ในทางคณิตศาสตร์ริง (ring)คือโครงสร้างพีชคณิตที่ประกอบด้วยเซตที่มีการดำเนินการทวิภาค สองอย่าง ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าการบวกและการคูณและเขียนแทนด้วยการบวกและการคูณจำนวนเต็ม การทำงานคล้ายกับการบวกและการคูณจำนวนเต็ม ยกเว้นว่าการคูณในริงไม่จำเป็นต้องเป็นการสลับที่ได้สมาชิกของริงอาจเป็นตัวเลข เช่น จำนวนเต็มหรือจำนวนเชิงซ้อนแต่ก็อาจเป็นสิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลข เช่นพหุนามเมทริกซ์จัตุรัสฟังก์ชันและอนุกรมกำลังได้เช่น กัน

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น วงแหวนคือเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคสองอย่าง ( การบวกและการคูณ ) โดยที่วงแหวนนั้นเป็นกลุ่มอาเบเลียนเมื่อเทียบกับการบวก การคูณมีคุณสมบัติสมาคมมีการกระจายตัวเหนือการดำเนินการบวก และมีองค์ประกอบเอกลักษณ์ การคูณ นักเขียนบางคนใช้คำว่าวงแหวนกับการขยายความทั่วไปเพิ่มเติม ซึ่งมักเรียกว่าrngที่ละเว้นข้อกำหนดสำหรับเอกลักษณ์การคูณ และเรียกโครงสร้างที่กำหนดไว้ข้างต้นว่าวงแหวนที่มีเอกลักษณ์แทน

วงแหวนสลับที่ (Commutative Ring ) คือวงแหวนที่มีการคูณแบบสลับที่ได้ คุณสมบัตินี้มีความหมายลึกซึ้งต่อคุณสมบัติของวงแหวน พีชคณิต สลับที่ (Commutative Algebra ) ซึ่งเป็นทฤษฎีของวงแหวนสลับที่ เป็นสาขาหลักของทฤษฎีวงแหวนการพัฒนาของพีชคณิตสลับที่นี้ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากปัญหาและแนวคิดของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในทางกลับกัน พีชคณิตสลับที่เป็นเครื่องมือพื้นฐานในสาขาคณิตศาสตร์เหล่านี้

ตัวอย่างของวงแหวนสลับที่ได้แก่ฟิลด์ ทุกประเภท (เช่น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ) จำนวนเต็ม พหุนามในตัวแปรเดียวหรือหลายตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในวงแหวนอื่นวงแหวนพิกัดของวาไรตี้พีชคณิตเชิงเส้นและวงแหวนจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน ตัวอย่างของวงแหวนไม่สลับที่ได้แก่ วงแหวนของเมทริกซ์จัตุรัสจริงn × nโดยที่n ≥ 2 วงแหวนกลุ่มในทฤษฎีการแทนพีชคณิตตัว ดำเนิน การในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันวงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และวงแหวนโคฮอโมโลยีในโทโพโลยี

แนวคิดเรื่องวงแหวนเกิดขึ้นในช่วงทศวรรษ 1870 ถึง 1920 โดยมีผลงานสำคัญจากRichard Dedekind , David Hilbert , Abraham FraenkelและEmmy Noetherวงแหวนได้รับการกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการครั้งแรกในฐานะที่เป็นการขยายความของโดเมนของ Dedekindซึ่งพบได้ในทฤษฎีจำนวนและของวงแหวนพหุนามและวงแหวนของตัวแปรคงที่ซึ่งพบได้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีตัวแปรคงที่ ต่อมาวงแหวน เหล่านี้ได้พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์ในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิตและการ วิเคราะห์

วงแหวนปรากฏในลำดับการรวมคลาส ต่อไปนี้ :

rngs ⊃วงแหวน ⊃วงแหวนสลับที่ ⊃ โดเมนจำนวนเต็ม ⊃โดเมนปิดจำนวนเต็ม ⊃โดเมน GCD ⊃โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ ⊃โดเมนอุดมคติหลัก ⊃โดเมนยุคลิด ⊃ฟิลด์ ⊃ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต

ริงคือเซตRที่มีการดำเนินการทวิภาค สองอย่าง ^{[ a ]} ​​+ (การบวก) และ ⋅ (การคูณ) ที่สอดคล้องกับชุดสัจพจน์สามชุดต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของริง : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. Rเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวก ซึ่งหมายความว่า:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c )สำหรับทุกa , b , cในR (นั่นคือ+ มี คุณสมบัติการสลับที่ )
   • a + b = b + aสำหรับทุก a , bใน R (นั่นคือ +มีคุณสมบัติการสลับที่ได้ )
   • มีสมาชิก0ในRที่ทำให้a + 0 = aสำหรับทุกaในR (นั่นคือ0เป็นเอกลักษณ์การบวก )
   • สำหรับแต่ละค่าaใน R จะมีค่า −aในRที่ทำให้a + (−a ) = 0 (นั่นคือ−aเป็นตัวผกผันการบวกของa )
2. Rเป็นโมโนอิดภายใต้การคูณ ซึ่งหมายความว่า:
   • ( a · b ) · c = a · ( b · c )สำหรับทุกa , b , cในR (นั่นคือ⋅มีคุณสมบัติการสลับที่)
   • มีสมาชิก1ในRที่ทำให้a · 1 = aและ1 · a = aสำหรับทุกaในR (นั่นคือ1เป็นเอกลักษณ์การคูณ ) ^{[ b ]}
3. การคูณมีคุณสมบัติการกระจายเมื่อเทียบกับการบวก ซึ่งหมายความว่า:
   • a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c )สำหรับทุก a , b , cใน R (คุณสมบัติการกระจายซ้าย)
   • ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a )สำหรับทุกa , b , cในR (การกระจายทางขวา)

ในการเขียนสัญลักษณ์ ทาง คณิตศาสตร์ มักจะละเว้นสัญลักษณ์การคูณ· ซึ่งในกรณีนี้ a · bจะเขียนเป็นab

ในศัพท์เฉพาะของบทความนี้ วงแหวน (ring) ถูกนิยามว่ามีเอกลักษณ์การคูณ ในขณะที่โครงสร้างที่มีนิยามเชิงสัจพจน์เดียวกันแต่ไม่มีข้อกำหนดเรื่องเอกลักษณ์การคูณ จะเรียกว่า " rng " (IPA: / r ʊ ŋ / ) โดยที่ "i" หายไปหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคู่ที่มีเครื่องหมาย + และ ⋅ ตามปกติ เป็น rng แต่ไม่ใช่วงแหวน ดังที่อธิบายไว้ในหัวข้อ § ประวัติด้านล่าง ผู้เขียนหลายคนใช้คำว่า "วงแหวน" โดยไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์การคูณ

แม้ว่าการบวกในริงจะเป็นการสลับที่ได้แต่การคูณในริงไม่จำเป็นต้องเป็นการสลับที่ได้เสมอไป กล่าวคือabไม่จำเป็นต้องเท่ากับbaเสมอไป ริงที่สอดคล้องกับการสลับที่สำหรับการคูณด้วย (เช่น ริงของจำนวนเต็ม) เรียกว่าริงสลับที่ได้หนังสือเกี่ยวกับพีชคณิตสลับที่ได้หรือเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมักใช้คำว่าริง ในที่นี้ หมายถึงริงสลับที่ได้เพื่อให้ง่ายต่อการใช้คำศัพท์

ในริงนั้น ไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันการคูณเสมอไป ริง ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งทุกสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์มีตัวผกผันการคูณเรียกว่าริงหารและริงหารสลับที่เรียกว่า ฟิลด์

กลุ่มการบวกของวงแหวนคือเซตพื้นฐานที่มีเฉพาะการดำเนินการบวกเท่านั้น แม้ว่าคำจำกัดความจะกำหนดให้กลุ่มการบวกต้องเป็นอะเบเลียน แต่สามารถอนุมานได้จากสัจพจน์วงแหวนอื่นๆ^{[ 4 ]}การพิสูจน์ใช้ " 1 " และใช้ไม่ได้ใน rng (สำหรับ rng การละเว้นสัจพจน์การสลับที่ของการบวกทำให้สามารถอนุมานได้จากสมมติฐาน rng ที่เหลือสำหรับองค์ประกอบที่เป็นผลคูณเท่านั้น: ab + cd = cd + ab )

ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "ring" เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ไม่มีข้อกำหนดให้การคูณเป็นแบบสมาคม ดู ส่วนย่อย ของ ring ที่ไม่เป็นแบบสมาคมด้านล่าง^{[ 5 ]} สำหรับผู้เขียนเหล่านี้ พีชคณิตทุก รูปแบบ เป็น "ring"

ตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดของริงคือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยจำนวนต่างๆดังนี้${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle \dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots }$

สัจพจน์ของริงนั้นจำลองมาจากคุณสมบัติที่คุ้นเคยของการบวกและการคูณจำนวนเต็ม

คุณสมบัติพื้นฐานบางประการของวงแหวนนั้นได้มาโดยตรงจากสัจพจน์:

• เอกลักษณ์ของสารเติมแต่งนั้นไม่เหมือนใคร
• ตัวผกผันการบวกของแต่ละองค์ประกอบนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว
• เอกลักษณ์การคูณนั้นมีเพียงหนึ่งเดียว
• สำหรับองค์ประกอบx ใดๆ ในริงRจะมีx 0 = 0 = 0 x (ศูนย์เป็นองค์ประกอบดูดซับเมื่อเทียบกับการคูณ) และ( –1) x = – x
• ถ้า0 = 1ในริงR (หรือโดยทั่วไปแล้ว0เป็นสมาชิกเอกลักษณ์) แล้วRจะมีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว และเรียกว่า ริ งศูนย์
• ถ้าวงแหวนRประกอบด้วยวงแหวนศูนย์เป็นวงแหวนย่อย แสดงว่าRเองก็คือวงแหวนศูนย์^{[ 6 ]}
• สูตรทวินามนี้ใช้ได้กับค่า x และ y ใดๆที่สอดคล้องกับสมการxy = yx

เตรียมอุปกรณ์ให้พร้อมด้วยการทำงานดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• ผลรวมใน⁠ ⁠คือเศษเหลือเมื่อจำนวนเต็มx + yหารด้วย4 (เนื่องจากx + yน้อยกว่า8เสมอ เศษเหลือนี้จึงเป็นx + yหรือx + y − 4 ) ตัวอย่างเช่นและ${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• ผลคูณใน⁠ ⁠คือเศษเหลือเมื่อจำนวนเต็มxyถูกหารด้วย4ตัวอย่างเช่นและ${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$จึงเป็นริง: แต่ละสัจพจน์เป็นผลมาจากสัจพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ถ้าxเป็นจำนวนเต็ม เศษเหลือของxเมื่อหารด้วย4อาจถือได้ว่าเป็นสมาชิกของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$และสมาชิกนี้มักจะเขียนแทนด้วย " x mod 4 " หรือซึ่งสอดคล้องกับสัญลักษณ์สำหรับ0, 1, 2, 3ตัวผกผันการบวกของใดๆใน⁠ ⁠คือตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

เซตของ เมทริกซ์จัตุรัส 2x2 ที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fคือ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

ด้วยการดำเนินการบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ทำให้สอดคล้องกับสัจพจน์ของริงข้างต้น สมาชิกคือเอกลักษณ์การคูณของริง ถ้าและแล้วในขณะที่ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าริงไม่สลับที่ ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับริงR ใดๆ ไม่ว่าจะเป็นริงสลับที่ได้หรือไม่ได้ และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn ใดๆ เมทริกซ์ จัตุรัสn × nที่มีสมาชิกอยู่ในRจะก่อให้เกิดริง ดูที่ริงเมทริกซ์

การศึกษาเรื่องวงแหวนมีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีวงแหวนพหุนามและทฤษฎีจำนวนเต็มพีชคณิต [ ^{11 ] ใน}ปี พ.ศ. 2414 ริชาร์ด เดเดคินด์ ได้นิยามแนวคิดของวงแหวนจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวน^{[ 12 ]}ในบริบทนี้ เขาได้แนะนำคำว่า "อุดมคติ" (ได้รับแรงบันดาลใจจาก แนวคิดเรื่องจำนวนอุดมคติของ เอิร์นส์ คุมเมอร์ ) และ "โมดูล" และศึกษาคุณสมบัติของคำเหล่านั้น เดเดคินด์ไม่ได้ใช้คำว่า "วงแหวน" และไม่ได้นิยามแนวคิดของวงแหวนในบริบททั่วไป

คำว่า "Zahlring" (วงแหวนจำนวน) ถูกบัญญัติโดยDavid Hilbertในปี 1892 และตีพิมพ์ในปี 1897 ^{[ 13 ]}ตามที่ Harvey Cohn กล่าว Hilbert ใช้คำนี้สำหรับวงแหวนที่มีคุณสมบัติ "วนกลับมาโดยตรง" สู่องค์ประกอบของตัวมันเอง (ในแง่ของความเท่าเทียมกัน ) ^{[ 14 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต กำลังสูงทั้งหมดของจำนวนเต็มพีชคณิตสามารถเขียนได้เป็นผลรวมเชิงอินทิกรัลของชุดกำลังที่ต่ำกว่าที่กำหนดไว้ และด้วยเหตุนี้กำลังจึง "วนกลับมา" ตัวอย่างเช่น ถ้าa ³ − 4 a + 1 = 0แล้ว:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

และอื่นๆ โดยทั่วไปแล้วⁿจะเป็นผลรวมเชิงเส้น^{จำนวนเต็ม}ของ 1 , aและa2

นิยามเชิงสัจพจน์แรกของวงแหวนถูกกำหนดโดยAbraham Fraenkelในปี 1915 ^{[ 15 ] [ 16 ]}แต่สัจพจน์ของเขานั้นเข้มงวดกว่าในนิยามสมัยใหม่ ตัวอย่างเช่น เขาต้องการให้ตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ ทุกตัว มีตัวผกผันการคูณ [ ^{17 ] ใน}ปี 1921 Emmy Noetherได้ให้นิยามเชิงสัจพจน์สมัยใหม่ของวงแหวนสลับที่ (ทั้งแบบมีและไม่มี 1) และพัฒนาพื้นฐานของทฤษฎีวงแหวนสลับที่ในบทความ Idealtheorie in Ringbereichen ของเธอ ^{[ 18 ]}

Fraenkel ใช้คำว่า "วงแหวน" กับโครงสร้างที่มีสัจพจน์ซึ่งรวมถึงเอกลักษณ์การคูณ^{[ 19 ]}ในขณะที่ Noether ใช้กับโครงสร้างที่ไม่มีสัจพจน์ดังกล่าว^{[ 18 ]}

หนังสือส่วนใหญ่หรือทั้งหมดเกี่ยวกับพีชคณิต^{[ 20 ] [ 21 ]}จนถึงราวปี 1960 ปฏิบัติตามธรรมเนียมของ Noether ที่ไม่กำหนดให้ต้องมี1สำหรับ "ริง" เริ่มตั้งแต่ช่วงปี 1960 เป็นต้นมา การที่หนังสือต่างๆ ระบุถึงการมีอยู่ของ1ในนิยามของ "ริง" กลายเป็นเรื่องปกติมากขึ้น โดยเฉพาะในหนังสือขั้นสูงจากผู้เขียนที่มีชื่อเสียง เช่น Artin ^{[ 22 ]} Bourbaki ^{[ 23 ]} Eisenbud ^{[ 24 ]}และ Lang ^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังมีหนังสือที่ตีพิมพ์จนถึงปี 2022 ที่ใช้คำนี้โดยไม่ต้องกำหนดให้ต้องมี1 [ ^{25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] ใน} ทำนอง เดียวกันสารานุกรมคณิตศาสตร์ก็ไม่กำหนดให้ต้องมีองค์ประกอบหน่วยในริง^{[ 29 ]}ในบทความวิจัย ผู้เขียนมักจะระบุนิยามของริงที่พวกเขาใช้ในตอนต้นของบทความนั้น

การ์ดเนอร์และวีแกนด์ยืนยันว่า เมื่อจัดการกับวัตถุหลายชิ้นในหมวดหมู่ของวงแหวน (ตรงข้ามกับการทำงานกับวงแหวนคงที่) หากต้องการให้วงแหวนทั้งหมดมี1ผลที่ตามมาบางประการ ได้แก่ การไม่มีอยู่ของผลรวมโดยตรงอนันต์ของวงแหวน และผลรวมโดยตรงที่เหมาะสมของวงแหวนไม่ใช่ซับริง พวกเขาสรุปว่า "ในหลายสาขา อาจจะส่วนใหญ่ ของทฤษฎีวงแหวน ข้อกำหนดของการมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์นั้นไม่สมเหตุสมผล และดังนั้นจึงยอมรับไม่ได้" ^{[ 30 ]}ปูเนนโต้แย้งว่าแนวคิดที่เป็นธรรมชาติสำหรับวงแหวนจะเป็นผลคูณโดยตรงมากกว่าผลรวมโดยตรง อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งหลักของเขาคือวงแหวนที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณนั้นไม่สามารถเชื่อมโยงได้อย่างสมบูรณ์ ในแง่ที่ว่าวงแหวนเหล่านั้นไม่มีผลคูณของลำดับจำกัดใด ๆ ขององค์ประกอบวงแหวน รวมถึงลำดับว่าง^{[ c ] [ 31 ]}

ผู้เขียนที่ปฏิบัติตามธรรมเนียมใดธรรมเนียมหนึ่งในการใช้คำว่า "แหวน" อาจใช้คำใดคำหนึ่งต่อไปนี้เพื่ออ้างถึงวัตถุที่ตรงตามธรรมเนียมอีกแบบหนึ่ง:

• เพื่อรวมข้อกำหนดสำหรับเอกลักษณ์การคูณ: "วงแหวนเอกลักษณ์", "วงแหวนหน่วย", "วงแหวนหน่วย", "วงแหวนที่มีเอกลักษณ์", "วงแหวนที่มีเอกลักษณ์", "วงแหวนที่มีหน่วย", ^{[ 32 ]}หรือ "วงแหวนที่มี 1" ^{[ 33 ]}
• เพื่อละเว้นข้อกำหนดสำหรับเอกลักษณ์การคูณ: "rng" ^{[ 34 ]}หรือ "วงแหวนเทียม" ^{[ 35 ]}แม้ว่าอย่างหลังอาจทำให้สับสนได้เพราะมันมีความหมายอื่นอีกด้วย

• ตัวอย่างต้นแบบคือวงแหวนของจำนวนเต็มที่มีการดำเนินการสองอย่างคือการบวกและการคูณ
• จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน เป็นวงแหวนสลับที่ประเภทหนึ่งที่เรียกว่าฟิลด์
• พีชคณิต สมาคมเอกลักษณ์เหนือวงแหวนสลับที่Rนั้นเป็นทั้งวงแหวนและโมดูลRด้วย ตัวอย่างบางส่วน:
  • พีชคณิตR [ X ]ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในR
  • พีชคณิตของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมที่มีสัมประสิทธิ์ในR${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$
  • เซตของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง ทั้งหมด ที่นิยามบนเส้นจำนวนจริงนั้นก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสลับที่ได้การดำเนินการต่างๆ คือการบวกและการคูณฟังก์ชันแบบจุดต่อจุด${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • ให้Xเป็นเซต และให้Rเป็นริง เซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากXไปยังRจะประกอบกันเป็นริง ซึ่งจะเป็นริงสลับที่ได้ ถ้าRเป็นริงสลับที่ได้
• วงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองคือ การปิดเชิงอินทิกรัลของในส่วนขยาย${\displaystyle \mathbb {Z} }$กำลังสองของมันเป็น${\displaystyle \mathbb {Q} .}$วงแหวนย่อยของวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต ทั้งหมด
• วงแหวนของจำนวนเต็มโปรไฟไนต์⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ผลคูณ (อนันต์) ของวงแหวนของจำนวนเต็มp -adic ⁠ ⁠ เหนือ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$จำนวนเฉพาะpทั้งหมด
• วงแหวนเฮคเค (Hecke ring ) คือวงแหวนที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการเฮคเค (Hecke operators)
• ถ้าSเป็นเซตเซตกำลังของSจะกลายเป็นริง ถ้าเรากำหนดให้การบวกเป็นการลบสมมาตรของเซต และการคูณเป็นการหาจุดตัดนี่คือตัวอย่างหนึ่งของริงบูลีน

• สำหรับริงR ใดๆ และจำนวนธรรมชาติn ใดๆ เซตของเมทริกซ์ จัตุรัสขนาด n x n ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในRจะก่อให้เกิดริงที่มีการบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์เป็นตัวดำเนินการ สำหรับn = 1ริงเมทริกซ์นี้จะสมสัณฐานกับRเอง สำหรับn > 1 (และRไม่ใช่ริงศูนย์) ริงเมทริกซ์นี้จะไม่สลับที่กัน
• ถ้าGเป็นกลุ่มอาเบเลียนเอนโดมอร์ฟิ ซึม ของGจะก่อตัวเป็นวงแหวน เรียกว่าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมEnd( G )ของ  Gการดำเนินการในวงแหวนนี้คือการบวกและการประกอบของเอนโดมอร์ฟิซึม โดยทั่วไปแล้ว ถ้าVเป็นโมดูลซ้ายเหนือวงแหวนRเซตของ แผนที่เชิงเส้น R ทั้งหมด จะก่อตัวเป็นวงแหวนเช่นกัน เรียกว่า วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม และเขียนแทนด้วยEndR ( )
• วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของเส้นโค้งวงรีจะเป็นวงแหวนสลับที่ได้ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งวงรีนั้นถูกนิยามบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์
• ถ้าGเป็นกลุ่มและRเป็นวงแหวนกลุ่มวงแหวนของGเหนือRคือโมดูลอิสระเหนือRโดยมีGเป็นฐาน การคูณถูกกำหนดโดยกฎที่ว่าสมาชิกของGสลับที่กับสมาชิกของR และคูณกันได้เหมือนกับที่เกิดขึ้น ในกลุ่มG
• วงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ (ขึ้นอยู่กับบริบท) อันที่จริง วงแหวนหลายวงที่ปรากฏในวิเคราะห์นั้นเป็นแบบไม่สลับที่ ตัวอย่างเช่นพีชคณิตบานาค ส่วนใหญ่ เป็นแบบไม่สลับที่

• เซตของจำนวนธรรมชาติที่มี${\displaystyle \mathbb {N} }$การดำเนินการตามปกติไม่ใช่ริง เนื่องจากไม่ใช่แม้แต่${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$กลุ่ม(ไม่ใช่ทุกสมาชิกที่สามารถผกผันได้เมื่อเทียบกับการบวก – ตัวอย่างเช่น ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดที่สามารถบวกกับ3 แล้วได้ ผลลัพธ์เป็น 0 ) มีวิธีธรรมชาติที่จะขยายให้เป็นริง ได้โดยการรวมจำนวนลบเข้าไปเพื่อสร้างริงของจำนวนเต็มจำนวนธรรมชาติ (รวมถึง0 )ก่อให้เกิดโครงสร้างทางพีชคณิตที่เรียกว่าเซมิริง (ซึ่งมีสัจพจน์ทั้งหมดของริง ยกเว้นสัจพจน์ของตัวผกผันการบวก)${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• ให้Rเป็นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนเส้นจำนวนจริงที่หายไปนอกช่วงจำกัดที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชัน โดยมีการบวกตามปกติ แต่การคูณถูกกำหนดเป็นการสังเคราะห์ : ดังนั้นRเป็น rng แต่ไม่ใช่ริง: ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกมีคุณสมบัติของเอกลักษณ์การคูณ แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน และดังนั้นจึงไม่ใช่สมาชิก  ของR$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn แต่ละจำนวน เมื่อกำหนด${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ลำดับของ องค์ประกอบ nตัวของRเราสามารถกำหนดผลคูณแบบเวียน${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$ เกิดได้ ดังนี้ : ให้P = 1และให้P = P a สำหรับ1 ≤ m ≤ n

ในกรณีพิเศษ เราสามารถกำหนดกำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของสมาชิกaในริงได้ดังนี้: a ⁰ = 1และa ⁿ = a ^{n −1} aสำหรับn ≥ 1จากนั้นa ^{m + n} = a ^m a ⁿสำหรับทุกm , n ≥ 0

ตัวหารศูนย์ซ้ายของริงRคือสมาชิกaในริงซึ่งมีสมาชิกb ที่ไม่ใช่ศูนย์ ของR อยู่จริง โดยที่ab = 0 [ ^{d ] ตัว}หารศูนย์ขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน

สมาชิกนิลโพเทนต์คือสมาชิกaที่มีคุณสมบัติว่าa ⁿ = 0สำหรับบางค่าn > 0ตัวอย่างหนึ่งของสมาชิกนิลโพเทนต์คือเมทริกซ์นิลโพ เทน ต์ สมาชิกนิลโพเทนต์ในริงที่ไม่เป็นศูนย์จะต้องเป็นตัวหารศูนย์เสมอ

ตัวประกอบเอกลักษณ์ (idempotent) คือ สมาชิกที่มีคุณสมบัติว่าe² = eตัวอย่างหนึ่งของสมาชิกเอกลักษณ์คือการฉายภาพ (projection) ^ในพีชคณิตเชิงเส้น ${\displaystyle e}$

หน่วย ( unit)คือสมาชิกaที่มีตัวผกผันการคูณในกรณีนี้ ตัวผกผันมีเพียงตัวเดียว และใช้สัญลักษณ์a ^–1 แทน เซตของหน่วยในริงเรียกว่ากลุ่มภายใต้การคูณริง กลุ่มนี้ใช้สัญลักษณ์R ^×หรือR *หรือU ( R )แทน ตัวอย่างเช่น ถ้าRคือริงของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn ทั้งหมด เหนือฟิลด์หนึ่งR ^×จะประกอบด้วยเซตของเมทริกซ์ผกผันได้ขนาดn ทั้งหมด และเรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นทั่วไป (general linear group )

เซตย่อยSของRเรียกว่าซับริงถ้าเงื่อนไขสมมูลอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• การบวกและการคูณของR จำกัดให้เหลือเพียงการดำเนินการS × S → S ทำให้ S เป็นริงที่มีเอกลักษณ์การคูณเช่นเดียวกับ  R
• 1 ∈ S ; และสำหรับทุกx, yในS สมาชิก xy , x + y และ −x อยู่ใน  S
• Sสามารถถูกกำหนดให้มีการดำเนินการที่ทำให้มันเป็นริงได้ โดยที่แผนที่การรวมS → Rเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง

ตัวอย่างเช่น วงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} }$เป็นวงแหวนย่อยของฟิลด์ของจำนวนจริง และยังเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนของพหุนามด้วย(${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ในทั้งสองกรณีมี1${\displaystyle \mathbb {Z} }$ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การคูณของวงแหวนที่ใหญ่กว่า) ในทางกลับกัน เซตย่อยของจำนวนเต็มคู่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์1${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ดังนั้นจึงไม่ถือว่าเป็นวงแหวนย่อยของ  จำนวนเต็มคู่อย่างไรก็ตาม อาจเรียกได้ว่าเป็นวงแหวนย่อยก็ได้${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$

จุดตัดของวงย่อยต่างๆ เรียกว่า วงย่อย เมื่อกำหนดเซตย่อยE ของ R วงย่อยที่เล็กที่สุดของRที่บรรจุEคือ จุดตัดของวงย่อยทั้งหมดของRที่บรรจุ  Eและเรียกว่าวงย่อยที่สร้างขึ้นโดย  E

สำหรับริงRซับริงที่เล็กที่สุดของRเรียกว่าซับริงลักษณะเฉพาะของRสามารถสร้างได้โดยการบวกเลข1และ  −1 ซ้ำกัน เป็นไปได้ที่n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( nครั้ง) จะเป็นศูนย์ ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้เกิดกรณีนี้ได้nจะเรียกว่าลักษณะเฉพาะของ  Rในบางริงn · 1จะไม่เป็นศูนย์สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ และริงเหล่านั้นจะมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์

กำหนดให้ริงR หนึ่งๆ ให้Z( R )แทนเซตของสมาชิกx ทั้งหมด ในRซึ่งxสลับที่ได้กับสมาชิกทุกตัวในRกล่าวคือxy = yxสำหรับy ใดๆ ใน  Rแล้วZ( R )เป็นซับริงของ  Rเรียกว่าเซ็นเตอร์ของ  Rโดยทั่วไปแล้ว กำหนดให้เซตย่อยXของ  Rให้Sเป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดในRที่สลับที่ได้กับสมาชิกทุกตัวใน  Xแล้วSเป็นซับริงของ  Rเรียกว่าเซนทริไลเซอร์ (หรือคอมมิวแทนต์) ของ  Xเซ็นเตอร์เป็นเซนทริไลเซอร์ของริง  R ทั้งหมด สมาชิกหรือเซตย่อยของเซ็นเตอร์เรียกว่าเซ็นทรัลใน  Rพวกมัน (แต่ละตัว) สร้างซับริงของเซ็นเตอร์ได้

ให้Rเป็นริงไอเดียลซ้ายของRคือเซตย่อยI ที่ไม่ว่าง ของRโดยที่สำหรับx, y ใดๆ ในIและr ใดๆ ในRสมาชิกx + yและrxจะอยู่ในIให้RIแทนR -span ของIนั่นคือเซตของผลรวมจำกัด

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I;}$

ดังนั้นIจึงเป็นไอเดียลซ้ายถ้าRI ⊆ Iในทำนองเดียวกันไอเดียลขวาคือเซตย่อยIที่IR ⊆ Iเซตย่อยIเรียกว่าไอเดียลสองด้านหรือไอเดีย ลธรรมดา ถ้ามันเป็นทั้งไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวา ไอเดียลด้านเดียวหรือสองด้านจึงเป็นกลุ่มย่อยแบบบวกของRถ้าEเป็นเซตย่อยของRแล้วREเป็นไอเดียลซ้าย เรียกว่าไอเดียลซ้ายที่สร้างโดยEมันเป็นไอเดียลซ้ายที่เล็กที่สุดที่บรรจุEในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาไอเดียลขวาหรือไอเดียลสองด้านที่สร้างโดยเซตย่อยของRได้

ถ้าxอยู่ในRแล้วRxเป็นไอเดียลซ้าย และxRเป็นไอเดียลขวา ไอเดียลเหล่านี้เรียกว่าไอเดียลซ้ายและไอเดียลขวาหลัก ที่สร้างโดย xไอเดียลหลักRxRเขียนได้เป็น( x )ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนบวกและลบทั้งหมดที่เป็นผลคูณของ2พร้อมกับ0ก่อให้เกิดไอเดียลของจำนวนเต็ม และไอเดียลนี้สร้างขึ้นโดยจำนวนเต็ม  2ในความเป็นจริง ไอเดียลทุกอันของวงแหวนของจำนวนเต็มเป็นไอเดียลหลัก

ริงเรียกว่าริงเรียบง่าย (simple ring ) ถ้าเป็นริงที่ไม่ใช่ศูนย์และไม่มีไอเดียลสองด้านที่ไม่ใช่ศูนย์ที่แท้จริง ริงเรียบง่ายแบบสลับที่ได้ (commutative simple ring) ก็คือฟิลด์ (field) นั่นเอง

โดยทั่วไปแล้ว เรามักศึกษาเรื่องวงแหวนโดยกำหนดเงื่อนไขพิเศษให้กับไอเดียลของวงแหวนนั้น ตัวอย่างเช่น วงแหวนที่ไม่มีลำดับอนันต์ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดของไอเดียลซ้ายเรียกว่าวงแหวนโนเธอร์เรียนซ้าย ส่วนวงแหวนที่ไม่มีลำดับอนันต์ที่ลดลงอย่างเคร่งครัดของไอเดียลซ้ายเรียกว่าวงแหวนอาร์ทิเนียน ซ้าย เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจอยู่บ้างที่วงแหวนอาร์ทิเนียนซ้ายเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนซ้ายด้วย ( ทฤษฎีบทฮอปกินส์-เลวิตซ์กี้ ) อย่างไรก็ตาม จำนวนเต็มนั้นก่อให้เกิดวงแหวนโนเธอร์เรียนซึ่งไม่ใช่วงแหวนอาร์ทิเนียน

สำหรับริงสลับที่ ไอเดียลเป็นการขยายแนวคิดคลาสสิกของการหารลงตัวและการแยกส่วนของจำนวนเต็มออกเป็นจำนวนเฉพาะในพีชคณิต ไอเดียลแท้PของRเรียกว่าไอเดียลเฉพาะถ้าสำหรับสมาชิกใดๆเรา มีว่า IJ ⊆ P หมายความ ว่า I ⊆ P หรือ J ⊆ P หรือ เทียบเท่ากันPเป็นไอเดียลเฉพาะ ถ้าสำหรับไอเดียลI , J ใดๆ เรามีว่าIJ ⊆ Pหมายความว่าI ⊆ PหรือJ ⊆ Pสูตรหลังนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดของไอเดียลในฐานะการขยายแนวคิดของสมาชิก ${\displaystyle x,y\in R}$${\displaystyle xy\in P}$${\displaystyle x\in P}$${\displaystyle y\in P.}$

โฮโมมอร์ฟิซึมจากริง( R , +, ⋅ )ไปยังริง( S , ‡, ∗)คือฟังก์ชันfจากRไปยัง  Sที่รักษาการดำเนินการของริงไว้ กล่าวคือ สำหรับทุกa , bในRเอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

หากทำงานกับตัวสร้างเลขสุ่ม เงื่อนไขข้อที่สามก็จะถูกตัดทิ้งไป

กล่าวได้ว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของริงf เป็น ไอโซมอร์ฟิซึมถ้ามีโฮโมมอร์ฟิซึมผกผันของf (นั่นคือ โฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่เป็นฟังก์ชันผกผัน ) หรือเทียบเท่ากับถ้าเป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ตัวอย่าง:

• ฟังก์ชันที่แปลงจำนวนเต็มx แต่ละตัว ให้เป็นเศษเหลือมอดูล4 (ซึ่งเป็นจำนวนใน{0, 1, 2, 3} ) เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมจากริงไปยัง${\displaystyle \mathbb {Z} }$ริงผลหาร( "ริ ง${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ผลหาร" จะถูกนิยามไว้ด้านล่าง)
• ถ้าuเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ในริงRแล้วจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง ซึ่งเรียกว่าออโตมอร์ฟิซึมภายในของR${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะpแล้วx ↦ x ^pเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของวงแหวนRซึ่งเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของโฟรเบนิอุส
• กลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายฟิลด์L / Kคือเซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของLซึ่งการจำกัดของพวกมันบนKคือเอกลักษณ์
• สำหรับวงแหวนR ใดๆ จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนที่ไม่ซ้ำกัน⁠ ⁠ และ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวนที่ไม่ซ้ำกัน⁠ ⁠${\displaystyle R\to 0}$
• โฮโมมอร์ฟิซึม ของพีชคณิตจาก พีชคณิต kไปยังพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เหนือkเรียกว่าการแทนของพีชคณิต

กำหนดให้f  : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง เซตของสมาชิกทั้งหมดที่ถูกแมปไปยัง 0 โดยfเรียกว่าเคอร์เนลของ  fเคอร์เนลเป็นไอเดียลสองด้านของ  R ในทางกลับกัน ภาพของ  fไม่จำเป็นต้องเป็นไอเดียลเสมอไป แต่จะเป็นซับริงของ  S เสมอ

การให้โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนสลับที่RไปยังวงแหวนAที่มีภาพบรรจุอยู่ในศูนย์กลางของAนั้นเหมือนกับการให้โครงสร้างของพีชคณิตเหนือRไปยัง  A (ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะให้โครงสร้างของA-โมดูล)

แนวคิดของวงแหวนผลหารนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดของกลุ่มผลหารกำหนดให้วงแหวน( R , +, ⋅ ) และ อุดมคติ สองด้านIของ( R , +, ⋅ )ให้มองIเป็นกลุ่มย่อยของ( R , +)แล้ววงแหวนผลหารR / IคือเซตของโคเซตของIพร้อมด้วยการดำเนินการ

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

สำหรับทุกค่าaและbในRวงแหวนR / Iยังเรียกว่าวงแหวนแฟกเตอร์ด้วย

เช่นเดียวกับกลุ่มผลหาร มีฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกp  : R → R / Iซึ่งกำหนดโดยx ↦ x + Iฟังก์ชันนี้เป็นการส่งทั่วถึงและมีคุณสมบัติสากลดังต่อไปนี้:

• ถ้าf  : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงที่ทำให้f ( I ) = 0แล้วจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมเพียงหนึ่งเดียวที่ทำให้${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

สำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมของริงใดๆf  : R → Sการใช้คุณสมบัติสากลด้วยI = ker fจะสร้างโฮโมมอร์ฟิซึมที่ให้ไอโซมอร์ฟิซึมจากR / ker fไปยังภาพของ f${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$

แนวคิดของโมดูลเหนือริงเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์ ) โดยการขยายจากการคูณเวกเตอร์กับสมาชิกของฟิลด์ ( การคูณสเกลาร์ ) ไปสู่การคูณกับสมาชิกของริง กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ เมื่อกำหนดริงRแล้ว โมดูลR - Mคือกลุ่มอาเบเลียนที่มีการดำเนินการR × M → M (ซึ่งเชื่อมโยงสมาชิกของMกับทุกคู่ของสมาชิกของRและสมาชิกของM ) ที่สอดคล้องกับสัจพจน์ บาง ประการ การดำเนินการนี้มักเขียนแทนด้วยการวางเคียงข้างและเรียกว่าการคูณ สัจพจน์ของโมดูลมีดังนี้: สำหรับทุกa , bในRและทุกx , yในM

Mคือกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวก

${\displaystyle {\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}}$

เมื่อริงเป็นริงไม่สลับที่กันสัจพจน์เหล่านี้จะกำหนดโมดูลซ้ายโมดูลขวาจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยการเขียนxaแทนaxนี่ไม่ใช่เพียงแค่การเปลี่ยนสัญลักษณ์เท่านั้น เพราะสัจพจน์สุดท้ายของโมดูลขวา (นั่นคือx ( ab ) = ( xa ) b ) จะกลายเป็น( ab ) x = b ( ax )หากใช้การคูณทางซ้าย (โดยสมาชิกของริง) สำหรับโมดูลขวา

ตัวอย่างพื้นฐานของโมดูลคืออุดมคติ ซึ่งรวมถึงวงแหวนเองด้วย

แม้ว่าจะมีนิยามที่คล้ายคลึงกัน แต่ทฤษฎีของโมดูลนั้นซับซ้อนกว่าทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์มาก โดยหลักแล้วเป็นเพราะว่า โมดูลนั้นแตกต่างจากปริภูมิเวกเตอร์ตรงที่ไม่ได้มีลักษณะเฉพาะ (ยกเว้นไอโซมอร์ฟิซึม) ด้วยตัวแปรคงที่เพียงตัวเดียว ( มิติ ของปริภูมิเวกเตอร์ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โมดูลบางโมดูลไม่มีฐาน

สัจพจน์ของโมดูลบ่งชี้ว่า(−1) x = − xโดยที่เครื่องหมายลบตัวแรกหมายถึงตัวผกผันการบวกในริง และเครื่องหมายลบตัวที่สองหมายถึงตัวผกผันการบวกในโมดูล การใช้สิ่งนี้และการแทนการบวกซ้ำด้วยการคูณด้วยจำนวนเต็มบวกทำให้สามารถระบุกลุ่มอาเบเลียนกับโมดูลเหนือริงของจำนวนเต็มได้

โฮโมมอร์ฟิซึมของริงใดๆ ก็ตามจะเหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างของโมดูล: ถ้าf  : R → Sเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแล้วSจะเป็นโมดูลซ้ายเหนือRโดยการคูณ: rs = f ( r ) sถ้าRเป็นริงสลับที่ หรือถ้าf ( R )อยู่ในศูนย์กลางของSริงSจะเรียกว่าR-พีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกริงเป็น พีชคณิตเหนือจำนวนเต็ม

ให้RและSเป็นวงแหวน แล้วผลคูณR × Sสามารถมีโครงสร้างวงแหวนตามธรรมชาติได้ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

สำหรับทุกr , r ในRและs , s ใน  SวงแหวนR × Sที่มีการดำเนินการบวกและการคูณข้างต้น และเอกลักษณ์การคูณ(1, 1)เรียกว่าผลคูณโดยตรงของRกับ  Sการสร้างแบบเดียวกันนี้ยังใช้ได้กับตระกูลของวงแหวนใดๆ ด้วย: ถ้าR เป็นวงแหวนที่มีดัชนีโดยเซตIแล้วจะเป็นวงแหวนที่มีการบวกและการคูณแบบส่วนประกอบต่อส่วนประกอบ ${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ และ i และ j เป็นไอเดียล โดยที่เมื่อใดก็ตามที่i ≠ jทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนกล่าวว่ามีไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนแบบแคนอนิก: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$$${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

ผลคูณโดยตรง "จำกัด" อาจถูกมองว่าเป็นผลรวมโดยตรงของอุดมคติ^{[ 36 ]}กล่าวคือ ให้เป็นวงแหวนการรวมกับภาพ(โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นวงแหวนแม้ว่าจะไม่ใช่วงแหวนย่อย) จากนั้นจะเป็นอุดมคติของRและ เป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบล (เนื่องจากสำหรับกลุ่มอาเบล ผลคูณจำกัดจะเหมือนกับผลรวมโดยตรง) เห็นได้ชัดว่าผลรวมโดยตรงของอุดมคติดังกล่าวยังกำหนดผลคูณของวงแหวนที่สมมูลกับ  Rด้วย ในทางที่เทียบเท่ากัน สามารถทำได้ข้างต้นผ่านตัวประกอบเอกลักษณ์กลางสมมติว่าRมีการแยกส่วนข้างต้น จากนั้นเราสามารถเขียนได้ โดยเงื่อนไขบน จะได้ว่าe เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์กลาง และe e = 0 , i ≠ j (ตั้งฉากกัน) อีกครั้ง เราสามารถย้อนกลับการสร้างได้ กล่าวคือ ถ้ากำหนดพาร์ติชันของ 1 เป็นตัวประกอบเอกลักษณ์กลางที่ตั้งฉากกัน ให้ซึ่งเป็นอุดมคติสองด้าน ถ้าe แต่ละอัน ไม่ใช่ผลรวมของตัวประกอบเอกลักษณ์กลางเชิงตั้งฉาก^{[ e ]} แล้วผล รวม โดยตรงของพวกมันจะสมสัณฐานกับ  R${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$$${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$$${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอย่างหนึ่งของผลคูณโดยตรงอนันต์คือการสร้างลิมิตเชิงโปรเจคทีฟของวงแหวน (ดูด้านล่าง) การประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือผลคูณแบบจำกัดของตระกูลวงแหวน (ดูวงแหวนอะเดล )

กำหนดให้สัญลักษณ์t (เรียกว่าตัวแปร) และวงแหวนสลับที่  Rเซตของพหุนาม

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

ก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ด้วยการบวกและการคูณตามปกติ โดยมีRเป็นวงแหวนย่อย เรียกว่าวงแหวนพหุนามเหนือ  Rโดยทั่วไปแล้ว เซตของพหุนามทั้งหมดในตัวแปรต่างๆก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ โดยมีเป็นวงแหวนย่อย ${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

ถ้าRเป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลแล้วR [ t ]ก็เป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลเช่นกัน ฟิลด์เศษส่วนของมันคือฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะถ้าRเป็นวงแหวนโนเธอร์เรียนแล้วR [ t ]ก็เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน ถ้าRเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะแล้วR [ t ]ก็เป็นโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะเช่นกัน สุดท้ายRเป็นฟิลด์ก็ต่อเมื่อR [ t ]เป็นโดเมนอุดมคติหลัก

ให้ S เป็นริงสลับที่ได้ เมื่อกำหนดสมาชิกxของ  Sแล้ว เราสามารถพิจารณาโฮโมมอร์ฟิซึมของริงได้ดังนี้ ${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(นั่นคือการแทนที่ ) ถ้าS = R [ t ]และx = tแล้วf ( t ) = fด้วยเหตุนี้ พหุนามfจึงมักถูกแทนด้วยf ( t )ภาพของการแมปจะถูก${\displaystyle f\mapsto f(x)}$แทนด้วยR [ x ]ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกันกับวงแหวนย่อยของS ที่ สร้าง ขึ้นโดยRและ  x

ตัวอย่าง: หมายถึงภาพของโฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันคือพีชคณิตย่อยของk [ t ] ที่สร้าง ขึ้น โดยt ²และ  t ³

ตัวอย่าง: ให้fเป็นพหุนามตัวแปรเดียว นั่นคือ เป็นสมาชิกในริงพหุนามRแล้วf ( x + h )เป็นสมาชิกในR [ h ]และf ( x + h ) – f ( x )หารลงตัวด้วยhในริงนั้น ผลลัพธ์ของการแทนค่าศูนย์ลงในhใน( f ( x + h ) – f ( x )) / h คือ f ' ( x )ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของfที่  x

การแทนที่ถือเป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติสากลของวงแหวนพหุนาม คุณสมบัติดังกล่าวระบุว่า: เมื่อกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนและองค์ประกอบxในSจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวซึ่งและจำกัดอยู่ที่ϕ [ ^{37 ] ตัวอย่าง}เช่น การเลือกฐานพีชคณิตสมมาตรจะสอดคล้องกับคุณสมบัติสากลและดังนั้นจึงเป็นวงแหวนพหุนาม ${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

ยกตัวอย่างเช่น ให้Sเป็นวงแหวนของฟังก์ชันทั้งหมดจากRไปยังตัวมันเอง การบวกและการคูณเป็นการกระทำของฟังก์ชัน ให้xเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ r แต่ละตัวใน R กำหนดฟังก์ชันคงที่ ทำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมR → S คุณสมบัติสากลกล่าวว่าแผนที่นี้ขยายไปยัง R → S ได้อย่างไม่ซ้ำกัน

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( tแมปไปยังx ) โดยที่เป็นฟังก์ชันพหุนามที่กำหนดโดยfการแมปที่ได้จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อRเป็นอนันต์ ${\displaystyle {\overline {f}}}$

เมื่อกำหนดพหุนามเอกลักษณ์ที่ไม่คงที่fในR [ t ]จะมีวงแหวนSที่มีR อยู่ ซึ่งfเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นในS [ t ] ^{[ 38 ]}

ให้kเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตทฤษฎีบท Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ต (ทฤษฎีบทของศูนย์) กล่าวว่ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างเซตของอุดมคติเฉพาะทั้งหมดใน k และเซตของส่วนย่อยปิดของk ⁿโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัญหาเฉพาะที่หลายอย่างในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอาจได้รับการแก้ไขผ่านการศึกษาตัวสร้างของอุดมคติในวงแหวนพหุนาม (ดูฐาน Gröbner ) ${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$

นอกจากนี้ยังมีโครงสร้างอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอีกด้วยวงแหวนอนุกรมกำลังแบบเป็นทางการ ประกอบด้วยอนุกรมกำลังแบบเป็นทางการ ${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

พร้อมกับการคูณและการบวกที่เลียนแบบการคูณและการบวกสำหรับอนุกรมลู่เข้า มันมีR [ t ]เป็นวงแหวนย่อย วงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมไม่มีคุณสมบัติสากลของวงแหวนพหุนาม อนุกรมอาจไม่ลู่เข้าหลังจากการแทนที่ ข้อได้เปรียบที่สำคัญของวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมเหนือวงแหวนพหุนามคือมันเป็นวงแหวนเฉพาะที่ (อันที่จริงคือสมบูรณ์ )

ให้Rเป็นริง (ไม่จำเป็นต้องเป็นริงสลับที่) เซตของเมทริกซ์จัตุรัสขนาดn ทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในRจะก่อให้เกิดริงที่มีการบวกแบบสมาชิกต่อสมาชิกและการคูณเมทริกซ์ตามปกติ เรียกว่าริงเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยM ( R ) เมื่อกำหนด โมดูลขวาU ใน R แล้ว เซตของ แผนที่เชิงเส้น ใน R ทั้งหมด จากUไปยังตัวมันเองจะก่อให้เกิดริงที่มีการบวกที่เป็นฟังก์ชันและการคูณที่เป็นการประกอบฟังก์ชันเรียกว่าริงเอนโดมอร์ฟิซึมของUและ เขียนแทนด้วยEnd ( U )

เช่นเดียวกับในพีชคณิตเชิงเส้น วงแหวนเมทริกซ์สามารถตีความได้แบบแคนอนิกว่าเป็นวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม: นี่เป็นกรณีพิเศษของข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ถ้าเป็น แผนที่เชิงเส้น Rแล้วfสามารถเขียนได้เป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกf ในS = End ( U )ซึ่งส่งผลให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวน: ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

โฮโม มอร์ฟิซึมของวงแหวนใดๆR → Sเหนี่ยวนำให้เกิดM ( R ) → M ( S ) ^{[ 39 ]}

ทฤษฎีบทของ Schurกล่าวว่า ถ้าUเป็นโมดูลR ขวาแบบง่าย End ( U )จะเป็นวงแหวนหาร^{[ 40 ]}ถ้าเป็นผลรวมโดยตรงของ สำเนา m ของโมดูลR แบบง่าย แล้ว ${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

ทฤษฎีบท Artin –Wedderburnกล่าวว่าวงแหวนกึ่งง่าย ใดๆ (ดูด้านล่าง) จะมีรูปแบบนี้

วงแหวนRและวงแหวนเมทริกซ์M ( R )เหนือวงแหวนR นั้น เทียบเท่ากับโมริตะ : หมวดหมู่ของโมดูลขวาของRเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของโมดูลขวาเหนือM ( R ) ^{[ 39 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อุดมคติสองด้านในR สอดคล้องกัน แบบ หนึ่งต่อหนึ่งกับอุดมคติสองด้านในM ( R )

ให้R เป็นลำดับของวงแหวน โดยที่R เป็นวงแหวนย่อยของR สำหรับทุกiแล้วยูเนียน (หรือโคลิมิตแบบกรอง ) ของR คือวงแหวนที่นิยามดังนี้: มันคือยูเนียนที่ไม่ซ้ำกันของR ทั้งหมด มอดูลความสัมพันธ์สมมูลx ~ yก็ต่อเมื่อx = yในR สำหรับ iที่มีค่ามากพอ ${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$

ตัวอย่างของโคลิมิต:

• วงแหวนพหุนามในตัวแปรจำนวนอนันต์:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• การปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์จำกัดที่มีลักษณะเฉพาะเดียวกัน${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิตเหนือฟิลด์kคือที่ซึ่งลิมิตวิ่งผ่านวงแหวนพิกัดk [ U ] ทั้งหมด ของเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างU (กล่าวโดยย่อคือคือสตอล์กของชีฟโครงสร้างที่จุดทั่วไป )${\displaystyle \varinjlim k[U]}$

วงแหวนใดๆ ก็ตาม คือโคลิมิต (การรวมกัน) ที่ผ่านการกรองแล้วของวงแหวน ย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด

ลิมิตเชิงโปรเจคทีฟ (หรือลิมิตแบบกรอง ) ของริงส์ถูกนิยามดังนี้ สมมติว่าเรามีตระกูลของริงส์R , iที่วิ่งผ่านจำนวนเต็มบวก เช่น และโฮโมมอร์ฟิซึมของริงส์R → R , j ≥ iโดยที่R → R เป็นเอกลักษณ์ทั้งหมด และR → R → R คือR → R เมื่อใดก็ตามที่k ≥ j ≥ iแล้วคือริงย่อยของที่ประกอบด้วย( x )โดยที่x แมปไปยังx i ใต้R → R , j ≥ i${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$

สำหรับตัวอย่างของลิมิตเชิงโปรเจคทีฟ โปรดดูที่หัวข้อ § การทำให้สมบูรณ์

การกำหนดตำแหน่งเป็นการสรุปการสร้างฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็มไปยังวงแหวนและโมดูลใดๆ เมื่อกำหนดวงแหวนR (ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้) และเซตย่อยSของRจะมีวงแหวนพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ "ผกผัน" Sกล่าวคือ โฮโมมอร์ฟิซึมจะแมปองค์ประกอบในSไปยังองค์ประกอบเอกลักษณ์ในและยิ่งไปกว่านั้น โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนใดๆ จากRที่ "ผกผัน" S จะ แยกตัวประกอบผ่าน^{[ 41 ]}วงแหวนนี้เรียกว่าการกำหนดตำแหน่งของRเทียบกับSตัวอย่างเช่น ถ้าRเป็นวงแหวนสลับที่ได้และfเป็นองค์ประกอบในRการกำหนดตำแหน่งจะประกอบด้วยองค์ประกอบในรูปแบบ(กล่าวคือ) ^{[ 42 ]}${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

การหาตำแหน่งเฉพาะที่มักนำไปใช้กับวงแหวนสลับที่Rโดยสัมพันธ์กับส่วนเติมเต็มของอุดมคติเฉพาะ (หรือการรวมกันของอุดมคติเฉพาะ) ใน  Rในกรณีนั้นมักเขียนว่า สำหรับจะเป็นวงแหวนเฉพาะที่ที่มีอุดมคติสูงสุดนี่คือเหตุผลของคำว่า "การหาตำแหน่งเฉพาะที่" ฟิลด์เศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็มRคือการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของRที่ศูนย์อุดมคติเฉพาะ ถ้าเป็นอุดมคติเฉพาะของวงแหวนสลับที่  Rแล้ว ฟิลด์เศษส่วนของจะเหมือนกับฟิลด์เศษเหลือของวงแหวนเฉพาะที่และเขียนแทนด้วย${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

ถ้าMเป็น โมดูล R ซ้าย การหาโลคัลไลเซชันของMเทียบกับSจะได้จากการเปลี่ยนวงแหวน${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของการหาตำแหน่งที่แน่นอนมีดังต่อไปนี้: เมื่อRเป็นวงแหวนสลับที่ และSเป็นเซตย่อยที่ปิดแบบทวีคูณ

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของอุดมคติเฉพาะทั้งหมดในRที่ไม่ทับซ้อนกับSและเซตของอุดมคติเฉพาะทั้งหมดใน^{[ 43 ]}${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$fวิ่งผ่านองค์ประกอบในSโดยมีลำดับบางส่วนที่กำหนดโดยการหารลงตัว^{[ 44 ]}
• การ กำหนดตำแหน่งนั้นแม่นยำ: แม่นยำเหนือเมื่อใดก็ตามที่แม่นยำเหนือ  R$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• ในทางกลับกัน ถ้าเป็นค่าที่แม่นยำสำหรับอุดมคติสูงสุดใดๆแล้ว ก็จะเป็นค่าที่แม่นยำเช่นกัน${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• ข้อสังเกต: การกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่ไม่ได้ช่วยในการพิสูจน์การมีอยู่ทั่วโลก ตัวอย่างหนึ่งคือ ถ้าโมดูลสองโมดูลสมมาตรกันที่อุดมคติเฉพาะทั้งหมด ก็ไม่ได้หมายความว่าโมดูลทั้งสองจะสมมาตรกันเสมอไป (วิธีหนึ่งที่จะอธิบายเรื่องนี้คือ การกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่ทำให้เรามองโมดูลเป็นชีฟเหนืออุดมคติเฉพาะ และชีฟเป็นแนวคิดเฉพาะที่โดยเนื้อแท้)

ในทฤษฎีหมวดหมู่ การ ทำให้หมวดหมู่เป็นแบบโลคัลไลเซชันหมายถึงการทำให้มอร์ฟิซึมบางตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึม สมาชิกในวงแหวนสลับที่Rอาจถูกมองว่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมของ โมดูล R ใดๆ ดังนั้น ในเชิงหมวดหมู่ การทำให้R เป็นแบบโลคัลไลเซชัน โดยสัมพันธ์กับเซตย่อยSของRคือฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของ โมดูล Rไปยังตัวมันเอง ซึ่งส่งสมาชิกของSที่มองว่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมไปยังออโตมอร์ฟิซึม และเป็นสากลโดยสัมพันธ์กับคุณสมบัตินี้ (แน่นอนว่าRจะแมปไปยังและโมดูลR จะแมปไปยัง โมดูล ) ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

ให้Rเป็นวงแหวนสลับที่ และให้Iเป็นอุดมคติของ  Rการเติมเต็มของRที่Iคือลิมิตเชิงโปรเจกที ฟ เมื่อเป็นวงแหวนสลับที่ โฮโมมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกจากRไปยังผลหารเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมโฮโมมอร์ฟิซึมหลังนี้เป็นแบบฉีดได้ ถ้าRเป็นโดเมนอินทิกรัลแบบโนเธอร์เรียนและIเป็นอุดมคติที่เหมาะสม หรือถ้าRเป็นวงแหวนเฉพาะที่แบบโนเธอร์เรียนที่มีอุดมคติสูงสุดIตามทฤษฎีบทการตัดกันของ Krull ^{[ 45 ]}การสร้างนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อIเป็นอุดมคติสูงสุด ${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$${\displaystyle R/I^{n}}$${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$

ตัวอย่างพื้นฐานคือการเติมเต็มของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ที่อุดมคติหลัก( p )ที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเฉพาะp ; เรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็มp -adic และใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$การเติมเต็มในกรณีนี้สามารถสร้างได้จากค่าสัมบูรณ์p -adic บน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ค่าสัมบูรณ์p -adic บน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$คือแผนที่จาก⁠ ⁠ไปยัง⁠ ⁠ที่กำหนดโดย โดยที่แทนเลขชี้กำลังของpในการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์nเป็นจำนวนเฉพาะ (เรายังกำหนดและ ด้วย) มันกำหนดฟังก์ชันระยะทางบน⁠ ⁠และการเติมเต็มของ⁠ ⁠ในฐานะปริภูมิเมตริกจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠มันเป็นฟิลด์อีกครั้งเนื่องจากการดำเนินการของฟิลด์ขยายไปยังการเติมเต็ม วงแหวนย่อยของ⁠ ⁠ประกอบด้วยองค์ประกอบxที่มี| x | ≤ 1มีลักษณะสมมาตรกับ  ⁠ ⁠${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle |0|_{p}=0}$${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

ในทำนองเดียวกัน วงแหวนอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการR [{[ t ]}]คือการเติมเต็มของR [ t ]ที่( t ) (ดูทฤษฎีบทของเฮนเซล ด้วย )

วงแหวนสมบูรณ์มีโครงสร้างที่เรียบง่ายกว่าวงแหวนสลับที่มาก นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทโครงสร้างของโคเฮนซึ่งกล่าวโดยคร่าว ๆ ว่า วงแหวนเฉพาะที่สมบูรณ์มักจะมีลักษณะคล้ายกับวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม หรือผลหารของวงแหวนนั้น ในทางกลับกัน ปฏิสัมพันธ์ระหว่างการปิดเชิงปริพันธ์และการทำให้สมบูรณ์เป็นหนึ่งในแง่มุมที่สำคัญที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีวงแหวนสลับที่สมัยใหม่แตกต่างจากทฤษฎีคลาสสิกที่พัฒนาโดยนักวิทยาศาสตร์อย่างโนเธอร์ ตัวอย่างที่ผิดปกติที่พบโดยนากาตะนำไปสู่การทบทวนบทบาทของวงแหวนแบบโนเธอร์ และเป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการนิยามวงแหวน ที่ยอดเยี่ยม เป็นต้น

วิธีทั่วไปที่สุดในการสร้างวงแหวนคือการกำหนดตัวสร้างและความสัมพันธ์ ให้Fเป็นวงแหวนอิสระ (นั่นคือพีชคณิตอิสระเหนือจำนวนเต็ม) โดยมีเซตXของสัญลักษณ์ นั่นคือFประกอบด้วยพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในตัวแปรที่ไม่สลับกันซึ่งเป็นองค์ประกอบของXวงแหวนอิสระมีคุณสมบัติสากล: ฟังก์ชันใดๆ จากเซตXไปยังวงแหวนRสามารถแยกตัวประกอบผ่านFได้ ดังนั้นF → Rจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่ไม่ซ้ำกัน เช่นเดียวกับในกรณีของกลุ่ม ทุกวงแหวนสามารถแสดงเป็นผลหารของวงแหวนอิสระได้^{[ 46 ]}

ตอนนี้ เราสามารถกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสัญลักษณ์ในX ได้ โดยการหาร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าEเป็นเซตย่อยของFแล้ว วงแหวนผลหารของFโดยไอเดียลที่สร้างโดยEเรียกว่าวงแหวนที่มีตัวสร้างXและความสัมพันธ์Eถ้าเราใช้วงแหวนAเป็นวงแหวนฐานแทนวงแหวน${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ที่ได้จะเป็นวงแหวนเหนือAตัวอย่างเช่น ถ้าวงแหวนที่ได้จะเป็นวงแหวนพหุนามปกติที่มีสัมประสิทธิ์ในAในตัวแปรที่เป็นสมาชิกของX (ซึ่งก็คือสิ่งเดียวกันกับพีชคณิตสมมาตรเหนือAที่มีสัญลักษณ์X ) ${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$

ในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่ การก่อตัวนี้คือฟังก์ชันผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมจากหมวดหมู่ของวงแหวนไปยังเซต (และมักเรียกว่าฟังก์ชันวงแหวนอิสระ) ${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

ให้AและBเป็นพีชคณิตเหนือวงแหวนสลับที่Rแล้วผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลRคือ พีชคณิต Rที่มีลักษณะการคูณโดย${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

วงแหวนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งไม่มีตัวหารศูนย์ ที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่าโดเมนโดเมนสลับที่ได้ เรียกว่า โดเมนเชิงปริพันธ์โดเมนเชิงปริพันธ์ที่สำคัญที่สุดคือ โดเมนอุดมคติหลัก หรือ PID (Principal Ideal Domain) และฟิลด์ โดเมนอุดมคติหลักคือโดเมนเชิงปริพันธ์ที่อุดมคติทุกตัวเป็นอุดมคติหลัก กลุ่มสำคัญของโดเมนเชิงปริพันธ์ที่ประกอบด้วย PID คือโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ (UFD) ซึ่งเป็นโดเมนเชิงปริพันธ์ที่สมาชิกที่ไม่ใช่หน่วยทุกตัวเป็นผลคูณของสมาชิกเฉพาะ (สมาชิกเป็นเฉพาะถ้ามันสร้างอุดมคติเฉพาะ ) คำถามพื้นฐานในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตคือ ขอบเขตที่วงแหวนของจำนวนเต็ม (ทั่วไป)ในฟิลด์จำนวนซึ่ง "อุดมคติ" ยอมรับการแยกตัวประกอบเฉพาะ ล้มเหลวที่จะเป็น PID หรือไม่

ในบรรดาทฤษฎีบทเกี่ยวกับ PID ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดคือทฤษฎีบทโครงสร้างสำหรับโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือโดเมนอุดมคติหลักทฤษฎีบทนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยการประยุกต์ใช้กับพีชคณิตเชิงเส้นดังต่อไปนี้^{[ 47 ]}ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์kและf  : V → V เป็น แผนที่เชิงเส้นที่มีพหุนามขั้นต่ำqจากนั้น เนื่องจากk [ t ]เป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันqจึงแยกตัวประกอบเป็นกำลังของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ที่แตกต่างกัน (นั่นคือ องค์ประกอบเฉพาะ): $${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

ให้เราสร้างVเป็นk [ t ] -โมดูล ทฤษฎีบทโครงสร้างกล่าวว่าVเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลวัฏจักรซึ่งแต่ละโมดูลนั้นสม isomorphic กับโมดูลในรูปแบบทีนี้ ถ้าเช่นนั้น โมดูลวัฏจักรดังกล่าว (สำหรับp ) จะมีฐานที่การจำกัดของfถูกแทนด้วยเมทริกซ์จอร์แดนดังนั้น ถ้าk เป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตแล้ว p ทั้งหมดจะมีรูปแบบt – λ และการแยกส่วนข้างต้นจะสอดคล้องกับรูปแบบมาตรฐานจอร์แดน ของf${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต UFD เกิดขึ้นเนื่องจากความเรียบ กล่าวคือ จุดในวาไรตี้ (เหนือฟิลด์สมบูรณ์) จะเรียบหากวงแหวนเฉพาะที่ ณ จุดนั้นเป็นวงแหวนเฉพาะที่ปกติวงแหวนเฉพาะที่ปกติเป็น UFD ^{[ 48 ]}

ต่อไปนี้คือลำดับการรวมคลาสที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างวงแหวน โดเมน และฟิลด์:

rngs ⊃วงแหวน ⊃วงแหวนสลับที่ ⊃ โดเมนจำนวนเต็ม ⊃โดเมนปิดจำนวนเต็ม ⊃โดเมน GCD ⊃โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ ⊃โดเมนอุดมคติหลัก ⊃โดเมนยุคลิด ⊃ฟิลด์ ⊃ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต

วงแหวนหารคือวงแหวนที่สมาชิกทุกตัวที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นหน่วย วงแหวนหารสลับที่ได้คือฟิลด์ตัวอย่างที่โดดเด่นของวงแหวนหารที่ไม่ใช่ฟิลด์คือวงแหวนของควอเทอร์เนียน ตัวทำให้เป็นศูนย์กลางใดๆ ในวงแหวนหารก็เป็นวงแหวนหารด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ศูนย์กลางของวงแหวนหารเป็นฟิลด์ ปรากฏว่า โดเมน จำกัด ทุก โดเมน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งวงแหวนหารจำกัด) เป็นฟิลด์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นฟิลด์สลับที่ได้ ( ทฤษฎีบทเล็กของเวดเดอร์เบิร์น )

ทุกโมดูลบนวงแหวนหารเป็นโมดูลอิสระ (มีฐาน) ดังนั้น พีชคณิตเชิงเส้นส่วนใหญ่จึงสามารถดำเนินการได้บนวงแหวนหารแทนที่จะเป็นฟิลด์

การศึกษาเกี่ยวกับชั้นสมมูลกันมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีวงแหวนหารแบบคลาสสิก ดูตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทคาร์ตัน-บราวเออร์-ฮัว

พีชคณิตวัฏจักร (Cyclic algebra ) ซึ่งริเริ่มโดยแอล.อี. ดิกสัน (LE Dickson ) เป็นการขยายความของพีชคณิตควอเทอร์เนียน (Quaternion algebra )

โมดูลกึ่งง่าย (semisimple module)คือผลรวมโดยตรงของโมดูลเชิงง่าย (simple module) วงแหวนกึ่งง่าย (semisimple ring ) คือวงแหวนที่เป็นกึ่งง่ายในฐานะโมดูลซ้าย (หรือโมดูลขวา) เหนือตัวมันเอง

• วงแหวนหารเป็นวงแหวนกึ่งง่าย (และวงแหวนง่าย )
• สำหรับวงแหวนการหารD ใดๆ และจำนวนเต็มบวกnวงแหวนเมทริกซ์M ( D )จะเป็นกึ่งเรียบง่าย (และเรียบง่าย )
• สำหรับฟิลด์kและกลุ่มจำกัดGวงแหวนกลุ่มkGจะเป็นกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อลักษณะเฉพาะของkไม่หารลงตัวกับอันดับของG ( ทฤษฎีบทของ Maschke )
• พีชคณิตคลิฟฟอร์ดเป็นแบบกึ่งง่าย

พีชคณิตเวล์เหนือฟิลด์เป็นวงแหวนเชิงเดี่ยวแต่ไม่ใช่วงแหวนกึ่งเชิงเดี่ยว หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับวงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในหลายตัวแปรด้วย

โมดูลใดๆ บนริงกึ่งเรียบง่ายก็เป็นโมดูลกึ่งเรียบง่ายเช่นกัน (พิสูจน์: โมดูลอิสระบนริงกึ่งเรียบง่ายเป็นโมดูลกึ่งเรียบง่าย และโมดูลใดๆ ก็เป็นผลหารของโมดูลอิสระ)

สำหรับวงแหวนRนั้น สิ่งต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

• Rเป็นภาษาเซมิซิมเพิล
• Rเป็นอาร์ทิเนียนและเซมิพริมิทีฟ
• Rคือผลคูณโดยตรง แบบจำกัด โดยที่n แต่ละตัว เป็นจำนวนเต็มบวก และD แต่ละตัว เป็นวงแหวนหาร ( ทฤษฎีบท Artin–Wedderburn )${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

ความกึ่งเรียบง่ายมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความสามารถในการแยกส่วนได้ พีชคณิตแบบสมาคมที่มีเอกลักษณ์Aเหนือฟิลด์kกล่าวได้ว่าสามารถแยกส่วนได้ถ้าส่วนขยายฐานมีความกึ่งเรียบง่ายสำหรับทุกส่วนขยายฟิลด์F / kถ้าAเป็นฟิลด์อยู่แล้ว นี่จะเทียบเท่ากับคำจำกัดความปกติในทฤษฎีฟิลด์ (ดูส่วนขยายที่แยกส่วนได้ ) ${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

สำหรับฟิลด์kพีชคณิตkเรียกว่าพีชคณิตศูนย์กลาง ถ้าศูนย์กลางของมันคือkและเรียกว่าพีชคณิตเชิงเดี่ยว ถ้ามันเป็นวงแหวนเชิงเดี่ยวเนื่องจากศูนย์กลางของ พีชคณิต k เชิงเดี่ยว เป็นฟิลด์ ดังนั้น พีชคณิต k เชิงเดี่ยวใดๆ ก็เป็นพีชคณิตเชิงเดี่ยวศูนย์กลางเหนือศูนย์กลางของมัน ในส่วนนี้ พีชคณิตเชิงเดี่ยวศูนย์กลางจะถือว่ามีมิติจำกัด นอกจากนี้ เราส่วนใหญ่จะกำหนดฟิลด์ฐาน ดังนั้น พีชคณิตจึง หมาย ถึง พีชคณิต kวงแหวนเมทริกซ์ขนาดnเหนือวงแหวนRจะถูกแทนด้วยR

ทฤษฎีบท Skolem –Noetherกล่าวว่า ออโตมอร์ฟิซึมใดๆ ของพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางนั้นเป็นออโตมอร์ฟิซึมภายใน

พีชคณิตแบบง่ายส่วนกลางสองชุดAและBกล่าวได้ว่าคล้ายคลึงกันหากมีจำนวนเต็มnและmเช่นนั้น^{[ 49 ]}เนื่องจากความคล้ายคลึงกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล ชั้นความคล้ายคลึงกัน[ A ]กับการคูณก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียนที่เรียกว่ากลุ่ม Brauerของkและแสดงด้วยBr( k )ตามทฤษฎีบท Artin–Wedderburnพีชคณิตแบบง่ายส่วนกลางเป็นวงแหวนเมทริกซ์ของวงแหวนการหาร ดังนั้นแต่ละชั้นความคล้ายคลึงกันจึงแสดงด้วยวงแหวนการหารที่ไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$

ตัวอย่างเช่นBr( k )จะเป็นฟิลด์ที่ไม่สำคัญหากkเป็นฟิลด์จำกัดหรือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (โดยทั่วไปแล้วเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตกึ่งๆ ดูทฤษฎีบทของ Tsen ) มีอันดับ 2 (กรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Frobenius ) สุดท้าย หากkเป็นฟิลด์เฉพาะที่ ที่ไม่ใช่อาร์คิ มีเดีย น (ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠ )แล้วผ่านแผนที่ไม่แปรเปลี่ยน${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

ตอนนี้ ถ้าFเป็นส่วนขยายฟิลด์ของkแล้วส่วนขยายฐานจะเหนี่ยวนำBr( k ) → Br( F )เคอร์เนลของมันแสดงด้วยBr( F / k )มันประกอบด้วย[ A ]เช่นนั้นเป็นวงแหวนเมทริกซ์เหนือF (นั่นคือAถูกแยกโดยF ) ถ้าส่วนขยายเป็นจำกัดและกาโลอิส แล้วBr( F / k )จะสมสัณฐานตามหลักการกับ^{[ 50 ]}${\displaystyle -\otimes _{k}F}$${\displaystyle A\otimes _{k}F}$${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$

พีชคณิตอะซูมายะเป็นการขยายแนวคิดของพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางไปสู่ริงเฉพาะที่แบบสลับที่ได้

ถ้าKเป็นฟิลด์ค่าประเมินvคือโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากกลุ่มทวีคูณK ^∗ไปยังกลุ่มอาเบเลียนที่มีลำดับสมบูรณ์Gโดยที่สำหรับf , g ใดๆ ในKที่f + gไม่เป็นศูนย์v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}วงแหวนประเมินของvคือวงแหวนย่อยของKที่ประกอบด้วยศูนย์และf ที่ไม่ศูนย์ทั้งหมด โดยที่v ( f ) ≥ 0

ตัวอย่าง:

• ฟิลด์ของอนุกรมลอเรนต์เชิงรูปธรรม เหนือฟิลด์kมาพร้อมกับการประเมินค่าvโดยที่v ( f )คือดีกรีต่ำสุดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ในf ; วงแหวนการประเมินค่าของvคือวงแหวนอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรม${\displaystyle k(\!(t)\!)}$${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดฟิลด์kและกลุ่มอาเบเลียนที่มีลำดับสมบูรณ์Gให้ f เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากGไปยังkซึ่งส่วนรองรับ (เซตของจุดที่ฟังก์ชันไม่เป็นศูนย์) มีลำดับที่ดี f เป็นฟิลด์ที่มีการคูณที่กำหนดโดยการสังเคราะห์นอกจากนี้ยังมีค่าประเมินvซึ่งv ( f )เป็นสมาชิกที่เล็กที่สุดในส่วนรองรับของfวงแหวนย่อยที่ประกอบด้วยสมาชิกที่มีส่วนรองรับจำกัดเรียกว่าวงแหวนกลุ่มของG (ซึ่งมีความหมายแม้ว่าGจะไม่ใช่วงแหวนสลับที่) ถ้าGเป็นวงแหวนของจำนวนเต็ม เราจะได้ตัวอย่างก่อนหน้านี้กลับคืนมา (โดยการระบุfกับอนุกรมที่มี สัมประสิทธิ์ตัวที่ nคือ  f ( n ) )${\displaystyle k(\!(G)\!)}$$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$

อาจมองวงแหวนว่าเป็นกลุ่มอาเบเลียน (โดยใช้การดำเนินการบวก) ที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม นั่นคือ การคูณวงแหวน ในทำนองเดียวกัน ยังมีวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่อาจพิจารณาได้ว่าเป็นวงแหวนที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น:

• พีชคณิตเชิงสัมพันธ์คือวงแหวนที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์ เหนือฟิลด์ โดยที่การคูณ ด้วยสเกลาร์เข้ากันได้กับการคูณในวงแหวน ตัวอย่างเช่น เซตของ เมทริกซ์ขนาด n x nเหนือฟิลด์จำนวนจริงมีมิติn² ใน ^ฐานะ ปริภูมิ เวก${\displaystyle \mathbb {R} }$เตอร์จำนวนจริง
• วงแหวนRเป็นวงแหวนเชิงทอพอโลยีถ้าเซตของสมาชิกR ของวงแหวนนั้น ได้รับทอพอโลยีซึ่งทำให้แผนที่การบวก ( ) และแผนที่การคูณ⋅ : R × R → Rเป็น แผนที่ ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี (โดยที่X × Xสืบทอดทอพอโลยีผลคูณหรือผลคูณอื่นใดในหมวดหมู่) ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ n x nบนจำนวนจริง อาจได้รับทอพอโลยีแบบยุคลิดหรือทอพอโลยีแบบซาริสกีและในทั้งสองกรณีจะได้วงแหวนเชิงทอพอโลยี${\displaystyle +:R\times R\to R}$
• วงแหวนλคือวงแหวนสลับที่Rพร้อมด้วยการดำเนินการλ ⁿ : R → Rที่คล้ายกับกำลังภายนอกลำดับที่n :

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).}$

ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$คือวงแหวน λ ที่มี สัมประสิทธิ์ ทวินามแนวคิดนี้มีบทบาทสำคัญในวิธีการทางพีชคณิตในการพิสูจน์ทฤษฎีบทRiemann–Roch${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},}$

• แหวนที่มีลำดับการจัดเรียงสมบูรณ์คือแหวนที่มีลำดับการจัดเรียงทั้งหมดที่เข้ากันได้กับการดำเนินการเกี่ยวกับแหวน

วัตถุทางคณิตศาสตร์หลากหลายประเภทสามารถวิเคราะห์ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ริงที่เกี่ยวข้อง บาง อย่าง

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ใดๆ เราสามารถเชื่อมโยงวงแหวนโคฮอโมโลยีเชิง อินทิกรัลของปริภูมินั้นได้

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

วงแหวนแบบไล่ระดับนอกจากนี้ยังมีกลุ่มโฮโมโลยี ของปริภูมิ และที่จริงแล้วกลุ่มเหล่านี้ถูกกำหนดขึ้นก่อน เพื่อเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการแยกแยะความแตกต่างระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางคู่ เช่นทรงกลมและทอรัสซึ่งวิธีการของทอพอโลยีเซตจุดไม่เหมาะสมกลุ่มโคโฮโมโลยีถูกกำหนดขึ้นในภายหลังโดยใช้กลุ่มโฮโมโลยีในลักษณะที่คล้ายคลึงกับปริภูมิคู่ของปริภูมิเวกเตอร์การรู้จักกลุ่มโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์แต่ละกลุ่มนั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับการรู้จักกลุ่มโคโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์แต่ละกลุ่ม เนื่องจากทฤษฎีบทสัมประสิทธิ์สากลอย่างไรก็ตาม ข้อดีของกลุ่มโคโฮโมโลยีคือมีผลคูณตามธรรมชาติซึ่งคล้ายคลึงกับการสังเกตว่าเราสามารถคูณแบบจุดต่อจุดของ รูปแบบ k- มัลติลิเนียร์และ รูปแบบ l- มัลติลิเนีย ร์เพื่อให้ได้รูปแบบ ( k + l )-มัลติลิเนียร์ ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

โครงสร้างวงแหวนในโคฮอโมโลยีเป็นรากฐานสำหรับชั้นลักษณะเฉพาะของไฟเบอร์บันเดิล ทฤษฎีการตัดกันบนแมนิโฟลด์และวาไรตีพีชคณิตแคลคูลัสของชูเบิร์ตและอีกมากมาย

กลุ่มใดๆ ก็ตาม จะมี วงแหวนเบิร์นไซด์ (Burnside ring ) ที่เกี่ยวข้องซึ่งใช้วงแหวนในการอธิบายวิธีการต่างๆ ที่กลุ่มนั้นสามารถกระทำต่อเซตจำกัดได้ กลุ่มบวกของวงแหวนเบิร์นไซด์คือกลุ่มอาเบเลียนอิสระ (free abelian group)ซึ่งมีฐานเป็นเซตของการกระทำแบบทรานซิทีฟ (transitive actions) ของกลุ่ม และผลบวกของกลุ่มคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน (disjoint union) ของการกระทำ การแสดงการกระทำในรูปของฐานคือการแยกการกระทำออกเป็นส่วนประกอบแบบทรานซิทีฟ การคูณสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายในรูปของวงแหวนการแทน (representation ring ) กล่าวคือ การคูณในวงแหวนเบิร์นไซด์เกิดขึ้นจากการเขียนผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลการเรียงสับเปลี่ยนสองโมดูลเป็นโมดูลการเรียงสับเปลี่ยน โครงสร้างของวงแหวนช่วยให้สามารถลบการกระทำหนึ่งออกจากการกระทำอื่นได้ในรูปแบบที่เป็นทางการ เนื่องจากวงแหวนเบิร์นไซด์บรรจุอยู่ในวงแหวนย่อยที่มีดัชนีจำกัดของวงแหวนการแทน จึงสามารถเปลี่ยนจากวงแหวนหนึ่งไปยังอีกวงแหวนหนึ่งได้อย่างง่ายดายโดยการขยายสัมประสิทธิ์จากจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ

วงแหวนกลุ่มหรือพีชคณิตฮอปฟ์ใดๆ จะมี วงแหวนแทน หรือ "วงแหวนกรีน" ที่เกี่ยวข้องอยู่ด้วยกลุ่มบวกของวงแหวนแทนคือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มีฐานเป็นโมดูลที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ และการบวกของกลุ่มนี้สอดคล้องกับผลรวมโดยตรง การแสดงโมดูลในรูปของฐานคือการหาการแยกส่วนที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ของโมดูล การคูณคือผลคูณเทนเซอร์ เมื่อพีชคณิตเป็นแบบกึ่งง่าย วงแหวนแทนก็คือวงแหวนอักขระจากทฤษฎีอักขระซึ่งก็คือกลุ่มโกรเทนดีคที่มีโครงสร้างเป็นวงแหวน นั่นเอง

วา ไรตี้พีชคณิตที่ไม่สามารถลดทอนได้ใดๆจะมีฟิลด์ฟังก์ชัน ที่เกี่ยวข้องอยู่ด้วย จุดต่างๆ ของวาไรตี้พีชคณิตจะสอดคล้องกับวงแหวนการประเมินค่าที่บรรจุอยู่ในฟิลด์ฟังก์ชันและบรรจุวงแหวนพิกัด ไว้ด้วย การศึกษา เรขาคณิต เชิงพีชคณิตใช้พีชคณิตเชิงสลับ อย่างมาก ในการศึกษาแนวคิดทางเรขาคณิตในแง่ของคุณสมบัติเชิงวงแหวน เรขาคณิตแบบไบราชันแนลศึกษาแผนที่ระหว่างวงแหวนย่อยของฟิลด์ฟังก์ชัน

ซิ มพลิเชียลคอมเพล็กซ์ทุกตัวจะมีวงแหวนหน้า (face ring) ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวงแหวนสแตนลีย์-ไรส์เนอร์ (Stanley–Reisner ring ) วงแหวนนี้สะท้อนคุณสมบัติเชิงการจัดเรียง (combinatorial properties) หลายประการของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ ดังนั้นจึงมีความน่าสนใจเป็นพิเศษในพีชคณิตเชิงการจัดเรียงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรขาคณิตเชิงพีชคณิตของวงแหวนสแตนลีย์-ไรส์เนอร์ถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะของจำนวนหน้าในแต่ละมิติของโพลีโทปซิมพลิเชียล

ทุกวงแหวนสามารถคิดได้ว่าเป็นโมโนอิดในAbซึ่งเป็นหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน (ซึ่งคิดว่าเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลภายใต้ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูล⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) การกระทำของโมโนอิดของวงแหวนRบนกลุ่มอาเบเลียนนั้นก็คือโมดูลR นั่นเอง โดยพื้นฐานแล้ว โมดูล Rเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ – โดยที่แทนที่จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ เราจะมี "ปริภูมิเวกเตอร์เหนือวงแหวน"

ให้( A , +)เป็นกลุ่มอาเบเลียน และให้End( A )เป็นวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม ของกลุ่มอาเบเลียน (ดูด้านบน) โปรดสังเกตว่า โดยพื้นฐานแล้วEnd( A )คือเซตของมอร์ฟิซึมทั้งหมดของAโดยที่ถ้าfอยู่ในEnd( A )และgอยู่ในEnd( A )กฎต่อไปนี้สามารถใช้ในการคำนวณf + gและf ⋅ g ได้ :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}}$

โดยที่+เช่นf ( x ) + g ( x )คือการบวกในAและการประกอบฟังก์ชันจะถูกแสดงจากขวาไปซ้าย ดังนั้นที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มอาเบเลียนใดๆ จะเป็นวงแหวน ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดวงแหวนใดๆ( R , +, ⋅ )แล้ว( R , +)จะเป็นกลุ่มอาเบเลียน ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับทุกrในRการคูณทางขวา (หรือซ้าย) ด้วยrจะทำให้เกิดมอร์ฟิซึมของ( R , +)โดยการกระจายทางขวา (หรือซ้าย) ให้A = ( R , +)พิจารณาเอนโดมอร์ฟิซึมของAที่ "แยกตัวประกอบผ่าน" การคูณทางขวา (หรือซ้าย) ของRกล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้End ( A )เป็นเซตของมอร์ฟิซึม m ทั้งหมดของAที่มีคุณสมบัติว่าm ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x )พบว่าr ทุกตัว ในRก่อให้เกิดมอร์ฟิซึมของA : การคูณทางขวาด้วยrอันที่จริงแล้ว การเชื่อมโยงขององค์ประกอบใดๆ ของRกับมอร์ฟิซึมของAในฐานะฟังก์ชันจากRไปยังEnd ( A )นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวน ในแง่นี้ วงแหวนใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนX บางกลุ่ม (โดย กลุ่ม Xหมายถึงกลุ่มที่มีXเป็นเซตของตัวดำเนินการ ) ^{[ 51 ]}โดยพื้นฐานแล้ว รูปแบบทั่วไปที่สุดของวงแหวนคือกลุ่มเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนX บาง กลุ่ม

วงแหวนใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวกที่มีวัตถุเดียว ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะพิจารณาหมวดหมู่ก่อนการบวกใดๆ ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของวงแหวน และในความเป็นจริง นิยามและทฤษฎีบทจำนวนมากที่ให้ไว้สำหรับวงแหวนในตอนแรก สามารถแปลไปสู่บริบททั่วไปนี้ได้ฟังก์ชันบวกระหว่างหมวดหมู่ก่อนการบวกเป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดของโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน และอุดมคติในหมวดหมู่บวกสามารถกำหนดได้ว่าเป็นเซตของมอร์ฟิซึมที่ปิดภายใต้การบวกและภายใต้การประกอบกับมอร์ฟิซึมใดๆ

นักพีชคณิตได้กำหนดโครงสร้างที่ทั่วไปกว่าวงแหวนโดยการลดทอนหรือละทิ้งสัจพจน์บางส่วนของวงแหวน

rng เหมือนกับริง ยกเว้นว่าไม่ได้ถือว่ามีเอกลักษณ์การคูณ^{[ 52 ]}

วงแหวนที่ไม่สัมพันธ์กัน (nonassociative ring ) คือโครงสร้างทางพีชคณิตที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของวงแหวนทั้งหมด ยกเว้นคุณสมบัติการสัมพันธ์กันและการมีอยู่ของเอกลักษณ์การคูณ ตัวอย่างที่โดดเด่นคือพีชคณิตลี (Lie algebra ) มีทฤษฎีโครงสร้างบางอย่างสำหรับพีชคณิตดังกล่าวที่สรุปผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับพีชคณิตลีและพีชคณิตสัมพันธ์กัน

เซมิริง (บางครั้ง เรียกว่า rig ) ได้มาจากการลดข้อสมมติที่ว่า( R , +)เป็นกลุ่มอาเบเลียน ลงเหลือเพียงข้อสมมติที่ว่า( R , +)เป็นโมโนอิดสลับที่ได้ และเพิ่มสัจพจน์ที่ว่า0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0สำหรับทุกaในR (เนื่องจากสัจพจน์นี้ไม่เป็นไปตามสัจพจน์อื่นๆ อีกต่อไป)

ตัวอย่าง:

• จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งสามารถบวกและคูณได้ตามปกติ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• วงแหวนเขตร้อน

ให้Cเป็นหมวดหมู่ที่มีผล คูณจำกัด ให้ pt แทนวัตถุปลายทางของC (ผลคูณว่าง) วัตถุวงแหวนในCคือวัตถุRที่มีมอร์ฟิซึม(การบวก) (การคูณ) (เอกลักษณ์การบวก) (ตัวผกผันการบวก) และ(เอกลักษณ์การคูณ) ที่สอดคล้องกับสัจพจน์วงแหวนทั่วไป หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง วัตถุวงแหวนคือวัตถุRที่มีการแยกตัวประกอบของฟังก์ชันของจุดผ่านหมวดหมู่ของวงแหวน:${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแผนผังวงแหวน เหนือ แผนผัง ฐานSเป็นวัตถุวงแหวนในหมวดหมู่ของ แผนผัง Sตัวอย่างหนึ่งคือแผนผังวงแหวนW เหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ซึ่งสำหรับวงแหวนสลับที่ใดๆAจะส่งคืนวงแหวนW ( A )ของเวกเตอร์ Witt แบบp -isotypic ที่มี ^ความยาวnเหนือA ^{[ 53} ]

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตสเปกตรัมของวงแหวนคือสเปกตรัมXพร้อมกับการคูณและแผนที่เอกลักษณ์S → XจากสเปกตรัมทรงกลมSโดยที่แผนภาพสัจพจน์ของวงแหวนสามารถสลับตำแหน่งได้จนถึงระดับโฮโมโทปี ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสเปกตรัมของวงแหวนเป็นวัตถุโมโนอิดในหมวดหมู่ที่ดีของสเปกตรัม เช่น หมวดหมู่ของสเปกตรัมสมมาตร ${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: พีชคณิตนามธรรม/วงแหวน

แหวนชนิดพิเศษ: