แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิยูคลิดโดยขยายวิธีการทางเรขาคณิตและแคลคูลัส ของยูคลิดจาก ระนาบยูคลิดสองมิติและปริภูมิสามมิติไปยังปริภูมิที่มีมิติจำกัดหรืออนันต์ใดๆ ปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิเวกเตอร์ นามธรรม และมีโครงสร้างเพิ่มเติมคือผลคูณภายในที่ช่วยให้สามารถวัดความยาวและมุมได้ สุดท้าย ปริภูมิฮิลเบิร์ตจะต้องสมบูรณ์ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่กำหนดว่ามีลิมิต เพียงพอ ในปริภูมิเพื่อให้สามารถใช้เทคนิคของแคลคูลัสได้

ปริภูมิฮิลเบิร์ตได้รับการศึกษาตั้งแต่ทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 20 โดยเดวิด ฮิลเบิร์ต (ซึ่งเป็นที่มาของชื่อปริภูมิฮิลเบิร์ต) เออร์ ฮาร์ด ชมิดต์และฟริกเยส รีส ซ์ ปริภูมิฮิลเบิร์ต เป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย กลศาสตร์ควอนตัมการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ( ซึ่งรวมถึงการประยุกต์ใช้ในการประมวลผลสัญญาณและการถ่ายเทความร้อน ) และทฤษฎีเออร์โกดิก (ซึ่งเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของอุณหพลศาสตร์ ) จอห์น ฟอน นอยมันน์เป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตสำหรับแนวคิดเชิงนามธรรมที่เป็นพื้นฐานของการประยุกต์ใช้ที่หลากหลายเหล่านี้ ความสำเร็จของวิธีการปริภูมิฮิลเบิร์ตได้นำไปสู่ยุคที่อุดมสมบูรณ์มากสำหรับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันนอกเหนือจากปริภูมิเวกเตอร์ยุคลิดแบบคลาสสิกแล้ว ตัวอย่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตยังรวมถึงปริภูมิของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ปริภูมิของลำดับ ปริภูมิโซโบเลฟที่ประกอบด้วยฟังก์ชันทั่วไปและปริภูมิฮาร์ดีของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

สัญชาตญาณทางเรขาคณิตมีบทบาทสำคัญในหลายแง่มุมของทฤษฎีปริภูมิฮิลเบิร์ตทฤษฎีบทพีทาโกรัสและกฎของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เทียบเคียง ได้อย่างแม่นยำ นั้นใช้ได้ในปริภูมิฮิลเบิร์ต ในระดับที่ลึกกว่านั้นการฉายภาพตั้งฉากลง บนปริภูมิย่อยเชิงเส้นมีบทบาทสำคัญใน ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุดและแง่มุมอื่นๆ ของทฤษฎี องค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถระบุได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วยพิกัดของมันเทียบกับฐานเชิงตั้งฉากปกติในลักษณะเดียวกับพิกัดคาร์ทีเซียนในเรขาคณิตแบบคลาสสิก เมื่อฐาน นี้ เป็นอนันต์ที่นับได้มันจะทำให้สามารถระบุปริภูมิฮิลเบิร์ตได้ว่าเป็นปริภูมิของลำดับอนันต์ที่หา ผลรวม กำลัง สองได้ ปริภูมิหลังนี้มักถูกกล่าวถึงในเอกสารเก่าๆ ว่าเป็น ปริภูมิฮิ ลเบิร์ต

ตัวอย่างหนึ่งที่คุ้นเคยมากที่สุดของปริภูมิฮิลเบิร์ตคือปริภูมิเวกเตอร์ยุคลิด ซึ่งประกอบด้วย เวกเตอร์สามมิติซึ่งแทนด้วยและมีผลคูณดอทผลคูณดอทใช้เวกเตอร์สองตัวคือxและyและสร้างจำนวนจริงx ⋅ yถ้าxและyแสดงในพิกัดคาร์ทีเซียนผลคูณดอทจะถูกกำหนดโดย: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

ผลคูณดอทเป็นไปตามคุณสมบัติ: ^{[ 1 ]}

1. มันมีความสมมาตรในxและy : x ⋅ y = y ⋅ x
2. เป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์แรก: ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y )สำหรับสเกลาร์a , bและเวกเตอร์x ₁ , x ₂และy ใด ๆ^{[ a ]}
3. เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน (positive definite) :สำหรับเวกเตอร์x ทุกตัว x ⋅ x ≥ 0โดยจะเท่ากันก็ต่อเมื่อx = 0เท่านั้น

การดำเนินการกับคู่ของเวกเตอร์ที่เหมือนกับผลคูณดอทซึ่งมีคุณสมบัติทั้งสามประการนี้เรียกว่าผลคูณภายใน (จริง) ปริภูมิ เวกเตอร์ที่มีผลคูณภายในดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิผลคูณภายใน (จริง) ปริภูมิผลคูณภายในมิติจำกัดทุกปริภูมิยังเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตอีกด้วย^{[ 2 ]}คุณสมบัติพื้นฐานของผลคูณดอทที่เชื่อมโยงกับเรขาคณิตยุคลิดคือมันเกี่ยวข้องกับทั้งความยาว (หรือนอร์ม ) ของเวกเตอร์ ซึ่งแสดงด้วย‖ x ‖และมุมθระหว่างเวกเตอร์สองตัวxและyโดยใช้สูตร^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

แคลคูลัสหลายตัวแปรในปริภูมิยุคลิดอาศัยความสามารถในการคำนวณลิมิตและมีเกณฑ์ที่มีประโยชน์สำหรับการสรุปว่าลิมิตมีอยู่จริงอนุกรมทางคณิตศาสตร์ ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ในR ³ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อผลรวมของความยาวลู่เข้าเหมือนอนุกรมปกติของจำนวนจริง: ^{[ 4 ]} เช่นเดียวกับอนุกรมของสเกลาร์ อนุกรมของเวกเตอร์ที่ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ลู่เข้าสู่เวกเตอร์ลิมิตL บางตัว ในปริภูมิยุคลิดด้วย ในความหมายที่ว่า คุณสมบัตินี้แสดงถึงความสมบูรณ์ของปริภูมิยุคลิด: อนุกรมที่ลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ลู่เข้าในความหมายปกติด้วย^{[ 5 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}=0.}$$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตมักจะใช้กับจำนวนเชิงซ้อน ระนาบเชิงซ้อนที่แสดงด้วยCมีแนวคิดเรื่องขนาดโมดูลัสเชิงซ้อน| z |ซึ่งกำหนดเป็นรากที่สองของผลคูณของzกับคอนจูเกตเชิงซ้อน ของมัน : ^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

ถ้าz = x + iyเป็นการแยกส่วนของzออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นความยาวสองมิติแบบยุคลิดตามปกติ: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

ผลคูณภายในของคู่จำนวนเชิงซ้อนzและwคือผลคูณของzกับจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของw : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

นี่เป็นค่าเชิงซ้อน ส่วนจริงของ⟨ z , w ⟩ให้ผลคูณดอทแบบยุคลิดสองมิติตามปกติ^{[ 7 ]}

ตัวอย่างที่สองคือปริภูมิC ²ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อนz = ( z ₁ , z ₂ )จากนั้นผลคูณภายในของzกับเวกเตอร์w = ( w ₁ , w ₂ ) อีกตัวหนึ่ง จะได้รับจาก^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w}__{1}+z_{2}{\overline {w}__{2}\,.}$$

ส่วนจริงของ⟨ z , w ⟩คือผลคูณดอทแบบยุคลิดสี่มิติ ผลคูณภายในนี้มี สมมาตรแบบ เฮอร์มิเชียนซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการสลับzและwคือค่าสังยุคเชิงซ้อน: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิผลคูณภายในจริงหรือเชิงซ้อน ซึ่งเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันระยะทางที่เกิดจากผลคูณภายใน^{[ 8 ]}

การกล่าวว่าปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนHเป็นปริภูมิผลคูณภายในเชิงซ้อนหมายความว่ามีผลคูณภายในที่เชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อนกับองค์ประกอบแต่ละคู่ของHที่สอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}${\displaystyle \langle x,y\rangle }$${\displaystyle x,y}$

1. ผลคูณภายในเป็นสมมาตรเชิงคอนจูเกต กล่าวคือ ผลคูณภายในของคู่องค์ประกอบเท่ากับคอนจูเกตเชิงซ้อนของผลคูณภายในขององค์ประกอบที่สลับกันที่สำคัญคือ สิ่งนี้บ่งชี้ว่าเป็นจำนวนจริง^{[ 9 ]}$${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$${\displaystyle \langle x,x\rangle }$
2. ผลคูณภายในเป็นเชิงเส้นในอาร์กิวเมนต์แรก^{[ b ]}สำหรับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดและ^{[ 9 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$$${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. ผลคูณภายในขององค์ประกอบกับตัวมันเองเป็นบวกแน่นอน : ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

จากคุณสมบัติ 1 และ 2 จะเห็นได้ว่าผลคูณภายในเชิงซ้อนเป็นแอนติลิเนียร์หรือเรียกอีกอย่างว่าคอนจูเกตลิเนียร์ในอาร์กิวเมนต์ที่สอง หมายความว่า^{[ 10 ]}$${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

ปริภูมิผลคูณภายในจริงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นว่าHเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงและผลคูณภายในมีค่าเป็นจำนวนจริง ผลคูณภายในดังกล่าวจะเป็นแผนที่เชิงเส้นคู่และจะสร้างระบบคู่^{[ 11 ]}${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

บรรทัดฐานคือฟังก์ชันค่าจริง^{[ 12 ]} และระยะห่างระหว่างสองจุดในHถูกกำหนดตามบรรทัดฐานโดย ที่นี่เป็นฟังก์ชันระยะทาง^{[ 13 ]}ซึ่งหมายความว่าประการแรกคือมีความสมมาตรในและ ประการ ที่สองคือระยะห่างระหว่างและตัวมันเองเป็นศูนย์ มิฉะนั้นระยะห่างระหว่างและต้องเป็นบวก และประการสุดท้ายคือความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าความยาวของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมxyzไม่สามารถเกินผลรวมของความยาวของด้านอีกสองด้านได้: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle x,y}$$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy–Schwarz ที่เป็นพื้นฐานมากกว่า ซึ่งระบุว่า มีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อและเป็นอิสระเชิงเส้น^{[ 15 ]}$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ด้วยฟังก์ชันระยะทางที่กำหนดไว้ในลักษณะนี้ พื้นที่ผลคูณภายในใดๆ ก็เป็นพื้นที่เมตริกพื้นที่ผลคูณภายในบางครั้งเรียกว่าพื้นที่พรี-ฮิลเบิร์ต [ ^{15 ] พื้นที่} พรี-ฮิลเบิร์ตใดๆ ที่เป็น พื้นที่สมบูรณ์ด้วยก็เป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ตเช่น กัน ^{[ 16 ]}

ความสมบูรณ์ของHแสดงออกโดยใช้เกณฑ์โคชี รูปแบบหนึ่ง สำหรับลำดับในH : ปริภูมิพรี-ฮิลเบิร์ตHจะสมบูรณ์หากลำดับโคชี ทุกลำดับ ลู่เข้าตามบรรทัดฐานนี้ไปยังองค์ประกอบในปริภูมิ ความสมบูรณ์สามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: หากอนุกรมของเวกเตอร์ ลู่เข้าสัมบูรณ์ในความหมายที่ว่า อนุกรมจะลู่เข้าในHในความหมายที่ว่าผลรวมย่อยลู่เข้าไปยังองค์ประกอบของH ^{[ 17 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิบรรทัดฐานที่สมบูรณ์ และโดยนิยามแล้วยังเป็นปริภูมิบานาคด้วย^{[ 18 ]}ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีซึ่ง แนวคิด เชิงโทโพโลยีเช่นความเปิดและความปิดของเซตย่อยนั้นได้รับการกำหนดไว้อย่างดี^{[ 19 ]}สิ่งสำคัญเป็นพิเศษคือแนวคิดของปริภูมิย่อยเชิงเส้น ปิดของปริภูมิฮิล เบิร์ต ซึ่งเมื่อรวมกับผลคูณภายในที่เกิดจากการจำกัดแล้วก็ยังสมบูรณ์ (เป็นเซตปิดในปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์) และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวของมันเอง^{[ 20 ]}

ปริภูมิ ของ ลำดับ ประกอบด้วยลำดับอนันต์ ทั้งหมด z = ( z ₁ , z ₂ , ...)ของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่อนุกรม ของค่ากำลังสองของนอร์มลู่เข้า[ ^{21 ] ผล} คูณภายในบนถูกกำหนดโดย^{[ 21 ]} อนุกรมสำหรับผลคูณภายในลู่เข้าอันเป็นผลมาจากความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซและการลู่เข้าที่สมมติขึ้นของอนุกรมค่ากำลังสองของนอร์มทั้งสอง^{[ 22 ]}${\textstyle \ell ^{2}}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$${\textstyle \ell ^{2}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,.}$$

ความสมบูรณ์ของพื้นที่นั้นถือว่ามีอยู่จริงก็ต่อเมื่ออนุกรมขององค์ประกอบจากลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ (ในบรรทัดฐาน) แล้วมันจะลู่เข้าสู่องค์ประกอบของการพิสูจน์เป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และอนุญาตให้สามารถจัดการอนุกรมทางคณิตศาสตร์ขององค์ประกอบของพื้นที่ได้ง่ายดายเช่นเดียวกับอนุกรมของจำนวนเชิงซ้อน (หรือเวกเตอร์ในพื้นที่ยูคลิดมิติจำกัด) ^{[ 23 ]}${\textstyle \ell ^{2}}$${\textstyle \ell ^{2}}$

ก่อนการพัฒนาปริภูมิฮิลเบิร์ต นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์รู้จักปริภูมิยูคลิดแบบทั่วไปอื่นๆโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดของปริภูมิเชิงเส้นนามธรรม (ปริภูมิเวกเตอร์)ได้รับความสนใจมากขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19: ^{[ 24 ]}ซึ่งเป็นปริภูมิที่มีองค์ประกอบที่สามารถบวกและคูณด้วยสเกลาร์ (เช่น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ) โดยไม่จำเป็นต้องระบุองค์ประกอบเหล่านี้กับเวกเตอร์ "เรขาคณิต"เช่น เวกเตอร์ตำแหน่งและโมเมนตัมในระบบทางกายภาพ วัตถุอื่นๆ ที่ศึกษาในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิของลำดับ (รวมถึงอนุกรม ) และปริภูมิของฟังก์ชัน^{[ 25 ]}สามารถคิดได้ว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้นโดยธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันสามารถบวกหรือคูณด้วยสเกลาร์คงที่ได้ และการดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามกฎพีชคณิตที่สอดคล้องกับการบวกและการคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เชิงพื้นที่^{[ 26 ]}

ในทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 20 การพัฒนาคู่ขนานนำไปสู่การแนะนำพื้นที่ฮิลเบิร์ต สิ่งแรกที่เกิดขึ้นคือการสังเกตซึ่งเกิดขึ้นระหว่าง การศึกษา สมการอินทิกรัลของเดวิด ฮิลเบิร์ตและเออร์ฮาร์ด ชมิดต์ว่าฟังก์ชันค่าจริง สองฟังก์ชัน fและg ที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้บนช่วง[ a , b ]มีผลคูณภายใน^{[ 27 ]}

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

ซึ่งมีคุณสมบัติที่คุ้นเคยหลายอย่างของผลคูณจุดแบบยุคลิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดของ ตระกูลฟังก์ชัน เชิงตั้งฉากนั้นมีความหมาย ชไมด์ได้ใช้ประโยชน์จากความคล้ายคลึงกันของผลคูณภายในนี้กับผลคูณจุดทั่วไปเพื่อพิสูจน์อนาล็อกของการแยกส่วนสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการในรูปแบบ

${\displaystyle f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

โดยที่Kเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีสมมาตรในxและy การขยายฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่ได้นั้นแสดงฟังก์ชันKในรูปอนุกรมดังนี้

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)}$

โดยที่ฟังก์ชันφ _nตั้งฉากกันในแง่ที่ว่า⟨ φ _n , φ _m ⟩ = 0สำหรับทุกn ≠ mบางครั้งเทอมแต่ละเทอมในอนุกรมนี้เรียกว่าผลเฉลยผลคูณพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม มีการขยายฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่ไม่ลู่เข้าในความหมายที่เหมาะสมกับฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ ส่วนประกอบที่ขาดหายไปซึ่งรับประกันการลู่เข้าคือความสมบูรณ์^{[ 28 ]}

การพัฒนาประการที่สองคือปริพันธ์เลเบสซึ่งเป็นทางเลือกแทนปริพันธ์รีมันน์ที่อองรี เลเบสแนะนำในปี พ.ศ. 2447 ^{[ 29 ]}ปริพันธ์เลเบสทำให้สามารถหาปริพันธ์ของฟังก์ชันได้หลากหลายมากขึ้น ในปี พ.ศ. 2450 ฟริกเยส รีสซ์และเอิร์นสต์ ซิกิสมุนด์ ฟิชเชอร์ได้พิสูจน์โดยอิสระว่าปริภูมิL ²ของฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์เลเบสได้นั้นเป็น ปริภูมิ เมตริกที่สมบูรณ์^{[ 30 ]}ผลสืบเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและความสมบูรณ์ ผลลัพธ์ในศตวรรษที่ 19 ของโจเซฟ ฟูริเยร์ฟรีดริช เบสเซลและ มาร์ค - อองตวน ปาร์เซวาลเกี่ยวกับอนุกรมตรีโกณมิติสามารถนำไปใช้กับปริภูมิทั่วไปเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย ส่งผลให้เกิดเครื่องมือทางเรขาคณิตและเชิงวิเคราะห์ที่ปัจจุบันมักรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทรีสซ์ - ฟิชเชอร์^{[ 31 ]}

ผลลัพธ์พื้นฐานเพิ่มเติมได้รับการพิสูจน์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Rieszได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดยMaurice FréchetและFrigyes Rieszในปี 1907 ^{[ 32 ]} John von Neumannได้บัญญัติศัพท์คำว่าพื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบนามธรรมในงานของเขาเกี่ยวกับตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนที่ ไม่จำกัด ^{[ 33 ]}แม้ว่านักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เช่นHermann WeylและNorbert Wienerได้ศึกษาพื้นที่ฮิลเบิร์ตโดยเฉพาะอย่างละเอียดแล้ว โดยมักจะมาจากมุมมองที่ได้รับแรงบันดาลใจจากฟิสิกส์ แต่ von Neumann ได้ให้การจัดการที่สมบูรณ์และเป็นสัจพจน์เป็นครั้งแรก^{[ 34 ]}ต่อมา von Neumann ได้ใช้พื้นที่ฮิลเบิร์ตในงานสำคัญของเขาเกี่ยวกับรากฐานของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 35 ]}และในงานต่อเนื่องของเขากับEugene Wignerชื่อ "พื้นที่ฮิลเบิร์ต" ได้รับการยอมรับจากผู้อื่นในไม่ช้า ตัวอย่างเช่น โดย Hermann Weyl ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีกลุ่ม^{[ 36 ]}

ความสำคัญของแนวคิดของปริภูมิฮิลเบิร์ตได้รับการเน้นย้ำด้วยการตระหนักว่ามันเป็นหนึ่งในสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดของกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{37 ] กล่าว}โดยสรุป สถานะของระบบกลศาสตร์ควอนตัมเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แน่นอน ตัวสังเกตได้เป็นตัวดำเนินการ เฮอร์มิเชียน ในปริภูมินั้นสมมาตรของระบบเป็นตัวดำเนินการเอกภาพและการวัดเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากความสัมพันธ์ระหว่างสมมาตรกลศาสตร์ควอนตัมและตัวดำเนินการเอกภาพเป็นแรงผลักดันให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีการแสดงแทนเอกภาพ ของกลุ่มซึ่งเริ่มต้นในงานของเฮอร์มันน์ เวย์ลในปี 1928 ^{[ 36 ]}ในทางกลับกัน ในช่วงต้นทศวรรษ 1930 เป็นที่ชัดเจนว่ากลศาสตร์คลาสสิกสามารถอธิบายได้ในแง่ของปริภูมิฮิลเบิร์ต ( กลศาสตร์คลาสสิกของ Koopman–von Neumann ) และคุณสมบัติบางอย่างของระบบพลวัต คลาสสิก สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้เทคนิคปริภูมิฮิลเบิร์ตในกรอบของทฤษฎีเออร์โกดิก^{[ 38 ]}

พีชคณิตของสิ่งที่สังเกตได้ในกลศาสตร์ควอนตัมเป็นพีชคณิตของตัวดำเนินการที่กำหนดบนปริภูมิฮิลเบิร์ตตามธรรมชาติ ตาม สูตร กลศาสตร์เมทริกซ์ของทฤษฎีควอน ตัม ของเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก^{[ 39 ]}ฟอน นอยมันน์เริ่มศึกษาพีชคณิตของตัวดำเนินการในช่วงทศวรรษที่ 1930 ในฐานะวงแหวนของตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ต พีชคณิตดังกล่าวในปัจจุบันเรียกว่าพีชคณิตฟอน นอยมันน์ [ ^{40 ] ใน}ช่วงทศวรรษที่ 1940 อิสราเอล เกลฟานด์มาร์คไนมาคและเออร์วิง ซีกัลได้ให้คำจำกัดความของพีชคณิตของตัวดำเนินการชนิดหนึ่งที่เรียกว่าพีชคณิต C*ซึ่งในด้านหนึ่งไม่ได้อ้างอิงถึงปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐาน และในอีกด้านหนึ่งได้ขยายคุณสมบัติที่มีประโยชน์หลายอย่างของพีชคณิตของตัวดำเนินการที่เคยศึกษามาก่อน ทฤษฎีสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองโดยเฉพาะซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีอยู่มากมายได้รับการขยายไปสู่พีชคณิต C* ^{[ 41 ]}เทคนิคเหล่านี้ในปัจจุบันเป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรมและทฤษฎีการแทน^{[ 42 ] [ 43 ]}

ปริภูมิเลเบสเป็นปริภูมิฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิการวัด( X , M , μ )โดยที่Xเป็นเซต, Mเป็นพีชคณิต σของเซตย่อยของXและμเป็นการวัดแบบบวกที่นับได้บนMให้L2 ( X , μ ⁾เป็นปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้ที่มีค่าเชิงซ้อนบนXซึ่งปริพันธ์เลเบสของกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันมีค่าจำกัด กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันfในL2 ( X , μ )และ ฟังก์ชันจะถูกระบุได้ก็ต่อเมื่อแตกต่างกันเฉพาะบนเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์^{เท่านั้น[ 44 ]}$${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\,\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$

ผลคูณภายในของฟังก์ชันfและgในL ² ( X , μ )ถูกกำหนดดังนี้ หรือ$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

โดยรูปแบบที่สอง (การผันแปรขององค์ประกอบแรก) มักพบได้ใน วรรณกรรม ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีสำหรับfและgในL ²อินทิกรัลมีอยู่เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy–Schwarz และกำหนดผลคูณภายในบนพื้นที่ เมื่อมีผลคูณภายในนี้L ²จึงสมบูรณ์^{[ 45 ]}อินทิกรัลของ Lebesgue มีความสำคัญต่อการรับรองความสมบูรณ์: ตัวอย่างเช่น ในโดเมนของจำนวนจริง ฟังก์ชันไม่เพียงพอที่สามารถอินทิเกรตแบบ Riemannได้^{[ 46 ]}

ปริภูมิเลเบสปรากฏในบริบทธรรมชาติหลายแห่ง^{[ 47 ]}ปริภูมิL ² ( R )และL ² ([0,1])ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้โดยสัมพันธ์กับการวัดเลเบสบนเส้นจำนวนจริงและช่วงหน่วยตามลำดับ เป็นโดเมนธรรมชาติในการกำหนดการแปลงฟูริเยร์และอนุกรมฟูริเยร์^{[ 48 ]}ในสถานการณ์อื่นๆ การวัดอาจเป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่การวัดเลเบสธรรมดาบนเส้นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น ถ้าwเป็นฟังก์ชันที่วัดได้บวกใดๆ ปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้ทั้งหมดfบนช่วง[0, 1]ที่สอดคล้อง กับ เรียกว่า ปริภูมิ L ²แบบถ่วงน้ำหนักL$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$² _w([0, 1])และwเรียกว่าฟังก์ชันน้ำหนัก ผลคูณภายในถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

พื้นที่ถ่วงน้ำหนักL² _w([0, 1])เหมือนกับปริภูมิฮิลเบิร์ตL ² ([0, 1], μ )โดยที่มาตรวัดμของเซตที่วัดได้แบบเลเบสAถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

พื้นที่ L ²ที่มีน้ำหนักแบบนี้มักใช้ในการศึกษาพหุนามเชิงตั้งฉากเนื่องจากพหุนามเชิงตั้งฉากตระกูลต่างๆ จะเป็นเชิงตั้งฉากกันเมื่อพิจารณาจากฟังก์ชันน้ำหนักที่แตกต่างกัน^{[ 49 ]}

ปริภูมิโซโบเลฟซึ่งแสดงด้วยH ^sหรือW ^{s ,2}คือปริภูมิฮิลเบิร์ต ปริภูมิเหล่านี้เป็นปริภูมิฟังก์ชัน ชนิดพิเศษ ที่สามารถทำการหาอนุพันธ์ ได้ แต่ (ต่างจาก ปริภูมิบานาค อื่นๆ เช่นปริภูมิโฮลเดอร์ ) รองรับโครงสร้างของผลคูณภายใน เนื่องจากอนุญาตให้ทำการหาอนุพันธ์ได้ ปริภูมิโซโบเลฟจึงเป็นการตั้งค่าที่สะดวกสำหรับทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย [ ^{50 ] นอกจาก}นี้ยังเป็นพื้นฐานของทฤษฎี วิธีการโดยตรงในแคลคูลัสของ การแปรผัน^{[ 51 ]}

สำหรับs ที่เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและΩ ⊂ R ⁿปริภูมิโซโบเลฟH ^s (Ω)ประกอบด้วย ฟังก์ชัน L ²ซึ่งอนุพันธ์อ่อนของอันดับสูงสุดถึงsก็เป็นL ² เช่นกัน ผลคูณภายในในH ^s (Ω)คือ โดยที่จุดแสดงถึงผลคูณจุดในปริภูมิยุคลิดของอนุพันธ์ย่อยของแต่ละอันดับ ปริภูมิโซโบเลฟสามารถกำหนดได้แม้ว่าsจะไม่ใช่จำนวนเต็มก็ตาม $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$

พื้นที่โซโบเลฟยังได้รับการศึกษาจากมุมมองของทฤษฎีสเปกตรัม โดยอาศัยโครงสร้างพื้นที่ฮิลเบิร์ตโดยเฉพาะ หากΩเป็นโดเมนที่เหมาะสม เราสามารถกำหนดพื้นที่โซโบเลฟH ^s (Ω)เป็นพื้นที่ของศักยภาพเบสเซลได้^{[ 52 ]}โดยประมาณ $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

ในที่นี้Δคือตัวดำเนินการลาปลาเซียน และ(1 − Δ) ^{− s / 2}เข้าใจได้ในแง่ของทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัม นอกจากจะให้คำจำกัดความที่ใช้งานได้ของปริภูมิโซโบเลฟสำหรับ sที่ไม่ใช่จำนวนเต็มแล้วคำจำกัดความนี้ยังมีคุณสมบัติที่พึงประสงค์เป็นพิเศษภายใต้การแปลงฟูริเยร์ซึ่งทำให้เหมาะสำหรับการศึกษาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เทียม การใช้วิธีการเหล่านี้บนแมนิโฟลด์รีมันน์ขนาดกะทัดรัด เราสามารถได้รับ การแยกส่วนของฮอดจ์ได้ ตัวอย่างเช่นซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีฮอดจ์^{[ 53 ]}

ปริภูมิฮาร์ดีเป็นปริภูมิฟังก์ชันที่เกิดขึ้นในการวิเคราะห์เชิงซ้อนและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกซึ่งองค์ประกอบคือฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก บางอย่าง ในโดเมนเชิงซ้อน^{[ 54 ]}ให้Uแทนดิสก์หน่วยในระนาบเชิงซ้อน จากนั้นปริภูมิฮาร์ดีH ² ( U )ถูกกำหนดให้เป็นปริภูมิของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfบนUโดยที่ค่าเฉลี่ย ยังคงมีขอบเขตสำหรับr < 1นอร์มบนปริภูมิฮาร์ดีนี้ถูกกำหนดโดย $${\displaystyle M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f{\bigl (}re^{i\theta }{\bigr )}\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta }$$$${\displaystyle \left\|f\right\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}\,.}$$

พื้นที่ฮาร์ดีในดิสก์มีความสัมพันธ์กับอนุกรมฟูริเยร์ ฟังก์ชันfอยู่ในH ² ( U )ก็ต่อเมื่อ โดย ที่ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \,.}$$

ดังนั้นH ² ( U )ประกอบด้วยฟังก์ชันเหล่านั้นที่เป็นL ²บนวงกลม และสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ความถี่ลบของฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นศูนย์

ปริภูมิเบิร์กแมนเป็นอีกตระกูลหนึ่งของปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก^{[ 55 ]}ให้Dเป็นเซตเปิดที่มีขอบเขตในระนาบเชิงซ้อน (หรือปริภูมิเชิงซ้อนที่มีมิติสูงกว่า) และให้L ^{2, h} ( D )เป็นปริภูมิของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfในDซึ่งอยู่ในL ² ( D )ในแง่ที่ว่า โดยที่ปริพันธ์นั้นคำนวณเทียบกับมาตรวัดเลเบสในDเห็นได้ชัดว่าL ^{2, h} ( D )เป็นปริภูมิย่อยของL ² ( D )อันที่จริง มันเป็น ปริภูมิ ย่อยปิดและดังนั้นจึงเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวของมันเอง นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากการประมาณค่า ซึ่งใช้ได้กับเซตย่อยกระชับKของDซึ่ง ในทางกลับกันเป็นผลมาจากสูตรปริพันธ์ของโคชีดังนั้นการลู่เข้าของลำดับของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในL ² ( D ) จึงหมายถึง การลู่เข้าแบบกระชับด้วยและดังนั้นฟังก์ชันลิมิตจึงเป็นโฮโลมอร์ฟิกด้วย ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของอสมการนี้คือ ฟังก์ชันเชิงเส้นที่ประเมินค่าฟังก์ชันfที่จุดหนึ่งในDนั้นมีความต่อเนื่องบนL ^{2, h} ( D )ทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Riesz บ่งชี้ว่าฟังก์ชันการประเมินค่าสามารถแสดงแทนได้ในรูปขององค์ประกอบหนึ่งในL ^{2, h} ( D )ดังนั้น สำหรับทุกz ∈ Dจะมีฟังก์ชันη _z ∈ L ^{2, h} ( D )เช่นนั้น สำหรับทุกf ∈ L ^{2, h} ( D )ตัวอินทิกรัล นี้ เรียกว่าเคอร์เนลของ BergmanในDเคอร์เนลอินทิกรัลนี้มีคุณสมบัติการสร้างซ้ำได้ $${\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)<\infty \,,}$$$${\displaystyle \sup _{z\in K}\left|f(z)\right|\leq C_{K}\left\|f\right\|_{2}\,,}$$$${\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,\mathrm {d} \mu (\zeta )}$$$${\displaystyle K(\zeta ,z)={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}}$$$${\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta )K(\zeta ,z)\,\mathrm {d} \mu (\zeta )\,.}$$

ปริภูมิเบิร์กแมนเป็นตัวอย่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำซึ่งเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันพร้อมกับเคอร์เนลK ( ζ , z )ที่ตรวจสอบคุณสมบัติการสร้างซ้ำที่คล้ายคลึงกับนี้ ปริภูมิฮาร์ดี^H2 ( D )ยังยอมรับเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำที่เรียกว่าเคอร์เนลเซเกอ [ ^{56 ] เคอร์เนล}แบบสร้างซ้ำพบได้ทั่วไปในสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเคอร์เนลปัวซงเป็นเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันฮาร์มอนิก ที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ ในลูกบอลหน่วยซึ่งเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเนื่องจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิกบ่งชี้การประเมินจุดที่มีขอบเขต ซึ่งส่งผลให้เป็นปริภูมิย่อยปิดของ^{[ 57 ]}${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

การประยุกต์ใช้ปริภูมิฮิลเบิร์ตจำนวนมากใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตสนับสนุนการวางนัยทั่วไปของแนวคิดทางเรขาคณิตอย่างง่าย เช่นการฉายภาพและการเปลี่ยนฐานจากการตั้งค่ามิติจำกัดตามปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบสมมาตรต่อเนื่อง บนปริภูมิฮิลเบิร์ตจะวางนัยทั่วไปของ การแยกส่วนสเปกตรัมของเมทริกซ์ตามปกติและสิ่งนี้มักมีบทบาทสำคัญในการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกับสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์^{[ 58 ]}

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์สามัญวิธีสเปกตรัมบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เหมาะสมจะถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาพฤติกรรมของค่าลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่นปัญหา Sturm–Liouvilleเกิดขึ้นในการศึกษาฮาร์มอนิกของคลื่นในสายไวโอลินหรือกลอง และเป็นปัญหาสำคัญใน สมการ เชิงอนุพันธ์สามัญ^{[ 59 ]}ปัญหานี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าyบนช่วง[ a , b ] ซึ่งสอดคล้องกับ เงื่อนไขขอบเขต Robinที่เป็นเอกพันธ์ทั่วไป ฟังก์ชันp , qและwถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า และปัญหาคือการหาฟังก์ชันyและค่าคงที่λที่สมการมีคำตอบ ปัญหานี้มีคำตอบเฉพาะสำหรับค่าλ บางค่าเท่านั้น ซึ่งเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะของระบบ และนี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการแบบกระชับที่ใช้กับตัวดำเนินการอินทิกรัลที่กำหนดโดยฟังก์ชัน Greenสำหรับระบบ นอกจากนี้ ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของผลลัพธ์ทั่วไปนี้คือ ค่าลักษณะเฉพาะλของระบบสามารถเรียงลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ไปสู่ค่าอนันต์ได้^{[ 60 ] [ c ]}$${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$$${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย [ ^{50 ] สำหรับ}สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหลายประเภท เช่นสมการเชิงวงรี เชิงเส้น สามารถพิจารณาคำตอบทั่วไป (เรียกว่า คำตอบ แบบอ่อน ) ได้โดยการขยายคลาสของฟังก์ชัน การกำหนดแบบอ่อนหลายอย่างเกี่ยวข้องกับคลาสของฟังก์ชันโซโบเลฟซึ่งเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต การกำหนดแบบอ่อนที่เหมาะสมจะลดลงเหลือปัญหาทางเรขาคณิต ปัญหาเชิงวิเคราะห์ของการหาคำตอบ หรือที่สำคัญกว่านั้นคือการแสดงให้เห็นว่ามีคำตอบอยู่และเป็นเอกลักษณ์สำหรับข้อมูลขอบเขตที่กำหนด สำหรับสมการเชิงวงรีเชิงเส้น ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตหนึ่งที่รับประกันความสามารถในการหาคำตอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับปัญหาหลายประเภทคือทฤษฎีบท Lax–Milgramกลยุทธ์นี้เป็นพื้นฐานของวิธี Galerkin ( วิธีองค์ประกอบจำกัด ) สำหรับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย^{[ 61 ]}

ตัวอย่างหนึ่งคือสมการปัวซง−Δ u = gที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบดิริชเลต์ในโดเมนจำกัดΩในR ²การกำหนดสูตรแบบอ่อนประกอบด้วยการหาฟังก์ชันuเช่นนั้น สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องทั้งหมดใน Ω ที่หายไป บนขอบเขต: $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของปริภูมิฮิลเบิร์ตH¹ ₀(Ω)ประกอบด้วยฟังก์ชันuโดยที่uพร้อมด้วยอนุพันธ์ย่อยแบบอ่อนของมัน สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนΩและมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบเขต คำถามจึงลดลงเหลือเพียงการหาuในปริภูมินี้ โดยที่สำหรับทุกvในปริภูมินี้ $${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

โดยที่aเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้น ต่อเนื่อง และbเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ต่อเนื่อง ซึ่งกำหนดโดย ตามลำดับ $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

เนื่องจากสมการปัวซงเป็นสมการเชิงวงรีจึงเป็นไปตามอสมการของปวงกาเรว่ารูปแบบทวิเชิงเส้นaเป็นแบบบังคับทฤษฎีบทของ Lax–Milgram จึงรับประกันการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการนี้^{[ 62 ]}

ปริภูมิฮิลเบิร์ตช่วยให้สามารถกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีจำนวนมากได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน และทฤษฎีบท Lax–Milgram จึงเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการวิเคราะห์สมการเหล่านั้น ด้วยการดัดแปลงที่เหมาะสม เทคนิคที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลิกและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิกบาง สมการได้ ^{[ 63 ]}

ทฤษฎีเออร์โกดิก เป็น สาขาที่ศึกษาพฤติกรรมระยะยาวของระบบพลวัตที่ อลวน กรณีตัวอย่างของสาขาที่ทฤษฎีเออร์โกดิกนำไปใช้คืออุณหพลศาสตร์ซึ่งแม้ว่าสถานะจุลภาคของระบบจะซับซ้อนอย่างมาก (เป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าใจกลุ่มของการชนกันแต่ละครั้งระหว่างอนุภาคของสสาร) แต่พฤติกรรมเฉลี่ยในช่วงเวลาที่ยาวนานเพียงพอสามารถจัดการได้กฎของอุณหพลศาสตร์เป็นการยืนยันเกี่ยวกับพฤติกรรมเฉลี่ยดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การกำหนดกฎข้อที่ศูนย์ของอุณหพลศาสตร์ข้อ หนึ่งระบุว่าในช่วงเวลาที่ยาวนานเพียงพอ การวัดที่เป็นอิสระเชิงฟังก์ชันเพียงอย่างเดียวที่สามารถ ^{ทำได้}ของระบบอุณหพลศาสตร์ที่อยู่ในสมดุลคือพลังงานรวมในรูปของอุณหภูมิ [ ^{64 ]}

ระบบไดนามิกแบบเออร์โกดิกคือระบบที่นอกเหนือจากพลังงาน—ซึ่งวัดโดยแฮมิลโทเนียน —ไม่มีปริมาณอนุรักษ์ อื่นใดที่เป็นอิสระเชิงฟังก์ชัน บนปริภูมิเฟสกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น สมมติว่าพลังงานEคงที่ และให้Ω _Eเป็นเซตย่อยของปริภูมิเฟสที่ประกอบด้วยสถานะพลังงานE ทั้งหมด (พื้นผิวพลังงาน) และให้T _tแทนตัวดำเนินการวิวัฒนาการบนปริภูมิเฟส ระบบไดนามิกเป็นแบบเออร์โกดิกหากฟังก์ชันที่วัดได้แบบไม่เปลี่ยนแปลงทุกฟังก์ชันบนΩ _Eมีค่าคงที่เกือบทุกที่ [ ^{65 ] ฟังก์ชัน}ไม่เปลี่ยนแปลงfคือฟังก์ชันที่สำหรับ ทุกwบนΩ _Eและทุกเวลาtทฤษฎีบทของ Liouvilleบ่งชี้ว่ามีการวัดμบนพื้นผิวพลังงานที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลเวลาดังนั้น การแปลเวลาจึงเป็นการแปลงเอกภาพ ของ ปริภูมิฮิลเบิร์ตL ² (Ω _E , μ )ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้บนพื้นผิวพลังงานΩ _Eโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายใน $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$$${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{\Omega _{E}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

ทฤษฎีบทเออร์โกดิกเฉลี่ยของฟอน นอยมันน์^{[ 38 ]}ระบุไว้ดังนี้:

• ถ้าU _t เป็น เซมิกรุปหนึ่งพารามิเตอร์ (ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็ง) ของตัวดำเนินการเอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHและPคือการฉายภาพเชิงตั้งฉากไปยังปริภูมิของจุดตรึงร่วมของU _t , { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0}แล้ว$${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

สำหรับระบบเออร์โกดิก ชุดคงที่ของการวิวัฒนาการตามเวลาประกอบด้วยฟังก์ชันคงที่เท่านั้น ดังนั้นทฤษฎีบทเออร์โกดิกจึงบ่งชี้ถึงสิ่งต่อไปนี้: สำหรับฟังก์ชันใดๆf ∈ L ² (Ω _E , μ ) , ^{[ 66 ]}$${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

นั่นคือ ค่าเฉลี่ยระยะยาวของค่าสังเกตfจะเท่ากับค่าคาดหวังของค่าสังเกต f บนพื้นผิวพลังงาน^{[ 67 ]}

หนึ่งในเป้าหมายพื้นฐานของการวิเคราะห์ฟูริเยร์คือการแยกฟังก์ชันออกเป็นผลรวมเชิงเส้น (อาจเป็นอนันต์) ของฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนดให้: อนุกรมฟูริเยร์ ที่เกี่ยวข้อง อนุกรมฟูริเยร์แบบคลาสสิกที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันfที่กำหนดบนช่วง[0, 1]คืออนุกรมในรูปแบบ โดยที่ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$$${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

ภาพแสดงตัวอย่างการบวกพจน์แรก ๆ ในอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันฟันเลื่อย ฟังก์ชันพื้นฐานคือคลื่นไซน์ที่มีความยาวคลื่น⁠λ/n(สำหรับจำนวนเต็ม n ) สั้นกว่าความยาวคลื่น λของคลื่นฟันเลื่อยเอง (ยกเว้นกรณี n = 1ซึ่ง เป็นคลื่น พื้นฐาน )

ปัญหาสำคัญในอนุกรมฟูริเยร์แบบคลาสสิกถามว่าอนุกรมฟูริเยร์ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันf ในแง่ใด หากมี วิธีการของปริภูมิฮิลเบิร์ตให้คำตอบที่เป็นไปได้หนึ่งข้อสำหรับคำถามนี้^{[ 68 ]}ฟังก์ชันe _n ( θ ) = e ^{2π ใน θ}สร้างฐานเชิงตั้งฉากของปริภูมิฮิลเบิร์ตL ² ([0, 1])ดังนั้น ฟังก์ชันใดๆ ที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้สามารถแสดงเป็นอนุกรมได้ และยิ่งไปกว่านั้น อนุกรมนี้ลู่เข้าในความหมายของปริภูมิฮิลเบิร์ต (นั่นคือ ในค่าเฉลี่ยL ² ) $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$$

ปัญหาสามารถศึกษาได้จากมุมมองเชิงนามธรรมเช่นกัน: ปริภูมิฮิลเบิร์ตทุกปริภูมิมีฐานตั้งฉากปกติและองค์ประกอบทุกตัวของปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันเป็นผลรวมของตัวคูณขององค์ประกอบฐานเหล่านี้ สัมประสิทธิ์ที่ปรากฏบนองค์ประกอบฐานเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ขององค์ประกอบในปริภูมิในเชิงนามธรรม^{[ 69 ]}นามธรรมนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อการใช้ฟังก์ชันฐานที่แตกต่างกันสำหรับปริภูมิเช่นL ² ([0, 1]) เป็นธรรมชาติมากกว่า ในหลายกรณี เป็นที่พึงปรารถนาที่จะไม่แยกฟังก์ชันออกเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่เป็นการแยกออกเป็นพหุนามเชิงตั้งฉากหรือเวฟเล็ตตัวอย่างเช่น^{[ 70 ]}และในมิติที่สูงกว่าเป็นฮาร์มอนิกทรงกลม^{[ 71 ]}

ตัวอย่างเช่น ถ้าe _nเป็นฟังก์ชันฐานออร์โทนอร์มอลใดๆ ของL ² [0, 1]แล้วฟังก์ชันที่กำหนดในL ² [0, 1]สามารถประมาณได้เป็นการรวมเชิงเส้นจำกัด^{[ 72 ]}$${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

สัมประสิทธิ์{ a _j }ถูกเลือกเพื่อให้ขนาดของความแตกต่าง‖ f − f _n ‖ ²มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในทางเรขาคณิตการประมาณที่ดีที่สุดคือการฉายภาพตั้งฉากของfลงบนปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยการรวมเชิงเส้นทั้งหมดของ{ e _j }และสามารถคำนวณได้โดย^{[ 73 ]}$${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

การที่สูตรนี้ทำให้ความแตกต่าง‖ f − f _n ‖ ² มีค่าน้อยที่สุด นั้น เป็นผลมาจากอสมการของเบสเซลและสูตรของปาร์เซวัล

ในการประยุกต์ใช้กับปัญหาทางกายภาพต่างๆ ฟังก์ชันสามารถแยกออกเป็นฟังก์ชันเฉพาะ ที่มีความหมายทางกายภาพ ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (โดยทั่วไปคือตัวดำเนินการลาปลาส ) ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาเชิงสเปกตรัมของฟังก์ชัน โดยอ้างอิงถึงสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์^{[ 74 ]}การประยุกต์ใช้ทางกายภาพที่เป็นรูปธรรมเกี่ยวข้องกับปัญหาการได้ยินรูปร่างของกลอง : เมื่อกำหนดโหมดการสั่นสะเทือนพื้นฐานที่หนังกลองสามารถสร้างได้แล้ว เราสามารถอนุมานรูปร่างของกลองได้หรือไม่? ^{[ 75 ]}การกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของคำถามนี้เกี่ยวข้องกับค่าเฉพาะของ Dirichletของสมการลาปลาสในระนาบ ซึ่งแสดงถึงโหมดการสั่นสะเทือนพื้นฐานในลักษณะเดียวกันกับจำนวนเต็มที่แสดงถึงโหมดการสั่นสะเทือนพื้นฐานของสายไวโอลิน^{[ 76 ]}

ทฤษฎีสเปกตรัมยังเป็นพื้นฐานของบางแง่มุมของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน ในขณะที่การวิเคราะห์ฟูริเยร์แยกฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตกระชับออกเป็นสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องของลาปลาเซียน (ซึ่งสอดคล้องกับการสั่นสะเทือนของสายไวโอลินหรือกลอง) การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันคือการแยกฟังก์ชันที่กำหนดบนพื้นที่ยูคลิดทั้งหมดออกเป็นส่วนประกอบในสเปกตรัมแบบต่อเนื่องของลาปลาเซียน การแปลงฟูริเยร์ยังเป็นเชิงเรขาคณิต ในแง่หนึ่งที่ทำให้แม่นยำยิ่งขึ้นโดยทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลซึ่งยืนยันว่าเป็นการสมมาตรของปริภูมิฮิลเบิร์ตหนึ่ง ("โดเมนเวลา") กับอีกปริภูมิหนึ่ง ("โดเมนความถี่") คุณสมบัติการสมมาตรของการแปลงฟูริเยร์นี้เป็นธีมที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิง นามธรรม (เนื่องจากสะท้อนถึงการอนุรักษ์พลังงานสำหรับการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง) ดังที่เห็นได้จากทฤษฎีบทของแพลนเชอเรลสำหรับฟังก์ชันทรงกลมที่เกิดขึ้นในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบไม่สลับที่^{[ 77 ]}

ในการกำหนดกลศาสตร์ควอนตัม ที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ ซึ่งพัฒนาโดยJohn von Neumann [ ^{78 ]}สถานะที่เป็นไปได้ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ^{สถานะ}บริสุทธิ์ ) ของระบบกลศาสตร์ควอนตัมจะถูกแทนด้วยเวกเตอร์หน่วย (เรียกว่าเวกเตอร์สถานะ ) ที่อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกส่วนเชิงซ้อน ซึ่งเรียกว่าปริภูมิสถานะซึ่งกำหนดไว้อย่างดีจนถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าบรรทัดฐาน 1 ( ตัวประกอบเฟส ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง สถานะที่เป็นไปได้คือจุดในการฉายภาพของปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าปริภูมิฉายภาพเชิงซ้อนลักษณะที่แน่นอนของปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้ขึ้นอยู่กับระบบ ตัวอย่างเช่น สถานะตำแหน่งและโมเมนตัมสำหรับอนุภาคสปินศูนย์ที่ไม่สัมพัทธภาพเดี่ยวคือปริภูมิของ ฟังก์ชัน ที่สามารถอินทิเก รตกำลังสองได้ทั้งหมด ในขณะที่สถานะสำหรับสปินของโปรตอนเดี่ยวคือองค์ประกอบหน่วยของปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนสองมิติของสปินเนอร์แต่ละตัวสังเกตได้จะถูกแทนด้วย ตัว ดำเนินการเชิงเส้นแบบสมมาตรที่ กระทำบนปริภูมิสถานะ แต่ละสถานะไอเกนของตัวสังเกตจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ไอเกนของตัวดำเนินการ และค่าไอเกน ที่เกี่ยวข้อง จะสอดคล้องกับค่าของตัวสังเกตในสถานะไอเกนนั้น^{[ 79 ]}

ผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์สถานะสองตัวคือจำนวนเชิงซ้อนที่เรียกว่าแอมพลิจูดความน่าจะเป็นในระหว่างการวัดระบบกลศาสตร์ควอนตัมใน อุดมคติ ความน่าจะเป็นที่ระบบจะยุบตัวจากสถานะเริ่มต้นที่กำหนดไปยังสถานะเฉพาะจะได้รับจากกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของแอมพลิจูดความน่าจะเป็นระหว่างสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย^{[ 80 ]}ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการวัดคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ ซึ่งอธิบายถึงการเลือกตัวดำเนินการแบบสมมาตร เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดต้องเป็นจำนวนจริง การกระจายความน่าจะเป็นของสิ่งที่สังเกตได้ในสถานะที่กำหนดสามารถพบได้โดยการคำนวณการแยกส่วนสเปกตรัมของตัวดำเนินการที่สอดคล้องกัน^{[ 81 ]}

สำหรับระบบทั่วไป สถานะมักจะไม่บริสุทธิ์ แต่จะถูกแทนด้วยการผสมทางสถิติของสถานะบริสุทธิ์ หรือสถานะผสม ซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์ความหนาแน่น : ตัวดำเนินการสมมาตรที่มีร่องรอยหนึ่งในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 82 ]}ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับระบบกลศาสตร์ควอนตัมทั่วไป ผลของการวัดเพียงครั้งเดียวสามารถส่งผลต่อส่วนอื่นๆ ของระบบในลักษณะที่อธิบายโดยการวัดค่าตัวดำเนินการบวกดังนั้นโครงสร้างทั้งของสถานะและสิ่งที่สังเกตได้ในทฤษฎีทั่วไปจึงซับซ้อนกว่าการทำให้เป็นอุดมคติสำหรับสถานะบริสุทธิ์มาก^{[ 83 ]}

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตยังมีการประยุกต์ใช้ที่หลากหลายอีกด้วย ในที่นี้ ปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐานคือปริภูมิของตัวแปรสุ่มบนปริภูมิความน่าจะเป็น ที่กำหนด ซึ่งมีคลาส(โมเมนต์แรกและโมเมนต์ ที่สองจำกัด ) การดำเนินการทั่วไปในสถิติคือการหาค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มโดยการลบค่าคาดหวัง ของมัน ดังนั้น ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม แล้วคือค่าเฉลี่ยของมัน ในมุมมองของปริภูมิฮิลเบิร์ต นี่คือการฉายภาพเชิงตั้งฉากของบนเคอร์เนลของตัวดำเนินการค่าคาดหวัง ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนปริภูมิฮิลเบิร์ต (อันที่จริงคือผลคูณภายในกับตัวแปรสุ่มคงที่ 1) ดังนั้นเคอร์เนลนี้จึงเป็นปริภูมิย่อยปิด^{[ 84 ]}${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X-E(X)}$${\displaystyle X}$

ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขมีการตีความตามธรรมชาติในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 85 ]}สมมติว่าปริภูมิความน่าจะเป็นถูกกำหนด โดยที่เป็นพีชคณิตซิกมาบนเซตและเป็นการวัดความน่าจะเป็นบนปริภูมิการวัดถ้าเป็นพีชคณิตซิกมาย่อยของแล้วความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขคือการฉายภาพเชิงตั้งฉากของไปยังปริภูมิย่อยของ ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่วัดได้ ถ้าตัวแปรสุ่มในเป็นอิสระจากพีชคณิตซิกมาความคาดหวังแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ การฉายภาพของมันไปยังฟังก์ชันที่วัดได้ จะเป็นค่าคงที่ หรือเทียบเท่ากับการฉายภาพของศูนย์กลางของมันคือศูนย์ ${\displaystyle (\Omega ,P,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle P}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {F}}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {F}})=E(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากตัวแปรสุ่มสองตัวและ(ใน) เป็นอิสระต่อกัน ตัวแปรสุ่มศูนย์กลางและจะเป็นแบบตั้งฉากกัน (ซึ่งหมายความว่าตัวแปรทั้งสองมีค่าความแปรปรวน ร่วมเป็นศูนย์ : พวกมันไม่มีความสัมพันธ์กัน ) ในกรณีนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในเคอร์เนลของตัวดำเนินการคาดหวังบ่งชี้ว่าความแปรปรวนของและเป็นไปตามเอกลักษณ์: บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสของสถิติ และมีความสำคัญในการถดถอยเชิงเส้น การวิเคราะห์ความแปรปรวนสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อให้ความแปรปรวนถูกมองว่าเป็นการแยกส่วนของความยาวกำลังสองของเวกเตอร์ออกเป็นผลรวมของความยาวกำลังสองของเวกเตอร์หลายตัว^{[ 86 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$${\displaystyle X-E(X)}$${\displaystyle Y-E(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),}$$

ทฤษฎีของมาร์ติงเกลสามารถกำหนดได้ในปริภูมิฮิลเบิร์ต มาร์ติงเกลในปริภูมิฮิลเบิร์ตคือลำดับขององค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยที่สำหรับแต่ละn คือการฉายภาพเชิงตั้งฉากของบนเปลือกเชิงเส้นของ[ ^{87 ] ถ้า}เป็น ตัวแปรสุ่ม สิ่งนี้จะสร้างนิยามปกติของมาร์ติงเก ล (แบบไม่ต่อเนื่อง) ขึ้นมาใหม่: ค่าคาดหวังของโดยมีเงื่อนไขบนเท่ากับ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตยังถูกใช้ตลอดรากฐานของแคลคูลัสอิโต [ ^{88 ] สำหรับ}มาร์ติงเกล ที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ นั้น เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงบรรทัดฐานฮิลเบิร์ตบนปริภูมิของชั้นสมมูลของกระบวนการที่วัดได้แบบก้าวหน้าโดยสัมพันธ์กับมาร์ติงเกล (โดยใช้การแปรผันกำลังสองของมาร์ติงเกลเป็นการวัด) อินทิกรัลอิโตสามารถสร้างได้โดยการกำหนดสำหรับกระบวนการง่ายๆ ก่อน จากนั้นจึงใช้ความหนาแน่นของพวกมันในปริภูมิฮิลเบิร์ต ผลลัพธ์ที่น่าสนใจคือไอโซเมตรีอิโตซึ่งยืนยันว่าสำหรับมาร์ติงเกลM ใดๆ ที่มีการวัดการแปรผันกำลังสองและกระบวนการที่วัดได้แบบก้าวหน้าH ใดๆ : ^{[ 89 ]} เมื่อใดก็ตามที่ความคาดหวังทางด้านขวามือมีค่าจำกัด ${\displaystyle d\langle M\rangle _{t}}$$${\displaystyle E{\biggl [}{\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dM_{s}\right){\vphantom {{\Bigr )}^{2}}}^{\!\!2\,}}{\biggr ]}=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right]}$$

การประยุกต์ใช้ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีของกระบวนการเกาส์เซียนคือความพยายามของเลียวนาร์ด กรอสส์และคนอื่นๆ ในการทำความเข้าใจปริพันธ์เชิงรูปธรรมบางอย่างเหนือปริภูมิที่มีมิติอนันต์ เช่นปริพันธ์เส้นทางไฟน์แมนจากทฤษฎีสนามควอนตัมปัญหาของปริพันธ์เช่นนี้คือไม่มีการวัดเลเบสที่มีมิติอนันต์แนวคิดของปริภูมิไวเนอร์นามธรรมช่วยให้สามารถสร้างการวัดบนปริภูมิบานาคBที่มีปริภูมิฮิลเบิร์ตHซึ่งเรียกว่าปริภูมิคาเมรอน-มาร์ตินเป็นเซตย่อยหนาแน่น จากการวัดเซตทรงกระบอกแบบบวกจำกัดบนHการวัดที่ได้บนBเป็นแบบบวกนับได้และไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลโดยองค์ประกอบของHและสิ่งนี้ให้วิธีการคิดที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของการวัดไวเนอร์ในฐานะการวัดเกาส์เซียนที่ปรับให้เข้ากับปริภูมิโซโบเลฟ^{[ 90 ]}${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$

สีทางกายภาพที่แท้จริงใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกันของสีสเปกตรัม บริสุทธิ์ เนื่องจากสีทางกายภาพสามารถประกอบขึ้นจากสีสเปกตรัมจำนวนใดๆ ก็ได้ พื้นที่ของสีทางกายภาพจึงสามารถแสดงได้อย่างเหมาะสมด้วยพื้นที่ฮิลเบิร์ตเหนือสีสเปกตรัม มนุษย์มีเซลล์รูปกรวยสามประเภทสำหรับการรับรู้สี ดังนั้นสีที่รับรู้ได้จึงสามารถแสดงได้ด้วยพื้นที่ยูคลิด 3 มิติ การแมปเชิงเส้นแบบหลายต่อหนึ่งจากพื้นที่ฮิลเบิร์ตของสีทางกายภาพไปยังพื้นที่ยูคลิดของสีที่มนุษย์รับรู้ได้ อธิบายว่าทำไมสีทางกายภาพที่แตกต่างกันหลายสีจึงอาจถูกมนุษย์รับรู้ว่าเหมือนกัน (เช่น แสงสีเหลืองบริสุทธิ์เทียบกับแสงสีแดงและสีเขียวผสมกัน ดูMetamerism ) ^{[ 91 ] [ 92 ]}

เวกเตอร์uและvในปริภูมิฮิลเบิร์ตHจะตั้งฉากกันเมื่อ⟨ u , v ⟩ = 0โดยใช้สัญลักษณ์u ⊥ vและโดยทั่วไปแล้ว เมื่อSเป็นเซตย่อยในHสัญลักษณ์u ⊥ Sหมายความว่าuตั้งฉากกับทุกสมาชิกใน S

เมื่อuและvตั้งฉากกัน จะได้ว่า $${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

โดยการอุปมานบนnสิ่งนี้ขยายไปถึงตระกูลใดๆu ₁ , ..., u _nของเวกเตอร์ตั้งฉาก n ตัว$${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

ในขณะที่เอกลักษณ์พีทาโกเรียนตามที่ระบุไว้นั้นใช้ได้ในปริภูมิผลคูณภายในใดๆ ความสมบูรณ์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการขยายเอกลักษณ์พีทาโกเรียนไปยังอนุกรม^{[ 93 ]}อนุกรมΣ u _kของ เวกเตอร์ ตั้งฉากจะลู่เข้าในHก็ต่อเมื่ออนุกรมของกำลังสองของบรรทัดฐานลู่เข้า และ ยิ่งไปกว่านั้น ผลรวมของอนุกรมของเวกเตอร์ตั้งฉากจะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับที่นำมาใช้ $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$

ตามนิยามแล้ว พื้นที่ฮิลเบิร์ตทุกพื้นที่ก็เป็นพื้นที่บานาค ด้วยเช่น กัน ยิ่งไปกว่านั้น ในพื้นที่ฮิลเบิร์ตทุกพื้นที่ จะมี เอกลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังต่อไปนี้ : ^{[ 94 ]}$${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

ในทางกลับกัน พื้นที่ Banach ทุกแห่งที่เอกลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นจริงจะเป็นพื้นที่ Hilbert และผลคูณภายในจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยบรรทัดฐานโดยเอกลักษณ์โพลาไรเซชัน [ ^{95 ] สำหรับ}พื้นที่ Hilbert จริง เอกลักษณ์โพลาไรเซชันคือ $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

สำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน มันคือ $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

กฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานบ่งชี้ว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตใดๆ ก็เป็นปริภูมิบานาคที่มีความนูนสม่ำเสมอ^{[ 96 ]}

ส่วนย่อยนี้ใช้ทฤษฎีบทการฉายภาพของฮิลเบิร์ต^หาก C เป็นเซตย่อยนูนปิดที่ไม่ว่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตHและxเป็นจุดในHจะมีจุดy ∈ C เพียงจุดเดียว ที่ทำให้ระยะห่างระหว่างxและจุดในC น้อยที่สุด [ ^{97 ]}$${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกล่าวว่ามีจุดที่มีบรรทัดฐานน้อยที่สุดในเซตแบบนูนที่แปลแล้วD = C − xการพิสูจน์ประกอบด้วยการแสดงว่าลำดับที่ลดค่าต่ำสุดทุกลำดับ( d _n ) ⊂ Dเป็นโคชี (โดยใช้เอกลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ดังนั้นจึงลู่เข้า (โดยใช้ความสมบูรณ์) ไปยังจุดในDที่มีบรรทัดฐานน้อยที่สุด โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้เป็นจริงในปริภูมิบานาคแบบนูนสม่ำเสมอใดๆ^{[ 98 ]}

เมื่อนำผลลัพธ์นี้ไปใช้กับปริภูมิย่อยปิดFของHจะสามารถแสดงได้ว่าจุดy ∈ Fที่อยู่ใกล้x ที่สุด มีลักษณะเฉพาะโดย^{[ 99 ]}$${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

จุดy นี้ เป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากของxบนFและการแมปP _F  : x → yเป็นเชิงเส้น (ดู§ ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากและการฉายภาพ ) ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์ประยุกต์โดยเฉพาะการวิเคราะห์เชิงตัวเลขซึ่งเป็นพื้นฐานของวิธีการกำลังสองน้อยที่สุด^{[ 100 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อFไม่เท่ากับHเราสามารถหาเวกเตอร์v ที่ไม่ใช่ศูนย์ และตั้งฉากกับF ได้ (เลือกx ∉ Fและv = x − y ) เกณฑ์ที่มีประโยชน์มากได้มาจากการนำข้อสังเกตนี้ไปใช้กับปริภูมิย่อยปิดF ที่ สร้าง ขึ้นโดยเซตย่อยSของH

เซตย่อยSของH แผ่ขยายเป็นปริภูมิย่อย เวกเตอร์หนาแน่นได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ 0 เป็นเวกเตอร์เดียวv ∈ Hที่ตั้งฉากกับS

ปริภูมิคู่H *คือปริภูมิของ ฟังก์ชันเชิงเส้น ต่อเนื่อง ทั้งหมด จากปริภูมิHไปยังฟิลด์ฐาน ปริภูมิคู่นี้มีนอร์มธรรมชาติที่กำหนดโดย นอร์มนี้สอดคล้อง กับ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นปริภูมิคู่จึงเป็นปริภูมิผลคูณภายในด้วย โดยผลคูณภายในนี้สามารถกำหนดได้ในรูปของนอร์มคู่โดยใช้เอกลักษณ์โพลาไรเซชัน ปริภูมิคู่ยังสมบูรณ์ด้วย ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวของมันเอง ถ้าe _• = ( eᵢ ₎ ᵢ _{∈ I}เป็นฐานเชิงตั้งฉากสมบูรณ์สำหรับHแล้ว ผลคูณภายในบนปริภูมิคู่ของสองปริภูมิใดๆ_คือโดย ที่เทอมทั้งหมดในอนุกรมนี้เป็นศูนย์ ยกเว้นจำนวนเทอมที่นับได้ $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$${\displaystyle f,g\in H^{*}}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$

ทฤษฎีบทการแทนของรีซให้คำอธิบายที่สะดวกของปริภูมิคู่ขนาน สำหรับทุกองค์ประกอบuของHจะมีองค์ประกอบφ _u ที่ไม่ซ้ำกัน ของH *ซึ่งกำหนดโดย โดย ที่ยิ่งไปกว่านั้น$${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

ทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Riesz ระบุว่าแผนที่จากHไปยังH *ที่กำหนดโดยu ↦ φ _uเป็นแผนที่ทั่วถึงซึ่งทำให้แผนที่นี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมแอนติลิ เนียร์แบบ ไอโซเมตริก^{[ 101 ]}ดังนั้นสำหรับทุกองค์ประกอบφของH * คู่ จะมี u _φเพียงหนึ่งเดียวในHเช่นนั้น สำหรับทุกx ∈ Hผลคูณภายในบนปริภูมิคู่H *เป็นไปตาม $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$$${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

การกลับลำดับทางด้านขวามือจะคืนค่าความเป็นเส้นตรงในφจากความเป็นปฏิเส้นตรงของu _φในกรณีจริง ไอโซมอร์ฟิซึมปฏิเส้นตรงจากHไปยังคู่ของมันนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมจริง ๆ ดังนั้นปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงจึงสมมูลกับคู่ของมันเองโดยธรรมชาติ^{[ 102 ]}

เวกเตอร์แทนu _φได้มาด้วยวิธีต่อไปนี้ เมื่อφ ≠ 0เคอร์เนลF = Ker( φ )เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดของH ซึ่งไม่เท่ากับHดังนั้นจึงมีเวกเตอร์v ที่ไม่ใช่ศูนย์และ ตั้งฉากกับFเวกเตอร์uเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์λv ที่เหมาะสม ของvข้อกำหนดที่ว่าφ ( v ) = ⟨ v , u ⟩ทำให้ได้ $${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

การจับคู่ φ ↔ uนี้ถูกใช้ประโยชน์โดยสัญกรณ์ bra–ketที่นิยมในฟิสิกส์^[ 103 ^]เป็นเรื่องปกติในฟิสิกส์ที่จะถือว่าผลคูณภายใน ซึ่งแสดงด้วย^⟨ x | y ⟩เป็นเชิงเส้นทางด้านขวา ผลลัพธ์⟨ x | y ⟩สามารถมองได้ว่าเป็นการกระทำของฟังก์ชันเชิงเส้น⟨ x | ( bra ) บนเวกเตอร์| y ⟩ ( ket ) $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$

ทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซอาศัยพื้นฐานไม่เพียงแค่การมีอยู่ของผลคูณภายในเท่านั้น แต่ยังอาศัยความสมบูรณ์ของปริภูมิด้วย ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ว่าปริภูมิคู่เชิงโทโพโลยีของปริภูมิผลคูณภายในใดๆ ก็สามารถระบุได้กับความสมบูรณ์ของมัน^{[ 104 ]}ผลที่ตามมาโดยตรงจากทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซก็คือ ปริภูมิฮิลเบิร์ตHเป็นแบบสะท้อนกลับซึ่งหมายความว่าแผนที่ธรรมชาติจากH ไปยัง ปริภูมิคู่สองเท่าของมันคือไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 105 ]}

ในปริภูมิฮิลเบิร์ตH ลำดับ { x n _}จะลู่เข้าอย่างอ่อนไปยังเวกเตอร์x ∈ Hเมื่อ สำหรับทุกv ∈ H$${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$

ตัวอย่างเช่น ลำดับออร์โทนอร์มอลใดๆ{ f _n }ลู่เข้าแบบอ่อนไปยัง 0 อันเป็นผลมาจากอสมการของเบสเซลลำดับที่ลู่เข้าแบบอ่อนทุกลำดับ{ x _n }มีขอบเขตจำกัด ตาม หลักการมีขอบเขตจำกัดแบบ เอก รูป

ในทางกลับกัน ลำดับที่มีขอบเขตทุกลำดับในปริภูมิฮิลเบิร์ตยอมรับลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างอ่อน ( ทฤษฎีบทของ Alaoglu ) ^{[ 106 ]}ข้อเท็จจริงนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์การลดค่าต่ำสุดสำหรับฟังก์ชันนูน ต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกับที่ทฤษฎีบท Bolzano–Weierstrassใช้สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบนR ^dในบรรดารูปแบบต่างๆ ข้อความง่ายๆ ข้อหนึ่งมีดังนี้: ^{[ 107 ]}

ถ้าf  : H → Rเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนูน โดยที่f ( x )มีแนวโน้มเข้าสู่+∞เมื่อ‖x‖ มีแนวโน้มเข้าสู่∞แล้วfจะมีค่าต่ำสุดที่จุดx₀ ∈ _H บาง จุด

ข้อเท็จจริงนี้ (และการสรุปทั่วไปต่างๆ) เป็นพื้นฐานสำหรับวิธีการโดยตรงในแคลคูลัสของการแปรผันผลลัพธ์การลดค่าต่ำสุดสำหรับฟังก์ชันนูนเป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่เป็นนามธรรมเล็กน้อยที่ว่าเซตย่อยนูนปิดที่มีขอบเขตในปริภูมิฮิลเบิร์ตHนั้นเป็นเซตกระชับแบบอ่อนเนื่องจากHเป็นปริภูมิสะท้อน การมีอยู่ของลำดับย่อยที่ลู่เข้าแบบอ่อนเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทEberlein–Šmulian ^{[ 108 ]}

คุณสมบัติทั่วไปใดๆ ของปริภูมิบานาคยังคงใช้ได้กับปริภูมิฮิลเบิร์ตทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดระบุว่า การแปลงเชิงเส้น แบบต่อเนื่องทั่วถึง จากปริภูมิบานาคหนึ่งไปยังอีก ปริภูมิหนึ่งเป็นการ แมปแบบเปิด ซึ่งหมายความว่ามันส่งเซตเปิดไปยังเซตเปิด บทสรุปคือทฤษฎีบทผกผันแบบมีขอบเขตซึ่งระบุว่าฟังก์ชันเชิงเส้นแบบต่อเนื่องและทั่วถึงจากปริภูมิบานาคหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (นั่นคือ แผนที่เชิงเส้นแบบต่อเนื่องซึ่งผกผันก็ต่อเนื่องเช่นกัน) ทฤษฎีบทนี้พิสูจน์ได้ง่ายกว่ามากในกรณีของปริภูมิฮิลเบิร์ตมากกว่าในปริภูมิบานาคทั่วไป^{[ 109 ]}ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดเทียบเท่ากับทฤษฎีบทกราฟปิดซึ่งยืนยันว่าฟังก์ชันเชิงเส้นจากปริภูมิบานาคหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่งจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อกราฟของมันเป็นเซตปิด^{[ 110 ]}ในกรณีของปริภูมิฮิลเบิร์ต นี่เป็นพื้นฐานในการศึกษาตัวดำเนินการที่ไม่มีขอบเขต (ดูตัวดำเนินการปิด ) ^{[ 111 ]}

ทฤษฎีบท Hahn–Banach (ทางเรขาคณิต) ยืนยันว่าเซตแบบนูนปิดสามารถแยกออกจากจุดใดๆ ภายนอกได้โดยใช้ระนาบไฮเปอร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ต นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจาก คุณสมบัติ การประมาณที่ดีที่สุด : ถ้าyเป็นองค์ประกอบของเซตแบบนูนปิดFที่อยู่ใกล้x ที่สุด ระนาบไฮเปอร์ที่แยกออกคือระนาบที่ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงxyที่ผ่านจุดกึ่งกลาง^{[ 112 ]}

ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องA  : H ₁ → H ₂จากปริภูมิฮิลเบิร์ตH ₁ไปยังปริภูมิฮิลเบิร์ตที่สองH ₂นั้นมีขอบเขตในแง่ที่ว่าพวกมันแมปเซตที่มีขอบเขตไปยังเซตที่มีขอบเขต^{[ 113 ]}ในทางกลับกัน ถ้าตัวดำเนินการมีขอบเขต ตัวดำเนินการนั้นก็จะมีความต่อเนื่อง ปริภูมิของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต ดังกล่าว มีนอร์มซึ่งเป็นนอร์มของตัวดำเนินการที่กำหนดโดย^{[ 114 ]}$${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

ผลรวมและการประกอบของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตสองตัวจะมีขอบเขตและเป็นเชิงเส้นอีกครั้ง^{[ 115 ]}สำหรับyในH ₂แผนที่ที่ส่งx ∈ H ₁ไปยัง⟨ Ax , y ⟩เป็นเชิงเส้นและต่อเนื่อง และตามทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Rieszจึงสามารถแสดงในรูปแบบ^{[ 116 ]} สำหรับเวกเตอร์A * y บางตัว ในH ₁ซึ่งกำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตอีกตัวหนึ่งA * : H ₂ → H ₁ซึ่งเป็นตัวผกผันของAตัวผกผันเป็นไปตามA ** = Aเมื่อใช้ทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Riesz เพื่อระบุปริภูมิฮิลเบิร์ตแต่ละปริภูมิกับปริภูมิคู่ต่อเนื่อง ตัวผกผันของAสามารถแสดงได้ว่าเหมือนกับ ท รานสโพส^t A  : H ₂ * → H ₁ *ของAซึ่งตามคำนิยามจะส่งไปยังฟังก์ชัน$${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

เซตB( H )ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตทั้งหมดบนH (หมายถึงตัวดำเนินการH → H ) พร้อมด้วยการดำเนินการบวกและการประกอบ นอร์ม และการดำเนินการผกผัน เป็นพีชคณิต C*ซึ่งเป็นพีชคณิตตัวดำเนินการ ประเภท หนึ่ง^{[ 117 ]}

องค์ประกอบAของB( H )เรียกว่า 'สมมาตรในตัวเอง' หรือ 'เฮอร์มิเชียน' ถ้าA * = Aถ้าAเป็นเฮอร์มิเชียนและ⟨ Ax , x ⟩ ≥ 0สำหรับทุกxแล้วAเรียกว่าบวก เขียนว่าA ≥ 0เซตของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองยอมรับลำดับบางส่วนซึ่งA ≥ Bถ้าA − B ≥ 0ถ้าAมีรูปแบบB * BสำหรับB บางตัว แล้วAเป็นบวก ถ้าBผกผันได้ แล้วAเป็นบวกอย่างเคร่งครัด บทกลับก็เป็นจริงเช่นกันในแง่ที่ว่า สำหรับตัวดำเนินการบวกA จะมี รากที่ สองที่ไม่เป็นลบที่ไม่ซ้ำกันBเช่นนั้น^{[ 118 ]}$${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

ทฤษฎีบทสเปกตรัมให้ความหมายที่แม่นยำว่าตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองมีบทบาทอย่างไรในฐานะฟังก์ชันค่าจริง: ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่มีขอบเขตจะมีสเปกตรัมจริงและสามารถแสดงได้ผ่านแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันโดยการคูณด้วยฟังก์ชันค่าจริง โดยทั่วไปแล้ว ตัวดำเนินการปกติจะคล้ายคลึงกับฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน มันสามารถแยกออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการสมมาตรในตัวเองที่สลับกันได้^{[ 119 ]} ในทางกลับกัน ถ้าตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองสองตัวสลับกันได้ ผลรวมของพวกมันในรูปแบบนี้จะเป็นปกติ $${\displaystyle A=\operatorname {Re} A+i\operatorname {Im} A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}.}$$

องค์ประกอบUของB( H )เรียกว่ายูนิแทรีถ้าUสามารถผกผันได้ และตัวผกผันของมันกำหนดโดยU *นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้โดยการกำหนดให้Uเป็นทั่วถึง และ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩สำหรับทุกx , y ∈ Hตัวดำเนินการยูนิแทรีสร้างกลุ่มภายใต้การประกอบ ซึ่งเป็นกลุ่มไอโซเม^ตรีของH [ ^{120 ]}

องค์ประกอบของB( H )จะกระชับได้ก็ต่อเมื่อมันส่งเซตที่มีขอบเขตไปยัง เซต ที่กระชับสัมพัทธ์กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตTจะกระชับได้ก็ต่อเมื่อสำหรับลำดับที่มีขอบเขต{ x _k } ใดๆ ลำดับ{ Tx _k }มีลำดับย่อยที่ลู่เข้าตัวดำเนินการอินทิกรัล จำนวนมาก กระชับได้ และกำหนดคลาสพิเศษของตัวดำเนินการที่เรียกว่าตัวดำเนินการฮิลเบิร์ต-ชมิดต์ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษาสมการอินทิกรัล^{[ 121 ]}

ตัวดำเนินการ Fredholmเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตซึ่งสามารถผกผันได้เมื่อพิจารณาโมดูลัสของตัวดำเนินการแบบกะทัดรัด ดังนั้น ตัวดำเนินการจะเป็น Fredholm ถ้ามีตัวดำเนินการที่มีขอบเขตเรียกว่าparametrixซึ่งเป็น compact (right-Fredholm) และเป็น compact (left-Fredholm) ตัวดำเนินการ Fredholm มีลักษณะเทียบเท่ากับตัวดำเนินการที่มีขอบเขตที่มีเคอร์เนล มิติจำกัด และช่วงปิด^{[ 122 ]}ดังนั้น ตัวดำเนินการ Fredholm จึงสอดคล้องกับองค์ประกอบที่สามารถผกผันได้ของพีชคณิต Calkinตัวดำเนินการ Fredholm สามารถคิดได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นตัวดำเนินการที่สามารถผกผันได้เมื่อพิจารณาโมดูลัสของผลกระทบมิติจำกัด ดัชนีของตัวดำเนินการ Fredholm Tถูกกำหนดโดย ดัชนีนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโฮโมโทปี^{[ 123 ]}และมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ผ่าน ทฤษฎีบท ดัชนีAtiyah–Singer ^{[ 124 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle TT'-I}$${\displaystyle T'T-I}$$${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$

ตัวดำเนินการไร้ขอบเขตเกิดขึ้นตามธรรมชาติในปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และในการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม [ ^{125 ] ตัว}ดำเนินการไร้ขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHคือแผนที่เชิงเส้น ที่มีโดเมนD ( T )เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของH ต่างจากตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ตัวดำเนินการไร้ขอบเขตมักจะไม่ถูกกำหนดบน Hทั้งหมดหากD ( T )มีความหนาแน่นในHแล้วTเรียกว่า ตัวดำเนิน การที่มีความหนาแน่น^{[ 126 ]}$${\displaystyle T:D(T)\to H}$$

โดเมนของตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดขอบเขตเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรเดียวกันอาจกำหนดตัวดำเนินการที่แตกต่างกันได้เมื่อมีโดเมนที่แตกต่างกัน ตัวดำเนินการที่ใช้ในการวิเคราะห์มักจะต้องเป็นแบบปิดซึ่งหมายความว่ากราฟเป็นแบบปิด หรือสามารถปิดได้ซึ่งหมายความว่าตัวดำเนินการสามารถขยายไปยังโดเมนที่ใหญ่กว่าไปยังตัวดำเนินการที่มีกราฟเป็นแบบปิด ตามทฤษฎีบทกราฟปิดตัวดำเนินการแบบปิดที่กำหนดบนปริภูมิฮิลเบิร์ตทั้งหมดจะมีขอบเขต ดังนั้นตัวดำเนินการแบบปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตอย่างแท้จริงจะต้องมีโดเมนที่เหมาะสม^{[ 127 ]}

ถ้าTถูกกำหนดอย่างหนาแน่นตัวดำเนินการผกผันT * ของมัน ถูกกำหนดดังนี้ เวกเตอร์y ∈ Hอยู่ในD ( T *)ถ้าแผนที่นั้น มีขอบเขตเมื่อเทียบกับนอร์มของปริภูมิฮิลเบิร์ตบนD ( T )ในกรณีนั้นทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซจะให้เวกเตอร์T * y ∈ H ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว โดยที่ สำหรับทุกx ∈ D ( T )ตัวดำเนินการที่กำหนดอย่างหนาแน่นเรียกว่าสมมาตรถ้าT ⊂ T *และ เรียก ว่าผกผันตัวเองถ้าT = T *รวมถึงความเท่าเทียมกันของโดเมน $${\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle ,\qquad x\in D(T),}$$$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$$

ตัวดำเนินการแบบสมมาตรในตัวเองที่ไม่จำกัดขอบเขตมีบทบาทเป็นตัวแปรที่สังเกตได้ในการกำหนดรูปแบบปริภูมิฮิลเบิร์ตของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 128 ]}บนL ² ( R )ตัวดำเนินการตำแหน่งคือตัวดำเนินการการคูณ ที่มีโดเมน ตัว ดำเนินการโมเมนตัมคือการทำให้เป็นจริงแบบสมมาตรในตัวเองของ ตัวอย่างเช่นที่มีโดเมนปริภูมิโซโบเลฟH ¹ ( R ) ^{[ 129 ]}หรือเทียบเท่ากันคือ การปิดของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์นี้ซึ่งกำหนดไว้ในตอนแรกบนฟังก์ชันเรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัด ตัวดำเนินการเหล่านี้ไม่ได้กำหนดไว้บนL ² ( R ) ทั้งหมด : สำหรับฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ทั่วไป อนุพันธ์ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ และผลคูณxf ( x )ไม่จำเป็นต้องหาปริพันธ์กำลังสองได้ $${\displaystyle (Qf)(x)=xf(x),}$$$${\displaystyle D(Q)=\{f\in L^{2}(\mathbf {R} ):xf(x)\in L^{2}(\mathbf {R} )\}.}$$$${\displaystyle (Pf)(x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),}$$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตสองปริภูมิH ₁และH ₂สามารถรวมกันเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตอีกปริภูมิหนึ่งที่เรียกว่าผลรวมโดยตรง (เชิงตั้งฉาก) ^[ 130 ^{] [ 131 ] และ}ใช้สัญลักษณ์แทน $${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$$

ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมด ( x ₁ , x ₂ )โดยที่x _i ∈ H _i , i = 1, 2และผลคูณภายในที่กำหนดโดย $${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าH _iเป็นตระกูลของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีดัชนีi ∈ Iแล้ว ผลรวมโดยตรงของH _iซึ่งเขียนแทนด้วย จะประกอบด้วยเซตของตระกูลที่มีดัชนีทั้งหมด ในผลคูณคาร์ทีเซียนของH _iเช่นนั้น $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$$$${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$$$${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$$

ผลคูณภายในถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$$

แต่ละH _iจะถูกรวมเป็นปริภูมิย่อยปิดในผลรวมโดยตรงของH _i ทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้นH _iตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ ในทางกลับกัน หากมีระบบของปริภูมิย่อยปิดV _i , i ∈ Iในปริภูมิฮิลเบิร์ตHซึ่งตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ และช่วงเชิงเส้นของปริภูมิย่อยเหล่านั้นมีความหนาแน่นในHแล้วHจะสมสัณฐานกับผลรวมโดยตรงของV _iในกรณีนี้Hเรียกว่าผลรวมโดยตรงภายในของV _iผลรวมโดยตรง (ภายในหรือภายนอก) ยังมีตระกูลของการฉายภาพตั้งฉากE _iไป ยัง ส่วนประกอบผลรวมโดยตรงที่i ของ H _i การฉายภาพเหล่านี้เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขต สมมาตรในตัวเอง และเป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์ที่ตรงตามเงื่อนไขการตั้งฉากกัน $${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$$

ทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองแบบกะทัดรัด บนปริภูมิฮิลเบิร์ต Hระบุว่าHแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงเชิงตั้งฉากของปริภูมิไอเกนของตัวดำเนินการ และยังให้การแยกส่วนที่ชัดเจนของตัวดำเนินการเป็นผลรวมของการฉายภาพลงบนปริภูมิไอเกน ผลรวมโดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ตยังปรากฏในกลศาสตร์ควอนตัมในฐานะปริภูมิฟ็อคของระบบที่มีอนุภาคจำนวนแปรผัน โดยที่ปริภูมิฮิลเบิร์ตแต่ละอันในผลรวมโดยตรงสอดคล้องกับระดับความเป็นอิสระ เพิ่มเติม สำหรับระบบกลศาสตร์ควอนตัม ในทฤษฎีการแทนค่า ทฤษฎีบท ปีเตอร์-ไวล์รับประกันว่าการแทนค่าเอกภาพ ใดๆ ของกลุ่มกะทัดรัดบนปริภูมิฮิลเบิร์ตจะแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนค่ามิติจำกัด^{[ 132 ] [ 133 ]}

ถ้าและแล้วเราจะกำหนดผลคูณภายในบนผลคูณเทนเซอร์ (แบบธรรมดา) ดังต่อไปนี้ บนเทนเซอร์แบบง่ายให้ ${\displaystyle x_{1},y_{1}\in H_{1}}$${\displaystyle x_{2},y_{2}\in H_{2}}$$${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$$

สูตรนี้จึงขยายโดยความเป็นเส้นตรงแบบเซสควิลิเนียร์ไปสู่ผลคูณภายในบนผลคูณเทนเซอร์แบบฮิลเบิร์ตของและซึ่งบางครั้งแสดงด้วยคือปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ได้จากการเติมเต็มสำหรับเมตริกที่เกี่ยวข้องกับผลคูณภายในนี้^{[ 134 ]}${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

ตัวอย่างหนึ่งคือปริภูมิฮิลเบิร์ต ผลคูณเทนเซอร์แบบฮิลเบิร์ตของสองสำเนาของนั้นสมมาตรและเชิงเส้นกับปริภูมิของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนกำลังสองความสมมาตรนี้ส่งเทนเซอร์แบบง่ายไปยังฟังก์ชัน บนกำลังสอง ${\displaystyle L^{2}([0,1]).}$${\displaystyle L^{2}([0,1])}$${\displaystyle L^{2}([0,1]^{2})}$${\displaystyle [0,1]^{2}.}$${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}}$$${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$$