเรFโดยการเลื่อน สามารถสมมติได้ว่าจุดนั้นอยู่ที่x  = 0 อนุกรมเทย์เลอร์ของแผนที่คือF ( x ) =  J  ·  x  + O( x² ⁾ดังนั้นการเปลี่ยนพิกัดhจึงคาดว่าจะทำให้F ง่ายขึ้น เหลือเพียงส่วนเชิงเส้น เท่านั้น$${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$$

นี่คือสมการที่เรียกว่าสมการการผันแปร การค้นหาเงื่อนไขที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงได้นั้นเป็นหนึ่งในภารกิจหลักของการวิจัยในระบบพลวัต ปวงกาเรเป็นคนแรกที่เข้าถึงสมการนี้โดยสมมติว่าฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ และในกระบวนการนั้นเขาได้ค้นพบเงื่อนไขที่ไม่เกิดการสั่นพ้อง ถ้าλ ₁ , ...,  λ _νเป็นค่าลักษณะเฉพาะของJค่าลักษณะเฉพาะเหล่านั้นจะเกิดการสั่นพ้องก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะค่าหนึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นจำนวนเต็มของค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆ สองค่าขึ้นไป เนื่องจากพจน์ในรูปแบบλ _i – Σ (ผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะอื่น ๆ) ปรากฏในตัวส่วนของพจน์สำหรับฟังก์ชันhเงื่อนไขที่ไม่เกิดการสั่นพ้องจึงเรียกอีกอย่างว่าปัญหาตัวหารขนาดเล็ก

ผลลัพธ์เกี่ยวกับการมีอยู่ของคำตอบสำหรับสมการการผันแปรขึ้นอยู่กับค่าลักษณะเฉพาะของJและระดับความเรียบที่ต้องการจากhเนื่องจากJไม่จำเป็นต้องมีสมมาตรพิเศษใดๆ ค่าลักษณะเฉพาะของมันจึงมักจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน เมื่อค่าลักษณะเฉพาะของJไม่อยู่ในวงกลมหน่วย พลวัตใกล้จุดคงที่_x₀ ของ F เรียกว่าแบบไฮเปอร์โบลิกและเมื่อค่าลักษณะเฉพาะอยู่ในวงกลมหน่วยและเป็นจำนวนเชิงซ้อน พลวัตนั้นเรียกว่าแบบวงรี

ในกรณีไฮเปอร์โบลิกทฤษฎีบทฮาร์ทแมน-โกรบแมนให้เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่แมปบริเวณใกล้เคียงจุดตรึงของแผนที่ไปยังแผนที่เชิงเส้นJ  ·  xกรณีไฮเปอร์โบลิกยังมีความเสถียรเชิงโครงสร้างการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในสนามเวกเตอร์จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในแผนที่ปวงกาเร และการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยเหล่านี้จะสะท้อนให้เห็นในการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตำแหน่งของค่าลักษณะเฉพาะของJในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งหมายความว่าแผนที่ยังคงเป็นไฮเปอร์โบลิก

ทฤษฎีบทKolmogorov–Arnold–Moser (KAM)อธิบายถึงพฤติกรรมใกล้จุดวงรี

เมื่อแผนที่วิวัฒนาการ Φt ⁽หรือสนามเวกเตอร์ที่ได้มาจากแผนที่นั้น) ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ μ โครงสร้างของปริภูมิเฟสก็จะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์นี้ด้วย การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยอาจไม่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในปริภูมิเฟส จนกว่าจะถึงค่า μ0พิเศษค่าหนึ่ง_ณจุดนี้ ปริภูมิเฟสจะเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพ และระบบพลวัตจะกล่าวได้ว่าได้ผ่านการแยกสาขา (bifurcation) แล้ว

ทฤษฎีการแยกสาขาพิจารณาโครงสร้างในปริภูมิเฟส (โดยทั่วไปคือจุดคงที่ วงโคจรคาบ หรือทอรัส ไม่แปรเปลี่ยน ) และศึกษาพฤติกรรมของโครงสร้างนั้นในฐานะฟังก์ชันของพารามิเตอร์  μณ จุดแยกสาขา โครงสร้างอาจเปลี่ยนแปลงเสถียรภาพ แยกออกเป็นโครงสร้างใหม่ หรือรวมเข้ากับโครงสร้างอื่น การใช้การประมาณค่าอนุกรมเทย์เลอร์ของแผนที่และความเข้าใจในความแตกต่างที่อาจถูกกำจัดได้โดยการเปลี่ยนพิกัด ทำให้สามารถจัดหมวดหมู่การแยกสาขาของระบบพลวัตได้

_{การแตก แขนง}ของจุดตรึงไฮเปอร์โบลิก_x₀ ของระบบตระกูลFμสามารถระบุได้ด้วยค่าไอเกนของอนุพันธ์อันดับแรกของระบบDFμ ( x₀ ₎ที่คำนวณ ณ จุดแตกแขนง สำหรับแผนที่ การแตกแขนงจะเกิดขึ้นเมื่อมีค่าไอเกนของ_{DFμ อยู่}บนวงกลมหน่วย สำหรับการไหล การแตกแขนงจะเกิดขึ้นเมื่อมีค่าไอเกนอยู่บนแกนจินตนาการ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูบทความหลักเกี่ยวกับทฤษฎีการแตกแขนง

การแตกแขนงบางประเภทอาจนำไปสู่โครงสร้างที่ซับซ้อนมากในปริภูมิเฟส ตัวอย่างเช่นสถานการณ์ของ Ruelle–Takensอธิบายว่าวงโคจรคาบสามารถแตกแขนงออกเป็นทอรัส และทอรัสแตกแขนงออกเป็นตัวดึงดูดประหลาดได้ อย่างไร ในอีกตัวอย่างหนึ่งการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าของ Feigenbaumอธิบายว่าวงโคจรคาบที่เสถียรผ่านชุดของการแตกแขนงแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าได้อย่างไร

ในระบบพลวัตหลายระบบ สามารถเลือกพิกัดของระบบได้โดยที่ปริมาตร (จริงๆ แล้วเป็นปริมาตรมิติ ν) ในปริภูมิเฟสไม่เปลี่ยนแปลง สิ่งนี้เกิดขึ้นกับระบบเชิงกลที่ได้มาจากกฎของนิวตัน ตราบใดที่พิกัดคือตำแหน่งและโมเมนตัม และปริมาตรวัดในหน่วยของ (ตำแหน่ง) × (โมเมนตัม) การไหลจะนำจุดของเซตย่อยAไปยังจุด Φ ^t ( A ) และความไม่เปลี่ยนแปลงของปริภูมิเฟสหมายความว่า ในรูปแบบแฮมิลโทเนียนเมื่อกำหนดพิกัดแล้ว ก็สามารถหาโมเมนตัมที่เหมาะสม (แบบทั่วไป) ได้ โดยที่ปริมาตรที่เกี่ยวข้องจะถูกรักษาไว้โดยการไหล ปริมาตรนี้กล่าวได้ว่าคำนวณโดย การวัด ของ Liouville $${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$$

ในระบบแฮมิลโทเนียน ไม่ใช่ทุกการจัดเรียงตำแหน่งและโมเมนตัมที่เป็นไปได้จะสามารถเข้าถึงได้จากเงื่อนไขเริ่มต้น เนื่องจากหลักการอนุรักษ์พลังงาน จึงสามารถเข้าถึงได้เฉพาะสถานะที่มีพลังงานเท่ากับเงื่อนไขเริ่มต้นเท่านั้น สถานะที่มีพลังงานเท่ากันจะก่อตัวเป็นเปลือกพลังงาน Ω ซึ่งเป็นส่วนย่อยของปริภูมิเฟส ปริมาตรของเปลือกพลังงาน ซึ่งคำนวณโดยใช้มาตรวัดลีอูวิลล์ จะคงที่ภายใต้การวิวัฒนาการ

สำหรับระบบที่ปริมาตรถูกรักษาไว้โดยการไหล ปวงกาเรได้ค้นพบทฤษฎีบทการเกิดซ้ำ : สมมติว่าปริภูมิเฟสมีปริมาตรลีอูวิลล์ที่จำกัด และให้Fเป็นแผนที่รักษาปริมาตรของปริภูมิเฟส และAเป็นเซตย่อยของปริภูมิเฟส จากนั้นเกือบทุกจุดในAจะกลับมายังA เป็นอนันต์ครั้ง ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวง กาเรถูกนำมาใช้โดยเซอร์เมโลเพื่อคัดค้านการคำนวณของโบลต์ซมันน์เกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นของเอนโทรปีในระบบพลวัตของอะตอมที่ชนกัน

หนึ่งในคำถามที่งานของโบลต์ซมันน์หยิบยกขึ้นมาคือ ความเป็นไปได้ที่ค่าเฉลี่ยตามเวลาและค่าเฉลี่ยตามพื้นที่จะเท่ากัน ซึ่งเขาเรียกว่าสมมติฐานเออร์โกดิกสมมติฐานนี้ระบุว่า ระยะเวลาที่วิถีโคจรทั่วไปใช้ในบริเวณAคือ vol( A )/vol(Ω)

สมมติฐานเออร์โกดิก (ergodic hypothesis) ปรากฏว่าไม่ใช่คุณสมบัติที่จำเป็นสำหรับการพัฒนาของกลศาสตร์เชิงสถิติและได้มีการนำคุณสมบัติคล้ายเออร์โกดิกอื่นๆ มาใช้เพื่อจับภาพลักษณะที่เกี่ยวข้องของระบบทางกายภาพคูปแมน (Koopman)เข้าถึงการศึกษาของระบบเออร์โกดิกโดยใช้การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันตัวแปรสังเกตได้aคือฟังก์ชันที่เชื่อมโยงตัวเลข (เช่น ความดันทันที หรือความสูงเฉลี่ย) กับแต่ละจุดในปริภูมิเฟส ค่าของตัวแปรสังเกตได้สามารถคำนวณได้ในเวลาอื่นโดยใช้ฟังก์ชันวิวัฒนาการ φt  ^ซึ่งนำไปสู่ตัวดำเนินการUt ^หรือตัวดำเนินการถ่ายโอน  $${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$$

โดยการศึกษาคุณสมบัติเชิงสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นUทำให้สามารถจำแนกคุณสมบัติเชิงเออร์โกดิกของ Φt ได้^ใน การใช้แนวทางของ Koopman ที่พิจารณาการ กระทำ ของการไหลบนฟังก์ชันที่สังเกตได้ ปัญหาไม่เชิงเส้นมิติจำกัดที่เกี่ยวข้องกับ Φt ^จะถูกแปลงเป็นปัญหาเชิงเส้นมิติอนันต์ที่เกี่ยวข้องกับ  U  

การวัดแบบ Liouville ที่จำกัดอยู่บนพื้นผิวพลังงาน Ω เป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยในกลศาสตร์สถิติสมดุลค่าเฉลี่ยตามเวลาตามวิถีการเคลื่อนที่เทียบเท่ากับค่าเฉลี่ยในอวกาศที่คำนวณด้วย ปัจจัย Boltzmann exp(−β H )แนวคิดนี้ได้รับการขยายความโดย Sinai, Bowen และ Ruelle (SRB) ไปสู่ระบบพลวัตที่ใหญ่ขึ้นซึ่งรวมถึงระบบที่มีการสูญเสียพลังงานการวัดแบบ SRBแทนที่ปัจจัย Boltzmann และถูกกำหนดขึ้นบนตัวดึงดูดของระบบอลวน

ระบบพลวัตแบบไม่เชิงเส้นอย่างง่าย รวมถึง ระบบ เชิงเส้นแบบแบ่งช่วงสามารถแสดงพฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้อย่างมาก ซึ่งอาจดูเหมือนสุ่ม แม้ว่าโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นแบบกำหนดได้ก็ตาม พฤติกรรมที่คาดเดาไม่ได้นี้เรียกว่าความโกลาหลระบบไฮเปอร์โบลิกเป็นระบบพลวัตที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำ ซึ่งแสดงคุณสมบัติที่กำหนดให้กับระบบโกลาหล ในระบบไฮเปอร์โบลิกพื้นที่สัมผัสที่ตั้งฉากกับวงโคจรสามารถแยกออกเป็นสองส่วน คือ ส่วนหนึ่งประกอบด้วยจุดที่ลู่เข้าสู่วงโคจร ( แมนิโฟลด์เสถียร ) และอีกส่วนหนึ่งประกอบด้วยจุดที่แยกออกจากวงโคจร ( แมนิโฟลด์ไม่เสถียร )

สาขาคณิตศาสตร์ นี้ ศึกษาพฤติกรรมเชิงคุณภาพในระยะยาวของระบบพลวัต โดยมุ่งเน้นที่คำถามต่างๆ เช่น "ระบบจะเข้าสู่สภาวะสมดุลในระยะยาวหรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้นตัวดึงดูด ที่เป็นไปได้คืออะไร " หรือ "พฤติกรรมในระยะยาวของระบบขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นหรือไม่"

พฤติกรรมที่ไร้ระเบียบของระบบที่ซับซ้อนไม่ใช่ประเด็นสำคัญ เป็น ที่ทราบกันมานานแล้วว่า อุตุนิยมวิทยาเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมที่ซับซ้อน—หรือแม้แต่ไร้ระเบียบ— ทฤษฎีความโกลาหลนั้นน่าประหลาดใจมาก เพราะความโกลาหลสามารถพบได้ในระบบที่แทบจะไม่มีอะไรซับซ้อนเลยสถานการณ์ Pomeau–Mannevilleของแผนที่โลจิสติกส์และปัญหา Fermi–Pasta–Ulam–Tsingouเกิดขึ้นจากพหุนามดีกรีสองเท่านั้นแผนที่เกือกม้าเป็นแบบเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน

สำหรับ ODE อัตโนมัติที่ไม่เป็นเชิงเส้นนั้น เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการที่จะพัฒนาโซลูชันที่มีระยะเวลาจำกัด^{[ 104 ]}ซึ่งหมายความว่าในโซลูชันเหล่านี้ ระบบจะถึงค่าศูนย์ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าเวลาสิ้นสุด และจากนั้นจะคงอยู่ที่ค่านั้นตลอดไป สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อวิถีของระบบไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงไปข้างหน้าและย้อนกลับในเวลาโดยพลวัต ดังนั้นโซลูชันที่มีระยะเวลาจำกัดจึงบ่งบอกถึงรูปแบบของ "ความไม่แน่นอนย้อนกลับในเวลา" ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความไม่แน่นอนไปข้างหน้าในเวลาของความโกลาหล พฤติกรรมนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้สำหรับ สมการเชิงอนุพันธ์ ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ตามการพิสูจน์ทฤษฎีบท Picard-Lindelofโซลูชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ลิปชิตซ์ ณ เวลาสิ้นสุด และไม่สามารถเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์บนเส้นจำนวนจริงทั้งหมดได้

ตัวอย่างเช่น สมการ: ยอมรับคำตอบที่มีระยะเวลาจำกัด: นั่นคือเป็นศูนย์สำหรับและไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ ณ เวลาสิ้นสุด$${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$$$${\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {t}{2}}+\left|1-{\frac {t}{2}}\right|\right)^{2}}$$${\displaystyle t\geq 2}$${\displaystyle t=2.}$

ระบบพลวัตเชิงพีชคณิตสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษเชิงพีชคณิตของนิยามทางเรขาคณิตแบบคลาสสิก โดยอาศัยแผนที่วิวัฒนาการเวลาเชิงพีชคณิตเป็นการกระทำของกลุ่ม หรือโดย ปริยายเป็นระบบสมการเชิงพีชคณิตแทนที่จะเป็นสมการ เชิงอนุพันธ์สามัญ จากมุมมองทางทฤษฎีการวัดแมนิโฟลด์เป็นปริภูมิการวัด วาไรตี้กลุ่มพีชคณิตและกลุ่มโทโพโลยีดังนั้นจึงเน้นที่สมมาตรและ พฤติกรรม ของทฤษฎีเออร์โกดิกระบบเหล่านี้มักได้รับการศึกษาด้วยวิธีการจากพีชคณิตนามธรรมเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีกาโลอิส

ในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงพีชคณิตพื้นที่การวัดสามารถเป็นพีชคณิต C* ได้ กล่าวคือสิ่งที่สังเกตได้ไม่ได้เป็นเพียงพีชคณิตของฟังก์ชัน^{[ 105 ]}แต่เป็นพีชคณิตตัวดำเนินการและสิ่งนี้ได้รับการปฏิบัติร่วมกับกลุ่มเกจทั่วโลก (เช่น กลุ่มข้อจำกัดที่ทำให้สิ่งที่สังเกตได้ไม่เปลี่ยนแปลง) ^{[ 106 ]}

ในบริบทของการเรียนรู้ของเครื่อง เครือ ข่ายประสาทเทียมเอง (เช่นเครือข่ายประสาทเทียมแบบเรียกซ้ำโมเดลการแพร่กระจาย ) สามารถถือได้ว่าเป็นชุดของสมการพีชคณิต (บ่อยครั้งที่สมการเหล่านี้เป็นการประมาณค่าแบบจำกัด เช่นการไล่ระดับลง ) มีแนวคิดของขั้นตอนเวลาพลวัตวิวัฒนาการทั่วทั้งเครือข่าย และในที่สุดก็มีชุดข้อจำกัดพีชคณิตแยกต่างหาก เช่น การบังคับใช้พฤติกรรมที่ไม่พึงประสงค์^{[ 107 ] [ 108 ]}

ในบริบทของเรขาคณิตและทฤษฎีจำนวนโดยทั่วไปจะศึกษาการวนซ้ำของแผนที่เชิงตรรกะเหนือฟิลด์จำนวน เฉพาะ พื้นที่นี้เรียกว่าพลวัตเชิงพีชคณิต^{[ 109 ]}ซึ่งศึกษาเรื่องต่างๆ เช่น จุดเชิงตรรกะของเส้นโค้งพีชคณิต และมีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับพลวัตเชิงเลขคณิต

ตัวอย่างหนึ่งคือแผนที่ Ponceletซึ่งจุดจะเคลื่อนที่ทีละขั้นระหว่างภาคตัดกรวย สองอันที่กำหนด และสมการเป็นพีชคณิต (เช่น เส้นสัมผัสและจุดตัด) อีกตัวอย่างหนึ่งคือบิลเลียดที่มีขอบเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเช่น บิลเลียดวงรี ในกรณีนี้พลวัตจะถูกกำหนดโดยการสะท้อน^{[ 110 ]}

โปรดทราบว่าเส้นโค้งพีชคณิตสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ (ยกเว้นจุดจำนวนจำกัด) ดังนั้นจึงสามารถศึกษาเส้นโค้งเหล่านี้ได้ด้วยวิธีการวิเคราะห์ ในสองตัวอย่างนี้ พลวัตแบบต่อเนื่องเป็นแบบเชิงเส้นเป็นช่วงๆ เหตุการณ์สำคัญมักจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แม้ว่าอาจจะเป็นเซตอนันต์หรือแม้แต่เซตที่วัดได้ (เช่น วิถีการเคลื่อนที่แบบเออร์โกดิกในเกมบิลเลียด) เหตุการณ์สำคัญคือเมื่อสมการพีชคณิตใช้ได้ (เช่น การสะท้อนบนขอบ) ดังนั้นระบบเหล่านี้จึงสามารถศึกษาได้ในฐานะระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องเช่นกัน

พลศาสตร์เชิงประสิทธิผล (Effective dynamics) คือการลดทอนสมการการเคลื่อนที่ที่อธิบายระบบในระดับหนึ่งหรือพฤติกรรมเฉพาะ โดยทั่วไปจะตัดตัวแปรอิสระ บางส่วนออก ไป แทนที่จะแก้สมการสถานะจุลภาคกล่าวคือ ปฏิสัมพันธ์ที่แน่นอนสำหรับอะตอม โมเลกุล หรือโหนดเครือข่ายประสาททั้งหมด พลศาสตร์เชิงประสิทธิผลจะจำลองแรง พลังงาน หรือชุดพารามิเตอร์และสมการ "เชิงประสิทธิผล" ที่อธิบายผลกระทบโดยรวม

โดยทั่วไปแล้ว พลวัตที่มีประสิทธิภาพเกิดขึ้นจากการทำให้ปรากฏการณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ซับซ้อนง่ายขึ้นหรือมีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้น วิธีหลักในการบรรลุเป้าหมายนี้คือ การ ใช้ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างและสิ่งนี้เชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งกับทฤษฎีเออร์โกดิกและกลุ่มการปรับมาตรฐานแง่มุมสำคัญของพลวัตที่มีประสิทธิภาพคือแนวคิดของการเกิดขึ้นเช่น การเกิดขึ้นของ พฤติกรรมเชิงเส้นจากสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่นในโซลิตอนหรือ การเกิดขึ้น เชิงเส้นจากค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างการเกิดขึ้นของลำดับและระดับความเป็นอิสระในการเปลี่ยนเฟสเช่นในทฤษฎีแลนเดาการเกิดขึ้นของ รูปแบบ จำนวนเฉพาะในพลวัตการ ซึมผ่าน

ตัวอย่างของแนวทางเหล่านี้ ได้แก่ ทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพ, สมการ Navier-Stokes เฉลี่ยของ Reynolds (RANS), ระบบควอนตัมที่ไม่เป็นระเบียบ, ^{[ 111 ]}อุณหพลศาสตร์ และการเปลี่ยนเฟส

ในช่วงระหว่างปี 2000 ถึง 2020 ทฤษฎีหมวดหมู่ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับทฤษฎีระบบ (เช่น ระบบเปิดและระบบย่อย) ^{[ 112 ]}และระบบพลวัต^{[ 113 ] [ 114 ] [ 115 ]}แรงจูงใจคือการศึกษาคุณสมบัติทั่วไปในระบบพลวัต ระบบพลวัตเชิงโทโพโลยี (เช่น ที่มีปริภูมิสถานะกระชับ) และระบบพลวัตที่รักษาการวัด (เช่น ระบบแฮมิลโทเนียน) ^{[ 116 ]} นอกจากนี้ยังสามารถเปรียบเทียบระหว่างทฤษฎีการแสดงแทนกลุ่ม (เช่นการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ ) และการแยกส่วนแบบเออร์โกดิก^{[ 117 ]}กล่าวคือ การวัดแบบไม่เปลี่ยนแปลงทุกตัว (เช่น การวัด แบบอนุรักษ์ ) เป็นส่วนผสมของการวัดแบบเออร์โกดิก ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางในที่สุดสิ่งนี้สามารถเปรียบเทียบได้กับทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตและการแยกส่วนจำนวนเฉพาะ^{[ 118 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับระบบพลวัต

• หลักสูตรระบบพลวัตที่เป็นสาธารณสมบัติของ มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด
• เว็บไซต์ Arxiv ซึ่งเป็นเซิร์ฟเวอร์สำหรับเผยแพร่บทความวิจัยก่อนตีพิมพ์ มีการส่งบทความวิจัย (ที่ไม่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ) ในสาขาระบบพลวัตเข้ามาทุกวัน
• สารานุกรมระบบพลวัตส่วนหนึ่งของScholarpedia – ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิและเขียนโดยผู้เชี่ยวชาญที่ได้รับเชิญ
• พลวัตไม่เชิงเส้นแบบจำลองของการแตกแขนงและความโกลาหล โดย เอลเมอร์ จี. ไวนส์
• คำถามที่พบบ่อยเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ที่ไม่เป็น เชิงเส้น (Sci.Nonlinear FAQ 2.0) (กันยายน 2546)ให้คำจำกัดความ คำอธิบาย และแหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น

หนังสือออนไลน์หรือเอกสารประกอบการบรรยาย

• ทฤษฎีทางเรขาคณิตของระบบพลวัต บันทึกการบรรยายของนิลส์ เบิร์กลุนด์ สำหรับหลักสูตรระดับปริญญาตรีขั้นสูง ที่ ETH
• ระบบพลวัตหนังสือของ George D. Birkhoff ในปี 1927 ได้นำเสนอแนวทางที่ทันสมัยเกี่ยวกับระบบพลวัตแล้ว
• ความโกลาหล: แบบคลาสสิกและแบบควอนตัมบทนำสู่ระบบพลวัตจากมุมมองของวงโคจรคาบ
• การเรียนรู้ระบบพลวัต บทช่วยสอนเกี่ยวกับการเรียนรู้ระบบพลวัต
• สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบพลวัต บันทึกการบรรยายโดยเจอรัลด์ เทสช์ล

กลุ่มวิจัย

• กลุ่มวิจัยระบบพลวัตแห่งโกรนิงเงน , IWI, มหาวิทยาลัยโกรนิงเงน
• โครงการ Chaos ที่ UMDมุ่งเน้นการประยุกต์ใช้ระบบพลวัต
• [2] , SUNY Stony Brook รายชื่อการประชุม นักวิจัย และปัญหาที่ยังเปิดอยู่บางส่วน
• ศูนย์พลศาสตร์และเรขาคณิตมหาวิทยาลัยเพนน์สเตท
• สาขาวิชาระบบควบคุมและพลวัต , สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย (Caltech)
• ห้องปฏิบัติการระบบไม่เชิงเส้น , Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)
• ศูนย์ระบบพลวัตมหาวิทยาลัยเบรเมน
• กลุ่มวิเคราะห์ระบบ การสร้างแบบจำลอง และการทำนายมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
• กลุ่มพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น , Instituto Superior Técnico, มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งลิสบอน
• Dynamical Systems ถูกเก็บถาวรเมื่อ 2017-06-02 ที่Wayback Machine , IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada
• กลุ่มงานพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น (Nonlinear Dynamics Workgroup) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 21 มกราคม 2015 ที่Wayback Machineสถาบันวิทยาการคอมพิวเตอร์ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสาธารณรัฐเช็ก
• กลุ่มวิจัยระบบพลวัต UPC บาร์เซโลนามหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งคาตาโลเนีย
• ศูนย์ควบคุม ระบบพลวัต และการคำนวณมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานตาบาร์บารา